Analisi e Geometria 1
Corsi di studi in Ingegneria Aerospaziale, Meccanica ed Energetica
Anno accademico 2016/2017
Modalità d’esame
Sono previsti tre appelli d’esame, nelle date stabilite dal calendario accademico. Sono inoltre
previste due prove in itinere (una nell’interruzione di metà corso e l’altra a fine corso). L’esame
può essere superato sostenendo con votazione sufficente entrambe le prove in itinere oppure uno degli
appelli. Solo chi supera la prima prova in itinere può sostenere la seconda prova.
Ciascuna prova in itinere e ciascun appello si compongono di due parti.
La prima parte prevede due domande di teoria alle quali rispondere in modo articolato (per
esempio: scrivere una definizione oppure enunciare e dimostrare un teorema).
La seconda parte consiste di esercizi da risolvere.
La prima parte svolta viene ritirata prima dello svolgimento della seconda parte. I punteggi sono
suddivisi nel modo seguente.
Prima parte 8/32.
Seconda parte 24/32.
La prova risulterà sufficiente se il voto della prima parte sarà pari ad almeno 4 e quello della seconda
parte pari ad almeno 14 .
A discrezione del docente, uno studente che abbia superato entrambe le prove in itinere o la prova
scritta dell’appello, potrà essere convocato a sostenere una prova orale.
Lo studente deve iscriversi a ogni appello che intende sostenere e questo avviene esclusivamente
tramite segreteria e servizi on line. Se per qualsiasi motivo lo studente non risulta iscritto, non è
ammesso a sostenere la prova scritta. Ogni studente è pertanto invitato a iscriversi con largo anticipo
e a controllare qualche giorno prima dellappello leffettiva iscrizione.
Programma del corso
√
1. Numeri reali e complessi. Numeri razionali e numeri reali. Irrazionalità di 2 . Maggiorante,
minorante, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Numeri
complessi e loro algebra: forma trigonometrica, significato geometrico di somma e prodotto,
formula di De Moivre, radici n-esime, formula di Eulero, forma esponenziale.
2. Limiti e continuità. Funzioni di variabile reale. Grafici delle funzioni elementari. Funzioni
composte, funzioni monotone, funzioni inverse. Successioni. Teorema di convergenza di successioni monotone. Definizioni di limite. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno e
del confronto. Il numero di Nepero. Limiti notevoli e proprietà asintotiche. Infinitesimi e infiniti
e loro confronto. Continuità e principali teoremi sulle funzioni continue (teorema di Weierstrass,
degli zeri e dei valori intermedi). Discontinuità. Funzioni monotone e loro principali proprietà.
1
3. Calcolo differenziale. Concetto di derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Algebra
delle derivate. Teoremi di Fermat, del valor medio (o di Lagrange) e di de l’Hospital. Test di
monotonia e di riconoscimento dei punti stazionari. Funzioni convesse/concave, punti di flesso.
Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor.
4. Calcolo integrale. Integrale di Riemann. Proprietà dell’integrale. Funzione integrale. Primo
teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema della media integrale. Primitive e integrali
indefiniti. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di primitive: integrazione
di funzioni razionali fratte, per sostituzione e per parti. Integrali generalizzati. Criteri di convergenza.
5. Equazioni differenziali. Integrale generale delle equazioni a variabili separabili e delle equazioni
lineari del primo ordine. Problema di Cauchy per equazioni del primo ordine.
6. Vettori ed elementi di geometria analitica nel piano e nello spazio. Lo spazio vettoriale Rn . Prodotto scalare, norma, distanza, angoli, basi ortonormali e proiezioni ortogonali.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in Rn . Prodotto vettoriale e area. Prodotto misto e volume
nello spazio tridimensionale. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani nello spazio.
Distanze punto-piano e punto-retta. Fasci di piani. Equazioni di circonferenze nel piano e di
sfere nello spazio.
7. Curve nel piano e nello spazio, integrali di linea. Limiti e derivate di funzioni vettoriali
di una variabile. Curve nel piano e nello spazio: forma parametrica, lunghezza di una curva,
parametro arco. Integrali di linea di prima specie. Applicazioni fisiche. Versori tangente, normale, binormale (terna intrinseca) e piani coordinati (piani osculatore, normale, rettificante).
Curvatura, raggio di curvatura e cerchio osculatore.
Teoremi richiesti con dimostrazione
√
1. Numeri reali e complessi: irrazionalità di
2 , formula di De Moivre, radici n-sime di un
numero complesso, prodotto di numeri complessi e rotazioni.
2. Limiti e continuità: unicità del limite, teorema fondamentale sulle successioni monotone,
teorema di monotonia, teorema del confronto, continuità della funzione composta, teorema degli
zeri, teorema dei valori intermedi.
3. Calcolo differenziale: continuità delle funzioni derivabili, derivazione della funzione composta,
derivazione della funzione inversa, teorema di Fermat, teorema di Lagrange, teorema di monotonia, teorema di Cauchy, teorema di Taylor con resto secondo Peano.
4. Calcolo integrale: formula di integrazione per parti, formula di integrazione per sostituzione,
teorema della media integrale, primo teorema fondamentale del calcolo integrale, secondo teorema
fondamentale del calcolo integrale, monotonia della funzione integrale di una funzione continua
non negativa, criterio del confronto asintotico, criterio della convergenza assoluta.
5. Equazioni differenziali: integrale generale di un’equazione lineare del primo ordine in forma
normale.
6. Vettori e geometria analitica nel piano e nello spazio: disuguaglianza triangolare, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, formula della distanza tra un punto e un piano.
7. Curve nel piano e nello spazio, integrali di linea: indipendenza degli integrali di prima
specie dalla parametrizzazione, formule di Frenet-Serret, caratterizzazione delle curve piane mediante il versore binormale.
2
