MECCANICA QUANTISTICA • Ne esistono due formulazioni

IN1
Università di Roma “ La Sapienza”
MECCANICA QUANTISTICA
•
•
Ne esistono due formulazioni (entrambe sviluppate
fra il 1925 ed il 1930 ) ed usate in particolare
modo per i sistemi chimici
-
Meccanica Matriciale :essenzialmente dovuta ad
Heisenberg è basata sulla
asssociazione fra
osservabili fisiche e matrici
-
Meccanica Ondulatoria :essenzialmente dovuta
a Schroedinger è basata
sulla associazione di
ogni particella con una
“funzione d’onda”
Si tratta di formulazioni equivalenti unificate da
Dirac (1930) in una forma assai simile alla
meccanica matriciale
La trattazione di Dirac è più generale e più potente
della meccanica ondulatoria ma è più astratta
•
Noi tratteremo sistemi semplici usando la
Meccanica ondulatoria che prende le mosse dalla
natura dei sistemi fisici
DUALISTICA
ONDA – PARTICELLA
Dipartimento di Chimica
Prof. Guido Gigli
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Particelle ed onde
La catastrofe ultravioletta
•
•
Lo spettro della radiazione di un
corpo nero e la legge di Wien non
avevano spiegazioni con le teorie
classiche(Rayleigh.)
Nel 1900 Planck riuscì a
spiegare l’andamento
sperimentale di I = f (λ )
postulando che l’energia in un
corpo nero compare in unità
discrete
Quanti
∆ E = hν h ≅ 6.6 10 −34 J ⋅ s
•
•
Se la distribuzione di Boltzmann
si può applicare al numero di
questi
“quanti”
l’aumento
catastrofico di I all’aumentare di
ν non ha più luogo
La ragione qualitativa di ciò è
che ad alte energie un quanto
“contiene” tanta energia da
rendere altamente improbabile
la sua esistenza
( n =n
i
o
e − (ε i −ε o ) / kT
L’effetto Fotoelettrico
•
Emissione di elettroni da un metallo illuminato
1. Emissione istantanea
2. E cinetica dei fotoelettroni dipendente da ν
3. ν minima di fotoemissione
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)
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•
•
Le osservazioni sperimentali non trovavano
spiegazioni con le teorie classiche
Einstein (1905) postulò che la radiazione
elettromagnetica consista di un fascio di
particelle, FOTONI, tutte con la medesima velocità
c ≅ 3.0 108 ms −1
! Ognuno di questi fotoni ha
# una frequenza caratteristica ν
h
ω = hω
# una energia E = hν =
2π
h = 1.05 10 −34 J ⋅ s
!
Il fotone,con velocità c , deve seguire la teoria
della relatività ed il suo momento p risulta:
(
E = p 2c 2 + m 2 c 4
p=
)2
0 1
E hν hω
=
=
c
c
c
Introducendo il numero d’onda k =
p = hk
ω
c
l’esistenza di questo momento è
confermata dall’effetto COMPTON (1924)
La natura Ondulatoria delle particelle
• De Broglie (1924),simmetricamente a quanto fatto
da Einstein per la luce, suggerì di associare un
comportamento ondulatorio al moto di una
particella. Egli postulò che ad una particella con
momento lineare p sia associata una onda di
lunghezza d’onda λ ed energia E
λ=
2π h
=
k
p
Dipartimento di Chimica
E = hω
p = hk
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•
•
La natura ondulatoria del moto di particelle è
stata confermata sperimentalmente per
Elettroni – 1927 - G.P.Thomson, Davisson, Germer
He,H2,
- 1931 -Esterman Frisch Stern
Neutroni – 1947 Fermi Marshall Zinn
Vediamo ora un esperimento che illustra la natura
dualistica onda – corpuscolo sia della luce che
delle particelle materiali (per esempio gli elettroni)
“L’esperimento con due fenditure” (di YOUNG)
•
Vediamolo nella versione originale di YOUNG
(1802); (usiamo una sorgente luminosa)
1
2
Fenditure
a
Aperta
b
Chiusa
Fenditure
a
Chiusa
b
Aperta
3
Fenditure
aeb
alternativamente
chiuse ed aperte
per metà del
tempo
Dipartimento di Chimica
4
Fenditure
aeb
sempre
Aperte
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•
Queste osservazioni sono spiegabili con la
interpretazione ondulatoria della luce e le sue
proprietà di interferenza
MA
l’interferenza non si spiega con la luce costituita
da fotoni
INFATTI
Se la luce è costituita da fotoni è ragionevole
pensare che ogni fotone passi per la fenditura “a”
oppure per quella “b”
Si può confermare questa ipotesi con una sorgente
molto debole (tale che un solo fotone per volta
venga emesso) e due rivelatori vicino e dietro le
fenditure “a” e “b”
!
I rivelatori registrano un fotone per “a” oppure per
“b” e mai per entrambi simultaneamente
Metà dei fotoni passano da “a” e metà da “b”
Tutto ciò è coerente con la interpretazione
corpuscolare
!
•
Ci si domanda:
Come si possono influenzare vicendevolmente i
fotoni che passano per fenditure diverse?
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•
Ripetiamo l’esperimento con
!
!
fenditure a e b aperte
un fotone per volta emesso dalla Sorgente con
frequenza tanto piccola (periodo tanto lungo) da
escludere che i fotoni possano influenzarsi l’un
l’altro
Si osserva la solita figura di interferenza
L’interferenza persiste
con qualsiasi intensità di
luce
•
!
!
Usiamo ora uno schermo in grado di rivelare la
posizione dei punti di arrivo dei fotoni
Si osserva:
1. Ogni fotone colpisce lo schermo in un unico
punto
2. La figura di interferenza si forma come
conseguenza dell’accumularsi dei vari singoli
impatti dei fotoni
Il comportamento di ogni singolo fotone non è
prevedibile
La frequenza (densità) degli impatti in ogni punto
dello schermo fornisce le bande di interferenza
CIOE’
La figura di interferenza ci fornisce la distribuzione
di probabilità delle posizioni dei punti di arrivo dei
fotoni
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•
nel caso dell’esperimento 3 i fotoni che passano
uno alla volta per “a” o per “b” danno origine, in
modo statistico, alle figure IA e IB e, quindi,
all’effetto complessivo IA + IB
MA
•
Se lasciamo a e b aperti con un rivelatore in a che
ci “dice” se ciacun fotone è passato da a o da b
caso 5
NON si osserva la figura di interferenza ma
la semplice IA + IB
l’atto di accertare da quale fenditura passa
ogni fotone ha il medesimo effetto del
chiudere l’altra fenditura
IN SINTESI
•
•
•
Se un fotone passa indisturbato attraverso le
fenditure mostra un comportamento ondulatorio e
si osserva una figura di interferenza ( o di
diffrazione con una sola fenditura). Ogni fotone
colpisce lo schermo in un punto specifico, in
accordo con la natura corpuscolare, e la figura che
risulta dall’arrivo di molti fotoni è una
distribuzione di probabilità
Se un fotone è costretto a (oppure è osservato)
passare attraverso una specifica fenditura
le figure di interferenza non vengono osservate ed
il suo comportamento è più simile a quello di una
particella
Esperimenti analoghi sono stati fatti con elettroni
anzichè fotoni
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•
Abbiamo visto una serie di osservazioni
sperimentali non spiegabili compiutamente con la
fisica classica
•
Una spinta decisiva all’introduzione di teorie di
tipo quantistico venne dall’osservazione che la
luce viene emessa dagli atomi con uno spettro
discreto
In particolare, per l’Idrogeno vale la semplice
relazione:
 1
1 

ν = RH  2 − 2 
 n1 n2 
RH = 109700 cm-1
costante di Rydberg
n1,n2 numeri interi
Più in generale vale il principio di
Raleygh-Ritz
ν = T1 − T2
Suggerisce che i livelli
energetici degli atomi
assumano unicamente
valori discreti
Bohr ne diede una “spiegazione” imponendo al
momento angolare degli elettoni di assumere valori
discreti
•
Vediamo ora un esperimento che mette in luce
drammatici effetti quantistici ( e che è stato,
anche, il primo esperimento di natura non ottica
a mostrarli)
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L’esperimento di Stern e Gerlach
- con atomi di Ag (paramagnetici)
r
r l’energia potenziale è
V =−M X B
- a causa della
r forma dei poli del magnete il campo
magnetico B varia lungo x sicchè
Fx = −
∂V
∂B
= M cosθ
∂X
∂X
θ ≡ angolo fra il momento magnetico
•
dell’atomo di Argento e l’asse x
Secondo la meccanica classica ci si sarebbe
aspettati un deposito continuo con limiti estremi
per θ = 0° e θ = 180° dovuto alla orientazione
casuale con la quale gli atomi di Argento
effondono dalla fornace
Quello che si osserva sono due depositi distinti a
θ = 0° e θ = 180° senza traiettorie intermedie
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•
questo esperimento mostra che:
1. Anche se i momenti magnetici degli atomi sono
orientati a caso nel momento della effusione essi
sono “trovati” essere soltanto paralleli o
antiparalleli
2. Le orientazioni possibili sono quantizzate, nel
senso che soltanto alcuni valori sono osservati
3. L’atto della misura influenza il risultato della
misura stessa (la direzione di quantizzazione è
determinata dalla direzione del campo magnetico)
• Varianti di questo esperimento mettono in luce
altri effetti di natura quantistica
SCHEMATICAMENTE
a)
Un deposito
E’ quello che ci si
aspetta: il primo
“Filtro” ha selezionato
le orientazioni parallele
ad x ed il secondo non ha alcun effetto
b)
Due depositi
Anche qui accade cio’
che che ci si aspetta: il
primo “Filtro” che
agisce lungo x non ha
effetto su quanto fa il secondo che opera lungo y
c)
Due depositi
Non e’ quanto ci si
aspetta: il primo
magnete non ha
operato come un filtro
infatti le due
orientazioni lungo x sono ricomparse come conseguenza
dell’aver agito con il magnete lungo y
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•
•
Il passaggio degli atomi attraverso il secondo
magnete ha distrutto la informazione del primo
magnete
Abbiamo visto che per interpretare pienamente la
natura della materia è utile considerare anche la
sua natura ondulatoria. Vediamo, allora, alcune
caratteristiche del moto delle onde
MOTO DELLE ONDE
Onda Piana
Ψ ( x ) = A cos
2π x
λ
Ψ ( x, t ) = cos
= cos
2π x
λ
[2λπ (x − x0 )] = cos [2λπ (x − v t )]
v = velocità = v λ
Ψ ( x, t ) = cos
k=
2π
λ
2π
λ
ω = 2πν
frequenza
( x − v λ t ) = cos 2π  x − ν t 
λ
numero d’onda ( vettore d’onda )
velocità angolare
Ψ( x, t ) = cos (k x − ω t )
vfase =
ω
k

fase
( velocità di fase )
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k x − ω t = cost
x = (ω k ) t + cost
l’onda si muove verso x
crescenti con velocita’
costante ω/k
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•
Abbiamo usato la funzione coseno ma si possono
usare
Ψ ( x, t ) = sen (k x − ω t )
Ψ ( x, t ) = A cos (k x − ω t ) + Bsen (k x − ω t )
•
In generale
Ψ ( x, t ) = cos (k x − ω t ) + i sen (k x − ω t )
eiα = cos α + i sen α
onda che si muove
Ψ ( x, t ) = exp [ i (k x − ω t )]
verso x positive
( verso DESTRA )
Ψ ( x, t ) = exp [ − i (k x − ω t )]
∗
kx + ω t = k ( x + v t ) = k ( x + xo )
Ψ ( x, t ) = exp
Ψ ∗ ( x, t ) = exp
[ i (k x + ω t )]
[ − i (k x + ω t )]
onda che si muove
verso x negative
( verso SINISTRA )
Onda Composta
•
E’ la sovrapposizione ( la somma ) di un certo
numero di onde piane
Ψ ( x, t ) = ∑ A j exp
j
[ i (k j x − ω j t )]
questa è la
rappresentazione in
serie di Fourier
dove ogni onda j ha la sua
velocità di fase v fase =ω j k j
•
per esempio consideriamo una onda composta da
due
Ψ1 = exp [ i (k1 x − ω1 t )]
Ψ2 = exp [ i (k 2 x − ω 2 t )]
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Ψ ( x, t ) = Ψ1 + Ψ2
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•
La rappresentazione della parte reale di Ψ1 + Ψ2 ha
questo aspetto:
Ψ(x,t)
•
Il profilo (inviluppo) della onda si muove verso
DESTRA con
velocità di gruppo
dove
vg =
∆ω
∆k
∆ω = ω1 − ω 2
∆k = k1 − k 2
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Onda Stazionaria
Quando
k = k1 = −k2
ω = ω1 = ω2
Ψ( x, t ) = e [i(kx−ω t )] + e−i (kx+ω t )
(
)
= eikx + e−ikx e−iω t
= 2 cos kx e−iωt
= 2 cos kx (cosωt − i senωt )
f(x)
g(t)
quindi
indipendentemente da t
▬
Ψ ( x, t ) = 0 per cos kx = 0
kx = π 2 , 3 2 π , ......
▬ i nodi non dipendono dal tempo
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Pacchetto di Onde
•
Si tratta della sovrapposizione di tante onde piane
(uno spettro continuo) con numeri d’onda k in un
campo di valori ristretto
1 +∞
i (kx −ωt )
dk
∫ A(k )e
2π − ∞
Ψ ( x, t ) =
A(k ) ▬ è il “peso” di ciascuna onda piana ed ha
un qualche valore in un piccolo campo di
valori di k (∆k )
▬ è la trasformata di Fourier di Ψ ( x, t )
1 +∞
− i ( kx −ω t )
A(k ) =
dx
∫ Ψ ( x, t )e
2π − ∞
•
Per sapere come è fatta la Ψ ( x, t ) si devono
conoscere gli andamenti ω (k ) ed A(k )
legge di dispersione
•
Se ω varia poco con k (intorno a k0 ) e A(k ) è una
gaussiana
Ψ ( x, t ) =
B( x, t ) e − i ( k o x −ω o t )
−α 2 (x − v g t )2 2
1
 dω 
B ( x, t ) =
e
vg =

2π
 dk o
ψ ( x, t ) diventa un onda piana con k=ko ed ω = ωo la
cui ampiezza è modulata da B( x, t )
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•
La posizione di questo inviluppo (cioè del
pacchetto)
è
inversamente
proporzionale
all’intervallo di numeri d’onda “usato” per le onde
costituenti
Per localizzare bene il pacchetto di onde è necessario
impiegare uno spettro ampio di onde piane, il che
implica una grande incertezza nei numeri d’onda
Dispersione del pacchetto d’onde
• Anche considerando il solo caso di gaussiana il
profilo di un pacchetto di onde varia nel tempo in
modo piuttosto complicato
! rimane gaussiano
! l’ampiezza della Ψ diminuisce
in funzione di un
! la larghezza aumenta
parametro γ
1  d 2ω 
γ =  2
2  dK 
0
Onda associata ad una particella
E = hν = hω
poichè
Ψ ( x, t ) =
e
p = hk
i ( px − Et )
e h dp
+∞
1
∫ A( p )
2πh − ∞
E p 2 h 2 k 2 hk 2
ω= =
=
=
h 2mh 2mh 2m
v fase =
v gruppo
velocita’ di
gruppo del
pacchetto di onde
hk 0
2m
hk
hp
p
 dω 
= 
=
=
=
 =
m
mh
m
 dk 0
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v
velocità
classica
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•
Il parametro γ che governa la dispersione è ∝
1
m
1 d 2ω
h
γ=
=
2 dk 2 2m
# per un elettrone m ≅ 9 10 − 31 kg
γ ≅ 6 10 −5 m 2 s −1
# per un oggetto macroscopico M ≅ 10 21 melettrone
Una particella macroscopica “ si sparpaglia” in un
tempo 10 21 volte più lungo di quello dell’elettrone
Interpretazione fisica dell’onda associata al moto di
una particella
!
Negli esperimenti con doppia fenditura ( alla
YOUNG) le immagini osservate sono dovute
all’accumularsi (sia con fotoni che con elettroni) di
impatti singoli
La posizione dell’impatto di ogni singola particella
non può essere predetta mentre lo è l’effetto
cumulativo
L’interpretazione degli esperimenti suggerisce di
considerare
NON
MA
Traiettorie specifiche
Distribuzioni di probabilità (delle
traiettorie) degli impatti
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•
Definiamo la
P( x ) dx
Densità di Probabilità
P( x )
Probabilità che una particella colpisca lo
schermo fra x ed x + dx
Rivediamo l’esperimento di Young
•
Immaginiamo che il moto della particella sia
rappresentato da una funzione d’onda
POSTULIAMO CHE
•
P( x ) = ψ
2
= ψψ *
La particella che passa per “ a ” è descritta dalla ψ a
La particella che passa per “ b ” è descritta dalla ψ b
ψ (x) = ψ a (x) + ψ b (x)
anche
questo
è
postulato
perchè la particella non si
divide in entità più piccole
caso 1
a Aperta b
Chiusa
- la funzione Ψ improvvisamente
diventa ( “collassa” a ) Ψa
- Pa = Ψa2
caso 2
a Chiusa b
Aperta
- Ψ collassa a Ψb
- Pb = Ψb2
caso 3
a Aperte e b
Chiuse
per meta’
tempo
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Pa +Pb = Ψa2 + Ψb2
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caso 4
a sempre b
Aperte
Pab =
=  Ψ 2 =  Ψa + Ψb  2 =
= Ψa2 + Ψb2 + Ψa*Ψb + ΨaΨb*
IA
IB
IAB
termine d’interferenza
caso 5
a sempre b
Aperte
rivelatore in a
La fase di Ψa viene modificata in
modo casuale dalla misura in a e,
quindi, viene modificato (annullato)
il termine di interferenza
DA NOTARE CHE
•
L’interpretazione statistica del significato della
funzione d’onda ψ è stata postulata da Born (1926)
•
Il concetto che la ψ “contiene” tutte le informazioni
sullo stato di moto che rappresenta e “collassa” a
stati diversi in una osservazione sperimentale è
dovuto ad Heisenberg (1927)
Tutto ciò fa parte della cosiddetta
Interpretazione di Copenhagen
della Meccanica Quantistica
Questa interpretazione è controversa ma, poichè è in
accordo con tutte le osservazioni sperimentali di
nostro interesse, è quella che useremo
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Plausibilità della equazione di Schrödinger
•
Consideriamo un flusso uniforme di particelle
libere che si muove nel vuoto nella direzione x
Questo significa che
! Il potenziale a cui sono sottoposte è
V=0
! La funzione d’onda che ne rappresenta una è
ψ (x,t ) = exp[i (kx − ω t )]
Ricordando che E = hω
p = hk
ψ ( x, t ) = exp[i / h( px − Et )]
•
L’energia totale è E = T + V = T = p 2 / 2m
per semplice sostituzione
∂ψ
= Eψ
ih
∂t
h 2 ∂ 2ψ p 2
−
=
ψ
2m ∂x 2 2m
h 2 ∂ 2ψ
∂ψ
ih
=−
∂t
2m ∂x 2
ih
)
∂
ψ = Tψ
∂t
DA NOTARE
• Non è una “derivazione”. Per esempio dovremmo
ammettere che valga anche quando V ≠ 0
• Qui compare la derivata prima rispetto al tempo
mentre la eq. delle onde classica è
∂ 2ψ
1 ∂ 2ψ
=
∂ x 2 v fase ∂ t 2
•
Abbiamo “associato” le relazioni:
p2
2m
h2 ∂2
−
2m ∂ x 2
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ih
∂
∂t
E
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