Circuito RL (vedi pag 261 Caforio - Ferilli) Chiusura del circuito. Il

Circuito RL
(vedi pag 261 Caforio - Ferilli)
Chiusura del circuito.
Il circuito comprende un generatore di f.e.m. fg, una resistenza R ed una induttanza L. Alla chiusura
del circuito, dalla seconda legge di Kirchhoff ricaviamo l'equazione del circuito:
f g− L
di
=Ri , ovvero: Li ' Ri= f g .
dt
Dal punto di vista matematico, si tratta di una equazione differenziale lineare del primo ordine, a
coefficienti costanti, non omogenea. Per risolverla, consideriamo intanto l'equazione omogenea
associata: Li ' Ri=0 . Essa ammette delle soluzioni della forma i t = A e kt .
Per determinare k, sostituiamo q t  nell'equazione omogenea e dividiamo per A e kt , ottenendo
così l'equazione caratteristica: Lk R=0 ⇒ k =−
R
.
L
R
− t
L
Le soluzioni dell'equazione omogenea sono tutte e sole le funzioni della forma: i om= A e
.
La quantità =L/ R , che ha le dimensioni di un tempo, viene detta costante di tempo o tempo
caratteristico del circuito. Essa ci informa che per t= la grandezza i om è diminuita di un
fattore e rispetto al suo valore iniziale.
Dobbiamo ora determinare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Poiché il
termine indipendente da i è costante, cerchiamo la soluzione particolare tra le funzioni costanti, e
quindi imponiamo che i ' =0 . Ricaviamo quindi: i part =
fg
.
R
La soluzione generale dell'equazione non omogenea è quindi data dalla soluzione generale
dell'equazione omogenea e da una soluzione particolare dell'equazione non omogenea:
i gen= A e
R
− t
L

fg
.
R
Per determinare il valore della costante indeterminata A, imponiamo la condizione iniziale
i 0=0 , ovvero che, al momento in cui è stato chiuso il circuito, non circolasse corrente.
Ricaviamo quindi: A
fg
f
=0 ⇒ A=− g .
R
R
Pertanto, la soluzione dell'equazione del circuito che rispetta la condizione iniziale data è:
R
− t
fg
i t = 1−e L  .
R
Osserva che all'istante t=0 la corrente è nulla, mentre per t ∞ , essa tende asintoticamente
al valore massimo i=
fg
, che è dato dalla prima legge di Ohm.
R
Apertura del circuito.
Supponiamo di disinserire il generatore. L'equazione del circuito è semplicemente Li ' Ri=0
che, come abbiamo visto, ammette la soluzione i om= A e
R
− t
L
.
Per determinare il valore della costante indeterminata A, imponiamo la condizione che all'istante in
cui l'interruttore viene aperto la corrente abbia praticamente raggiunto il valore asintotico i=
fg
.
R
f g − RL t
Otteniamo quindi che nel circuito circola ancora l'extracorrente di apertura: i t = e
, che
R
tende esponenzialmente a zero quando il tempo tende all'infinito (in realtà, dopo pochi intervalli t
del tempo caratteristico del circuito, la corrente circolante diventa più piccola di qualunque valore
possiamo misurare).
Per risolvere queste equazioni differenziali considerandole come equazioni a variabili separabili,
vedi pag. 268 del Caforio - Ferilli.