IMSN 02/02 - Dipartimento di Matematica

Elementi di Algebra dal punto di vista superiore
A.A. 2009/10
Orario delle lezioni: lunedì : 11-13, giovedì 11-13, venerdì 9-11 aula Bombelli
Programma del corso
Introduzione: gli scopi dell’Algebra e della sua presenza nei curricula scolastici.
Algebra di base: nozioni sugli insiemi; relazioni in un insieme; relazioni d’equivalenza, insieme quoziente,
partizioni; relazioni d’ordine, reticoli completi, lemma di Zorn, diagrammi di Hasse; funzioni, biiezioni,
composizione. Operazioni finitarie, strutture algebriche. Monoidi e gruppi; immersione di un monoide
commutativo regolare in un gruppo; periodo di un elemento in un gruppo. Anelli, dominii d’integrità, campi;
caratteristica di un anello; il campo dei quozienti di un dominio d’integrità.
Strutture algebriche: sottostrutture, sottostruttura generata da un sottoinsieme; sottogruppi e loro laterali;
sottoanelli; congruenze e strutture quoziente, il caso dei gruppi e degli anelli; omomorfismi, teorema
fondamentale, isomorfismi, il gruppo degli automorfismi; prodotti diretti. Azione di un insieme su un altro,
rappresentazione associata; azione di strutture su strutture, condizioni di compatibilità, sottostrutture,
omomorfismi; gli A-moduli e gli spazi vettoriali, il concetto di base e di dimensione; l’azione di un gruppo su un
insieme, orbite e stabilizzatori; l’azione dei gruppi di trasformazioni sul piano, le varie geometrie (cenni).
Elementi di teoria dei gruppi: il coniugio; sottogruppi normali, automorfismi interni, il centro, il caso dei pgruppi finiti e dei gruppi simmetrici; commutatori e derivato, la serie derivata, serie abeliane e gruppi risolubili,
alcune proprietà; gruppi semplici, semplicità dei gruppi alterni (en.) e non risolubilità dei gruppi simmetrici su
almeno cinque oggetti.
Polinomi: i vari approcci alla definizione di polinomio, l’anello dei polinomi a coefficienti in un anello
commutativo e in un dominio d’integrità, la divisibilità; il caso dei polinomi su un campo, divisione euclidea,
ideali. Estensione trascendente di campi. Il caso del campo complesso: omomorfismo sostituzione, radici di un
polinomio, il polinomio minimo di un elemento algebrico c rispetto ad un sottocampo K; il sottocampo generato
da K e da c; il campo di spezzamento di un polinomio a coefficienti in K, il gruppo di Galois del polinomio, il
teorema di Galois sulla risolubilità per radicali (en.); casi particolari. Polinomi in più indeterminate; frazioni
algebriche.
Complementi: numeri primi; partizioni additive di un numero naturale; successioni e coefficienti binomiali.
Monoidi e gruppi di parole. Matrici booleane. Radici e fattorizzazione di polinomi nei campi complesso, reale,
razionale.
Geometria: alcune costruzioni e proprietà delle coniche, come luoghi o come equazioni, con l’ausilio di software
di geometria dinamica.
Seminari: numeri razionali; calcolo letterale e suo apprendimento; equazioni algebriche e d’altro tipo;
determinanti e sistemi lineari; radicali; geometria analitica; numeri cardinali.
Argomento delle lezioni
22/02/2010 (2 ore). I. – Presentazione del corso, primo calendario dei seminari, ecc. Brainstorming sul nome
“Algebra” e sugli scopi di questo settore della matematica: generalizzare, riconoscere somiglianze di
struttura, formulare e risolvere equazioni, supportare o rifondare la geometria. Ruolo delle lettere:
costanti, variabili, indeterminate; i polinomi come parole.
II. – Esercizi e ripasso: relazioni d’equivalenza, esempi, classi d’equivalenza e partizioni, trasversali;
polinomi “equivalenti”; figure equivalenti sotto l’azione di un gruppo di trasformazioni geometriche.
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(2 ore). I. – Riflessioni sulla didattica A e B. Relazioni tra insiemi (in lezione frontale): prerequisiti,
uguaglianza, trasposta, composizione e proprietà. Relazioni in un insieme, potenze di una relazione,
l’identità; relazioni d’equivalenza; chiusura transitiva di una relazione, relazione d’equivalenza
generata da una relazione. Sussidio didattico audiovisivo: lucidi riassuntivi sulle relazioni
d’equivalenza.
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II. – Esempi: operazioni elementari sulle righe di una matrice ed equivalenza per righe; prodotto di
numeratore e denominatore di una frazione per un numero primo, ed equivalenza di frazioni. Relazioni
d’ordine, totali o no; relazione duale; ordine stretto. Esempi ed esercizi: l’ordine alfabetico o
lessicografico; l’ordine d’altezza.
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(2 ore). I. – Successioni, definizione esplicita ed induttiva; analogia con le costruzioni geometriche con
riga e compasso (asse di un segmento, perpendicolari, parallele) per illustrare come una definizione
implicita diventi in seguito strumento per definizioni esplicite. Fattoriale, progressioni geometriche,
numeri di Fibonacci, serie di una successione. Serie geometriche e loro somma, il caso della ragione
minore di 1; applicazione alle frazioni generatrici dei numeri periodici.
II. – Un’espressione esplicita della successione di Fibonacci. Successioni polinomiali: progressioni
aritmetiche, coefficienti binomiali; la serie di un coefficiente binomiale; derivata finita di una
successione e derivate successive; come trasformare un polinomio in una combinazione lineare di
coefficienti binomiali e calcolarne la serie.
1/3
(2 ore). I. – Nozioni principali sugli insiemi ordinati o poset (in lezione dialogata): massimo e minimo
di un sottoinsieme non vuoto, maggioranti e minoranti, estremi superiore ed inferiore; intervalli; ordini
buono, denso, completo, continuo, localmente finito. Catene, raffinamento di una catena, ordine
discreto; esempi; relazione di copertura, diagrammi di Hasse, esempi; un ordine discreto come chiusura
transitiva della copertura.
II. – Elementi massimali in un poset, assioma di Zorn; assioma delle catene massimali; assioma del
buon ordine; assioma di scelta (o di Zermelo). Equivalenza di questi assiomi e loro indipendenza dagli
assiomi comuni della teoria degli insiemi (en.). Analogia con alcuni assiomi, equivalenti tra loro, della
geometria euclidea e loro indipendenza dagli altri assiomi euclidei. Cenni sulle funzioni fra insiemi,
terminologia
4/3
(2 ore). I. – Seminario di V. Conti sui numeri razionali nei testi di scuola media e superiore:
definizione, equivalenza, operazioni, ordinamento, rappresentazioni (con proiettore).
II. – (Lezione dialogata) Operazioni in un insieme: definizione formale, chi resta fuori e chi entra
involontariamente o non desiderato. Le proprietà più comuni delle operazioni; operazioni finitarie,
strutture algebriche.
5/3
(2 ore). I. – Ripasso sui numeri primi. Esperimenti con l’uso di Excel (computer+proiettore): crivello di
Eratostene; distribuzione dei numeri primi, la funzione A(n) di Gauss ed il confronto con n/ln(n), un
grafico ad istogramma e la stima del limite; scomposizione di un numero in fattori primi.
II. – Calcolo proposizionale e connettivi logici, applicazioni agli insiemi. Esperimenti con l’uso di
Excel (computer+proiettore): formule aritmetiche per il calcolo dei valori di verità; tavole di verità;
differenza simmetrica, proprietà associativa, distributività dell’intersezione rispetto alla differenza
simmetrica; 2-gruppi abeliani elementari; anelli booleani (cenni).
8/3
(2 ore). I. – (Su lucidi) Operazioni su insiemi finiti e tavola di moltiplicazione; lettura delle proprietà
sulla tavola; esempi di tipi di strutture algebriche basate sulla proprietà associativa o sulle leggi di
cancellazione (semigruppi, monoidi, gruppi; quasigruppi, loops, gruppi); confronto di gruppi d’ordine 4
mediante esame della loro tavola; nozione d’isomorfismo di strutture con un’operazione binaria o di
strutture d’ordine, mediante esempi.
II. – Monoidi: elementi invertibili e loro proprietà (unicità dell’inverso, inverso del prodotto,
cancellabilità, equazioni di I grado); l’insieme degli elementi invertibili di un monoide, nozione di
gruppo e sue proprietà elementari. Monoidi commutativi regolari; simmetrizzazione di un monoide
commutativo regolare con immersione in un gruppo abeliano. Distribuzione del I foglio di esercizi per
casa, sui monoidi.
11/3
(2 ore). I. – Seminario di M. Venturini e G. Bartolini sulle equazioni nei libri di testo delle medie e
delle superiori: definizioni, criteri d’equivalenza, metodi risolutivi, diagrammi, discussione delle
equazioni di II grado; disequazioni, intervalli, soluzioni grafiche; equazioni parametriche.
II. – La simmetrizzazione del monoide additivo di N e il gruppo additivo degli interi; ogni intero non
nullo è naturale o l’opposto di un naturale. La simmetrizzazione del monoide moltiplicativo dei naturali
positivi e il gruppo moltiplicativo dei razionali assoluti. Le operazioni inverse. L’addizione tra razionali
assoluti, la moltiplicazione di interi relativi. Le due vie per andare da N a Q. Potenze in un monoide e
loro proprietà. Potenze in un gruppo, gruppi ciclici; non ciclicità del gruppo moltiplicativo dei razionali
positivi.
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(2 ore). I. – Lucido sui modelli matematici ed i vari insiemi numerici. Sistemi di numerazione; le
tacche: confronto, operazioni, vantaggi e svantaggi, rappresentare numeri grandi; i numeri romani; il
sistema posizionale, la necessità degli assiomi per dimostrare proprietà o definire successioni.
II. – Giocare con tacche o stuzzicadenti: il monoide libero con un generatore; introduzione di regole,
gruppi ciclici finiti; stuzzicadenti a due colori, monoide libero a due generatori; la proprietà
commutativa ed altre regole; il gruppo ciclico degli interi; alcuni gruppi finiti con due generatori ed
alcune regole; presentazione di un gruppo mediante generatori e relazioni; gruppi diedrali, cenni al
problema dell’isomorfismo.
18/3
(2 ore). I. – I gruppi, riepilogo delle proprietà, potenze, periodi, esempi di gruppi. Anelli: definizione, il
ruolo dello zero e dell’unità; la regola dei segni; anelli commutativi; legge d’annullamento del prodotto,
dominii d’integrità; il gruppo delle unità, campi; caratteristica di un anello.
II. – Reticoli: il sup e l’inf di una coppia come operazioni in un poset in cui esistono; proprietà; reticoli
algebrici e loro ordinamento; reticoli distributivi; reticoli con minimo e massimo, la nozione di
complemento; algebre di Boole; reticoli con minimo e massimo completi; esempi di reticoli, anche
mediante diagrammi di Hasse; i reticoli N_5 ed M_5; cenni sul concetto di dimensione. Distribuito il II
foglio esercizi.
22/3
(2 ore). I. – Sottostrutture di una struttura algebrica; intersezione di sottostrutture, sottostruttura
generata da un sottoinsieme; il reticolo completo delle sottostrutture. Il caso dei gruppi: sottogruppi,
laterali destri e sinistri, il teorema di Lagrange; sottogruppi ciclici; il periodo di un elemento in un
gruppo finito. Il caso degli anelli: sottoanelli e loro laterali; il sottoanello fondamentale di un anello.
II. – Congruenze in una struttura algebrica; la struttura quoziente e le sue proprietà. Il caso dei gruppi:
la classe dell’elemento neutro come sottogruppo normale e le altre classi come suoi laterali; il gruppo
quoziente e le sue notazioni. Il caso degli anelli: gli ideali, l’anello quoziente e le sue notazioni.
25/3
(2 ore). I. – Seminario di L. Branchetti e D. Del Santo sulle funzioni nei testi di scuola media inferiore e
superiore: definizioni, terminologia, funzioni iniettive, suriettive, biiettive in varie versioni;
rappresentazioni sagittale, tabulare, cartesiana; funzioni numeriche, matematiche, empiriche ed altre
pseudo-classificazioni.
II. – Seminario di D. Dragoni sull’introduzione alla geometria analitica nei testi di scuola media e
superiore: coordinate cartesiane, corrispondenza tra piano euclideo ed analitico; distanza, punto medio
di un segmento; la retta e la sua equazione; intersezione di rette e sistemi lineari; la circonferenza e la
sua equazione; le altre coniche; discussione su alcuni errori e carenze dei testi esaminati.
26/3
(2 ore). I. – Matrici booleane delle relazioni tra insiemi. Matrice della trasposta; matrice della
composizione di relazioni, operazioni booleane. Caratteristiche della matrice di una funzione, la
matrice della composta di due funzioni, e dell’inversa di una biiezione, le operazioni aritmetiche in
luogo delle booleane; il gruppo delle matrici di permutazione d’ordine n su un campo K.
II. – (Lezione dialogata) Omomorfismi tra gruppi: definizione, proprietà, il teorema fondamentale
d’omomorfismo; il I teorema d’isomorfismo; il nucleo e i monomorfismi. Rappresentazioni fedeli di
permutazione e lineari; il teorema di Cayley. Un esempio col gruppo non abeliano d’ordine 6:
generatori, rappresentazione di Cayley e di matrici d’ordine 6; rappresentazioni di grado 3 come gruppo
simmetrico S_3; rappresentazione lineare di grado 2 sul campo reale, come gruppo di simmetria del
triangolo equilatero; su quali altri campi esiste una tale rappresentazione?
29/3
(2 ore). I. – l’uso della storia della matematica come strumento didattico: cenni su alcune esperienze.
Omomorfismo di strutture dello stesso tipo; il teorema fondamentale d’omomorfismo. Strutture con un
solo elemento; strutture semplici, esempi accennati.
II. – Isomorfismo di strutture dello stesso tipo; il gruppo degli automorfismi di una struttura. Esempi:
automorfismi del gruppo additivo e dell’anello degli interi, dei campi razionale e reale; il coniugio
come automorfismo del campo complesso. Isomorfismo tra il gruppo moltiplicativo dei reali positivi e
il gruppo additivo reale: costruzione e proprietà della funzione logaritmo naturale. Distribuito il III
foglio esercizi.
8/4
(2 ore). I. – Seminario di S. Beghelli sui numeri naturali nel I anno di scuola elementare: equipotenza,
insieme vuoto, insieme unitario, la serie dei numeri naturali, uso di sussidi didattici, possibili
misconcezioni tra potenza e misura. Una verifica grafica dell’equipotenza tra segmenti anche di
lunghezze diverse; il teorema di Cantor-Bernstein (en.) e l’equipotenza tra rette e segmenti con una
costruzione geometrica. Paradossi sugli insiemi infiniti: l’albergo con infinite stanze tutte occupate e
l’arrivo di nuovi ospiti. Numerabilità dell’insieme dei razionali. Il numero di elementi di un insieme
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finito, il principio dei cassetti.
II. – Prodotti diretti di strutture algebriche. Il caso dei gruppi e degli anelli. Prodotti diretti di gruppi
ciclici. Costruzione di gruppi abeliani e non abeliani come prodotti diretti. Teorema: ogni gruppo
abeliano finito è prodotto diretto di gruppi ciclici (en.); la scomposizione canonica e la primaria di un
gruppo abeliano finito. Esercizio: alcuni gruppi di ordine 18; il centro di un gruppo (cenni).
9/4
(2 ore). I. – (Con l’uso di Excel): partizioni additive di un numero naturale; applicazioni ai gruppi
abeliani non isomorfi d’ordine potenza di un primo ed alle classi di coniugio del gruppo simmetrico
S_n. Il triangolo di Tartaglia. Alcune linee guida sull’uso di Excel.
II. – (Con l’uso di Geogebra). La parabola come luogo, dati fuoco e direttrice; la parabola come conica
per 5 punti; tangente alla parabola in un suo punto; il luogo dei punti medi di corde parallele; l’asse ed
il vertice; il caso della direttrice parallela all’asse x ed equazione cartesiana. La parabola come grafico:
trovare l’asse, il vertice, il fuoco, la direttrice. Il grafico di un polinomio di II grado a coefficienti
variabili mediante “sliders”. Alcune linee guida sull’uso di Geogebra.
12/4
(2 ore). I. – Riassunto delle principali nozioni sulle strutture algebriche. Un caso particolare: le algebre
mono-unarie; sottoalgebre, congruenze, omomorfismi, prodotti diretti. Azione di un insieme  su un
insieme X, rappresentazione associata; un -insieme come algebra unaria dipendente da un parametro.
II. – Azione di una struttura algebrica su un’altra: condizioni di compatibilità. Un esempio: azione di un
anello su un gruppo abeliano; l’esplicitazione delle condizioni di compatibilità, la struttura di Amodulo; gli A-sottomoduli e gli A-omomorfismi; il caso di un campo e gli spazi vettoriali: sottospazi
vettoriali, applicazioni lineari. Distribuito il IV foglio esercizi.
15/4
(2 ore). I. – Seminario di L. Pasqualini sull’introduzione al calcolo letterale nella scuola media e
superiore: giustificazione dell’uso delle lettere (come variabili reali); monomi (interi o fratti), grado,
riduzione di monomi simili, prodotto e divisibilità fra monomi; polinomi, operazioni, prodotti notevoli,
divisione euclidea, teorema del resto, regola di Ruffini, divisibilità, MCD ed mcm fra polinomi.
II. – Discussione sulla preferenza dell’approccio all’ellisse analitico, con l’equazione canonica, o
sintetico come luogo. L’ellisse con Geogebra, dato come equazione canonica con i semiassi a, b
variabili mediante “sliders”, e il suo grafico; i fuochi e la proprietà “del giardiniere”; le direttrici e
l’eccentricità dell’ellisse; le equazioni parametriche e la costruzione dell’ellisse a partire da esse; il
luogo dei punti medi di corde parallele, direzioni coniugate, rette tangenti all’ellisse; una costruzione
comune di ellisse ed iperbole.
16/4
(2 ore). I. – A-moduli: A-sottomodulo generato da un sottoinsieme, combinazioni lineari; insieme di
generatori dell’A-modulo; insieme di elementi indipendenti; basi. Il caso degli spazi vettoriali:
esistenza di una base, il concetto di dimensione, unicità della scomposizione di un vettore come
combinazione lineare di elementi della base (en.). Un controesempio nel caso di A-moduli, nel gruppo
Z_6 come Z-modulo.
II. – Azione di un gruppo G su un insieme non vuoto X; condizioni di compatibilità, rappresentazione
associata di G come gruppo di permutazioni su X; G-orbita di un oggetto x come G-sottoinsieme
generato da x e come classe d’equivalenza. Stabilizzatore in G di un oggetto x. Il teorema sulla
lunghezza dell’orbita dell’oggetto x, uguale all’indice dello stabilizzatore di x in G. Corollari nel caso
di G finito. Azione indotta sull’insieme (X) dei sottoinsiemi di X. Cenni sul programma di Erlangen,
basato sull’azione di un gruppo G come gruppo di collineazioni sul piano: l’orbita di un quadrato nel
caso del gruppo delle affinità, delle similitudini e delle isometrie; lo stabilizzatore di un quadrato.
19/4
(2 ore). I. – Azione di un gruppo su un gruppo, condizioni di compatibilità. Il caso di un gruppo G che
agisce su se stesso mediante il coniugio: il gruppo Inn(G) degli automorfismi interni, il centro Z(G) del
gruppo, isomorfismo di G/Z(G) con Inn(G); classe di coniugio e centralizzante di un elemento di G; le
classi di coniugio degli elementi del centro; il caso di un p-gruppo finito ed il suo centro non banale.
Sottogruppi coniugati; stabilizzatori degli elementi di una stessa orbita.
II. – Commutatore di due elementi in un gruppo, proprietà; il derivato G’ di un gruppo G e la sua
caratterizzazione come minimo sottogruppo normale a quoziente abeliano. Esempi: i gruppi abeliani; il
teorema di Galois sui gruppi alterni A_n, n > 4 e la loro semplicità (en.), ed il derivato di S_n. Derivati
successivi; nozione di gruppo risolubile. Non risolubilità dei gruppi simmetrici per n > 4 e primi cenni
sulla connessione del termine “risolubile” con le equazioni algebriche.
22/4
(2 ore). I. – Seminario di L. Branchetti su determinanti e sistemi lineari: definizione di determinante su
vari testi di scuola secondaria; regole di calcolo; sistemi lineari; sistemi “di Cramer” e regola di
Cramer.
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II. – Gruppi risolubili: serie subnormali, termini, fattori, lunghezza; serie abeliane e risolubilità;
proprietà di chiusura della classe dei gruppi risolubili per sottogruppi, quozienti, estensioni, prodotti
diretti finiti. Risolubilità del gruppo delle isometrie piane; non risolubilità del gruppo generale lineare
di grado n ≥ 2 su un campo (cenni).
23/4
(2 ore). I. – (Con l’ausilio delle calcolatrici TI-92 Plus) Morfologia della TI-92 Plus: la sua tastiera (su
lucido); la sperimentazione svolta in Italia. Descrizione delle quattro zone della Home Page, e qualche
istruzione per muoversi, catturare espressioni o cancellare. I numeri usati dalla calcolatrice, calcoli
aritmetici esatti ed approssimati; calcolo di espressioni aritmetiche; fattorizzazione (Factor).
Espressioni letterali, sostituzione. Le equazioni, a mano e con “Solve“: equazioni di I o II grado, in vari
casi; equazioni di grado superiore al secondo e soluzioni approssimate; soluzioni complesse (cSolve).
Soluzioni numeriche particolari (nSolve).
II. – (Idem) Equazioni in più incognite, sistemi lineari con la sostituzione e con “Solve“. Esempi di
equazioni fratte, mancata discussione dei denominatori; equazioni irrazionali. Fattorizzazione (Factor)
di polinomi in Q[x], R[x] o C[x]. Trasformazione di espressioni fratte in frazione unica (comDenom),
come somma di una frazione propria e un polinomio (propFrac), o come somma di fratti semplici
(Expand). Considerazioni sull’uso del laboratorio di Informatica nell’insegnamento della Matematica.
26/4
(2 ore). I. – Le scelte possibili per definire i polinomi: ambiente di lavoro, numero delle lettere, diverse
definizioni di polinomio; i contenuti principali: anello dei polinomi, uguaglianza, grado, divisibilità,
equazioni algebriche e sistemi. Un possibile percorso, ripreso dal corso di Algebra I e II: i polinomi
come funzioni di una variabile reale; l’anello dei polinomi come sottoanello dell’anello delle funzioni
da R ad R; il principio d’identità, la nozione di grado, il teorema dei gradi e le sue conseguenze. La
divisione euclidea; il teorema del resto.
II. – La teoria della divisibilità in R[x] come dominio euclideo: elementi associati, multipli e divisori,
MCD ed mcm con l’algoritmo euclideo; R[x] come dominio ad ideali principali, identità di Bézout;
R[x] come dominio gaussiano o fattoriale: polinomi irriducibili e teorema di fattorizzazione unica,
regola per trovare MCD e mcm di due polinomi. Le equazioni algebriche: radici di un polinomio,
molteplicità di una radice; somma delle molteplicità e grado del polinomio; i casi dei gradi 0, 1, 2, 3, 4
e ≥ 5, un po’ di storia; gradi dispari e radici. Lucido riassuntivo sulla fattorizzazione in C[x], R[x] e
Q[x]. Cenni sui polinomi in più indeterminate. Distribuito il V foglio esercizi.
29/4
(2 ore). I. – Seminario di L. Moltelpare sui radicali, da alcuni testi di scuola superiore: l’itinerario
potenze ad esponente razionale-radicali, o l’itinerario opposto; definizione proprietà dei radicali,
semplificazioni, prodotto di radicali, “portar dentro e fuori” un fattore positivo da un radicale;
razionalizzazione dei denominatori; radicali doppi; equazioni irrazionali.
II. – Un’altra definizione di polinomio a coefficienti in un anello commutativo A: il sottoanello
generato da A e da un elemento x; elementi algebrici e trascendenti rispetto ad A, isomorfismo degli
ampliamenti trascendenti di A; l’anello dei polinomi A[x] come un qualunque ampliamento
trascendente di A. Esistenza: l’anello B delle successioni in A, il sottoanello isomorfo ad A, l’elemento
trascendente x = (0, 1, 0, 0, …).
30/4
(2 ore). I. – Dimostrazione della trascendenza della successione x = (0, 1, 0, …) rispetto al sottoanello
delle successioni (a, 0, 0, 0, …). Proprietà di A[x]: infinità, grado, divisibilità; il caso di un dominio
d’integrità D: il teorema dei gradi, D[x] è un dominio d’integrità; dominii fattoriali e loro anello dei
polinomi (cenni); il caso di un campo K: K[x] dominio euclideo, ha gli ideali principali, è fattoriale e
gli ideali massimali sono generati dai polinomi irriducibili. Il caso di un elemento algebrico c su K;
l’omomorfismo sostituzione, radici di un polinomio, il polinomio minimo di c; l’ampliamento algebrico
del campo K mediante c.
II. – Il polinomio minimo p di un elemento algebrico c su K è irriducibile; il quoziente K[x]/(p) è un
campo; l’anello K[c] è un campo; descrizione dei suoi elementi. Esercizio: il caso di K = Q, campo
razionale, e delle radici del polinomio x^3-2 nel campo complesso C. Il sottocampo F di spezzamento
del polinomio, descrizione dei suoi elementi, “razionalizzazione” di frazioni aventi al denominatore
elementi non nulli di F.
2/5
(2 ore). I. – Punto della situazione sull’estensione di un campo K mediante un elemento algebrico c in
un sovracampo F: il polinomio minimo di c, l’ideale dei polinomi aventi c come radice, il campo K(c), i
suoi elementi, una sua base come K-spazio vettoriale. Estensioni algebriche successive del campo K,
basi e dimensione rispetto a K.
II. – Estensioni successive di un sottocampo K del campo complesso rispetto alle radici di un
polinomio f a coefficienti in K; il campo di spezzamento F di f; il gruppo G degli automorfismi di F che
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inducono l’identità in K; l’azione di G sull’insieme X delle radici di f; la rappresentazione associata ed
il suo nucleo; la risolubilità di G e la risolubilità dell’equazione f(x) = 0 per radicali (teorema di Galois,
en.). Seguito dell’esercizio sul polinomio x^3-2, con determinazione del suo gruppo di Galois.
6/5
(2 ore). I. – Seminario di A. Zanellati: equazioni algebriche di grado superiore al secondo o
trascendenti sui testi scolastici; alcuni tipi particolari (monomie, binomie, trinomie); equazioni
esponenziali e logaritmiche, nelle varie impostazioni tra testi di liceo e di istituto tecnico; equazioni
goniometriche lineari, vari metodi risolutivi; equazioni goniometriche “omogenee” .
II. – Alcune applicazioni dei polinomi (con l’ausilio della TI-92): polinomio di Taylor di grado n ≥ 1di
una funzione in un suo punto; confronto dei grafici e delle tabelle al variare di n. Polinomio
interpolante di una tabella di dati, il determinante di Vandermonde (en.) e suo grafico. Polinomi di
regressione, il caso lineare, il coefficiente di correlazione (cenni) con un’interpretazione geometrica.
7/5
(2 ore). I. – Seminario di R. Vagni sulle criticità del passaggio dall’aritmetica all’algebra: le difficoltà
di tipo epistemologico, riproducenti l’evoluzione storica del calcolo letterale; la struttura sequenziale
del linguaggio comune e la difficoltà di formalizzare un problema con la simbologia algebrica; i due
aspetti di oggetto e di processo delle equazioni e le difficoltà legate al loro uso nei problemi.
II. – Uno sguardo d’insieme al percorso seguito nelle lezioni: le metodologie seguite (lezioni frontali,
dialogate, esercitazioni con l’ausilio di geogebra, Excel o delle TI-92, seminari alla lavagna o con l’uso
di Power Point, argomenti di algebra superiore dal punto di vista elementare) o non seguite (approccio
storico ai vari argomenti) e discussione sulla loro validità; i contenuti presentati (molteplicità e
frammentarietà degli argomenti, ma forte accento sul concetto di struttura algebrica, per evidenziare lo
scopo primo dell’algebra che è generalizzare), e quelli non trattati (forme quadratiche, coniche in
generale). Distribuito il VI foglio di esercizi, su vettori e simmetrie. FINE DEL CORSO.
Totale ore al 7/5: 52+4 = 56
6