Bilancia di Coulomb

Bilancia di Coulomb
Scopo dell’esperienza
• Verificare la legge di Coulomb
• dipendenza dall’inverso del quadrato della distanza
• dipendenza dal quadrato della carica
• Determinare il valore della costante dielettrica in aria
Legge di Coulomb
Il modulo |F| della forza che una carica puntiforme q1 esercita su un’altra carica puntiforme q2 è
direttamente proporzionale al prodotto delle due quantità di carica ed inversamente proporzionale al
quadrato della distanza
F =k
q1q2
r2
k è una costante di proporzionalità detta costante elettrostatica di Coulomb. La direzione della forza è
quello della congiungente le due cariche puntiformi ed il verso è attrattivo per due cariche di segno
opposto e repulsivo per due cariche dello stesso segno.
1
4πε 0
= 8.99 ⋅109
[N ][m]2
[C ]2
Due cariche puntiformi di 1 Coulomb poste ad 1 metro di distanza subiscono ciascuna una forza
attrattiva/repulsiva pari a 8.99 109 N
Attenzione: La forza di Coulomb è una forza Conservativa, quindi ammette una energia potenziale, etc
etc ……..
Potenziale elettrico
Si definisce potenziale nel punto A V(A) il rapporto dell’energia potenziale con il valore della carica sonda q0..
V ( A) =
[V ] = [J ] = Volt
[C ]
U ( A)
F ⋅ ds
= ∫
= − ∫ E ⋅ ds
q0
q
0
a − > rif
rif − > A
Nel caso in cui Q sia una sorgente puntiforme allora
V ( A) = V (Q, rA ) =
1 Q
 
4πε 0  rA 
Il potenziale è associato unicamente alla distribuzione di carica che genera il campo elettrico. Il potenziale di una
carica puntiforme costituisce il mattone con cui, con un processo di integrazione, si costruisce il potenziale di una
qualsiasi distribuzione di cariche
r
P(x0,y0,z0)
V ( x0 , y0 , z0 ) =
ρ ( x, y, z ) dV
1
∫ 4πε
vol
0
r
ρ ( x, y, z ) = Densità di carica in x, y, z
dq = ρ ( x, y, z ) dV
Capacità
Dato uno o più conduttori, si definisce capacità il rapporto tra la carica presente sulla
superficie del conduttore e il potenziale del conduttore stesso
Q
C=
∆V
[
Coul ]
[C ] =
=
[Volt ]
farad
La capacità è una osservabile che dipende solamente dalle caratteristiche geometriche del
conduttore. Se la forma è semplice (sfere, piani, cilindri) è possibile calcolare la capacità
teoricamente.
P.es. La capacità di un conduttore sferico di raggio R è data da:
D
C = 4πε 0 R
Esperimento di Coulomb
Istruzioni
Qualche accorgimento prima di inziare
1. Mettere a terra l’uscita “-” dell’alimentatore, cortocircuitandola con la messa a terra
dell’alimentatore stesso (sul retro). Collegare una delle due punte conduttrici in serie con
la messa a terra. Collegare l’altra punta all’uscita “+” dell’alimentatore.
2. Prima di caricare le sferette toccarle con la punta messa a terra, per essere sicuri di
scaricarle entrambe. Toccarle poi entrambe con la punta in tensione. In questo modo
entrambe saranno caricate al potenziale indicato dall’indicatore dell’alimentatore.
3. Impugnare le punte conduttrici ben lontano dall’estremita’ metallica, per evitare di
perturbare la carica che si deposita sulle sfere.
4. Spegnere sempre l’alimentatore immediatamente dopo aver caricato le sferette, per
evitare correnti di dispersione.
5. Verificare che le due sfere siano di pari diametro
6. Verificare che le due sfere siano alla stessa altezza
7. Verificare che il bilanciere che tiene la sfera sia in equilibrio (in caso contrario
spostate/aggiungete le spiralette di rame)
8. Verificate che la manopola sia sempre solidale con il goniometro
1a parte dell’esperienza:
Verifica dell’andamento 1/R2
1. Assicurarsi che le sfere siano scariche e posizionarle alla massima distanza
2. Azzerare la posizione della bilancia di torsione (con la manopola graduata
posizionata sullo zero, ruotare la base del filo finche’ la tacca sulla parte mobile
della bilancia coincide con quella posizionata sulla parte fissa)
vista dall’alto
3. Caricare le sfere alla massima distanza con 5-6 kV, spegnere l’alimentatore e portare
le sfere a distanza R. Attenzione: prendere nota del valore esatto del potenziale!
Tornera’ utile nella terza parte dell’esperienza.
4. Ruotare la manopola graduata fino all’equilibrio tra la forza elettrostatica e la
torsione del filo, e leggere l’angolo ϑ
1a parte dell’esperienza (segue):
Verifica dell’andamento 1/R2
5. Allontanare di nuovo le sfere e scaricarle con la punta messa a terra
6. Ripetere piu’ volte la misura per lo stesso valore di R
7. Ripetere la misura per diversi valori di R.
Ktorϑ
All’equilibrio tra forza di torsione e forza elettrostatica vale
(in modulo)
Ftor = Fel
e dunque
q2
⇒
K tor ϑ = k 2
R
q2
−1
ϑ = K tor k 2
R
Fel
vista dall’alto
log ϑ = Alog R + B.
Verificare se le misure efettuate rispettano questo andamento riportando in grafico ϑ
in funzione di R o logϑ in funzione di logR (piu’ facile da fittare p.e. in Excel).
1a parte dell’esperienza (segue):
Verifica dell’andamento 1/R2
Attenzione: finora abbiamo supposto che le sfere cariche si comportassero come
cariche puntiformi, mentre hanno entrambe raggio a=1.9cm. Puo’ essere opportuno
apportare una correzione all’angolo di torsione che tenga conto della dimensione finita
delle sfere cariche. Si puo’ dimostrare che questa correzione e’ data da
ϑcorr =
ϑ
a
1 − 4 
R
3
.
Sostituire i valori di ϑ misurati in precedenza con ϑcorr e verificare se la qualita’ dei dati
migliora.
In quale range di valori di R ci si aspetta un netto miglioramento? Per quale motivo?
2a parte dell’esperienza:
Verifica dell’andamento q2
1. Assicurarsi che le sfere siano scariche, e portarle ad una distanza fissata (tra 7 e 10
cm preferibilmente)
2. Caricare le sfere a potenziali diversi V (tra 1 e 7 kV) e misurare per ogni potenziale
l’angolo di torsione necessario per equlibrare la bilancia (vedere punto 4 della 1a
parte dell’esperienza). Attenzione: ricordarsi di spegnere ogni volta l’alimentatore
immediatamente dopo aver caricato le sfere per evitare correnti di dispersione.
Di nuovo, possiamo scrivere che all’equilibrio vale
Ftor = Fel
ϑ corr
q2
=K k 2
R
−1
tor
e dunque
log ϑ = Alogq + B.
Assumendo che le sfere siano due conduttori sferici di raggio a, possiamo scrivere
q = CV = (4 πε0 a)V
e quindi
log ϑ = A'logV + B'.
2a parte dell’esperienza:
Verifica dell’andamento q2
Verificare se le misure efettuate rispettano questo andamento riportando in grafico ϑ
in funzione di V o logϑ in funzione di logV.
3a parte dell’esperienza:
Misura della costante di Coulomb k
In questa parte dell’esperienza misureremo la costante di Coulomb, definita dalla
relazione
q2
Fel = k 2 .
R
Per ottenere il valore di k, dovremo conoscere simultaneamente I valori assoluti della
distanza tra le sfere cariche, la loro carica e la forza elettrostaica che si esercita tra di
esse.
Una particolare attenzione merita la determinazione del valore assoluto della forza
elettrostatica, che noi misuriamo tramite la forza di torsione da applicare alla bilancia
per stabilire un equilbrio allo zero della scala graduata. La forza elettrostatica (in
modulo) e’ dunque data da
Fel = Ftor = K torϑ corr .
Ci occorre quindi conoscere il valore della costante di torsione del filo, che e’ l’oggetto
della prima misura da effettuare.
3a parte dell’esperienza:
Misura della costante di Coulomb k
Misura della costante di torsione
vista laterale
barra di supporto
Separare la bilancia dall’asta graduata della sfera scorrevole, e posizionarla in
orizzontale sul tavolo di lavoro. Metterla in posizione aiutandosi con l’apposita
barretta di supporto.
3a parte dell’esperienza:
Misura della costante di Coulomb k
Misura della costante di torsione
tubo di supporto
Appoggiare la sfera mobile sul tubo di supporto.
Fate in modo che le tacche della parte mobile e di quella fissa combacino, bilanciate cioe il peso della
pallina aggiungendo/spostando sul bilanciere le molle di rame. NON torcete eccessivamente il filo (non
superate cioe’ i 360 gradi per metterla in equilibrio)
Dovete raggiungere una situazione in cui la sfera mobile e’ appena sollevata dal tubo di supporto, senza
piu’ appoggiarvisi. Prendere nota dell’angolo segnato dalla scala graduata, ϑ0.
3a parte dell’esperienza:
Misura della costante di Coulomb k
Misura della costante di torsione
massa m
tubo di supporto
Appoggiare le masse sul centro della sfera; la sfera si appoggera’ di nuovo al tubo di supporto per effetto
della forza peso. Ruotare la manopola graduata finche’ le tacche della bilancia coincideranno di nuovo (la
sfera dovrebbe di nuovo posizionarsi appena al di sopra del tubo di supporto.
Usate pesi di massa tale che riproducano lo stesso range di rotazioni che avete misurato con la forza di
Coulomb (in altre parole non caricate troppo la bilancia, richiate di rompere il filo e di rifare tutto)
Prendere nota dell’angolo θ e ripetere la misura due o tre volte
Usate piu’ masse anche combinandole tra loro
3a parte dell’esperienza:
Misura della costante di Coulomb k
Misura della costante di torsione
Usare la relazione
Ktor(ϑ-ϑ0)
mg = K tor (ϑ − ϑ 0 )
per determinare la costante di torsione del filo.
mg
3a parte dell’esperienza:
Misura della costante di Coulomb k
Una volta in possesso della costante di torsione del filo, possiamo sfruttare le
misure ottenute nella prima parte dell’esperienza (verifica dell’andamento 1/R2)
per determinare la costante di Coulomb.
Prima pero’ occorre stimare la carica presente sulle sfere. Come nella seconda
parte dell’esperienza, assumeremo che le sfere siano due condensatori sferici cavi
di raggio a=1.9cm. Si puo’ dunque stimare la carica depositatavi mediante la
relazione
q = CV = (4 πε0 a)V
con (ma non è da usare)
ε0 = 8.85 ×10−12 F /m.
Usare questa relazione per determinare la carica sulle sfere nella prima parte
dell’esperienza.
3a parte dell’esperienza:
Misura della costante di Coulomb k
A questo punto, la costante di Coulomb k puo’ essere estratta dalla relazione
K torϑcorr
K torϑcorr
q2
=k 2
R
2
1 (CV ) 2
1 (4πε 0 a ) (V ) 2
2 (4πε 0 ) 2
=
=
=
a
V
4πε 0 R 2
4πε 0
R2
R2
per ogni set di dati relativi a diverse distanze R.
 Lo stesso procedimento puo’ essere applicato alle misure ottenute nella seconda
parte dell’esperienza, in cui la carica sulle sfere varia mentre la distanza R rimane
fissata.
NOTA:
Un aspetto che può introdurre un importante errore sistematico è la riduzione della
carica depositata sulla pallina da parte di una atmosfera ‘umida’, quindi:
1) Dopo aver caricato le sferette verificate se la torsione della bilancia rimane
costante per almeno 1 minuto. Se questo non è il caso avete una dispersione
di carica e quindi bisogna tentare di ridurre questa dispersione (caso 2 o 3)
2) Caricate una prima volta le vostra sferette, rimettete in equilibrio la bilancia,
caricate di nuovo le sferette se la bilancia si sposta dall’equilibrio riassestatela
e via così fino a quando non è più necessario un riassestamento. E’
consigliabile fare sempre questa procedura
3) Costruite una curva di calibrazione per ogni tensione. In altre parole caricate le
sferette e fate un plot angolo di torsione verso tempo. Usate questo plot per
correggere i vostri dati.