Misura di induttanza in un circuito RLC
Sperimentatori:
Marco Erculiani (n˚di matricola 454922)
Noro Ivan ( n˚ di matricola 458656)
Durata dell’esperimento:
1 ora e 30 minuti ( dalle ore 13:30 alle 15:00 )
Data di effettuazione:
Venerdi` 30 aprile 2004
Numero della cassetta:
numero 13
Numero dell’oscilloscopio:
numero 13
Numero del generatore di funzioni (frequenzimetro):
numero 13
Materiale a disposizione:
Il materiale a disposizione e’:
La cassetta polifunzionale descritta di seguito:
In Fig. 1 è mostrato lo schema della cassetta utilizzata in laboratorio. Nella cassetta troviamo i
seguenti elementi:
1) Tester (ICE 680R): È uno strumento universale (analogico a bobina mobile) che può essere
utilizzato come amperometro, voltmetro o ohmetro. Il tester (di classe 1) viene inserito nei
circuiti tramite le boccole B28 e B29 e ha una batteria interna.
2) Milliamperometro (ICE 840, corrente di fondo scala If.s.= 50 mA, classe 1.5). Viene inserito
nei circuiti tramite le boccole B20 e B21.
3) Resistori: R1, R2 e R3.
4) Condensatore: C1.
5) Induttanza: L1.
6) Diodo: D1.
7) Reostati Helipot: R4 e R5. Il valore della resistenza di ciascun reostato può essere variato
tramite la rotazione del cursore, collegato rispettivamente alle boccole B18 e B31. I valori
della resistenza variano da 0 . al valore massimo di 500 . ± 4% in 10 giri di 50 divisioni
ciascuno (1./divisione). La linearità della scala è data al 0.25%.
8) Pila: U1. Viene inserita nel circuito tramite le boccole B26(-) e B27(+). Premendo il tasto S1 si
inserisce la pila nel circuito.
9) Connettori: J1 e J2. Servono per la realizzazione di circuiti che richiedono l’oscilloscopio.
Figura 1: Schema della cassetta utilizzata in laboratorio.
-un oscilloscopio (Tektronix 2225) a due tracce, con una banda passante a 50MHz, una sensibilita’ di
5mV/cm e una impedenza di ingresso di 1MΩ (in parallelo a 25 Pf).
L’oscilloscopio in questione e’ mostrato in figura 2, dove CH1 e’ l’entrata del primo canale:
figura 2:
CH1
figura 2: Oscilloscopio Tektronix 2225 usato per l’esperienza, dove CH1 e’ l’entrata del primo canale.
-un frequenzimetro modello Krohn-Hite 5100B
-due cavi coassiali
-cavetti per la realizzazione dei circuiti
Scopo dell’esperienza:
La finalita` di questa esperienza e` la misura di una induttanza ( L ) tramite un circuito RLC ( Fig 3)
(resistenza , induttanza , condensatore) con una serie di opportune misure tramite l’oscilloscopio.
Il valore di L che si ricava va confrontato con quello di catalogo, pari a 2,2 mH.
Il circuito da allestire e` il seguente:
Figura 3 :
CIRCUITO RLC
Rr
RL
L
O
G
C
Ri
P.E
Figura 3 : Schema del circuito RLC. (G) e` il generatore di funzioni ( frequenzimetro) che produce
l’onda quadra di tensione, Ri e` la sua resistenza interna ; Rr e` la resistenza variabile del reostato ;
RL e` la componente resistiva del solenoide ( bobina ) ; L e` l’induttanza con valore di catalogo di
2,2 mH ; C e` il condensatore con valore di catalogo di 1 nF ; (O) e` l’oscilloscopio per effettuare la
misure ( si veda Fig 2 ).
Il generatore di funzioni (G),di Fig 3 , produce una tensione a forma di onda quadra di ampiezza e
frequenza regolabili ( tramite apposite manopole ). La resistenza interna Ri ,di Fig 3 ,dipende dalla
costituzione interna del generatore di funzioni e non e`da noi conosciuta . La misura di tale resistenza
non e` richiesta dall’esperienza . La resistenza del reostato Rr ,di Fig 3 .puo` assumere dei valori che
vanno da 0 a 500 ohm (range del reostato). La resistenza RL ,di Fig 3 ,e` la componente resistiva
interna del solenoide ( bobina dentro alla cassetta) che dipende esclusivamente dalla geometria del
conduttore avvolto ( filo) , che costituisce il solenoide (bobina) , e dalla temperatura dell’ambiente. La
relazione che lega tutti questi parametri e` la seguente:
RL = ρ ⋅
l
s
, dove ρ e` la resistivita` elettrica e vale:
l e` la lunghezza del conduttore avvolto (filo) ed s e` la sezione utile del conduttore.
Non conoscendo questi parametri non si puo`calcolare il valore di tale resistenza . Si effettua pertanto
una misura diretta tremite il supertester, nella modalita` ohmetro, collegando le boccole di uscita del
multimetro ai capi dell’induttore. Tale misura e` stata fatta precedentemente a questa esperienza
ottenendo il valore di RL = 30 ohm ± 1,25 ohm.
L , invece , e` la componente induttiva o induttanza del solenoide e dipende sostanzialmente dalla
geometria e dal tipo di materiale che costituisce il circuito magnetico , dal numero di spire del filo (
avvolgimenti del conduttore). Se il solenoide ( circuito magnetico piu` avvolgimenti) ha forma
cilindrica allora l’espressione di L e`:
Che non è possibile calcolarla dato che non si conoscono le grandezze che compaiono nella formula.
L’induttanza L, applicata a tensioni variabili , si comporta come un piccolo serbatoio di energia
(l’energia del campo magnetico) che si svuota e quindi contribuisce in caso di diminuzione di corrente (
tende a mantenere la corrente nel circuito) e si oppone in caso di aumenti di corrente nel circuito ( si
oppone alla crescita di corrente). Il condensatore C, invece , si comporta all’opposto di L.
Se i due componenti sono entrambi presenti in un circuito si comportano , quindi , scambiandosi
energia a vicenda, che e` proprio il caso che si va ad analizzare. Le resistenze Rr e RL, invece , si
comportano come attenuattori , e a seconda del loro valore equivalente ( Rr + RL ) , smorzano piu`o
meno lo scambio di energia fra L e C.
Piu` il valore equivalente della serie ( Rr + RL ) e` alto e piu`si attenua l’oscillazione di energia. Questa
oscillazzione di energia , che è possibile visulizzarla attraverso un’oscilloscopio, avviene soltanto con
opportuni valori di R, L e C.
L’oscilloscopio ( O ),di Fig 2-3 , ha la funzione di visualizzare sul proprio schermo l’andamento della
tensione ai capi del condensatore. Attraverso tale visualizzazione si eseguono particolari misure che
permettono di ricavare il valore dell’induttanza ( L ), che è lo scopo di tale esperienza.
A questo punto si può vedere più in dettaglio come avviene lo scambio di energia fra L e C e lo
smorzamento dell’oscillazione causato dalla resistenza totale del circuito. Si vuole notificare che
l’oscillazione di energia viene visualizzata dall’oscilloscopio come una oscillazzione di tensione ai capi
del condensatore ( nel nostro caso).
Si può dimostrare che in particolari condizioni cioè quando:
L
( si veda l’approfondimento) ;
C
l’andamento:
Rtot < 4 ⋅
la risposta della tensione ai capi del condensatore segue
t
−
τ −2 + k 2
VC (t ) = VO 1 − e τ ⋅
⋅ sin(k ⋅ t + α ) ;
2
k
con
τ = 2⋅
L
Rtot
e
k=
R
1
4
⋅
− tot2
2 LC
L
2
;
Dove VC (t ) e` la tensione ai capi del condensatore, VO e` la tensione iniziale del gradino, τ e` una
costante di tempo, k e` una costante per semplificare la forma della relazione, α e` una fase iniziale di
partenza dell’oscillazione e Rtot,L,C sono rispettivamente la resistenza totale conosciuta ( Rr + RL ; Ri
non viene considerata poiche` il suo valore e` sconosciuto), l’induttanza e la capacita`. Ovviamente
l’argomento sotto la radice deve essere positivo, e se si pone questa condizione si ritrova la condizione
sin(k ⋅ t + α )
L
;
C
Osservando l’espressione dell’andamento della tensione ai capi del condensatore, VC (t ) , si nota che e`
composta dal prodotto di una funzione oscillante, cioe` il termine sin(k ⋅ t + α ) , e da una funzione
di partenza : Rtot < 4 ⋅
−
t
esponenziale decrescente, e τ , che modula la componente oscillante smorzandola piano piano.
Bisogna notificare che la funzione di VC (t ) e` definita in un semiperiodo dell’onda quadra d’entrata. E`
dunque una risposta ad un gradino di tensione d’ingresso.
Qualitativamente la risposta al gradino di tansione è un’oscillazzione di questo tipo:
L’oscilloscopio ( Fig 2-3) , tramite opportune scale di tensione ( V/div, sull’asse y ) e di tempo
(sec/div, sull’asse x), visualizza tale andamento sul proprio schermo grigliato. La griglia , ripartita da
divisioni da 1 cm e a sua volta da divisioni più piccole da 0,2 cm , permette di misurare il valore di
tensione e di tempo, conoscendo ovviamente le scale ( V/div, sull’asse y che è l’asse della tensione e
sec/div, sull’asse x che è l’asse dei tempi). Il valore delle scale è scritto sulle manopole regolatrici
rispettive degli assi.
Una importante funzione dell’oscilloscopio ( GND o massa, potenziale zero) permette di calibrare il
riferimento dello zero della tensione, “zero volts”, con una opportuna tacca dello schermo grigliato.
A questo punto, visualizzato l’andamento oscillante della tensione sullo schermo dell’oscilloscopio, è
sufficiente identificare i picchi dell’oscillazione e misurare per ognuno le rispettive coordinate ( tacca
della tensione e tacca del tempo) sulla griglia partendo dallo zero di riferimento.Dal valore delle
coordinate si ricavano successivamente i valori effettivi della tensione e del tempo tremite la relazione:
Questa misura viene eseguita per ogni picco di funzione ben distinguibile sullo schermo grigliato
dell’oscilloscopio.
Tale procedura risulta sufficiente per misurare il decremento logaritmico( dal fatto che la funzione è
modulata dell’esponenziale decrescente ) della funzione precedente ( formula ).
Prendiamo per esempio due punti di picco ( due picchi) con le relative coordinate, P1(t1;V(t1)) e
P2(t2;V(t2)) , si ha allora:
V (t1 ) − VO = ∆V1 = −VO ⋅ e
−
V (t 2 ) − VO = ∆V2 = −VO ⋅ e
t1
τ
τ −2 + k 2
k2
−
t2
τ
sin(k ⋅ t1 + α )
τ −2 + k 2
k2
; e analogamente
sin(k ⋅ t 2 + α )
Passando ai logaritmi e sottraendo la seconda espressione dalla prima si ottiene:
− tτ1
τ −2 + k 2
τ −2 + k 2
(
)
−
(
)
ln(∆V1 ) − ln(∆V2 ) = ln − VO ⋅
sin
k
⋅
t
+
α
+
ln
e
ln
−
V
⋅
sin
k
⋅
t
+
α
1
O
2
k2
k2
−t2
− ln e τ
⇒
∆V
R
t −t
ln 1 = 2 1 = ∆T1, 2 tot
τ
2⋅L
∆V 2
Da qui` si ricava il valore cercato di L (induttanza):
che e` il decremento logaritmico.
L = − ∆T1, 2 ⋅
∆V
Rtot
⋅ ln 1 ;
2
∆V2
Per un numero maggiore di picchi, sui quali risulta possibile misurare le loro coordinate sullo schermo
dell’oscilloscopio, si procede allo stesso modo, calcolando il decremento logaritmico rispetto
all’ascissa del primo picco cioe` al valore di tempo valore ( t1 ). Quindi per ogni picco si ottiene un
valore di L ( induttanza), e generalizzando si ha che:
Li = −∆T1,i ⋅
∆V
Rtot
⋅ ln 1 ; con i ( i = 2 , 3 , 4 , ….) numero del picco.
2
∆Vi
Trovati tutti gli Li , con i relativi errori , si effettua un media pesata su tali valori ottenendo un unico
valore di L , poi si calcola l’errore su tale valore.
Per l’esperienza qui` illustrata si procede nel modo seguente:
Il primo operatore misura le coordinate ( V(ti); ti ), rispetto ad uno zero di riferimento, dei picchi che
vengono visualizzati sullo schermo, per tre valori della resistenza del reostato che sono: 110 ohm-210 ohm - 310 ohm.
Il secondo operatore , invece , misura le coordinate dei picchi per altri tre valori di resistenza del
reostato, che sono le stesse del primo operatore piu` il 20% delle stesse, cioe` : 132 ohm - 252 ohm –
372 ohm.
In totale si avranno quindi 2 ⋅ 3 ⋅ n ° P coppie di coordinate, dove n°p e` il numero di picchi che sono
abbastanza visualizzabili sullo schermo dell’oscilloscopio e che si scelgono per la misura.
Svolgimento:
Come prima procedura e` stato allestito il circuito di Fig 3 . Lo spinotto di un cavetto bipolare e`stato
collegato sulla boccola d’uscita (output) del generatore di funzioni ( G ) di Fig 3 , l’altra estremita` del
cavo e` stata collegata sulla boccola( J1) ) della cassetta di Fig 1 . Da qui`in poi sono stati collegati tutti
i componenti che compaiono nello schema utilizzando i cavetti in dotazione ( le rispettive boccole della
cassetta sono: B17-B18 per il reostato, B13-B14 per il solenoide, B11-B12 per il condensatore ).
L’oscilloscopio ( O )di Fig 2-3 , e` stato collegato dalla boccola ( J2 ) della cassetta all’entrata del
canale 1 ( CH1 ) di se stesso, si veda Fig 2-3.
Per regolare la resistenza del reostato ai valori suddetti si e`utilizzato il supertester come ohmetro e si
e` fatta una misura di resistenza, collegando le boccole di uscita del Supertester ( B28-B29, si veda Fig
1 ) sulle boccole d’entrata del reostato ( B17-B18, si veda Fig 1 ) e posizionando l’indice di lettura
dell’ohmetro sul valore di resistenza desiderato. Inoltre prima di ogni misura e`stato tarato lo zero
dell’ohmetro cortocircuitando le boccole di uscita del Supertester ( B28-B29, si veda Fig 1 ).
Contemporaneamente alla lettura di resistenza si e` letto il valore corrispondente di I A sulla scala delle
correnti. E` stato ricavato quindi il valore dell’errore di misura sulla resistenza tramite la relazione :
∆Ri =
Ri
∆I A
⋅
IA
1 − I A
I
f .s
;
dove Ri è il valore di resistenza che si misura , IA è il valore di corrente che si legge nella scala delle
correnti dello strumento, mentre si esegue una misura di resistenza ; I f.s è il valore di fondo scala
relativo alla scala delle correnti , ∆IA è l’errore associato a IA relativo alla classe di precisione dello
strumento e che è stato colcolato tramite la relazione:
∆I A = δ cl ⋅ I f .s ⋅ 10 −2 ;
dove δcl è la classe di precisione del supertester nella modalità ohmetro , che vale 1 .
