CAMPI ELETTROMAGNETICI II Esercitazione del 20091102

CAMPI ELETTROMAGNETICI II
Esercitazione del 20091102
Università degli studi di Roma TRE
Dipartimento di Elettronica Applicata
Prof. Lucio Vegni
20091101_Esercizio CEM_II
Dato un mezzo elettromagnetico caratterizzato dalle seguenti relazioni costitutive:
 D   ( E) E

B  H
nell’ipotesi di regime armonico ed in assenza di sorgenti, determinare:
 l’equazione vettoriale risolvente il campo elettrico E
 l’equazione vettoriale risolvente il campo elettrico H
 l’equazione scalare risolvente il campo elettrico nell’ipotesi che esso sia polarizzato
linearmente.
Soluzione
Equazione vettoriale risolvente il campo elettrico E
 Si scrivono le equazioni di Maxwell:
  E   jB   jH

  H  jD  j (E)E
 Si applica l’operatore di rotazione a ciascun membro della prima equazione:
    E   j  H   2  (E)E
  E   2 E   2  (E)E  0
 Si determina l’espressione della divergenza del campo elettrico E:
D  0
   (E)E  0
   (E)E  E   (E)   (E)  E  0
E   (E)
E  
 (E)
 Si determina l’espressione del gradiente della divergenza del campo elettrico E:
  E   2 E   2  (E)E  0
 E   (E)
2
2
 
   E    (E)E  0
 (E) 

 E   (E)
2
2

   E    (E)E  0
  (E) 
E   log  (E)   2 E   2  (E)E  0
 Occorre ricordare la seguente proprietà vettoriale:
L  V  L    V  V    L  L  V  V  L
 che permette di scrivere:
E   log  (E)  E     log  (E)   log  (E)   E 
E    log  (E)   log  (E)  E 
  log  (E)   E  E    log  (E)   log  (E)  E
 In definitiva si ottiene:
 log  (E)   E  E   log  (E)   log  (E)  E   2 E   2  (E)E  0
Equazione vettoriale risolvente il campo magnetico H
 Si osserva che non è possibile scrivere l’equazione vettoriale risolvente il campo magnetico
H se non si conosce la relazione funzionale  (E) . È, cioè, necessario risolvere prima il
campo elettrico E e poi passare alla risoluzione del campo magnetico H.
Equazione scalare risolvente il campo elettrico nell’ipotesi che esso sia polarizzato
linearmente.
 Si applica adesso l’ipotesi di polarizzazione lineare del campo elettrico
 ( E x xˆ )
:
E  E x xˆ con f  , x 
0
 log  0 f  , x    E x xˆ   E x xˆ   0 f  , x    0 f  , x   E x xˆ   2   2  0 f  , x E x xˆ  0
 Si proietta la risolvente lungo i tre assi cartesiani:
xˆ   log  0 f  , x    E x xˆ   xˆ  E x xˆ    log  0 f  , x   xˆ   log  0 f  , x   E x xˆ 

 xˆ   2   2  0 f  , x E x xˆ  0


yˆ   log  0 f  , x    E x xˆ   yˆ  E x xˆ    log  0 f  , x   yˆ   log  0 f  , x   E x xˆ  0
zˆ   log  f    E xˆ   zˆ  E xˆ    log  f   zˆ   log  f   E xˆ  0
0  ,x
x
x
0  ,x
0  ,x
x



 Si fanno le seguenti semplificazioni:
 log  0 f  , x     E x xˆ  
xˆ
 log  0 f  , x 
 log  0 f  , x   
  log  0 f  , x 

xˆ 
yˆ 
zˆ  
x
y
z

 x
Ex
1.
  log  0 f  , x  E x  log  0 f  , x  E x 




y

y
z
z 

 log  0 f  , x  E x




x
y


 log  0 f  , x  E x




x
z


yˆ

y
0
zˆ


z
0
2

 2 log  0 f  , x 
 2 log  0 f  , x  
  log  0 f  , x 

ˆ
ˆ
ˆ
x
y
zˆ 
2. E x x    log  0 f  , x   E x 
2
xy
xz
x




 log  0 f  , x  E x  log  0 f  , x  E x


xˆ   log  0 f  , x    E x xˆ   

y

y
z
z

 log  0 f  , x  E x

3. yˆ   log  0 f  , x    E x xˆ  
x
y


 log  0 f  , x  E x
zˆ   log  0 f  , x    E x xˆ  
x
z

4.
 log 
0
  log  0 f  , x    log  0 f  , x    log  0 f  , x   
 E x xˆ
f  , x   E x xˆ  


x
x
y
y
z
z 

 La prima equazione diventa:
Equazione
1
 log  0 f  , x  E x

x
x


  2   2  0 f  , x E x  0
 La seconda equazione diventa:
Equazione
2

 log  0 f  , x  E x
x
y
 2 log  0 f  , x 
 Ex
xy
0
 La terza equazione diventa:
Equazione
3

 log  0 f  , x  E x
x
z
 2 log  0 f  , x 
 Ex
xz
0
 Il sistema risolvente scalare è dunque:

Equazione


Equazione


Equazione

1
2
3
 log f  , x E x
  2   2  0 f  , x E x  0
x
x
 log f  , x E x
 2 log f  , x

 Ex
0
x
y
xy
 log  0

 log f  , x E x
 2 log f  , x

 Ex
0
x
z
xz
ed ovviamente dipende dalla funzione f , x 
 ( E x xˆ )
.
0
