1
ESERCIZI DI TERMODINAMICA
Un motore a combustione eroga una potenza effettiva di 12 kW con un rendimento totale del 28%. Il
kJ
combustibile utilizzato ha un potere calorifico inferiore di 44000
.
kg
Calcolare la massa di combustibile consumato in 1 h di funzionamento.
SOLUZIONE
Essendo note la potenza effettiva e il rendimento, dalla definizione di rendimento si calcola la potenza
assorbita dal motore:
η=
Peff .
Pass. =
Pass.
Peff .
η
=
12 kW
= 42,86 kW
0,28
La potenza assorbita è l’energia termica assorbita nel tempo, cioè in 1 h = 3600 s.
Pass. =
Etermica Q M comb. ⋅ Pci
= =
tempo t
t
essendo l ' energia termica immessa Q = M comb. ⋅ Pci
Pertanto la massa di combustibile consumato in 3600 s di funzionamento vale:
M comb. =
Pass. ⋅ t 42,86 kW × 3600 s
=
= 3,51 kg
Pci
44000 kJ
kg
ESERCIZIO PROPOSTO
Una parete d’acciaio spessa 12 mm, di superficie 4 m2, è lambita su una faccia, da fumi della combustione
alla temperatura di 1000 K. Sulla stessa faccia si è depositato uno strato di fuliggine dello spessore di 1 mm.
L’altra faccia della parete è a contatto con acqua alla temperatura di 393 K.
W
Considerando il coefficiente di convezione lato fumi pari a 40 2
, il coefficiente di convezione lato
m ⋅K
W
W
acqua pari a 6000 2
, il coefficiente di conduttività termica dell’acciaio pari a 30
, il coefficiente
m⋅ K
m ⋅K
di conduttività termica della fuliggine pari a 0,1
W
, calcolare
m⋅ K
W
)
m2 ⋅ K
Il coefficiente di trasmissione totale
(risultato: K = 28,12
Il flusso termico
Il calore trasferito in 4 min
La temperatura della faccia della parete d’acciaio dal lato fumi
(risultato: q = 68275 W)
(risultato: Q = 16386 kJ)
(risultato: 400,6 K)
2
Una massa di 1 kg di aria (da considerare come gas ideale), che ha volume massico di 0,08 m3/kg, si trova
alla pressione di 8 bar e alla temperatura di 473 K. L’aria subisce, a volume costante, una trasformazione che
aumenta la sua pressione a 32 bar. Successivamente una espansione isobara fa aumentare il volume massico
fino a 0,16 m3/kg. Calcolare
p (bar)
La variazione di energia interna del sistema
Il lavoro complessivamente scambiato
Il calore complessivamente scambiato
Q23
32
SOLUZIONE
2
3
Q12
8
1
T3
T2
L123
Le due trasformazioni di stato del gas, ipotizzandole quasi statiche,
T1
vengono rappresentate nel piano di Clapeyron. Si deduce che nella
ν (m3/kg)
0,08 0,16
trasformazione isometrica si ha un aumento di temperatura fino a
T2, mentre è nullo il lavoro L12 scambiato (area sottesa dalla linea della trasformazione nulla). Nella
trasformazione isobara si ha ancora un aumento di temperatura fino a T3 e un lavoro L23 scambiato
equivalente all’area sottesa dalla trasformazione.
La variazione di energia interna dipende, nel caso di gas ideale, solo dalla variazione di temperatura del
sistema. Calcoliamo le temperature nei punti 2 e 3; inoltre il lavoro e il calore scambiato in ogni
trasformazione.
• Per la trasformazione isometrica 1-2 si può applicare la legge di Gay-Lussac
p1 T1
=
p 2 T2
T2 = T1 ⋅
Pertanto la variazione di energia interna vale
p2
32
= 473 × = 1892 K
p1
4
J
J
× (1892 K − 473 K ) = 1017000
kg ⋅ K
kg
∆ U = U 2 − U 1 = cV ⋅ (T2 − T1 ) = 717
Applicando il 1° principio della termodinamica e ricordando che è nullo il lavoro L12 scambiato nella
isometrica, si calcola il calore Q12 scambiato nella trasformazione:
Q12 = ∆ U + L12
Q12 = ∆ U = 1017000
J
kg
• Per la trasformazione isobara 2-3 si può applicare la legge di Gay-Lussac
v2 ν 3
=
T2 T3
T3 = ν 3 ⋅
T2
= 0,16
ν2
Pertanto la variazione di energia interna vale
∆ U = U 3 − U 2 = cV ⋅ (T3 − T2 ) = 717
m 3 1892 K
×
= 3784 K
kg
m3
0,08
kg
J
J
× (3874 K − 1892 K ) = 1357000
kg ⋅ K
kg
Mentre il lavoro L23 scambiato nella trasformazione isobara vale:
L23=p ⋅ (v3 − v2 ) = 3200000
N
m3
m3
J
×
0
,
16
−
0
,
08
= 256000
2
m
kg
kg
kg
Applicando il 1° principio della termodinamica e si calcola il calore Q23 scambiato nella trasformazione:
Q23 = ∆ U + L23 = 1357000
J
J
J
+ 256000 = 1613000
kg
kg
kg
Avendo le variazioni di energia interna e i valori del lavoro e del calore scambiato in ogni trasformazione si
può rispondere ai questi.
La variazione di energia interna, essendo questa FUNZIONE DI STATO, dipende solo dalla temperatura dello
stato finale e di quello iniziale, pertanto:
∆ U = U 3 − U 1 = cV ⋅ (T3 − T1 ) = 717
J
J
× (3874 K − 473 K ) = 2374000
kg ⋅ K
kg
3
Il lavoro L123 complessivamente scambiato (il lavoro dipende dal percorso, quindi si deve calcolare per
ogni trasformazione) è dato dalla somma algebrica del lavoro scambiato in ogni trasformazione, pertanto:
L123 = L12 + L23= 0 + 256000
J
J
= 256000
kg
kg
Il calore Q123 complessivamente scambiato (il calore dipende dal percorso) è dato dalla somma
algebrica del calore scambiato in ogni trasformazione, pertanto:
Q123 = Q12 + Q23=1017000
J
J
J
+ 1613000 = 2630000
kg
kg
kg
Una massa di 0,5 kg di aria (da considerare come gas ideale) si trova alla pressione di 1 bar e alla
temperatura di 291 K. L’aria subisce, prima una compressione isoterma che aumenta la pressione a 15 bar e
dopo una espansione adiabatica con pressione finale di 1 bar. Assumendo la capacità termica massica a
pressione costante pari a c p = 992
J
J
, e la costante elastica del gas R = 287
, calcolare
kg ⋅ K
kg ⋅ K
Il volume del gas nei punti di inizio e fine di ogni trasformazione
Il calore complessivamente scambiato
p (bar)
Il lavoro complessivamente scambiato
La temperatura finale del gas.
15
SOLUZIONE
Le due trasformazioni di stato del gas, ipotizzandole quasi
statiche, vengono rappresentate nel piano di Clapeyron.
2
T3
Q12
1
Negli stati d’equilibrio 1 e 2 sono noti temperatura e
pressione, quindi scrivendo l’equazione di stato del gas si
calcolano i volumi occupati dal gas in tali punti.
L123
3
ν2
ν3
1
T1 = 291 K
ν (m3/kg)
ν1
Per lo stato d’equilibrio 1
p1 ⋅ν 1 = R ⋅ T1
ν1 =
R ⋅ T1 287 × 291
m3
=
= 0,835
p1
100000
kg
ν1 =
V1
m
V1 = m ⋅ν 1 = 0,5 kg × 0,835
m3
≅ 0,417 m 3
kg
Per determinare ν2 è più semplice usare l’equazione dell’isoterma p ⋅ν = cos t. fra gli stati d’equilibrio 1 e 2
p1 ⋅ν 1 = p 2 ⋅ν 2
ν2 =
p1
1
m3
⋅ν 1 = × 0,835 = 0,056
p2
15
kg
ν2 =
V2
m
V2 = m ⋅ν 2 = 0,5 kg × 0,056
m3
= 0,028 m 3
kg
Applicando il 1° principio della termodinamica alla trasformazione isoterma 1-2, si calcolano il lavoro e
il calore scambiato nella trasformazione:
Q12 = L12
essendo ∆U = 0
perché nell’isoterma T = cost. e quindi ∆T = 0
L12 = R ⋅ T ⋅ ln
p1
J
1
J
= 287
× 291 K × ln = −226170
p2
kg
15
kg
negativo perché lavoro fatto sul sistema
(LAVORO DI COMPRESSIONE)
Quindi: Q12 = −226170
J
kg
negativo perché il sistema lo cede all’esterno
4
Utilizzando una delle equazioni dell’adiabatica (in questo caso quella che contiene le variabili
temperatura e pressione) si determina la temperatura T3 finale:
T⋅p
1− k
k
= cos t.
T2 ⋅ p 2
p
da cui si calcola: T3 = T2 ⋅ 2
p3
1− k
k
con k=
= T3 ⋅ p3
1− k
k
−0 , 286
= 291 ⋅
cp
cV
con
15
1
=
cp
cp − R
=
992
= 1,4
992 − 287
1 − k − 0,4
=
= −0,286
k
1,4
−0 , 286
≅ 134 K
Applicando il 1° principio della termodinamica alla trasformazione adiabatica 2-3 (Q23 = 0), si calcola il
lavoro scambiato nella trasformazione:
0 = L23 + (U 3 − U 2 )
∆U = − L23 = cV ⋅ (T3 − T2 ) = 705
L23 ≅ +110680
J
J
× (134 K − 291 K ) ≅ −110680
kg
kg
J
positivo perchè lavoro di ESPANSIONE
kg
Per lo stato d’equilibrio 3
p3 ⋅ν 3 = R ⋅ T3
ν3 =
R ⋅ T3 287 × 134
m3
=
≅ 0,385
p3
100000
kg
ν3 =
V3
m
V3 = m ⋅ν 3 = 0,5 kg × 0,385
m3
≅ 0,193 m 3
kg
Il lavoro e il calore scambiati finora calcolati sono relativi ad una massa unitaria di gas, cioè sono grandezze
massiche; ricordando che la massa di gas che si trasforma è di 0,5 kg possiamo calcolare il lavoro e il calore
complessivamente scambiati.
L123 = m ⋅ (L12 + L23 ) = 0,5 kg × (− 226170 + 110680 )
Q123 = m ⋅ (Q12 + Q23 ) = 0,5 kg × (− 226170 + 0 )
J
= −57745 J
kg
J
= −113085 J
kg
Da notare che L’ENERGIA INTERNA È DIMINUITA (T3 < T1), infatti una sua parte è stata trasformata in
lavoro nella trasformazione adiabatica.
ESERCIZIO PROPOSTO
Una massa di 0,6 kg di aria (da considerare come gas ideale) si trova alla pressione di 10 bar e alla
temperatura di 700 K. L’aria subisce una prima espansione isoterma che riduce la pressione a 5 bar e una
seconda espansione adiabatica con pressione finale di 2 bar. Assumendo la capacità termica massica a
J
J
pressione costante pari a 1000
, quella a volume costante pari a 713
, calcolare
kg ⋅ K
kg ⋅ K
Il calore complessivamente scambiato
(risultato: L123 = 152488,5 J)
Il lavoro complessivamente scambiato
(risultato: Q123 = 83178 J)
Il volume finale del gas.
(risultato: V3 = 0,464 m3)
p (bar)
10
5
1
Q12
2
3
2
ν3
T1 = T2
T3
ν (m3/kg)
5
J
J
, c p = 1013
) subisce le quattro
kg ⋅ K
kg ⋅ K
Una massa di 2 kg di ossido di carbonio ( R = 293
trasformazioni termodinamiche segnate in figura. Determinare
p (Pa)
Il lavoro di espansione e quello di compressione;
Il lavoro complessivo scambiato nel ciclo;
Il calore complessivo scambiato nel ciclo;
La massima temperatura raggiunta dal gas.
800000
150000
SOLUZIONE
4
3
1
2
0,1
0,3
ν (m3/kg)
Consideriamo il gas come ideale. Le quattro trasformazioni costituiscono un ciclo percorso in senso
antiorario (lavoro negativo). Sappiamo che in un ciclo il LAVORO COMPLESSIVAMENTE SCAMBIATO È
EQUIVALENTE ALL’AREA RACCHIUSA NEL CICLO. Inoltre la VARIAZIONE DI ENERGIA INTERNA È NULLA (∆
∆U
= 0), perché il sistema ritorna allo stato iniziale. Per queste considerazioni possiamo subito dire che, per 1 kg
(massa unitaria) di gas:
ACICLO = − LCICLO = L1234 = −(800000 − 150000 ) × (0,3 − 0,1) = −130000
quindi per la massa di 2 kg:
L1234 = 2 kg × − 130000
J
kg
J
= −260000 J
kg
Inoltre applicando il 1° principio della termodinamica all’intero ciclo, si calcola il CALORE
COMPLESSIVAMENTE SCAMBIATO Q1234 nel ciclo, infatti:
∆U CICLO = 0 = QCICLO − LCICLO
QCICLO = LCICLO
ovvero Q1234 = L1234 = −260000 J
Il lavoro viene scambiato solo nelle trasformazioni isobare, poiché è nullo in quelle isometriche;
calcoliamolo:
(
LESPANSIONE = L12 = m ⋅ p1 ⋅ (ν 2 −ν 1 ) = 2 kg × 150000 Pa × 0,3
m3
kg
3
POSITIVO
(
)
− 0,1 mkg = 60000 J
perché fatto dal sistema sull’ambiente
LCOMPRESSIONE = L34 = m ⋅ p3 ⋅ (ν 4 −ν 3 ) = 2 kg × 800000 Pa × 0,1 mkg − 0,3
3
NEGATIVO
m3
kg
) = −320000 J
perché fatto dall’ambiente sul sistema
Quindi il lavoro nel ciclo vale:
LCICLO = L12 + L34 = 60000 J − 320000 J = −260000 J
valore che avevamo già calcolato con altre
considerazioni (la possiamo considerare come
una verifica del ragionamento fatto prima)
Ricordando l’andamento delle isoterme nel piano di Clapeyron è evidente che il sistema raggiunge la
massima temperatura nel punto d’equilibrio 3 (Tmax = T3)
Pertanto scrivendo l’equazione di stato del gas nel punto 3 si può calcolare la TEMPERATURA DEL GAS in
quello stato:
p3 ⋅ν 3 = R ⋅ T3
T3 =
p3 ⋅ν 3 800000 × 0,3
=
= 819,1 K
R
293
