Precorso di Matematica
Maria Margherita Obertino
Università degli Studi di Torino – Di.S.A.F.A.
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Divisione tra polinomi (§ 2.2 del testo)
La regola di Ruffini (§ 2.3 del testo)
I prodotti notevoli (§ 2.3 del testo)
Scomposizione dei polinomi in fattori primi (§ 2.4 del testo)
MATEMATICA – CdS Scienze e Tecnologie Agrarie e Scienze Forestali ed Ambientali
M.M.Obertino – Matematica- Scienze e Tecnologie Agrarie, Scienze Forestali ed Ambinetali
Divisione tra due polinomi
Dati due polinomi nella stessa lettera P(x) e D(x) di gradi n ed m,
se n≥m esistono e sono univocamente determinati
! un polinimio q(x) di gradi n-m
! un polinomio r(x) di grado t<m
tali che
P(x) = q(x)D(x) + r(x)
Dividendo
Resto
Divisore
Quoziente
Risolvere la divisione P(x):D(x) equivale a trovare I polinomi q(x) e r(x)
Se r(x) = 0 " P(x) è divisibile per D(x) e la divisione si dice esatta
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Divisione tra due polinomi: procedimento
P(x) : D(x)
1. Si ordinano i due polinomi P e D secondo le potenze decrescenti
di una lettera, indicando con 0 ogni grado mancante in P
2. Si divide il termine di grado massimo di P per il termine di grado
massimo D, ottenendo il primo termine del quoziente
3. Si moltiplica il divisore D per il primo termine del quoziente e si
sottrae quanto ottenuto dal dividendo " primo resto parziale
4. Se il grado del resto parziale è maggiore o uguale a quello del
divisore D si continua la divisione assumendo come dividendo il
resto parziale
5. …
Esempi:
(3x 4 −10x 3 − 5x 2 +11x +10) : (3x + 2)
(14a 2 + 6a 3 − 7) : (2a 2 + 4a − 5)
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Divisione di un polinomio per un binomio
di primo grado
P(x) : D(x)
con
D(x) = (x + a)
Teorema di Ruffini
Condizione necessaria e sufficiente affinchè un polinomio P(X) sia
divisibile per un binomio del tipo x+a è che si annulli per x= -a
P(x) = q(x) (x+a)
<⇒
P(-a)=0
Dalla dimostrazione deriva un secondo metodo per la divisione di un
polinimio per un binomio di primo grado.
Esempi:
(5x 3 − 3x +1) : (x − 2)
(2bx 3 − 7b 2 x 2 + 3b3 x − b 4 ) : (x + b)
(x 3 + 8x 2 + 6x − 4) : (2x + 3)
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Prodotti notevoli
Alcuni tipi di moltiplicazioni tra polinomi (prodotti notevoli) si
possono effettuare in modo rapido, ricordando semplici regole
Somma per differenza: (A+B)(A-B) = A2-B2
Quadrato di un binomio: (A+B)2 = A2+2AB+B2
Quadrato di un trinomio: (A+B+C)2 = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
Cubo di un binomio: (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3 = A3-3A2B+3AB2-B3
Esempio:
(A+B)(A-B)=A2 – AB + BA - B2 = A2-B2
(A+B)2 = (A+B)(A+B)= A2 + AB + BA + B2 = A2 + 2AB + B2
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Potenza di un binomio: (A+B)n
Osserviamo:
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
! Polinomio omogeneo di terzo grado
! Le potenze del primo termine (A) decrescono da 3 a 0
! Le potenze del secondo termine (B) crescono da 0 a 3
Generalizzando: ∀n ∈ N
! lo sviluppo di (A+B)n contiene sempre n+1 termini
! i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli
estremi sono uguali
! in ogni termine dello sviluppo gli esponenti del primo termine A
decrescono da An ad A0=1 e gli esponenti del secondo
termine B crescono da B0=1 a Bn
! i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema
detto Triangolo di Tartaglia
(A+B)n = An+..An-1B + ……. + ..ABn-1+Bn
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Coefficienti dello sviluppo di (A+B)n
! Triangolo di Tartaglia
(A+B)0 = 1
1
1
1
1
(A+B)1 = 1A +1B
1
2
3
(A+B)2 = 1A2 + 2AB +1B2
1
3
(A+B)3 = 1A3 + 3A2B + 3AB2 + 1B3
1
+
1
1
4
5
6
4
10 10
1 6 15 20
15
(A+B)4 =1A4 + 4A3B + 6A2B2 + 4AB3 +1B4
1
5
(A+B)5 =
1
6
1
……
! ogni riga inizia e termina con 1
! ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della
riga precedente
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Quadrato di un polinomio (A+B+C+…)2
Generalizzazione di:
" Quadrato di un trinomio: (A+B+C)2 = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(A+B+C)2 = (A+B+C) (A+B+C) =
= A2+AB+AC+AB+B2+BC+AC+BC+C2 =
= A2 + B2 + C2 +2AB + 2AC + 2BC
Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un
polinomio avente per termini:
• il quadrato di tutti i termini
• il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine
per tutti quelli che lo seguono
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Scomposizione di un polinomio in
fattori primi
Come un numero può essere scritto come il prodotto di potenze
di numeri primi (numeri naturali divisibili solo per 1 e per se stessi):
12 = 3 22
180 = 5 22 32
così un polinomio può essere scritto come prodotto di polinomi
non ulteriormente divisibili (fattori primi):
A2-B2 = (A+B)(A-B)
La scomposizione in fattori primi è un’operazione che in algebra
ha molta importanza in quanto consente di
! determinare M.C.D. e m.c.m. di polinomi
! semplificare frazioni algebriche
! risolvere equazioni/disequazioni polinomiali e fratte
! …
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Raccoglimento a fattore comune
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione:
A(B+C) = AB+AC
Viceversa
AB+AC = A(B+C)
Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso
fattore [A], quest ultimo può essere messo in evidenza scrivendolo
fuori da una parentesi; all interno della parentesi andrà scritto un
nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo
termine per il fattore in questione [A]
2
"
9a
6ab 3ac %
2
9a − 6ab + 3ac = 3a $
−
+
' = 3a(3a − 2b + c)
3a 3a &
# 3a
Raccoglimento a fattore parziale:
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)
= (a + b)(x + y)
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Scomposizione mediante
i prodotti notevoli
Binomi " •differenza di quadrati
a 2 − b 2 = ( a − b) ⋅ ( a + b)
•differenza di cubi
a 3 -b3 = ( a − b) ⋅ ( a 2 + a ⋅ b + b 2 )
•somma di cubi
a 3 + b3 = ( a + b) ⋅ ( a 2 − a ⋅ b + b 2 )
Trinomi " •quadrato di binomio
2
2
a ± 2ab + b = ( a ± b)
2
•trinomio notevole
x 2 + ( a + b) ⋅ x + ab = ( x + a ) ⋅ ( x + b)
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Scomposizione mediante
i prodotti notevoli (II)
Quadrinomi " •cubo di binomio
3
2
2
3
a ± 3a b + 3ab ± b = ( a ± b)
3
•raccoglimento a fattor comune parziale
ax + bx + ay + by = x ⋅ ( a + b) + y ⋅ ( a + b) =
= ( a + b) ⋅ ( x + y)
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Esercizi
Prodotti notevoli:
(3a − 2b)
4
( 7xy − 2x ) (−7xy − 2x )
2
(1+ x ) − (1− x)2 + 4x
"# R. 81a 4 − 216a 3b + 216a 2 b − 96ab3 +16b 4 $%
"# R. 4x 2 − 49x 2 y 2 $%
[ R.
8x ]
Scomposizione in fattori primi:
"# R. 5x 2 y(x − 2y +1)$%
5x 3 y −10x 2 y 2 + 5x 2 y
2ax + 2bx + 3a + 3b + a 2 + ab
a(x + y) + ab(x + y)2
[ R.
[ R.
(a + b)(2x + 3+ a)]
a(x + y)(1+ bx + by)]
[ R.
(2 + a − b)(2 − a + b) + (a − b)2
x 2 + 2x − 3
[ R.
4]
(x + 3)(x −1)]
