i quadrati magici

I QUADRATI MAGICI
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle
loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show the magic square and some connections with
Fibonacci’s numbers and other considerations as the number of magic
square of an order not counting rotations and reflections.
1
1.QUADRATO MAGICO ...................................................................................................................7
1.1 PARTIZIONE DI UN INTERO ..............................................................................................11
2. REGOLA PER DETERMINARE IL NUMERO DI QUADRATI MAGICI DI UN DATO
ORDINE.............................................................................................................................................24
2.1 NUMERO DEI QUADRATI MAGICI PERFETTI DI ORDINE 4........................................25
2.2 FORMULA APPROSSIMATIVA PER CALCOLARE IL NUMERO DEI QUADRATI
MAGICI PERFETTI DI ORDINE O ≥ 5 ......................................................................................27
2.2.1 CONNESSIONI CON I NUMERI DI FIBONACCI............................................................28
3. RIFERIMENTI ..............................................................................................................................30
2
Introduzione
Un po’ di storia sui quadrati magici . Dal Rif. 1 riportiamo:
“Un po' di storia sui quadrati magici
(Simbolismi, credenze e poteri divinatori, ma, fortunatamente, non
solo...)
La configurazione del quadrato magico Lo Shu è stata considerata un
simbolo dell'armonia universale: i numeri da 1 (l'inizio di tutte le cose)
a 9 (il completamento), ancora oggi, sono considerati benauguranti,
soprattutto il 5 centrale. La costante magica 15 si interpreta come la
durata di ciascuno dei 24 cicli dell'anno solare cinese. Nell'antica Cina
ci si ispirava a questo quadrato per progettare templi e città suddivise
in 3 × 3 settori.
Il quadrato numerico diventò uno dei simboli sacri della Cina e la
rappresentazione dei più arcani misteri della Matematica e
dell'Universo.
Quella cinese non è stata l'unica cultura a scorgere l'aspetto mistico
del Lo Shu. I quadrati magici in genere erano oggetti spirituali per gli
indù, i mussulmani, gli ebrei ed i cristiani. In Turchia ed in India, alle
vergini veniva chiesto di ricamare quadrati magici sulle tuniche dei
guerrieri. Si credeva che un quadrato magico posto sul ventre di una
donna in travaglio facilitasse il parto. Lo-Shu diventò anche forma di
ornamento in ampie aree dell'Asia, assumendo un valore simbolico e
propiziatorio legato alla credenza che un quadrato magico inciso su
una piastra di metallo prezioso o nel cuoio, e portato al collo, potesse
proteggere da gravi malattie e calamità. Questa tradizione perdura
ancora oggi in alcuni paesi dell'Oriente, dove questi simboli vengono
incisi anche su utensili di uso quotidiano come ciotole e recipienti per
la
conservazione
di
erbe
o
di
pozioni
medicinali.
L' ordine del quadrato Lo Shu (3X3), il più semplice, cominciò ad
"espandersi" e fecero la loro prima comparsa quadrati magici di
ordine più grande (4X4, 5X5, ...10X10,...). Ampliando l'ordine, i
quadrati magici aumentavano di complessità combinatoria, ma, al
contempo, permettevano di celare "messaggi" e significati ancor più
articolati
e
fantasiosi,
pieni
di
"fascinoso"
mistero.
3
Il primo quadrato magico di ordine 4 venne realizzato dall'astrologo
indiano Varahamihira nel VI secolo d.C, da lì, l'ordine dei quadrati
non ebbe più alcun limite.
I quadrati magici erano ben noti ai matematici arabi probabilmente
fin dal settimo secolo, quando questi entrarono in contatto con la
cultura indiana e quella sud-asiatica. Impararono la matematica e
l'astronomia indiane, comprese altre funzioni della Matematica
combinatoria.
I quadrati magici furono importati in Europa durante il Medioevo e il
loro influsso esoterico e la scia di misticismo cinese ed indo-arabo
contribuirono ad alimentare teorie e congetture. Sembrava che grazie
a queste griglie numeriche si potesse spiegare qualsiasi fenomeno
dell'universo sia materiale che umano.
Per gli astrologi e gli studiosi di magia, poi, avevano speciali significati;
così per Cornelio Agrippa il quadrato magico di ordine 1
simboleggiava l'unità e l'eternità, l'inesistenza del quadrato magico di
ordine 2 indicava l'imperfezione dei quattro elementi, mentre i sette
quadrati magici degli ordini da 3 a 9 rappresentavano i sette pianeti
allora conosciuti (la numerazione è stata assegnata rispettando
l'ordine della sequenza planetaria nel sistema magico caldeo: 3 Giove,
4 Saturno, 5 Marte, 6 Sole, 7 Venere, 8 Mercurio, 9 Luna).
Durante il rinascimento forte fu il connubio con l'arte e numerosi
artisti inserirono nelle loro opere quadrati di ordine diverso; incisioni
o rappresentazioni su tela a cui i quadrati davano un alone di
simbolismo e misticismo, rendendo l'opera stessa un "pensiero" da
decifrare.
"E' facile prendersi gioco della predisposizione dei nostri antenati per
l'occulto,eppure l'uomo moderno può capire il fascino esercitato dai
quadrati magici.
Semplice e sottilmente complesso al contempo, un quadrato magico è
come un mantra numerico, un oggetto che si può contemplare
all'infinito, un'espressione isolata di ordine in un mondo disordinato",
scrive Alex Bellos nel suo Il meraviglioso mondo dei numeri (Enaudi).
Bisogna attendere il 1300 per avere una prima vera analisi sui
quadrati magici da un punto di vista meramente matematico.
Analizzando il lavoro dell'arabo Al-Buni, l'erudito bizantino greco
Manuel Moschopoulos (circa 1265 - 1316) scrisse un trattato
matematico a proposito dei quadrati magici, andando oltre il
4
misticismo dei suoi predecessori. Si pensa che Moschopoulos fu il
primo occidentale ad occuparsi dell'argomento. Intorno alla metà del
XV secolo, l'italiano Luca Pacioli studiò queste strutture e raccolse
tantissimi esempi. Si cominciava così a dare la giusta interpretazione
della struttura logico-matematica di queste griglie di numeri.
Nel 1599 Diego Palomino pubblicò a Madrid un'opera sui quadrati
magici, ma non indicò alcun procedimento generale per costruirli. Un
elegante metodo per trovare quelli di ordine dispari fu pubblicato nel
1612 da C. G. Bachet nei suoi Problèmes plaisant. Quello pubblicato
nel 1691 dal De La Loubere non ne differisce in maniera particolare.
Un procedimento per la costruzione dei quadrati di ordine pari fu
dato da B. Frenicle De Bessy in un'opera pubblicata nel 1693; in essa
si trovano elencati gli 880 quadrati magici di ordine 4. Le
pubblicazioni sui quadrati magici divennero, poi, sempre più frequenti
ed è così che apparvero le Rècrèations di Ozanam, il Traitè des
quarrès sublimes di Poignard (Bruxelles, 1704) e varie memorie di L.
Eulero.
Nel 1838 ci fu l'opera di Violle Traitè complet des carrès magiques
pairs et impairs, simplex et composès, a bordures, compartiments,
chassis, èquerre, etc., suivi d'un traitè des cubes magiques, in due
volumi. Dal 1866 videro la luce diversi studi come quelli di A. H. Frost
ed M. Frolow, mentre nel 1894 E. Maillet pubblicò le sue ricerche per
una teoria generale dei quadrati magici fondata sulla teoria generale
delle sostituzioni di "n" lettere. G. Arnoux pubblicò Les espaces
arithmètiques hypermagiques (Parigi, 1894), in cui espose un metodo
notevole per la costruzione dei quadrati magici d'ordine primo, poi
esteso da A. Margossian in De l'ordonnance des nombres dans les
carrès magiques impairs (Parigi, 1908) al caso di ordine composto
qualunque.
Oggi, grazie anche a Martin Gardner, che ne ha data ampia diffusione
nei suoi articoli su "Scientific American" prima e nel suo Enigmi e
giochi matematici poi, i quadrati magici sono diventati parte
fondamentale di quella branca della Matematica che va sotto il nome
di Matematica Ricreativa. Molti giochi, test, quiz ed enigmi
matematici sono stati "creati" e molti libri su questi argomenti sono
stati scritti, quasi tutti contemplano i quadrati magici o una loro
particolare riformulazione, a dimostrazione dell'importante aspetto
ludico sì, ma anche logico-didattico, che le griglie numeriche
5
ricoprono.
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1 • X • 15 • 34 • 65 • 111 • 175 • 260 • 399 • 505 • 671 • 870 • 1105 • 1372
•
1695
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ “
6
1.QUADRATO MAGICO
Riportiamo parzialmente la voce “ Quadrato magico” da Wikipedia,
per introdurre l’argomento e per poi passare alle tabelle per la
distribuzione delle somme magiche fino a 10n :
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Un quadrato magico perfetto
. Il numero magico è 15.
Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi distinti in
una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni
riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso
numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante
magica o somma magica del quadrato. In matematica, una tabella
quadrata è detta matrice quadrata.
Un quadrato magico di ordine contenente tutti gli interi da 1 a è
detto perfetto o normale. La costante magica di questi quadrati è data
dalla formula:
7
I primi 15 componenti di questa successione sono: 1, 5, 15, 34, 65, 111,
175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695 (successione A006003
dell'OEIS). ….”
Per tutto il resto rinviamo alle voci correlate della stessa voce, ai
riferimenti ecc.
La nostra ricerca della distribuzione riguarda le successive somme
magiche Sn indicate nell’elenco di cui sopra:
TABELLA 1
10^n
Somme magiche Sn Stima logaritmica
fino a 10^n
Sn ≈ ln(10^n)((n-1)
(parte intera della Stima
≈
stima logaritmica a alternati
partire da 13? )
o loro medie
(mancano 3
iniziali)
F(n)
e
8
10^1
3
10^2
6
10^3
13
2,3≈ 3
2
4,60
5
13,81
28
13
27,63
42
≈ Media artim. tra 21
e 34 = 27
41,79
10^4
34481
≈ Media tra 34 e 55
8
10^5
47 ?
10^6
70 ?
10^7
97 ?
10^8
129 ?
…
…
=44,5
46,05
≈ Media tra 34 e 55
=44,5
69,07
≈ Media tra 55 e 89 =
72
96,70
Media tra 55 e 144 =
99,5
55
e
144
non
consecutivi
128,94
Media tra 89 e 144 =
116,5
…
Osservazioni
La stima logaritmica Sm ≈ (ln(10^n)((n-1) funziona molto bene fino
a 34 481, ultimo numero della lista OEIS sotto riportata, e forse
meglio della stima con i numeri di Fibonacci anche dopo 34 481,
ultimo numero della lista OEIS.
Lista OEIS
0, 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695,
2056, 2465, 2925, 3439, 4010, 4641, 5335, 6095, 6924, 7825, 8801, 9855,
10990, 12209, 13515, 14911, 16400, 17985, 19669, 21455, 23346, 25345,
27455, 29679, 32020, 34481
Questa formula vale approssimativamente anche per qualsiasi
numero della lista: per esempio, fino a 12 209 ci sono 30 somme
9
magiche, la stima logaritmica dà 28,22 che approssimato all’intero
superiore dà 29, vicinissimo a 30 valore reale. Infatti 12 209 è di poco
superiore a 10 000 = 10^4, quindi consideriamo 4 come n precedente, e
quindi n-1 = 3. Essendo ln (12209) = 9,40, la stima che si ottiene è di
9,40*3 = 28, 22 ≈ 29 ≈ 30 valore reale.
Altro esempio 21 455, fino al quale ci sono 36 somme magiche:
ln (21 455)* (4 - 1) = 9,97*3 = 29,91 ≈ 30 ≈ 36, ma se usiamo
direttamente 4, abbiamo 39,88 , più vicino a 36 Ma anche un valore
medio (29 +40) /2 = 34,5 è attendibile, e molto vicino a 34,90 ≈ 35 ≈ 36
se , per numeri compresi tra 10^(n-1) e 10^n prendiamo come media
[(n -1) +n] /2 , in questo caso (3+4) /2 = 3,5, infatti
ln (21 455) *3,5 = 34,90 ≈ 35 ≈ 36
Quindi una stima logaritmica attendibile per il numero di somme
magiche fino ad un qualsiasi inumero N compreso tra 10^(n -1) e
10^n può essere anche Sn ≈ ln(N) * [(n -1) +n] /2
Vediamo ora qualche possibile relazione con le partizioni di numeri
essendo i numeri di ogni riga, colonna o diagonale di un triangolo
magico, un modo per scrivere M(n) come loro somma.
Numeri di partizione p(n), oppure anche, parzialmente da Wikipedia:
10
1.1 PARTIZIONE DI UN INTERO
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Una partizione di un intero positivo n è un modo di scrivere n come
somma di interi positivi, senza tener conto dell'ordine degli addendi.
Formalmente, una partizione di n è una sequenza di interi positivi
tali che
Spesso si chiede che n sia un intero positivo; talora però risulta
opportuno considerare anche come unica partizione dello 0 la
sequenza vuota.
Esempi
Le partizioni di 4 sono le seguenti:
1.
2.
3.
4.
5.
4
3+1
2+2
2+1+1
1+1+1+1
Le partizioni di 8 sono invece le seguenti:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
8
7+1
6+2
6+1+1
5+3
5+2+1
5+1+1+1
4+4
4+3+1
11
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
4+2+2
4+2+1+1
4+1+1+1+1
3+3+2
3+3+1+1
3+2+2+1
3+2+1+1+1
3+1+1+1+1+1
2+2+2+2
2+2+2+1+1
2+2+1+1+1+1
2+1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1+1+1
La funzione di partizione
La funzione di partizione indica, per ogni intero positivo n, il numero
di partizioni esistenti per n. Per esempio, per quanto mostrato negli
esempi,
mentre
La funzione partizione non è né moltiplicativa né additiva e cresce
molto in fretta al crescere di n. Viene solitamente indicata con p(n). I
primi valori di p(n) , partendo da 0, sono:
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101 ... (Sequenza A000041
della OEIS-On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) ….”
Poiché i numeri di una riga, colonna o diagonale è un modo per
scrivere una somma magica M(n) con un gruppo di k numeri tutti
diversi, e quindi costituiscono una partizione di M(n) vediamo i casi
12
per n = 3
Premesso che i numeri 4 e 8 hanno entrambi rispettivamente uno e
due modi (segnati ora in rosso nella lista delle rispettive partizioni))
di essere scritti rispettivamente come somma di due (k=2) numeri e
di tre (k = 3) numeri diversi tra loro, nei quadrati magici vige lo
stesso principio: la somma magica deve essere scritta come somma di
k numeri tutti diversi tra loro, non essendo ammesse ripetizioni
(qualcosa di simile avviene pure nel sudoku).
Un quadrato di 3*3 = 9 deve avere gruppi di 3 numeri affinché la
somma di due numeri sia 15, che corrispondono alle partizioni di 7,
quindi k deve essere un sottoinsieme di 15 , e pure i numeri che ne
costituiscono la somma.
Vediamo il quadrato magico di 3*3 = 9
Abbiamo 8 modi ( 3 righe, 3 colonne e 2 diagonali) quindi 7 + 1= 8
13
= n +1 modi di rappresentare 15 come somme di tre (k=3) numeri , su
un totale di p(15) = 176 partizioni di 15 ( modi di scrivere 15 come
somma di k numeri minori di 15). Per i quadrati magici servono solo
quelli di k=3 numeri ciascuno , e che sono 8 (per esempio 2+7+6 =15
(prima riga), 2+5+8=15 (una delle diagonali), 7+5+3 =15 (seconda
colonna) ecc. ecc.
Ecco quindi che il meccanismo aritmetico dei quadrati magici si
riduce, alla fin fine, ad un problema di partizioni di numeri. (Lo
stesso ovviamente vale, in proporzione, per tutti i possibili quadrati
magici)
La prossima somma magica, 34, si riferisce invece ad un quadrato di
4*4 = 16 caselle.
Vediamo ora di fare una tabella con la colonna n e la colonna
M(n) delle rispettive somme magiche, per trarne qualche novità
matematica:
14
TABELLA 2
n*n = n^2
Somma magica M(n)
1*1=1
2*2=4
3*3=9
4*4=16
5*5=25
6*6 = 36
7*7 = 49
8*8= 64
9*9 = 81
10*10=100
…
1
5
15
34
65
111
175
260
369
505
…
Relazione matematica
M(n)/
n^2
≈
(√1,618)^(n-1) =
1,27^(n-1)
valori
reali di 1,27^(n-1)
1
1,25 ≈ 1,27
1,27
15/9 = 1,666
1,61
34/16= 2,125
2,04
2,60
2,60
3,08
3,52
3,57
3,94
4,06
4,42
4,55
4,95
5,05
5,54
…
La relazione √1,618)^(n-1) = 1,27^(n-1) vale però fino ad n = 5, poi è
più precisa la relazione
2*√√1,618)^(n-1) = 2*1,12^(n-1), che da valori più precisi
Possiamo dire che una connessione con le radici di Φ =1,618 c’è,
anche se eventualmente ancora da approfondire.
Osserviamo i valori della quarta ed ottava riga della Tab. 2, che
abbiamo segnato in rosso.
Nella prima colonna i valori sono 16 e 64, nella seconda 34 e 260 e
nella terza 2,125 e 4,06. I valori 16 (2 * 8) e 64 (64 = 82) sono connessi
15
al numero inerente i modi che corrispondono alle vibrazioni fisiche
delle superstringhe e cioè l’8, attraverso la seguente equazione
modulare di Ramanujan:
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
e
dx 
∫

142
0 cosh πx
4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'

e 4 φw' (itw') 
1 
8=
.
3
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  
+ 

log  



4
4
 




Le somme magiche 34 e 260 possono essere nuove soluzioni delle
equazioni della teoria delle stringhe di tipo E8 X E8; inoltre 34 è un
numero di Fibonacci e 260 è dato dalla somma 233 + 21 + 5 + 1, tutti
numeri di Fibonacci. Infine, i valori 2,125 e 4,06 sono connessi al
rapporto aureo e/o alla sezione aurea: 2,125 = 1,618 + 0,618 = 2,236;
1,6183 – 0,618/3 = 4,029.
Il problema principale dei quadrati magici è però la formula per
stabilire quanti quadrati magici ci sono per ogni quadrato (o matrice
n*n), poiché il loro numero cresce esponenzialmente al crescere di n.
16
TABELLA 3
n
Quadrati n*n
1
2
3
4
1
4
9
16
5
25
6
36
…
…
Numero
di Relazione
quadrati magici matematica
di ordine n
(rapporti
successivi
≈
(Qn)
grossi numeri di
Fibonacci
1
0
1
880
880/1 = 880 ≈
798.5 media tra
610 e 987
275 305 224
275 305 224/880
= 312 846,84
≈ 317 811=28°
numero
di
Fibonacci
stima
1.7754 × 1019
17754 000 000
000 000 000/
275 305 224=
= 17754 000 000 64 888 423,94 ≈
000 000 000
63 245 986 =39°
numero
di
Fibonacci
…
…
Rapporti successivi tra numeri di quadrati ed n^2
880/16 = 55 = numero di Fibonacci
275 305 224/ 25 = 11 012 208, 96.
Circa la media aritmetica tra i due numeri di Fibonacci:
17
35 (7 cifre) :
9 227 465 +
36 (8 cifre) : 14 930 352
24 157 817 /2 = 12 078 908,5 ≈ 11 012 208,96 Media
17754 000 000 000 000 000/36 = 493 166 666 666 666 , 666 ≈
72 (15 cifre) : 498 45 4 011 8 79 264 numero di Fibonacci
Quindi un’altra connessione tra il rapporto tra numero di quadrati di
ordine n e d n^2 ≈ numeri di Fibonacci oppure ≈ loro medie
aritmetiche .
Ma vediamo i numeretti in blu nella tabella 3:
al numero 25 corrisponde il 28° numero di Fibonacci, e 28 =25 +3
al numero 36 corrisponde il 39° numero di Fibonacci, e 39 =36 +3
se questa regola fosse attendibile, per il quadrato 49 del quadrato
magico di ordine 7, dovremmo avere 49 + 3 = 52 = 52° numero di
Fibonacci come rapporto approssimativo di Q7/Q6 ancora maggiore
della stima fatta nelle conclusioni, trattandosi ora del 52° numero di
Fibonacci anziché del 50°.
Per rapporti successivi verticali (Numero di quadrati/numero di
quadrati precedente) vedi Tabella 3 quarta colonna
18
Conclusioni
Rimane da cercare e trovare la formula generale per calcolare il
numero di quadrati magici per ogni n, come si legge nella voce
“Quadrati magici di Wikipedia:
“…Bernard Frénicle de Bessy (1605-1665), matematico francese amico
di Cartesio e di Pierre de Fermat, nel 1663 calcolò il numero dei
quadrati magici perfetti del quarto ordine: 880, con somma costante
34, su righe, colonne e diagonali. Solo grazie al computer si riuscì ad
estendere il risultato, nel 1973, agli ordini superiori: i quadrati magici
di ordine 5 sono 275.305.224. Non è noto il numero preciso dei
quadrati magici di ordine 6, anche se molti sono impegnati nella sua
determinazione. Secondo alcune indagini, il loro numero è nell'ordine
di 1.7754 × 1019. Resta comunque insoluto il problema più generale di
trovare la regola che permetta di determinare il numero di quadrati
magici di ordine n….”
(L’evidenza in rosso è nostra)
Speriamo che quanto sopra detto possa essere utile a trovare la
formula o regola deterministica per risolvere il problema del calcolo
del numero di quadrati magici i quadrati magici di ordine n.
Considerato che il rapporto di Q6 /Q5 è circa il 39° numero di
Fibonacci, e il precedente rapporto Q5/Q4 è circa il 28° numero di
Fibonacci, con 39 - 28 = 11, ci sarebbe da pensare che Q7/Q6 potrebbe
essere un numero vicino al 39+11= 50° numero di Fibonacci, e cioè
dell’ordine di grandezza di 12 586 269 025, da moltiplicare per
19
17754 000 000 000 000 000 per avere all’incirca Q7, e quindi
Q7 sarà approssimativamente 21 528 256 620 269 850 000 000 000 000,
in breve circa 21*10^27 approssimato per difetto.
Ma si potrebbe trattare anche del 52° numero di Fibonacci (o media
con il 51° o il 53° ) come accennato subito dopo la Tabella 3, e quindi
il numero di quadrati magici di ordine 7 sarebbe ancora più grande
di quello da noi stimato,
Q7 ≈ 21*10^27 approssimato per difetto.
Se questo approccio approssimativo al problema tramite i numeri di
Fibonacci come attendibili rapporti Qn/Qn-1 fosse attendibile, lo dirà
la formula precisa quando sarà scoperta, paragonando i due risultati:
il nostro, Q7 ≈ 21*10^27 oppure il valore più grande ottenibile col 52°
numero di Fibonacci, e quello esatto dell’eventuale futura formula
o regola risolutiva.
Avremmo infatti:
17754 000 000 000 000 000 * 52° numero di Fibonacci =
17754 000 000 000 000 000* 32 951 280 099 (= 52° (11 cifre) numero di
Fibonacci)
58 501 562 237 646 000 000 000 000 000 ≈ Q7
Applicando questa stima a 880/16 = 55, vediamo però che 55 non è il
20
16 + 3 = 19° numero di Fibonacci, ma il 19/2 = 9,5 ≈ 10° numero di
Fibonacci. Potrebbe però trattarsi di una piccola irregolarità iniziale,
che non si ripeterebbe più in seguito, lasciando il posto alla regolarità
approssimativa del rapporto Qn/n^2 ≈ [(n^2) + 3)]° numero di
Fibonacci, forse con l’eccezione iniziale di Q4 /4^2 = 55 = 10° numero
di Fibonacci anziché il 16 + 3 = 19° numero di Fibonacci, che è invece
4181.
21
Si può notare che generalmente LE SOMME MAGICHE SONO
VICINE A QUADRATI:
TABELLA 4
somme magiche
A
RADICE
QUADRATA
B
QUADRATO
PIU‘ VICINO
DIFFERENZA
A-c
1
5
15
34
65
111
175
260
399
505
671
870
1105
1372
1695
…
14911
…
1
2,23
3,87 ≈ 4
5,83 ≈ 6
8,06
10,5 ≈ 11
13,22
16,12
19,97 ≈ 20
22,47
25,90 ≈ 26
29,49
33,24
37,04
41,17
…
122,11
…
1
4
9
16
25
36
64
121
169
256
400
484
676
841
1089
1369
1681
…
14884
…
0
1
-1
-2
-1
-10
6
4
-1
21
5
29
16
3
14
…
27
Notiamo che la differenza tra somme magiche e quadrati più vicini
non supera, almeno fino a 870, il 3,33 della somma magica (29/8,70 =
3,33333…). Questo perché
la formula
, che contiene
n^2 +1, prossima al quadrato n^2, e quindi, nel suo complesso,
22
essa produce le piccole differenze, positive ma più raramente
anche negative osservate nella suddetta tabella.
Questa osservazione potrebbe essere utile nei futuri studi sui
quadrati magici, possibilmente anche nel calcolo dei quadrati
magici di ordine n.
23
2.
REGOLA PER DETERMINARE IL NUMERO DI
QUADRATI MAGICI DI UN DATO ORDINE
Il problema più generale, ovvero trovare la regola che consenta di
determinare il numero di quadrati magici di un dato ordine, rimane
da risolvere.
Questo numero non deve considerare i quadrati ottenuti con rotazioni
e simmetrie.
Dalla Tab. 3 vediamo che finora è stato calcolato con l’avvento del
computer il numero di quadrati magici di ordine 5 che sono
275.305.224.
Il numero preciso dei quadrati magici di ordine ≥ 6 invece non è stato
ancora calcolato con precisione, ma si ha una stima di circa 1.7754 ×
1019 per quelli di ordine 6.
24
2.1 NUMERO DEI QUADRATI MAGICI PERFETTI DI ORDINE 4
Studiamo in dettaglio il caso dei quadrati magici di ordine 4
E’ stato calcolato che il numero dei quadrati magici perfetti del quarto
ordine, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali è 880
ottenuti senza rotazioni e simmetrie
Questo vuol dire in pratica che bisogna spostare i singoli elementi in
modo da mantenere il numero magico 34
1)
1 2 15 16
12 14 3 5
13 7 10 4
8 11 6 9
2)
1 2 15 16
13 14 3 4
12 7 10 5
8 11 6 9
3)
1 2 16 15
13 14 4 3
12 7 9 6
8 11 5 10
1 3 14 16
10 13 4 7
15 6 11 2
8 12 5 9
25
4)
1 3 14 16
12 13 4 5
15 8 9 2
6 10 7 11
5)
1 3 14 16
15 13 4 2
10 6 11 7
8 12 5 9
6)
1 3 14 16
15 13 4 2
12 8 9 5
6 10 7 11
Ora per il calcolo combinatorio il numero totale di quadrati con
all’interno i 16 numeri da 1 a 16 disposti in 16 posizioni differenti è
dato dalla seguente formula:
1616 = 18.446.744.073.709.551.616
(per curiosità, questo numero – 1 è anche il numero totale di chicchi di
riso messi su una scacchiera che vengono raddoppiati di casella in
casella 264 – 1) .
E’ chiaro che per avere dei quadrati magici perfetti non possiamo
spostare a caso i numeri all’interno di un quadrato magico.
Ad esempio fra il quadrato magico 1) e 2) si sono effettuati solo 4
spostamenti e fra il quadrato magico 5) e 6) si sono effettuati 8
spostamenti.
Inoltre in questi 2 esempi ogni casella può assumere solo 2 valori
diversi e non tutti i possibili 16.
26
Abbiamo quindi delle limitazioni che portano dal valore massimo
possibile 18.446.744.073.709.551.616 al valore 880.
2.2 FORMULA APPROSSIMATIVA PER CALCOLARE IL
NUMERO DEI QUADRATI MAGICI PERFETTI DI ORDINE O ≥ 5
Non è possibile calcolare con una formula il numero esatto di
combinazioni che danno luogo a 880 quadrati magici perfetti, però
possiamo trovare un valore limite inferiore approssimativo per i
quadrati magici di ordine superiore al 4:
TAB. 5
Ordine del quadrato magico O
3
4
5
6
7
Numero di quadrati magici N
1
880
512 = 244.140.625
624 = 4.738.381.338.321.616.896
736=
2.651.730.845.859.653.471.779.023.381.601
La formula approssimata per O ≥ 5 è la seguente
N = O12(O-4)
Questa formula deriva dalle seguenti considerazioni:
L’esponente 12*(O-4) dà il numero medio di spostamenti all’interno di
un quadrato magico di ordine O, mentre la base coincidente con
l’ordine O è il numero medio di cambiamenti all’interno di una
singola casella.
Ad esempio per i quadrati magici perfetti di ordine 5 possiamo avere
12 spostamenti medi all’interno delle 25 caselle con 5 cambiamenti
27
all’interno di una singola casella (se la casella contiene il numero 8, ad
esempio, può cambiare il suo valore in media 5 volte).
Notiamo che gli esponenti di 512 e 624 , corrispondenti al numero dei
quadrati magici N della Tab. 5, sono numeri connessi ai modi
corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche (24)
attraverso la seguente equazione modulare di Ramanujan:
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx  142

4 anti log
⋅ 2
πt 2
−
w'

 t w'
4
(
)
'
e
φ
itw
w'

24 = 
.
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  
+ 

log  



4
4
 




2.2.1 CONNESSIONI CON I NUMERI DI FIBONACCI
512 = 244.140.625 ≈ 275.305.224 con differenza 31 164 599 ≈ 11,32%
del valore reale 275.305.224, con 31 164 599 ≈ media aritmetica tra
37 (8 cifre) : 24157 817 +
38 (8 cifre) : 39088 169
(37° numero di Fibonacci)
(38° numero di Fibonacci)
63 245 986/2 = 31622993
≈
31 164 599
Osserviamo che
880 ha 3 cifre, (c=3)
244.140.625 ha 9 cifre (c=9)
4.738.381.338.321.616.896 ha 19 cifre (c= 19)
Con 3 - 1 = 2 numero di Fibonacci
28
9 - 1 = 8 numero di Fibonacci
19-1 = 18 ≈ 17 media di (13 + 21)/2 con 13 e 21 numeri di Fibonacci.
Il prossimo numero di cifre dovrebbe avere un numero di cifre
molto vicino a 34 =35 – 1.
Difatti per i quadrati magici di ordine 7 si ha per difetto che la
formula dà 31 cifre ma in realtà sono di più.
29
3. RIFERIMENTI
1) “Quadrati Magici, storia, schemi, trucchi e giochi – Briciole tra i
Numeri”
sul sito www.marcosroom.it/
2) “ La grande avventura matematica dei quadrati e dei cubi magici”
di Federico Peiretti
sul sito areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/A...
3) “L’equazione da un milione di dollari”, libro di Marcus du Satoy,
Rizzoli, pagg. 202-205
4) Le serie di Fibonacci – I primi 1000 numeri
Sul sito
www.readme.it/libri/M/M00101.shtml
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