Capitolo 5
Integrali
5.1
Integrali di funzioni a gradinata
Un concetto molto semplice ma di fondamentale importanza per la trattazione dell’integrale di Riemann
è quello di divisione di un intervallo [a, b]. In sostanza si stratta di suddividere l’intervallo di partenza
in tanti sotto intervalli contigui.
Definizione 5.1. Sia [a, b] ⇢ R un’intervallo, con 1 < a < b < +1. Una divisione D di [a, b] è un
insieme ordinato di numeri reali {x0 , x1 , . . . , xn } tale che
1. x0 = a, xn = b;
2. 8i = 1, . . . , n si ha xi
1
< xi .
L’insieme di tutte le divisioni di un intervallo [a, b] è indicato con D(a, b).
Nel seguito si supporrà sempre [a, b] ⇢ R un’intervallo con 1 < a < b < +1, e per brevità si
indicherà D(a, b) con D. Una funzione a gradinata è semplicemente una funzione che è costante nei
sottointervalli ]xi 1 , xi [ individuati da una divisione D dell’insieme di definizione [a, b]. Agli estremi di
ogni sottointervallo, ovvero nei punti della divisione, la funzione può assumere qualsiasi valore reale,
anche distinto dai valori assunti dalla funzione nei due sottointervalli adiacenti. In particolare è possibile
dare la seguente definizione.
Definizione 5.2. Sia f : [a, b] ! R. f si dice a gradinata se esiste una divisione D = {x0 =
a, x1 . . . , xn 1 , xn = b} di [a, b] e n + 1 valori reali non necessariamente distinti l1 , . . . , ln tale che
⇢
li
x 2 ]xi 1 , xi [
f (x) =
(5.1)
2 R i = 0, 1, . . . , n
30
Data una funzione a gradinata, una divisione D0 = {x00 = a, x01 . . . , x0n 1 , x0n0 = b} si dice ammissibile
per f se f è ancora costante in ogni intervallo ]x0i 1 , x0i [.
Una volta introdotte le funzioni a gradinata è molto naturale introdurre il concetto di integrale per
una funzione a gradinata. Se supponiamo che la funzione f sia una funzione non negativa, ovvero
f (x) 0 per ogni x 2 [a, b], allora come sarà facile verificare l’integrale della f nell’intervallo [a, b] non
sarà altro che l’area del plurirettangolo individuato dalla funzione f e dall’asse delle x.
Definizione 5.3. Sia f : [a, b] ! R a gradinata. Si definisce integrale di Riemann di f in [a, b] la
quantità
Z b
n
X
f (x)dx =
(xi xi 1 )li ,
(5.2)
a
i=1
dove D = {x0 = a, x1 , . . . , xn = b} è una divisione ammissibile per f in [a, b].
Una prima osservazione da fare è che, come si può controllare facilmente, il valore dell’integrale della
funzione a gradinata f non dipende dalla particolare scelta della divisione ammissibile.
Se la funzione f assume valori sia positivi che negativi, il suo integrale non corrisponde all’area del
plurirettangolo individuato dalla funzione stessa e dall’asse delle x, in quanto i rettangoli che sono posti
al di sotto dell’asse delle x hanno area negativa, in quanto tale è il valore dell’altezza.
L’integrale delle funzioni a gradinata è un operatore lineare, ovvero soddisfa la condizione (2) della
prossima proposizione. Inoltre è possibile dare una stima del suo valore, grazie alla disuguaglianza (1).
Proposizione 5.4. Siano f, g : [a, b] ! R a gradinata e ↵, 2 R allora
Z b
Z b
f (x)dx
|f (x)|dx
Z
5.2
a
b
[↵f (x) + g(x)]dx = ↵
a
Z
a
b
f (x)dx +
a
Z
(5.3)
b
g(x)dx
(5.4)
a
Integrali di funzioni qualsiasi
Una volta introdotto il concetto di integrale per una funzione a gradinata il primo passo è estendere
questo concetto a funzioni più generali. In particolare è necessaria l’introduzione di funzioni a gradinata
che approssimano per eccesso e per difetto la funzione f di cui si vuole calcolare l’integrale.
Definizione 5.5. Sia f : [a, b] ! R limitata. Sia D = {x0 = a, x1 . . . , xn 1 , xn = b} una divisione di
[a, b]. Si definisce funzione a gradinata inferiore associata a D di f la funzione
⇢
inf x2[xi 1 ,xi ] f (x)
x 2 [xi 1 , xi [
sD (x) =
(5.5)
f (b)
x=b
31
Si definisce funzione a gradinata superiore associata a D di f la funzione
⇢
supx2[xi 1 ,xi ] f (x)
x 2 [xi 1 , xi [
tD (x) =
f (b)
x=b
(5.6)
Osservazione 5.6. Si ha che per ogni D 2 D
sD (x) f (x) tD (x)
8x 2 [a, b].
Ora è possibile introdurre il concetto di integrale inferiore e integrale superiore, con i quali
sarà possibile dare la definizione di integrabilità secondo Riemann.
Definizione 5.7. Sia f : [a, b] ! R limitata. Si definisce integrale superiore della f in [a, b] il valore
Z b
Z b
⇤
f (x)dx = inf
tD (x)dx.
(5.7)
D2D
a
a
Si definisce integrale inferiore della f in [a, b] il valore
Z b
Z b
f (x)dx = sup
sD (x)dx.
⇤
D2D
a
(5.8)
a
Osservazione 5.8. Si osservi che data una funzione f limitata l’integrale inferiore e quello superiore
esistono sempre in quanto sono definiti come estremi superiori ed inferiori di sottoinsiemi di R.
Definizione 5.9. Sia f : [a, b] ! R limitata. f si dice integrabile secondo Riemann se
Z b
Z b
⇤
1<
f (x)dx =⇤
f (x)dx. < +1
a
a
In questo caso f si dice Riemann integrabile (R-integrabile) e l’integrale di Riemann della f in [a, b]
è il valore comune e si indica con
Z b
f (x)dx.
a
A conclusione di questa sezione vengono richiamate le principali proprietà dell’integrale di Riemann.
Proposizione 5.10. Siano f, g : [a, b] ! R R-integrabili e ↵, 2 R allora
Z b
Z b
f (x)dx
|f (x)|dx
a
Z
b
[↵f (x) + g(x)]dx = ↵
a
(5.9)
a
Z
32
b
f (x)dx +
a
Z
b
g(x)dx
a
(5.10)
Osservazione 5.11. È possibile definire data una funzione f : [a, b] ! R limitata la sua parte positiva
f + e la sua parte negativa f nel seguente modo:
f + (x) := max{f (x), 0}
f (x) := max{ f (x), 0}.
Chiaramente se una funzione f è non negativa allora coincide con la sua parte positiva, mentre se è
non positiva coincide con la sua parte negativa. Inoltre in generale
f (x) = f + (x)
f (x).
Se la funzione f è R-integrabile, allora lo sono pure la sua parte positiva f + e la sua parte negativa f .
Dalla proprietà (2) della Proposizione 5.10 si ottiene che
Z b
Z b
Z b
Z b
+
+
f (x)dx =
[f (x) f (x)]dx =
f (x)dx
f (x)dx.
a
a
a
a
5.3
Classi di funzioni integrabili secondo Riemann
5.4
Integrali indefiniti
Tutte le definizioni delle sezioni precedenti e le formule proposte non permettono esplicitamente il
calcolo dell’integrale di Riemann di una funzione R-integrabile, a meno che la funzione in esame non
sia a gradinata o comunque particolarmente semplice. Per poter dunque calcolare in maniera agevole il
valore dell’integrale di Riemann è opportuno introdurre il concetto di bf primitiva di una funzione data.
Definizione 5.12. Sia f : [a, b] ! R. La funzione F : [a, b] ! R si dice primitiva di f se si ha
F 0 (x) = f (x)
8x 2 [a, b].
Dunque diciamo che f ammette primitiva se è la derivata di una qualche funzione F . Questa
funzione primitiva essendo derivabile in ogni punto dell’intervallo [a, b] deve essere anche continua in
questo intervallo.
Esempio 5.13. Esempi di primitive di funzioni semplici.
Proposizione 5.14. Sia f : [a, b] ! R e F : [a, b] ! R una sua primitiva. Allora per ogni c 2 R anche
la funzione Gc : [a, b] ! R definita da G(x) = F (x)+c è una primitiva di f . Viceversa se H : [a, b] ! R
è un’altra primitiva di f , allora esiste c 2 R tale che F (x) H(x) = c.
Osservazione 5.15. Per la seconda parte della precedente proposizione è indispensabile che la funzione
f sia definita in un intervallo connesso.
33
Dalla proposizione precedente, data f : [a, b] ! R rimane individuato l’insieme delle sue primitive
che può essere scritto come
{H(x) = F (x) + c | F primitiva di f, c 2 R}.
È ora possibile dare la definizione di integrale indefinito di una funzione f .
Definizione 5.16. Sia f : [a, b] ! R si definisce integrale indefinito di f l’insieme delle sue primitive
Z
f (x)dx = {F : [a, b] ! R : F 0 (x) = f (x) 8x 2 [a, b]}.
Una particolare esempio di primitiva di una funzione f : [a, b] ! R continua è la funzione integrale.
Definizione 5.17. Sia f : [a, b] ! R continua. Si definisce funzione integrale della f la funzione
Z x
F (x) :=
f (t)dt.
a
Osservazione 5.18. Nonostante sia definita tramite un integrale di Riemann, e quindi un numero, la
funzione integrale è e↵ettivamente una funzione, in quanto il secondo estremo di integrazione dipende
dalla variabile x.
5.5
Teorema fondamentale del calcolo integrale
In questa sezione verrà descritto il legame tra integrali di Riemann e integrali indefiniti. Per prima cosa
enunciamo il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.
Teorema 5.19. Sia f : [a, b] ! R continua. Allora la funzione integrale
Z x
F (x) :=
f (t)dt
a
è una primitiva della funzione f nell’intervallo [a, b].
Questo teorema ci fornisce uno strumento esplicito per il calcolo degli integrali di Riemann. Tutto
questo è descritto tramite la Formula Fondamentale del Calcolo Integrale.
Corollario 5.20. Sia f : [a, b] ! R continua e G : [a, b] ! R una sua primitiva. Allora
Z
b
f (x)dx = G(b)
a
34
G(a).
5.6
Calcolo degli integrali indefiniti
Dal Teorema fondamentale del Calcolo Integrale (cfr. Teorema 5.19) e dalla Formula Fondamentale del
Calcolo Integrale (cfr. Teorema 5.20) si evince che per calcolare il valore di un integrale definito basta
calcolare una particolare primitiva della funzione integranda.
5.6.1
Integrali immediati
Sotto questa voce ritroviamo tutti gli integrali indefiniti che è possibile svolgere in maniera immediata,
ovvero ricordando esclusivamente che l’integrale indefinito è definito come l’insieme di tutte le funzioni
che hanno per derivata la funzione integranda.
R
f (x)
f (x)dx
0 c
k kx + c
n+1
↵
x , ↵ 6= 1 xn+1 + c
1
log |x| + c
x
sin x
cos x + c
cos x sin x + c
1
arctan x
1+x2
p 1
arcsin x + c
1 x2
1
p
arccos x + c
1 x2
5.6.2
Integrali per sostituzione
Proposizione 5.21 (Formula integrale per sostituzione). Sia h(x) = f (y), con y = g(x). Allora
Z
Z
@g 1 (y)
h(x)dx = f (y)
dy.
@y
5.6.3
Integrali per parti
Proposizione 5.22 (Formula integrale per parti). Siano f, g due funzioni reali derivabili. Allora
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x)
f 0 (x)g(x)dx.
5.7
Esercizi
35
