ESERCIZI PROBABILITA’ E CALCOLO COMBINATORIO CON RISULTATI
1. P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina? [4/52]
2. Estratta una Q, P che ad una seconda estrazione si presenti ancora una Q ? (Con o senza
reintroduzione) [(12/52)(11/51)]
3. Estraggo a caso 2 carte da un mazzo di 52, quale è la probabilità che:
a. Entrambe siano fiori; [(13/52)(12/51)]
b. Una sia fiori, l’altra picche; [(13/52)(13/51)]
c. Entrambe siano nere. [(26/52)(25/51)]
4. In un’urna ci sono 9 palline numerate da 1 a 9. estraendo 2 palline a caso, è più probabile che la
somma sia pari o dispari? [p(D)=20/45 p(S)=25/45
5. Calcolare D5,1 , D5,5 , D6,4
6. In un distretto telefonico i numeri devono iniziare con la cifra 2 ed essere di 6 cifre. Quanti
numeri telefonici , con cifre tutte diverse tra loro, può avere al massimo quel distretto? [D9,5]
7. Un tesserino ha un codice segreto composto da 5 cifre. Se si ricorda che le prime due sono 4 e
0, che solo la quarta cifra è dispari e che nessuna cifra si ripete, quanti sono i codici possibili?
[30]
8. Quanti sono i possibili sottoinsiemi di un insieme A di n elementi? [D*2,n=2n]
9. Quanti sono i possibili allineamenti estraendo 10 palline, con reimbussolamento, da un’urna di
100palline? [D*100,10=10010]
10. Quante sono le possibili schedine del totocalcio? [D*3,13=313]
11. Quante targhe diverse posso comporre utilizzando 4 cifre e 2 lettere di un alfabeto di 26 lettere?
[D*26,2 D*10,4=262 104]
12. Quanti numeri telefonici diversi di 6 cifre, di cui la prima è 2, posso ottenere? [D*10,5=105]
13. I codici di avviamento postale sono composti da 5 cifre di cui la terza è 0 o 1. quanti sono i
CAP possibili? [2D*10,4]
14. Quante cinquine si possono formare con i numeri del Lotto? [C90,5=43949268]
15. Calcolare in quanti modi diversi è possibile scegliere 4 oggetti tra 5, e 1 oggetto tra 7. [C5,4]
[C7,1]
16. Quante diagonali ha un poligono convesso di 16 lati? Generalizza il risultato per un poligono di
n lati. [C16,2 =16]
17. In una pizzeria il pizzaiolo usa 7 ingredienti addizionali: acciughe, cipolle, prosciutto,
carciofini, funghi, olive, salame. Calcolare quante pizze diverse può preparare con
a. 5 ingredienti [C7,5]
b. Le acciughe a altri 2 ingredienti [C6,2]
c. 4 ingredienti, ma senza salame [C6,4]
d. tutti gli ingredienti. [C7,7]
18. Dato il binomio (3a+1/(9a) )6 determinare, se esistono, il termine noto, i termini di a-4 e di a-5 .
[non esiste a-5 ,per a-4 k=5, e k=3 per a0]
19. Dato il binomio (2x - 3 / (2x3) )5 determinare, se esistono, i termini x6 , x5 , il termine noto.
[non esiste x6, per x5 k=0, non esiste x0]
20. Dato (3x+y)n , determinare n in modo che il 4° coefficiente sia 15 volte il 6° coefficiente. [k=3]
21. Dato (2a + 3b)n , determinare n in modo che il 5° coefficiente sia i 5/6 del 6° coefficiente.
[n=13]
(
)
8
22. Determinare il termine medio di 1" 3 [k=4]
23. Quanti sono i possibili anagrammi della parola ROMA ? [P4=4!]
24. Quante sono le possibili!uscite del gioco del lotto ? [C90,5]
25. In quanti modi si possono estrarre 10 palline su 100 palline, senza reimbussolamento ? [D100,10]
26. In quanti modi si possono estrarre 10 palline su 100 palline, con reimbussolamento ? [D*100,10]
27. Quante sono le combinazioni di 4 oggetti su 9? [C9,4]
28. Quante sono le combinazioni di 5 oggetti su 9? [C9,5]
29. Quante bandiere tricolori a righe verticali si possono fare con i 7 colori dell’iride? [D7,3]
30. Quanti numeri di 4 cifre si possono scrivere con 1,2,3,4,5 (senza ripetizione)? [P5=D5,4]
31. Quante applicazioni iniettive si possono fare tra un insieme di n oggetti e un insieme di m
oggetti? [Dm,n]
32. Le molecole di un gas si distribuiscono nel seguente modo in 4 celle comunicanti: 120 in A,
200 in B, 180 in C e 300 in D. Quante sono le possibili configurazioni del gas? [P*120,200,180,300]
33. Quante sono le possibili uscite di 2 TESTA e 1 CROCE in tre lanci di una moneta? [P*2,1]
34. Quanti numeri < 10000 si possono scrivere con le cifre 1,2,3,4,5 (senza ripetizione) ? [D5,4
+D5,3+D5,1=205]
35. Quanti numeri di tre cifre si possono formare con il numero 927, senza ripetere le cifre? [P3]
36. In quanti modi si possono allineare n oggetti senza che i primi due occupino i primi due posti?
[Pn –(n-2)!P2]
37. In quanti modi si possono allineare n oggetti senza che i primi tre occupino i primi tre
posti?[n!-3!(n-3)!]
38. Quante sono le diagonali in un poligono di n lati? [Cn,2 –n]
39. Quanti sono i triangoli aventi per vertici i vertici di un poligono di n lati? [Cn,3]
40. Quanti “cin cin” si effettuano tra 20 persone? [C20,2]
41. Quante sequenze di 8 cifre si possono fare con le cifre binarie (0,1)? [D*2,8]
42. Quante sequenze di 8 cifre con le cifre binarie hanno 6 esiti 1 e 2 esiti 0 ? [P*6,2]
43. Quante sequenze di 8 cifre binarie hanno almeno 6 esiti 1 ? [C8,6 +C8,7+C8,8= P*6,2+P*7,1+P*8,0]
44. Considerate le sequenze di 8 cifre binarie, qual è la probabilità di avere almeno 6 esiti 1 ?
[D*2,8]
45. Si distribuiscono 5 carte da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilità di ottenere: [tutto su
C52,5]
a.
4 assi
[C4,4 C48,1]
b.
4 assi e 1 re
[C4,4 C4,1]
c.
3 dieci e 1 fante
[C4,3 C4,1 C48,1]
d.
1 nove, 2 dieci, 2 fanti
[C4,1 C4,2 C4,2]
e.
3 picche e 2 fiori [C12,3 C13,2 ]
f.
3 carte di un seme e 2 carte di un altro seme
[C4,1 C13,3 C3,1C13,2]
g.
almeno un asso
[1-(C48,5/ C52,5)]
h.
un tris [almeno uno 13C4,3 C49,2 , solo uno 13C4,3 C48,2]
46. Su 30000 biglietti di una lotteria, di cui vinceranno 10 biglietti, ne compero 100. Qual è la
probabilità di avere almeno un biglietto vincente? [1-(C29990,100/ C30000,100]
47. Da un mazzo di 10 carte da 1 a 10 si estraggono a caso 5 carte. Qual è la probabilità che le
carte estratte siano tutte da 1 a 5? [(C1,1 C1,1 C1,1 C1,1 C1,1)/
C10,5=1/252=(5/10)(4/9)(3/8)(2/7)(1/6)]
48.
a) In un piano cartesiano è possibile muoversi spostandosi
di una unità o verso destra o verso
l’alto. Quanti sono i
possibili percorsi che conducono al punto (6, 3)? [C9,6]
b) Quante sequenze di 9 cifre binarie si possono formare con somma 6? [C9,6]
c) Quante sequenze di 9 lanci di una moneta presentano 6 volte “Testa”? [C9,6]
d) Dato un insieme di 9 elementi, quanti sono i sottoinsiemi di 6 elementi? [C9,6]
e) Su 900 molecole, 600 devono occupare la cella A e le rimanenti la cella B. Quante sono le
possibili configurazioni?
49. Un’urna contiene 20 palline Bianche, 30 Rosse, 50 Nere. Si estraggono 3 palline. Calcolare la
probabilità di ottenere: [su C100,3]
a.Tutte Rosse [C30,3]
b.Tutte Nere [C50,3]
c.Due Rosse e una Nera [C30,2 C50,1]
d.
Nessuna Nera [C50,3] e. Almeno una Nera [1-(C50,3)/( C100,3)] f. Né Nere, né Rosse
[C20,3]
50. Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi, si presenti almeno una volta la faccia 4.
[6/36+6/36-1/36]
51. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte, o il “tre di picche” o il “6 di fiori”.
[1/52+1/52]
52. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte, o “un Re” o “un Quadri”.
[13/52+4/52-1/52]
53. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte, né “un 4” né “un picche” 1-4/5213/52+1/52]
54. Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi, si abbia o “somma 6” o si presenti “la stessa
faccia”. [5/36+6/36-1/36]
55. Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi, si abbia o “somma 5” o si presenti “la faccia
del primo dado maggiore della faccia del secondo dado”. [17/36]
56. Da un mazzo di 52 carte si estraggono 2 carte: calcolare la probabilità che siano “entrambe
fiori” (A), oppure “entrambe picche” (B), oppure “una fiori e una picche” (C). Verificare che gli
eventi A,B,C sono incompatibili. [p(A)= C13,2 / C52,2=6/102=p(B), p(c) )= C13,1 C13,1 /
C52,2=13/102, p(AUBUC) )= C26,2 / C52,2 incompatibili]
57. Date 4 palline di cui 2 Bianche e due Nere, se ne estraggono 2: calcolare la probabilità di
estrarre due colori diversi.
58. Se p(A)=2p(B), p(AUB)=5/8, p(A∩B)=1/8, determinare p(A) e p(B). [p(A)=1/3, p(B)=1/4]
59. Urna con 20 palline bianche, 30 rosse, 40 nere. Si estraggono 3 palline senza reimbussolamento.
Calcolare la probabilità che siano [tutto su C90,1]
a. tutte rosse [C30,3]
b. tutte nere [C40,3]
c. 2 rosse e una nera[C30,2 C40,1]
d. nessuna nera [C50,3]
e. Almeno una rossa [1- nessuna rossa]
f. Né rosse né nere [C20,3]
60. I pezzi prodotti da una macchina possono avere due tipi di difetti: a o b. Si che P(a)=0,1 e P(non
b)=0,8 e P(a∩b)=0,01. Calcolare la probabilità che un pezzo non abbia difetti. [1-0,1-0,2+0,001
cioè 71%]
61. n studenti della classe 4°. (con n<=365).Calcolare la probabilità che due compiano gli anni lo
stesso giorno. [n=10 p=0,117; n=20 p=0,411; n=30 p=0,7; n=40 p=0,9circa; n=50 p=0,97circa;
n=60 p=0,99circa; n=366 p=1]
62. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte:
a) 3 picche o 6 fiori [incomp 1/26]
b) un seme che non sia di cuori [1-1/4=3/4]
c) un 10 o un quadri [4/52+13/52-1/52]
d) né un 4, né un picche 1-1/4-13/52+1/52]
e) una regina (R) se la carta già estratta è nera (N). R e N sono incompatibili? Sono indipendenti?
[p(A/B)=1/13; p(A)=1/13 indipend]
63. In un lancio di due dadi: A= la somma è 6 , B= hanno la stessa faccia
a) se A, calcolare la probabilità di B [p(B/A)=(1/36)/(5/36)=1/5; p(B)=1/6 dipend]
b) se B, calcolare la probabilità di A [p(A/B)=(1/36)/(6/36)=1/6; p(A)=5/36 dipend]
c) calcolare la probabilità di A e B[p(A∩B)=1/36; p(A)p(B)=(5/36)(1/36) dipe]
d) calcolare la probabilità di A o B [p(AUB)=1/36 compati]
Stabilire se, nei vari casi, A e B sono eventi indipendenti.
64. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte:
a) due carte entrambi assi [3/663]
b) un asso, avendo estratto già un asso [6/663 dip]
c) un asso e poi un altro asso, senza reinserimento[(4/52)(3/51) dip]
d) un asso e poi un altro asso, con reinserimento. [(4/52)(4/52) indip]
65. Calcolare la probabilità di estrarre, da un mazzo di 52 carte:
a) una carta di fiori e una di picche [13/102]
b) una carta di fiori, avendo già estratto una carta di picche [13/51]
66. In un lancio di un dado: A= esce 1 o 2. B= pari.
a) calcolare la probabilità di A, se si presenta B. A e B sono indipendenti? [p(A/B)=p(A)=1/3 indip]
b) calcolare la probabilità di B, se si presenta A. [p(B/A)=p(B)=1/2 indip]
c) calcolare la probabilità di A e B.[1/6 indip]
67. Un’urna contiene 8 palline Rosse, 3 Bianche, 9 Gialle. Si estraggono 3 palline, calcolare la
probabilità che siano :
a) tutte e tre Rosse, con e senza reimbussolamento
b) tutte e tre Bianche, con e senza reimbussolamento
c) due Rosse e una Bianca, con e senza reimbussolamento
d) una Bianca, una Rossa e una Gialla (nell’ordine) senza reimbussolamento
e) una Bianca, una Rossa e una Gialla (senza ordine) senza reimbussolamento
f) almeno una Bianca, senza reimbussolamento.
68. In un lancio di due dadi calcolare:
a) se la somma dei lanci è 5, la probabilità che il secondo lancio dia un numero minore del primo
b) se il primo lancio è maggiore del secondo, la probabilità di avere somma 5.
69. In un lancio di due dadi calcolare la probabilità di: A=4,5,6 al 1° lancio, B=1,2,3,4 al 2° lancio.
a) A e B
c) B, se è avvenuto A
b) A o B
d) A, se è avvenuto B
70. In una nazione con 5 regioni, le percentuali di forza lavoro sono: 10% nella regione R1 , 22%
nella regione R2 , 19% nella regione R3 , 30% nella regione R4 , 19% nella regione R5 . I tassi di
disoccupazione sono rispettivamente: 5%, 2%, 3%, 1%, 8%. Estraendo a caso un lavoratore di
quella nazione, quale è la probabilità che sia disoccupato?
(teorema delle probabilità
totali)
71. In un’urna ci sono M palline, di cui k Bianche e M-k Nere. Si estraggono 2 palline, senza
reimmissione. Quale è la probabilità che la seconda estratta sia bianca?
(teorema delle probabilità totali)
72. Una malattia colpisce il 5% di una popolazione: un test clinico individua la malattia in 90 casi
su 100. Lo stesso test risulta positivo su soggetti sani 5 volte su 100. Qual è la probabilità di non
soffrire della malattia per una persona di quella popolazione risultata positiva al test?
(teorema di Bayes)
73. Si effettua un controllo di qualità esaminando un oggetto estratto a caso tra i prodotti di tre
differenti cicli produttivi che forniscono, rispettivamente, il 50%, il 20%, il 30% della
produzione totale. Determinare la probabilità che l’oggetto osservato sia difettoso, sapendo che
i cicli produttivi generano pezzi difettosi nelle percentuali del 2%, 5%, 1% rispettivamente.
Qual è la probabilità che il pezzo difettoso provenga dal secondo ciclo?
74. La moneta M1 è regolare, la moneta M2 è truccata. Si lancia una moneta a caso. Si è osservata
testa. Qual è la probabilità di aver lanciato la moneta regolare?
75. In due scatole ci sono alcune matite così distribuite: in S1 2 matite Blu, 3 Rosse, 2 Gialle, 1
Verde, 1 Nera, in S2 3 matite Blu, 2 Rosse, 4 Gialle, 2 Verde, 1 Nera. Estratta una matita a caso,
calcolare la probabilità che sia Gialla. Calcolare la probabilità che sia estratta dalla scatola S1,
sapendo che è Nera.
