Esercizi 1 - Osservatorio di Arcetri

22
Premessa 1: Test iniziale
Proponiamo un test iniziale con alcune domande su semplici concetti matematici e su concetti e leggi
fisiche di base, per saggiare il punto di partenza e le conoscenze sedimentate dalla Scuola Secondaria.
La verifica del livello di conoscenze di matematica elementare é importante per affrontare lo studio della
fisica e se le carenze risultano gravi raccomandiamo di fare un ripasso. Le questioni di fisica verranno
ovviamente riprese nel corso, ma una verifica preliminare dello stato delle conoscenze può aiutare ad
affrontare lo studio successivo: forniamo comunque di seguito alcune sintetiche risposte ai quesiti, che
possono fungere da ripasso o messa a punto, raccomandando però di fare prima il massimo sforzo per
arrivare autonomamente alle risposte.
Quesiti
1. Quanto valgono la lunghezza della circonferenza, l’area del cerchio, la superficie e il volume
della sfera di raggio R?
2. Sviluppa (a − b)2 =
3. Sviluppa√(a + b) · (a − b) =
4. Calcola 2 [fornisci un valore approssimato, con una o due cifre decimali]
5. Esegui la divisione 3, 12 : 2, 4.
6. Ricava x dall’equazione x+1
= 3.
x−2
7. Quanto vale il cos 90◦ ?
8. Quanto vale il sin 60◦ ?
9. In che intervallo può variare x perchè valgano le disuguaglianze: a) x2 + 4 < 0; b) x2 − 4 > 0
10. Quanti litri contiene 1 m3 ? Quanti cm3 contiene 1 litro?
11. Esprimi la velocità di 27 km/ora in metri/secondo.
12. Quanto vale la massa di 1 litro d’acqua? Giustifica la risposta.
13. Sai dare una definizione della massa?
14. Qual é il valore dell’accelerazione di gravità g sulla superficie della Terra?
15. Definisci la massa e il peso di un corpo e discuti la differenza tra i due concetti.
16. Quanto vale la velocità della luce nel vuoto?
17. Una macchina crea energia? Discuti in termini generali la funzione delle macchine.
18. Che cosa dice la legge di Archimede?
19. A che temperatura congela l’acqua, e a che temperatura bolle (a pressione standard)?
TEST D’INGRESSO
20. Un gas contenuto in un cilindro viene compresso a temperatura costante finchè il suo volume
si riduce alla metà di quello iniziale: come varia la sua pressione? Sai spiegare perchè? Ricordi
l’equazione di stato di un gas ideale? Sai precisare il significato delle grandezze che vi compaiono?
21. Due cariche elettriche puntiformi inizialmente ad una certa distanza vengono portate ad una
distanza doppia: come varia la forza tra di esse? Spiega il perchè.
Risposte e commenti ad alcuni quesiti
9. a) impossibile; b) x < −2, x > 2.
10. 1 m3 = 1000 litri; 1 litro = 1000 cm3 .
11. 27 km/ora= 7, 5 m/s.
12. Vale 1 kg. Infatti 1 litro = 1 dm3 , la densità (rapporto tra massa e volume) dell’acqua vale 1
g/cm3 = 1000 kg/m3 (il suo valore - come quello di tutte le grandezze fisiche - dipende quindi dalle
unità di misura che si adottano).
13. Intuitivamente la massa di un corpo é la ”quantità di materia” che il corpo contiene: ma
la definizione quantitativa della massa di un corpo é come rapporto tra la forza applicata ad esso e
l’accelerazione che questa gli imprime; la massa del corpo rappresenta cioè la sua inerzia a mettersi
in movimento.
14. g = 9, 8 m/s2 .
15. La massa é stata definita nella risposta al quesito 13. Il peso invece é una f orza: la forza
con cui la Terra attira il corpo, p = mg. Questa definizione della forza peso é un caso particolare
→
−
→
−
−
della Legge Fondamentale della Dinamica F = m→
a nel caso in cui F é appunto la forza peso, che é
diretta verticalmente vso la superficie della Terra: la forza peso é la sola forza in natura che risulta
direttamente proporzionale alla massa del corpo su cui agisce, per cui l’accelerarazione di gravità g
risulta costante.
16. c = 300.000 km/s= 3 · 108 m/s.
17. No: l’energia non si crea e non si distrugge (impossibilità del ”moto perpetuo”), ma si
trasforma da una forma a un’altra, o si trasferisce da un sistema a un altro. La funzione di una
macchina é quella di trasformare una data forma di energia in un’altra forma di energia più idonea
agli scopi che si hanno.
18. Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del liquido spostato
(cioè al peso di una quantità di liquido uguale al volume del corpo).
19. La temperatura di solidificazione (congelamento) dell’acqua é 0 ◦ C, e quella di ebollizione
(vaporizzazione) é 100 ◦ C (le temperature a cui avvengono i cambiamenti di stato dipendono dalla
pressione esterna: i valori riportati valgono a pressione standard, 1 atmosfera).
20. La pressione del gas raddoppia. Questo é conseguenza dell’equazione di stato del gas ideale
P V = NA RT : a temperatura costante la pressione é inversamente proporzionale al volume. Nell’equazione di stato V é il volume occupato dal gas; P é la pressione che esso esercita, cioè la forza
sull’unità di volume; T é la temperatura assoluta del gas espressa in gradi Kelvin (K), la cui relazione
con la temperatura t espressa in gradi Celsius (◦ C) é T (K) = t(◦ C) + 273, 14 (la temperatura dello
zero assoluto corrisponde a −273, 14◦ C); R é la costante dei gas é vale R = 0, 81 J/K·mol (o 0,082
l·atm/K·mol; NA é il numero di moli del gas: una mole é una massa del gas costituita da un numero
di grammi pari alla sua massa molecolare.
21. La forza tra le due cariche si riduce di un fattore 4, in conseguenza della legge dell’inverso
del quadrato (legge di Coulomb) F = k q1r2q2 .
21
Angelo Baracca - Ulteriori Esercizi e Problemi sul Capitolo 1
Pag. 1
1.17. IL MODELLO DI BOHR DELL’ATOMO DI IDROGENO
125
- i programmi che permettono all’elaboratore di svolgere l’elaborazione a cui viene di volta
in volta destinato (programmi applicativi, o programmi utente);
- programmi di servizio (software di base), la cui importanza è andata crescendo col crescere
della potenza e della complessità degli elaboratori; tra questi, i linguaggi di programmazione, che
consentono di fornire all’elaboratore istruzioni in un linguaggio simile a quello umano, lasciando
ad appositi programmi il compito di tradurli nel linguaggio macchina.
A3.4 - Capacità e limiti dell’elaboratore
Lo sviluppo vertiginoso delle potenzialità e della diffusione degli elaboratori, le indubbie enormi
potenzialità che essi aprono, possono indurre ad un atteggiamento entusiasta e acritico, che rende
difficile per ora sviluppare considerazioni sensate sui limiti che questa, come altre tecnologie, presenta.
In primo luogo è sempre bene tenere presente che l’elaboratore non è uno strumento onnipotente,
ma esegue solo le operazioni e i compiti per i quali viene programmato (o è stato programmato da
altri, che l’hanno costruito e poi ce lo hanno venduto).
Si può osservare poi che negli elaboratori i processi logici sono sempre tradotti in processi sequenziali: ma i processi logici che la nostra mente è in grado di eseguire possono avere struttura molto
più complessa di quella sequenziale. Le capacità logiche degli elaboratori rimangono quindi assolutamente non paragonabili con quelle della mente umana (anche se la logica puramente sequenziale
sembra almeno in parte superata nei linguaggi di intelligenza artificiale, i quali sono però ancora ad
uno stadio preliminare).
—– o 0 o —–
ULTERIORI PROBLEMI SUL CAP. 1
Problema 1.a. Un corpo di massa m viene lasciato cadere nel vuoto da un’altezza H dal suolo:
con che velocità arriva al suolo? Questi risultati dipendono dalla massa del corpo? Perché?
Problema 1.b. Un corpo di massa m viene lanciato dal suolo verticalmente verso l’alto con una
velocità iniziale v0 : a quale altezza si arresta? Quale grandezza cinematica si annulla al vertice della
traiettoria? Confrontare il risultato con quello del Problema 1.a
1.1.
Problema 1.c. Si è determinato l’andamento della velocità in funzione del tempo di un corpo che
si muove su una linea retta
v(t) = 5 m/s + (6, 6 m/s3 ) t2 .
Si determinino le leggi con cui variano la sua posizione e la sua accelerazione con il tempo.
Problema 1.d. Due blocchi cubici di masse m1 e m2 sono posti a contatto tra loro su un piano
orizzontale e senza attrito (! fig. 1.29). Si applica al primo cubo una forza F orizzontale e costante. Determinare l’accelerazione del sistema e la forza f12 che il primo cubo esercita sul secondo e
commentare il risultato: quanto vale la risultante delle forze che agiscono sulla massa m 1 ?.
Problema 1.e. Sei seduto sul sedile di un’automobile che viaggia alla velocità vi = 100 km/h.
L’autista frena bruscamente, riducendo la velocità a vf = 20 km/h in 15 s. Supponendo che la
decelerazione si costante e che tu non possa scivolare sul sedile, a quale forza sei soggetto?
Problema 1.f . Che volume occupano due moli di gas ideale a pressione standard alla temperatura
di 50 ◦ C? E se allo stesso tempo la pressione raddoppia?
Problema 1.g. Che volume occupano 50 g di O2 alla pressione si 1 atm e alla temperatura di 20
◦
C?
126
CAPITOLO 1. MODELLI DELLA REALTÀ
Problema 1.h. Un volume di elio di 0,1 m3 , inizialmente alla pressione di 10 atm a alla temperatura
di 20 ◦ C, viene portato alla pressione di 1 atm e alla temperatura di - 40 ◦ C: calcolare il suo volume
finale.
Problema 1.i . Una cisterna a pareti rigide di volume 103 m3 contiene un gas a 30 ◦ C. Elevando
la temperatura del gas a 80 ◦ C, la sua pressione diventa di 3 atm. Quanto valeva la pressione iniziale
del gas?
Problema 1.l . a) Si calcoli l’energia cinetica media delle molecole di un gas monoatomico e di un
gas biatomico alla temperatura di 100 ◦ C. b) Si calcoli il rapporto tra le velocità medie delle molecole
di un gas di H2 e di un gas di O2 alla stessa temperatura.
Problema 1.m. Un blocco di massa m scivola lungo un piano senza attrito, lungo l, inclinato di
un angolo α rispetto all’orizzontale (! fig. 1.30): studiare il suo moto e determinare il tempo che
impiega ad arrivare in fondo al piano e la sua velocità finale.
Problema 1.n. Quando arrivi all’incrocio di casa tua vedi l’autobus a una distanza di 10 m che
sta partendo con un’accelerazione aA = 1 m/s2 : incominci a correre con velocità vC costante per
raggiungerlo. Qual è il valore minimo di vC con cui puoi raggiungere l’autobus? Se vC = 6 m/s,
dopo quanto tempo e a che distanza lo raggiungi?
Problema 1.o. Un tuo amico ti passa vicino in bicicletta ad una velocità costante v A = 27 km/h;
dopo 2 s parti con la tua bicicletta con un’accelerazione costante aB = 0, 5 m/s2 . Quanto tempo
impieghi per raggiungerlo?
Problema 1.p. Un gas è racchiuso in un recipiente a pareti rigide: la sua pressione aumenta dello
0,4 % per un innalzamento di temperatura di 1 ◦ C. A che temperatura si trova inizialmente il gas?
Problema 1.q. Il volume di una bombola di ossigeno è di 40 l, e la sua pressione iniziale è di 20
atm. Mano a mano che si estrae gas dalla bombola, la temperatura del gas scende da 35 ◦ C a 12
◦
C e la sua pressione a 10 atm. a) Quante moli di ossigeno conteneva inizialmente la bombola? b)
Quanti grammi di ossigeno si sono estratti?
Problema 1.r. Un volume iniziale di ossigeno di 1 l a 40 ◦ C e alla pressione di 1 atm si dilata
del 50 % e la sua pressione diviene 1,2 atm: determinare il numero di moli di ossigeno e la sua
temperatura finale.
Problema 1.s. La ! fig. 1.31 rappresenta nel piano P − V la successione di trasformazioni ab,
bc, cd, e da subite da un gas ideale, dove gli stati a e c si trovano alla stessa temperatura T . a) Si
rappresentino queste trasformazioni nei piani P − T e T − V .
Se il gas è composto da 4 kmoli di ossigeno molecolare, Pa = 10 atm, Pc = 4 atm e il suo volume
molare (volume di 1 mole) nello stato a vale 2,5·10−3 m3 /mole, si calcolino: b) la massa del gas; c)
la temperatura T ; d) la temperatura negli stati b e d ; e) il volume molare e il volume effettivo del
gas nello stato c.
Problema 1.t. Si consideri un’ipotetica distribuzione delle velocità della molecole in un gas
composto di N molecole molto diversa da quella di Maxwell (1.80)
n(v) dv = K dv
n(v) dv = 0
(K costante) per 0 ≤ v ≤ V
per v > V,
cioè le molecole hanno una velocità massima V, e sono distribuite uniformemente tra le velocità
minori di questo valore. a) Si disegni il grafico di questa distribuzione; b) si calcoli l’espressione della
costante K in funzione di N e della velocità massima V; c) si calcolino, e si confrontino, la velocità
media e la velocità quadratica media delle molecole in funzione di V.
Angelo Baracca - Ulteriori Esercizi e Problemi sul Capitolo 1
Pag. 2
1.17. IL MODELLO DI BOHR DELL’ATOMO DI IDROGENO
129
comprimere il gas: pertanto la sua pressione risulta maggiore di quella calcolata in un gas ideale
nelle stesse condizioni termodinamiche (si può anche ragionare pensando che le molecole sono molto
vicine, le loro dimensioni finite accorciano la distanza che percorrono in media tra un urto e l’altro,
e questo aumenta la frequenza dei loro urti sulle pareti, e pertanto aumenta la pessione del gas).
Come si vede i due fattori, le forze intermolecolari e il volume finito delle molecole, hanno effetti
opposti, e prevale l’uno o l’altro a seconda delle condizioni termodinamiche del gas e delle trasformazioni che subisce: van der Waals propose un’equazione di stato, che porta il suo nome, che introduce
i due fattori correttivi rispetto all’equazione del gas ideale (cfr. il →Cap.2, Problema 2.h).
Soluzione 1.30. Poiché le energie dei livelli sono negative, l’energia !1 è minore dell’energia !2 .
a) La frequenza minima della radiazione capace di eccitare il livello elettronico è data dalla (1.91),
utilizzando il valore (3.26) della costante di Planck
ν=
!2 − ! 1
−1, 1 · 10−19 J + 4, 5 · 10−19 J
3, 4 · 10−19 J
=
=
# 5, 2 · 1014 s−1 (Hz)
−34
h
6, 6 · 10
J·s
6, 6 · 10−34 J · s
(vedremo nel Cap. 9 che questa frequenza si trova nella regione della luce visibile).
b) La temperatura necessaria perché gli atomi abbiano l’energia cinetica sufficiente ad eccitare il
livello elettronico negli urti si valuta dalla (1.76), cioè !cin = !2 − !1 = 3, 4 · 10−19 J, per cui si ottiene
T =
2 !2 − ! 1
2 3, 4 · 10−19 J
# 1, 7 · 104 K = 17.000 K.
=
3 kB
3 1, 38 · 10−23 J/K
In realtà si deve tenere conto del fatto che la (1.76) riguarda l’energia cinetica media degli atomi,
per cui vi saranno degli atomi con velocità maggiori ed altri con velocità minori [le velocità degli
atomi sono distribuite secondo la distribuzione di Maxwell (1.80), ! fig. 1.22, che ha una ”coda”
molto pronunciata verso le alte velocità], per cui gli urti tra gli atomi incominceranno ad innescare
l’eccitazione del livello ben prima di raggiungere questa temperatura, a varie migliaia di gradi.
130
CAPITOLO 1. MODELLI DELLA REALTÀ
e sostituendo questo nella (1.115) si ottiene la velocità vs con cui vi arriva
!
2H "
vs = g
= 2gH .
g
(1.117)
Questi risultati non dipendono dalla massa del corpo (in assenza di attrito dell’aria) perché la forza
peso è proporzionale alla massa del corpo e quindi tutti i corpi in assenza di attrito cadono con la
stessa accelerazione g.
Soluzione 1.b. Si tratta del caso inverso del precedente: un moto uniformemente decelerato, con
velocità iniziale v0 rivolta verso l’alto e accelerazione g rivolta verso il basso. Poiché il moto è verso
→
−
l’alto, conviene scegliere un asse h orientato verso l’alto. Analogamente al caso precedente, non
abbiamo una relazione che leghi direttamente la velocità allo spazio percorso, per cui bisogna usare
entrambe le espressioni che legano lo spazio e la velocità al tempo: il punto più alto della traiettoria
è determinato dalla condizione che in quel punto si annulla la velocità (attenzione: non si annulla
l’accelerazione, come alcuni sono portati a dire affrettatamente; se si annullasse l’accelerazione il
corpo dove si arresta rimarrebbe fermo, sospeso in aria: l’accelerazione è sempre g, poiché il corpo è
sempre soggetto alla forza peso). Le due equazioni nel nostro caso sono
v = v0 − g t
(1.118)
1
h = v0 t − g t2
(1.119)
2
Dalla (1.118) per v = 0 si ricava il tempo ts impiegato dal corpo per raggiungere l’altezza massima
v0 − g ts = 0 , da cui ts =
v0
.
g
(1.120)
Sostituendo nella (1.119) si trova la quota massima hm a cui arriva il corpo
--→
−
Soluzione 1.a. Poiché il corpo scende, conviene descrivere il suo moto lungo un asse verticale h
orientato verticalmente verso il basso. Il moto è uniformemente accelerato, con accelerazione g. La
velocità del corpo in funzione del tempo è data da
v =g·t .
(1.115)
Non vi è una relazione che leghi direttamente la velocità allo spazio percorso: perciò si deve passare
attraverso l’equazione che dà lo spazio percorso in funzione del tempo
v02 1 v02
1 v02
− g 2 =
.
g
2 g
2g
(1.121)
Anche in questo caso, ovviamente, i risultati non dipendono dalla massa del corpo. È facile verificare
che questi risultati sono identici a quelli del Problema 1.1; cioè che il corpo cadendo ripercorre gli
stessi stati che percorre quando sale, ma con velocità rovesciata. Infatti il risultato (1.121) può
essere letto anche come la velocità v0 con cui deve venire lanciato il corpo verso l’alto perché arrivi
all’altezza hm
"
v0 = 2ghm ,
che coincide con la (1.117), che aveva però verso orientato in basso; se si inserisce questa condizione
nell’espressione (1.120) del tempo di salita ts , si trova
!
√
2ghm
2hm
ts =
=
,
g
g
1
h = g t2 ,
2
da cui si ricava il tempo ts che impiega ad arrivare al suolo
!
2H
,
ts =
g
hm =
(1.116)
che coincide con il tempo (1.116) che impiega a cadere dalla stessa altezza.
Angelo Baracca - Ulteriori Esercizi e Problemi sul Capitolo 1
Pag. 3
1.17. IL MODELLO DI BOHR DELL’ATOMO DI IDROGENO
131
a(t) = 2 · (6, 6 m · s−3 ) t = (13, 2 m · s−3 ) t .
La legge oraria si calcola integrando rispetto al tempo l’espressione della velocità
!
!
3
x(t) = (5 ms ) dt + (6, 6 sm3 ) t2 dt = x0 + (5 ms ) t + (6, 6 sm3 ) t3
m
m
= x0 + (5 s ) t + (2, 2 s3 ) t3 ,
dove x0 è una costante di integrazione, che corrisponde alla posizione del corpo all’istante t = 0.
Soluzione 1.d. I due blocchi devono avere la stessa accelerazione: la forza sposta una massa
m1 + m2 , per cui l’accelerazione risulta
F
.
m1 + m 2
CAPITOLO 1. MODELLI DELLA REALTÀ
Soluzione 1.f . Sappiamo che in condizioni standard (0 ◦ C) una mole di gas occupa un volume
di 22,4 l (Esempio 1.23): pertando due moli occupano un volume doppio V1 = 44, 8 l. Alla stessa
pressione, ma alla temperatura di 50 ◦ C = 323 K, il volume V2 si ricava dall’equazione del gas ideale
(si noti che non è necessario trasformare i volumi in m3 , poiché si ha il rapporto dei volumi, mentre
è necessario trasformare i gradi Celsius in Kelvin)
Soluzione 1.c. L’accelerazione si calcola eseguendo la derivata
a=
132
(1.122)
Il modo più semplice per determinare la forza f12 che la massa m1 esercita sulla massa m2 è di
considerare che tale forza deve imprimere alla massa m2 l’accelerazione (1.122), quindi deve valere
#
"
m2
f12 = m2 · a =
F .
m1 + m 2
Si può commentare questo risultato considerando la forza netta f1 che agisce sul primo blocco. Infatti
il secondo blocco esercita su di esso una reazione −f12 uguale ed opposta all’azione f12 che il primo
blocco esercita sul secondo: tale reazione corrisponde all’inerzia opposta dalla massa m 2 ad essere
posta in moto. Pertanto la risultante f1 delle forze cui è soggetta la massa m1 è
#
"
#
"
m1
m2
f1 = F − f12 = F −
F =
F .
m1 + m 2
m1 + m 2
V2
T2
=
,
V1
T1
cioè
cioè la forza F ripartisce la sua azione tra le due masse, per imprimere loro la stessa accelerazione:
se non vi fosse la massa m2 , sarebbe sufficiente la forza f1 per imprimere l’accelerazione (1.122) alla
massa m1 ; infatti in tal caso risulta identicamente
#
"
m1
F
F = m1 ·
.
f1 = m1 a, poiché
m1 + m 2
m1 + m 2
Soluzione 1.e. L’accelerazione a cui tu sei soggetto, supposta costante (moto uniformemente
accelerato) si ricava da vf = vi + at
a=
vf − v i
t
= − 8015km/h
s
−1
3
/3600 s·h−1 )
= − (80 km/h)(10 m·km
15 s
= − 1,5 m/s2 ,
diretta in verso opposto a quello del moto del veicolo (segno negativo), trattandosi di una decelerazione che il veicolo ti trasmette frenando. Se la tua massa è m, la forza a cui sei soggetto ha
modulo
F =ma.
323
T2
= (44, 8 l)
= 53 l .
T1
273
Se si raddoppia la pressione il volume finale dimezza, cioè diviene 26,5 l (questa conclusione si
può trarre analiticamente dall’equazione di stato: P1 V1 = 2RT1 , 2P1 V2 = 2RT2 , da cui appunto
V2 = 12 V1 TT21 ).
Soluzione 1.g. Una massa di 50 g di O2 , la cui massa molecolare è 32, corrisponde a un numero
di moli
50 g
N =
" 1, 56 moli.
32 g/mol
Il volume occupato in queste condizioni termodinamiche si calcola dall’equazione di stato del gas
ideale
V =
N RT
(1, 56 moli)(0, 082 l · atm/K · mol)(293 K)
"
" 37, 5 l = 37, 5 dm3 = 0, 0375 m3 .
P
1 atm
Soluzione 1.h. Indicando con gli indici 1 e 2 gli stati iniziale finale, le cui temperature assolute
sono T1 = 293 K e T2 = 233 K, l’equazione di stato per i due casi è rispettivamente
P1 V1 = N RT1
P2 V2 = N RT2
Risulta
f1 + f12 = F ,
V 2 = V1
da cui si ottiene
P2 V2
P1 V1
=
,
T1
T2
e quindi
V2 =
T2 P1 V1
(233 K)(10 atm)(0, 1 m3 )
=
" 0, 8 m3 .
T1 P2
(293 K)(1 atm)
Soluzione 1.i. La trasformazione avviene a volume costante, per cui dall’equazione di stato del
gas ideale si ha
T1
P1
=
,
P2
T2
da cui si ottiene
P1 = P2
T1
303 K
= 2, 575 atm.
= (3 atm)
T2
353 K
Soluzione 1.l. a) Per le molecole monoatomiche e biatomiche a 100 ◦ C = 373 K si ottiene
rispettivamente dalle (1.76) e (1.82), e dal valore (1.75) della costante di Boltzmann
3
3
!monoatom = kB T = (1, 38 · 10−23 J · K−1 )(373 K) " 7, 7 · 10−21 J
2
2
Angelo Baracca - Ulteriori Esercizi e Problemi sul Capitolo 1
Pag. 4
1.17. IL MODELLO DI BOHR DELL’ATOMO DI IDROGENO
133
5
5
!biatom = kB T = (1, 38 · 10−23 J · K−1 )(373 K) ! 12, 8 · 10−21 J.
2
2
b) Dalla (1.82) per molecole biatomiche abbiamo
134
CAPITOLO 1. MODELLI DELLA REALTÀ
sC (t) = sC 0 + vC t .
Imponendo la condizione che all’istante t sia sA (t) = sB (t), si trova l’equazione di secondo grado
1
2
aA t − v C t − s C 0 = 0 ,
2
1
1
5
2
m H v 2 = m O2 v O
= kB T ,
2
2 2 H2
2
2
da cui si ottiene
le cui soluzioni sono
vH2 2
vH2 2
m O2
32
= 16 .
=
=
mH2
2
v H2 ≈ 4 v O 2 .
Soluzione 1.m. Si scompone la forza peso a cui è soggetto il corpo nelle componenti pT tangente
al piano inclinato, e pP perpendicolare al piano (! fig. 1.32)
pT = mg · sin α , pP = mg · cos α .
→
−
La componente pP si esercita sul piano ed è compensata dalla reazione vincolare R che questo esercita
sul corpo. La componente pT esercita sul corpo un’accelerazione costante
(1.123)
Il corpo scende quindi lungo il piano inclinato con un moto uniformemente accelerato con accelerazione ridotta rispetto all’accelerazione di gravità: il tempo impiegato a percorrere tutto il piano si
ricava dalla relazione
!
1
2l
2
l = (g sin α) t , =⇒ t =
,
(1.124)
2
g sin α
e la velocità che acquista in questo tempo è data da
!
vf = a · t = (g sin α)
"
2l
= 2 lg sin α .
g sin α
(1.125)
L’angolo α = 0 corrisponde al piano orizzontale e l’accelerazione (1.123) è nulla. La caduta libera
verticale del corpo corrisponde ad α = π2 : si confrontino i risultati (1.124), (1.125) con quelli (1.116),
(1.117) del Problema 1.1.
Soluzione 1.n. Il problema si può risolvere in vari modi. La soluzione algebrica si svolge scrivendo
la legge oraria - posizione in funzione del tempo - per il tuo moto e quello dell’autobus, e ponendo
la condizione che vi troviate nella stessa posizione. Se si sceglie come istante iniziale quello in cui
entrambi iniziate a muovervi, e come origine dell’asse la posizione da cui parte l’autobus, la tua
posizione iniziale è sC 0 = −10 m. Le due leggi orarie sono
1
sA (t) = aA t2
2
"
vC2 + 2 aA sC 0
.
(1.128)
aA
Nell’espressione sotto radice il secondo addendo è negativo, per cui la condizione perché il problema
abbia soluzioni è che
√
√
√
vC2 ≥ − 2 aA sC 0 , cioè: vC > − 2 aA sC 0 = 2 · 1 · 10 = 20 = 4, 5 m/s .
t=
La velocità quadratica media v 2 è una quantità concettualmente diversa dal quadrato della velocità
media v 2 , ma sappiamo che nel caso della distribuzione delle molecole in un gas esse differiscono
quantitativamente di poco (→Par. 1., nota), per cui possiamo concludere che
a = g · sin α .
(1.127)
(1.126)
vC ±
Se vC = 6 m/s, si trova dalla (1.128)
√
√
6 ± 36 − 2 · 1 · 10
t=
= 6 ± 16 = 6 ± 4 = 2 s
1
10 s
(1.129)
Si hanno due soluzioni perché quando raggiungi l’autobus dop 2 s ti muovi ad una velocità che è
ancora maggiore della sua, quindi se tu continuassi a correre lo supereresti, e poiché esso continua
ad accelerare ti raggiungerebbe di nuovo dopo 10 s. Le due distanze dalla fermata dell’autobus sono
rispettivamente sA (2) = 12 · 1 · 4 = 2 m, e sA (10) = 12 · 1 · 100 = 50 m.
Questi risultati si possono anche trovare, o visualizzare, graficamente, riportando le leggi orarie
(1.126) e (1.127), ! fig. 1.33: si vede molto chiaramente che la retta sC (t) deve superare una
pendenza minima per intersecare la parabola sA (t), e che superata la pendenza minima l’interseca
due volte.
Soluzione 1.o. La soluzione è simile a quella del Problema precedente, ma con una diffrenza
interessante. Se si sceglie, ad esempio, come origine dell’asse la posizione in cui tu sei fermo e come
istante iniziale quello in cui inizi a muoverti, il tuo amico a t = 0 ha già percorso uno spazio (positivo,
in questo caso)
$
# 3
10 m/km
(2 s) = 15 m ,
sA0 = vA · 2s = (27 km/h)
3600 s/h
e poiché egli si muove di moto rettilineo uniforme, la sua legge oraria è
sA (t) = sA0 + vA · t .
(1.130)
Tu parti invece in questo caso con moto uniformemente accelerato all’istante t = 0, nell’origine e con
velocità iniziale nulla, per cui la tua legge oraria è
1
sB (t) = aB t2 .
2
(1.131)
L’istante t in cui raggiugi il tuo amico è determinato dalla condizione
sA (t) = sB (t), cioè:
1
2
sA0 + vA · t = aB t ,
2
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1.17. IL MODELLO DI BOHR DELL’ATOMO DI IDROGENO
135
ossia dalla soluzione dell’equazione di secondo grado
136
CAPITOLO 1. MODELLI DELLA REALTÀ
Soluzione 1.r. Scrivendo l’equazione di stato del gas deale nella forma
1
2
aB t − vA t − sA0 = 0 ,
2
che è data da
!
vA2 + 2 aB sA0
.
aB
Questa volta il numero sotto radice è sempre positivo: cioè tu raggiungi sempre il tuo amico (nell’ipotesi che continui ad accelerare è inevitabile, perché egli si muove con velocità costante); ma le due
soluzioni ora sono
√
7, 5 ± 8, 44
7, 5 ± 56, 25 + 2 · 0, 5 · 15
=
= 31,9 s
t=
0, 5
0, 5
− 1,9 s
t=
vA ±
La soluzione del problema è ovviamente quella positiva: la soluzione negativa corrisponderebbe ad
un istante in cui vi sareste trovati nello stesso punto se anche prima di vedervi vi foste mossi con lo
stesso moto: lo si vede chiaramente dalla soluzione grafica, ! fig. 1.34, in cui si riportano le leggi
orarie (1.130) e (1.131) anche per tempi negativi.
Soluzione 1.p. Poiché il riscaldamento del gas avviene a volume costante, si ha
T2
P2
=
,
P1
T1
da cui, sottraendo l’unità a entrambi i membri, si ottiene
T2 − T1
P2 − P1
=
,
P1
T1
e quindi, essendo ∆P = 0, 4 % = 0, 004,
T1 =
1K
∆T
=
= 250 K = − 23 K.
∆P
0, 004
PV
= NR ,
T
abbiamo la seguente relazione tra gli stati iniziale e finale del gas
P1 V1
P2 V2
=
,
T1
T2
dalla quale si ricava
T2 =
P2 V2
(1, 2 atm)(1, 5 l)
(313 K) = 563, 4 K .
T1 =
P1 V1
(1 atm)(1 l)
Il numero di moli si ricava da
N =
P1 V1
(1 atm)(1 l)
# 0, 039 moli.
=
RT1
(0, 082 l · atm/K · mol)(313 K)
Soluzione 1.s. a) La trasformazione ac è isoterma e si rappresenta nel piano P −T con il segmento
verticale ac; le trasformazioni ab e cd sono isobare e sono rappresentate da segmenti orizzontali. Per
stabilire la posizione degli stati b e d si tenga conto che che queste trasformazioni sono isocore e sono
rappresentate da equazioni del tipo P (T ) = NVR T =cost·T , che sono rette passanti per l’origine degli
assi: Il grafico di queste trasformazioni è quindi rappresentato nella ! fig. 1.35 a.
Nel piano V −T con un ragionamento analogo le trasformazioni isobare ab e cd sono rappresentate
da equazioni del tipo T (V ) = NPR V =cost·V , che sono rette passanti per l’origine degli assi, per cui
si ottiene il grafico della ! fig. 1.35 b.
b) La massa del gas vale
mO2 = (4 · 103 moli)(32 g/mole) = 128 · 103 g = 128 kg.
c) L’equazione di stato per lo stato a si scrive
Soluzione 1.q. a) Poiché si conoscono il volume, la pressione e la temperatura iniziali, il numero
di moli di ossigeno è inizialmente
N1 =
P1 V
(20 atm)(40 l)
# 31, 7 moli.
=
RT1
(0, 082 l · atm/K · mol)(308 K)
b) Allo stesso modo si può calcolare il numero di moli che alla fine che rimangono nel volume
della bombola
P2 V
(10 atm)(40 l)
N2 =
=
# 17, 1 moli ,
RT2
(0, 082 l · atm/K · mol)(285 K)
per cui il numero di moli di ossigeno estratte è
Pa
da cui si ottiene, ricordando che 1 atm # 105 N/m2
T =
10 · 105 N/m2
Pa Va
=
· 2, 5 · 10−3 m3 /mol # 300 K .
RN
8, 31 J/K · mol
d) Poiché la trasformazione ad è isocora si ha
Ta
Td
=
,
Pd
Pa
∆N # 31, 7 − 17, 1 = 14, 6 moli ,
che corrispondono ad una massa di ossigeno
mO2 = (14, 6 moli)(32 g/mole) # 467 g.
Va
= RT ,
N
da cui
Td = Pd
T
(4 · 105 N/m2 )(300 K)
=
= 120 K .
Pa
10 · 105 N/m2
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1.17. IL MODELLO DI BOHR DELL’ATOMO DI IDROGENO
E analogamente
Tb = Pb
137
138
CAPITOLO 1. MODELLI DELLA REALTÀ
(10 · 105 N/m2 )(300 K)
T
=
= 750 K .
Pc
4 · 105 N/m2
e) Per calcolare il volume molare del gas nello stato c si consideri che, essendo la trasformazione
ac isoterma
Va
Vc
Pa
= Pc
,
N
N
per cui
10 · 105 N/m2
Va Pa
Vc
= (2, 5 · 10−3 m3 /mol)
= 6, 25 · 10−3 m3 /mol ,
=
N
N Pc
4 · 105 N/m2
e il volume effettivo del gas nello stato c è quindi
Vc = (4 mol)(6, 25 · 10−3 m3 /mol) = 25 · 10−3 m3 = 25 l.
Soluzione 1.t. a) La distribuzione è rappresentata nella ! fig. 1.36.
b) Poiché il numero totale di molecole è N , deve essere
!
V
n(v) dv = N ,
0
ossia
!
V
K dv = N ,
0
e integrando KV = N e quindi
N
.
V
c) Il valore medio della velocità delle molecole (velocità media) è definita come
K=
v=
1
N
!
0
V
v · n(v) dv =
K
N
!
V
0
v · dv =
(1.132)
V
KV 2
= ,
2N
2
dove si è sostituita la (1.132). Il quadrato della velocità media è quindi
v2 =
V2
.
4
(1.133)
La velocità quadratica media è definita come
!
!
V2
1 V 2
K V 2
KV 3
=
,
v2 =
v · n(v) dv =
v · dv =
N 0
N 0
3N
3
che differisce dalla (1.133).
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