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Precorso di Matematica
Maria Margherita Obertino
[email protected]
Davide Ricauda
[email protected]
Obiettivi del precorso: rapido ripasso degli argomenti di base, già trattati
nelle scuole superiori, richiesti per seguire con profitto il corso di matematica.
MATEMATICA – CdS Scienze e Tecnologie Agrarie e Scienze Forestali ed Ambientali
M.M.Obertino – Matematica- Scienze e Tecnologie Agrarie, Scienze Forestali ed Ambinetali
Programma del precorso
Cenni agli insiemi numerici
Numeri naturali, naturali relativi, razionali,
reali, complessi
Potenze di dieci
Proporzioni
Percentuali
Algebra dei polinomi
Monomi e polinomi
Operazioni elementari con monomi e
polinomi
Raccoglimento a fattor comune
Algoritmo per la divisione di due
polinomi
Divisione con la regola di Ruffini
Regola del resto
Prodotti notevoli e triangoli di Tartaglia
Scomposizione in fattori
Equazioni algebriche di I e II grado
Equazioni di I grado intere e fratte
Equazioni di II grado intere e fratte
M. Obertino
Sistemi di equazioni
Disequazioni algebriche e sistemi di
disequazioni
Disequazioni di I e II grado intere e
fratte
Sistemi di disequazioni Valore assoluto
Radicali
Radicali aritmetici ed algebrici
Proprietà ed operazioni con i radicali
Razionalizzazione del denominatore e
radicali doppi
Cenni alle equazioni e disequazioni
irrazionali
Logaritmi ed esponenziali
Logaritmi, proprietà e operazioni
Equazioni logaritmiche
Equazioni esponenziali
D. Ricauda
Totale ore: 19
(prime 3 settimane del corso)
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Testo di riferimento
R. D’Ercole: Precorso di matematica per
Economia e Scienze, Pearson
à MyMathlab: piattaforma e-learning con
numerosi esercizi da svolgere per ciascuno
degli argomenti trattati
N.B.1: questo testo non è obbligatorio, se avete già altri libri
(universitari o delle scuole superiori) che trattano gli argomenti in
programma usate quelli!
N.B.2: questo non è il testo per il corso di Matematica!
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Piattaforma Moodle
Sono disponibili sulla piattaforma Moodle, corso Matematica (AGR0047)
§  le slide utilizzate a lezione
§  la soluzione degli esercizi svolti in classe
http://elearning.moodle2.unito.it/disafa/course/view.php?id=64
Programma della prima lezione
§  Cenni sugli insiemi numerici:
Numeri naturali, naturali relativi, razionali,
reali, complessi
à § 1.1, 1.2, 1.6 del testo
§  Proprietà delle potenze
§  Potenze di 10 e notazione scientifica
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Gli insiemi
Un insieme è una collezione di elementi:
§  ben definiti à gli elementi devono obbedire ad un preciso criterio
che indica la loro appartenenza all’insieme; il
criterio deve essere preciso in modo tale da
stabilire senza ambiguità l’appartenenza
all’insieme
§  ben separati à non devono esserci elementi non distiguibili l’uno
dall’altro
L’insieme delle persone alte à non soddisfa la prima condizione,
NON è un insieme
L’insieme delle persone di altezza maggiore di 1.8 m à è un insieme!
Gli insiemi si indicano con
le lettere maiuscole, i loro
elementi con le lettere
minuscole
Insieme vuoto: insieme privo di elementi [ ∅ ]
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Rappresentazioni degli insiemi
Forma estensiva à si elencano gli elementi dell’insieme
Es. I = {3,4,5,6}
Forma intensiva à si specifica la proprietà caratteristica dell’insieme
Es. I = {x | 2 < x < 7, x ∈ N }
Rappresentazione grafica à diagrammi di Eulero-Venn
I
∈ à Appartiene
∉ à Non appartiene
.4
.3
.5
.6
4∈I
2∉I
∀ à Per ogni
∃ à Esiste
∃! à Esiste ed è unico
∃ à Non esiste
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Sottoinsiemi
Dati due insiemi A e B si dice che B è sottoinsieme di A se ….
… ogni elemento di B appartiene a A
“B è incluso in A”
“A contiene B”
Se esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B,
B è un sottoinsieme proprio di A
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Operazioni fra insiemi
Intersezione tra due insiemi A e B:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
insieme di tutti e soli gli elementi appartenenti ad entrambi gli
insiemi.
Unione tra due insiemi A e B:
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
insieme di tutti e soli gli elementi appartenenti ad almeno uno dei
due insiemi.
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Insiemi numerici
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Insieme dei numeri naturali (I)
N = {0,1,2,3,…n…}
(insieme discreto).
N0 = N-{0}
Operazioni sempre possibili:
∀m, n ∈ N → (m + n) ∈ N
§  addizione
§  moltiplicazione ∀m, n ∈ N → (m ⋅ n) ∈ N
“N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione”
Sottrazione
∀m, n ∈ N → (m − n) ∈ N solo se m ≥ n
Es. 4 − 2 ∈ N
2−4 ∉ N
Divisione
∀m, n ∈ N → (m / n) ∈ N solo se m multiplo di n
Es.
4/2∈ N
4/3∉ N
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Insieme dei numeri naturali (II)
Proprietà di addizione e motiplicazione
§  Commutativa: ∀m, n ∈ N → m + n = n + m
→ m⋅n = n⋅m
§  Associativa
∀m, n, p ∈ N → (m + n) + p = m + (n + p)
→ (m ⋅ n)⋅ p = m ⋅ (n ⋅ p)
§  Distributiva del prodotto sulla somma
∀m, n, p ∈ N → (m + n)⋅ p = m ⋅ p + n ⋅ p
§  Esistenza dello zero
∀m ∈ N → m + 0 = 0 + m = m
§  Esistenza dell’unità
∀m ∈ N → m ⋅1 = 1⋅ m = m
§  Leggi di cancellazione
∀m, n, p ∈ N → m + p = n + p → m = n
∀m, n, p ∈ N, p ≠ 0 → m ⋅ p = n ⋅ p → m = n
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Insieme dei numeri naturali (III)
N è un insieme totalmente ordinato
∀m, n ∈ N, m ≠ n, ∃! p ∈ N 0 tale che m = n + p o n = m + p
m>n
m<n
∀m, n ∈ N è vera una sola delle seguenti relazioni:
m<n
m=n
m>n
N è un insieme induttivo
0∈N
n ∈ N → n +1 ∈ N
L’elemento n+1 si dice successivo del numero naturale n
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Insieme dei numeri interi relativi (Z)
Volendo eseguire la sottrazione senza limitazioni sugli operandi
occorre introdurre l’insieme dei numeri interi relativi.
Z = {….-2, -1, 0,1,2,3,…n…}
(insieme discreto)
N⊂Z
Valgono le proprietà di somma e prodotto viste
Z è un
in precedenza
ampliamento di N
∀m, n ∈ Z
m−n ∈ Z
∀m ∈ Z ∃!m* : m + m* = 0
m* = −m
m* è l’opposto di m
Modulo o valore assoluto di m [ |m| ] il numero che si ottiene
trascurando il segno
Es. |-5| = 5
Due numeri opposti hanno lo stesso modulo: es. |-5| = |5| = 5
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Insieme dei numeri razionali (Q)
Volendo eseguire la divisione senza limitazioni sugli operandi occorre
introdurre l’insieme dei numeri razionali o frazionari
m
Q = { | m, n ∈ Z, n ≠ 0 }
n
m⋅n > 0 →
m
positivo
n
m⋅n < 0 →
m
negativo
n
Q è un insieme denso: fissati arbitrariamente due numeri razionali
esiste sempre un numero razionale fra essi compreso
m
m
∀ ∈ Q : − opposto
n
n
n
inverso
m
Un numero razionale si può sempre rappresentare come un numero
decimale limitato o un numero decimale illimitato periodico:
3
= 0.75
4
65
= 4,64285714285714...=4,64285714
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Insiemi dei numeri irrazionali
I numeri decimali illimitati non periodici costituiscono l’insieme dei
numeri irrazionali.
Numeri irrazionali algebrici: si ottengono come radice di
un’equazione algebrica a coefficienti interi:
a0xn + a1xn-1 + …an-1x + an = 0
Es.
con a0 ,...an ∈ Z, n ∈ N, a0 ≠ 0
2 = 1,4142135623731...
Numeri irrazionali trascendenti: non sono radici di alcuna equazione
algebrica
Es.
π = 3,14159265358… rapporto tra la circonferenza e il suo diametro
1 n
e = lim(1+ ) = 2,71828...
n
n→∞
numero di Nepero
Il numero di Nepero è collegato con la funzione esponenziale e con la
funzione logaritmo naturale.
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Insiemi dei numeri reali (R)
L’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e dei numeri irrazionali
costituisce l’insieme dei numeri reali R
R= Q + {Irrazionali}
Se su una retta si fissano:
§  un orientamento
§  un punto O (origine) a cui si associa il valore 0
§  a destra di O, un altro punto U (punto unità) a
cui si associa il valore 1
0 U 2U 3U …
viene definita una corrispondenza biunivoca fra tutti i punti della retta ed i
numeri reali:
à ad ogni punto di tale retta corrisponde uno e un solo numero reale.
Tale numero (detto ascissa del punto) in valore assoluto individua la
distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, inoltre è positivo se il punto si
trova a destra di O e negativo altrimenti.
à ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della retta
R è un insieme completo
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Insiemi dei numeri complessi (C)
L’operazione di estrazione di radice non ha sempre soluzione in R
Es.
−2 ∉ R → non esiste b ∈ R | b 2 = −2
C = {a + ib | a, b ∈ R}
Parte
reale
Parte
immaginaria
Unità
Immaginaria:
i = −1 ∉ R
R⊂C
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Le potenze
Si dice potenza di un numero il prodotto di più fattori tutti uguali al
quel numero.
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ....⋅ a
Es.
23
n volte
= 2x2x2 = 8
a à base
€
n à esponente
Es. 60 = 1
100 = 1
a =a
Es. 61 = 6
101 = 10
1
a = n
a
N.B. “Quando si porta una potenza da sopra
1
Es 6 = 3 =
a sotto la linea di frazione (e viceversa) si
6
deve cambiare segno all’esponente!”
1
1
=
6 ⋅ 6 ⋅ 6 216
a0 = 1
1
−n
−3
….
….
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Proprietà delle potenze
1. Prodotto di potenze con stessa base e diverso esponente
a n ⋅ a m ⋅ a p = a n+m+p
Es. 23 x 25 x 2-4 x 22= 23+5-4+2 = 26
N.B. La somma degli esponenti
è algebrica!
2. Prodotto di potenze con base diversa e stesso esponente
a n ⋅ b n ⋅ c n = (a ⋅ b ⋅ c)n
Es. 33 x 23 x 73 x 53= (3x2x7x5)3 = 2103
3. Potenza di potenza
(a n )m = a nm
4 3
12
Es. (2 ) = 2
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Proprietà delle potenze
4. Rapporto di potenze con stessa base e diverso esponente
an
n
−m
n−m
=
a
⋅
a
=
a
am
54
1
1
4
−7
4−7
−3
Es. 7 = 5 ⋅ 5 = 5 = 5 = 3 =
5
5 125
5. Rapporto di potenze con base diversa e stesso esponente
an
a n
=( )
n
b
b
143 14 3
3
Es. 3 = ( ) = 2 = 8
7
7
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1.
⎛ 1 ⎞
⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
3
4
⎛ 1 ⎞
⎜ − ⎟ =
⎝ 2 ⎠
Esercizi
1 ⎤
⎡
⎢ R. = − 128 ⎥
⎣
⎦
2.
(− 2)(+ 2)
=
[R. = −8]
3.
(+ 2)3 (− 3)3 =
[R. = −216]
4.
2
⎛ 1 ⎞
⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
4
8
⎛ 1 ⎞
⎜ − ⎟ =
⎝ 2 ⎠
[R. = 16]
−3
5.
(− 3)5
⎛ 1 ⎞
⎜ − ⎟ =
⎝ 3 ⎠
⎡⎛ 1 ⎞
6. ⎢⎜ − 1⎟
⎢⎣⎝ 2 ⎠
7.
2
[R. = 9]
−3
⎤
⎥ =
⎥⎦
1 53 ⋅ 55
23 ⋅ 2
⋅[ 2 4 + 3− 2 2 ]
3
3 5 ⋅5
(2 )
[R. = 64]
[ R. = 1]
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Radice di un numero
È l’operazione inversa dell’elevamento a potenza:
n
a
è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a:
a = radicando
n = indice
( a) =
n
n
n
a ⋅ n a ⋅! (n volte) = a
•  la radice di indice pari di un numero negativo non esiste
−4
•  la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica
3
8 = 2;
3
− 27 = −3
•  esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo
25 = ±5
Una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale
che ha per indice il denominatore della frazione:
m√an =
an/m
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Notazione scientifica
Un qualunque numero reale può essere scritto in notazione
scientifica, ossia come un numero compreso tra 1 (incluso) e 10
(escluso) moltiplicato per una potenza di 10.
5.213·10-7
Parte numerica:
numero compreso
tra 1 e 9,999..
100 = 1
101 = 10
102 = 10·10 = 100
…….
106 = 1000000 ……
Potenza di 10:
lʼ’esponente rappresenta
il numero di posti
decimali di cui occorre
spostare la virgola
10-1 = 1/101 = 0,1
10-2 = 1/102 = 0,01
10-3 = 1/103 = 0,001
…….
10-6 = 0,000001 …….
à 5.213·10-7 = 5.213· 0.0000001 = 0.0000005213
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Convertire da notazione scientifica a
notazione ordinaria
Il prodotto di un numero per una potenza 10n con esponente
positivo si ottiene dal numero iniziale spostandone la virgola di n
posizioni verso destra
Esempi:
3·10 = 3,000·101 = 30
1,5·102 = 1,5000·102 = 150
1,543·104 = 1,54300·104 = 15430
Il prodotto di un numero per un potenza 10-n con esponente negativo,
si ottiene invece spostando la virgola del numero iniziale di n posizioni
verso sinistra.
Esempi:
3·10-1 = 3/101 = 3/10 =0,3
1,5·10-2 = 1,5/100 = 0,015
1,5·10-4 = 0,00015
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Convertire da notazione ordinaria a
notazione scientifica
Se il numero è M ≥10:
§  sposto la virgola verso sinistra fino ad ottenere un numero m tale
che 1≤m<10
§  scrivo M = m·10n con n numero di posizioni di cui ho spostato la
virgola
Esempio: 160000 = 1,6·105
Se il numero è M <1:
§  sposto la virgola verso destra fino ad ottenere un numero m tale
che 1≤m<10
§  scrivo M = m·10-n con n numero di posizioni di cui ho spostato la
virgola
Esempio: 0,00000175 = 1,75·10-6
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Esercizi
Convertire da notazione decimale a notazione scientifica (o
viceversa) i seguenti numeri:
0,035 =
324000 =
0,000742 =
9450000 =
7,16·107 =
3.2·10-5 =