Chi è pi

Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena
Prof. Roberto Fantini
Chi è pi-greco?
E’ uno dei numeri irrazionali trascendenti più importanti di tutta la matematica.
Che fosse irrazionale trascendente, ci sono voluti quasi quattromila anni per capirlo.
Che fosse irrazionale riuscì a dimostrarlo il matematico svizzero Johann Heinrich
Lambert nel 1767. Ci sono poi voluti più di altri cent’anni per arrivare a dimostrare
che quel numero irrazionale era di tipo trascendente. Questa è la prova rigorosa che
non sarà mai possibile trasformare l’area di una circonferenza nell’area di un quadrato
(uno dei tre famosi problemi dell’antichità assieme alla duplicazione di un cubo e la
trisezione di un angolo). La data in cui viene dimostrato che  è un numero
irrazionale trascendente è il 1882, l’autore è Ferdinand Lindemann.
Nell’antichità, i babilonesi usavano per  l’approssimazione di 22/7, mentre
Archimede (287-212 a.C.) con un metodo molto ingegnoso trovò che 3+10/71 <  <
3+10/70=22/7, un ottimo risultato. Successivamente sempre Archimede, attraverso il
calcolo dei perimetri inscritti e circoscritti ad un cerchio di raggio r=1 (e quindi
circonferenza c=2  ), riuscì a trovare le formule ricorsive per i poligono di 4, 8, 16,
32, 64, 128 lati:
INSCRITTI
l4  2,
l8  2  2 ,
l32  2  2  2  2 ,
l16  2  2  2 ,
l64  2  2  2  2  2 ,
l128  2  2  2  2  2  2 , ....................
e quindi per  :
  64 2  2  2  2  2  2  3.1413
l4  2,
l8  2

CIRCOSCRITTI
2  1 , l16  2  2  2 2  2  1  2  , ....







Più recentemente altri matematici si cimentarono nell’impresa. Ricordiamo Francois
Vietè:
2
2
2
  2


 .....
2 2 2
2 2 2
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Prof. Roberto Fantini
Wallis (il medico inglese decifratore di codici) ottenne la frazione:
 2  2  4  4  6  6  ....

2 3  3  5  5  7  7  ....
che ha il grande vantaggio di non contenere radicali.
Un’altra approssimazione viene da William Brouncker, il primo presidente della
Royal Society, che utilizzò le frazioni continue:
4
1
1
32

2
52
2
72
2
2  ...
Newton scrisse ad uno dei suoi amici: “Non avendo altro da fare, in questi giorni ho
calcolato le prime 16 cifre di  .” John Machin determinò per primo le prime 100
cifre decimali. Leibniz costruisce una somma infinita ricorrendo alla successione di
numeri dispari:

1
1
1



+ .....
8 1  3 5  7 9  11
Poi arriva Leonard Euler (1770):
2
1 1 1
   ....
6
22 32 42
2
1 1
1
 1  2  2  2  ....
8
3 5 7
2

1 1 1
1
 1  2  2  2  2  ....
12
2 3 4 5
1
Queste tre serie sono ottime per calcolare  2 perché convergono abbastanza
velocemente in quanto il singolo elemento della successione tende a zero con l’inverso
del suo quadrato. Eulero riuscì a determinare il valore delle serie riportate sopra grazie
allo sviluppo in serie di Taylor del seno e del coseno poi uguagliati a zero:
z3 z5
sin z  z    ... sin z  0  z   , 2 ,3 ,... Si ottiene l’equazione algebrica:
3! 5!
3
z
z5
0  z    ...
(z  0) . Dopo aver diviso per z e chiamando w=z2 diventa:
3! 5!
w w2
Per un noto teorema sulle equazioni algebriche, se il termine
0 1 
 ...
3! 5!
noto è 1, allora la somma dei reciproci di tutte le soluzioni è il coefficiente del termine
1 1
1
1
 2

 ... che
di primo grado cambiato di segno, ossia:
2
2
6 
2

3

   
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opportunamente esplicitata fornisce il valore della prima serie di Eulero. Notiamo che
storicamente né Leibniz né Jacques Bernoulli, due grandissimi matematici, riuscirono
nell’impresa di Eulero di calcolare la serie dell’inverso dei quadrati.
Ancora Eulero trovò la seguente:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
  1       +   +   ....
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
dove i segni, dopo i primi due termini, viene stabilito in questo modo: se il
denominatore è un numero primo della forma 4m+1 allora si mette il segno meno; se è
un numero primo del tipo 4m-1 si usa il segno positivo; se il denominatore è un
numero composto viene usato il segno indicato dal prodotto dei segni dei suoi
componenti.
Taylor, scrivendo lo sviluppo in serie dell’arctg1=  /4 ottenne la seguente:
Nel 1873 William Shanks stabilisce un primato impiegando 20 anni della sua vita a
calcolare 707 decimali di  . Ma … nel 1943 un certo Ferguson rifacendo i calcoli
scoprì che la cifra 528° (un 9) era sbagliata e quindi erano sbagliate anche tutte le
altre. Con l’avvento dei computer le cifre vennero calcolate a milioni.
Le 10000 cifre furono calcolate nel 1958, le 100000 nel ’61, il milione nel ’73, i 100
milioni nell’87 ed il miliardo nell’1989. Il record attuale è detenuto dal giapponese
Yasumasa Kanada dell’Università di Tokyo che ha calcolato con il computer 6
miliardi di decimali nel 1996. Recentemente si è sparsa la voce che i fratelli russi
Chunovsky a New York avessero calcolato  fino a 8 miliardi di decimali e che
intendessero raggiungere i 1000 miliardi.
Non basterebbero tutti i libri della Terra che sono stati scritti e che mai si scriveranno
per contenerlo. In  potremmo vederci contenuta tutta la Divina Commedia e tutta la
Bibbia. Per pura curiosità, riportiamo il valore di  con le sole prime 1000 delle
infinite cifre decimali non periodiche:
=
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494
4592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844
6095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549
3038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692
3460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520
9209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415
1160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996
2749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394
9463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694
0513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122
4953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418
1598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963
1859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783
8752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863
8823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201
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