Esercizi sui moti relativi
Trascinamento uniforme.
1)La corrente di un fiume ha velocità 50cm/s. Una persona nuota contro corrente per 1km,
quindi torna al punto di partenza; la sua velocità, misurata rispetto alla corrente, è di
1,2m/s. Quanto tempo ci vuole per compiere l’intero percorso? [33’ 37”] Quanto tempo si
impiegherebbe in assenza di corrente? R:[27’ 47”]
2)Sul ponte di una nave, che viaggia verso sud alla velocità di 2,0 m/s, si muovono due
signore che indichiamo con A e B. A si muove verso nord alla velocità di 1,0 m/s rispetto
alla nave. B si dirige verso est alla velocità do 0,5 m/s rispetto ad A. Calcola:
1.La velocità di A rispetto alla terraferma.
2.La velocità di B rispetto alla nave.
3.La velocità di B rispetto alla terraferma
(E’ stato svolto in classe)
3. Una barca deve attraversare un fiume, la cui corrente ha velocità pari a 0.8 m/s. La
velocità della barca, misurata rispetto alla corrente, è di 1.2m/s. Come si deve orientare la
prua per andare direttamente verso il punto opposto sull'altra riva? Se il fiume è largo 40m,
quanto ci vuole per attraversarlo? R:[41.8°, 45s]
4. Un aereo deve volare in direzione E con il vento che soffia a 50km/h in direzione N. Se
la velocità dell’aereo rispetto all'aria è di 200km/h, in che direzione dovrà puntare? [14.5°
SE] Quale sarà la velocità effettiva del velivolo rispetto al suolo? R:[194km/h]
5. Un corpo, inizialmente in quiete, cade da un’altezza di 5m. Descrivere il moto di caduta
visto da un osservatore in moto uniforme, orizzontale, con velocità 8m/s.
6. Un cannone spara con alzo 30° ed il proiettile ha velocità iniziale 300m/s. Un
automobilista viaggia a 153km/h nel verso del lancio. Calcolare la gittata per un
osservatore in quiete e per quello in moto. [7950m e 6650m ]. Calcolare velocità iniziale e
angolo di tiro per l'osservatore in moto. R: [264m/s, 34.6°]
1
7)Il nastro di un tapis roulant lungo 125 metri si muove alla velocità costante di 1.20 m/s.
Una persona che cammina speditamente ha rispetto al suolo una velocità di circa 2.00
m/s. In queste ipotesi quanto impiega la persona ad arrivare in fondo al percorso coperto
dal tapis roulant e tornare indietro? R: [195s]
Problema svolto
8)La corrente di un fiume largo d = 60 m scorre a una velocità di 1.5 m/s. Un nuotatore
olimpionico punta in direzione perpendicolare alla riva e nuota con una velocità (rispetto
all’acqua) diretta perpendicolarmente alla riva e pari a 1.2 m/s.
a) Quanto tempo impiega il nuotatore per fare andata e ritorno?
b) A quale distanza dal punto di partenza arriverà?
Soluzione.
a) La velocità del nuotatore rispetto alla riva è data dalla somma vettoriale della sua
velocità rispetto all’acqua vn e la velocità dell’acqua rispetto alla riva va, che sono tra loro
perpendicolari.
Poniamo per comodità l’asse delle x parallelo alla riva del fiume e l’asse y perpendicolare
alla riva. Abbiamo che
vn ha solo componente y, mentre va ha solo componente x.
Dunque vn = (0, vn); va = (va, 0); v = vn + va = (va, vn).
y
d
(larghezza del fiume)
vn
v
traiettoria del nuotatore
va
x
∆x
Il tempo impiegato ad attraversare il fiume all’andata è quello tale che ∆y = d.
Ma ∆y = vy ∆t e vy = vn.
Quindi
d = vn ∆t cioè ∆t = d / vn = 50 s.
b) Durante il tempo ∆t il nuotatore si sposta lungo x di ∆x = vx ∆t = va d / vn.
Al ritorno la situazione è esattamente identica ma simmetrica, il tempo impiegato sarà lo
stesso e uguale sarà la distanza percorsa in x. Dunque alla fine della doppia traversata il
nuotatore si troverà spostato del doppio:
2
∆x AR = 2∆x = 2 d va / vn = 150m.
(Allo stesso risultato si poteva arrivare notando che, poichè il moto del nuotatore è a
velocità costante, la sua traiettoria è un segmento di retta parallelo al vettore velocità. Si
vede quindi «geometricamente» che, considerando il tragitto di andata, deve essere ∆x/d
= va / vn .)
9)Una barca, la cui velocità rispetto all’acqua di un fiume è di 22 km/h, si sta muovendo in
una direzione che forma un angolo di 25° controcorrente su un fiume che scorre a una
velocità di 5 km/h.
a) qual è la velocità della barca rispetto alla riva?
b) Secondo quale angolo si deve puntare la barca se si vuole attraversare il
fiume perpendicolarmente, supponendo che la velocità della barca rispetto
all’acqua rimanga la stessa?
R: a) 5,6m/s con un angolo di circa 12°; b)circa 13°
3
Trascinamento uniformement
mente accelerato.
10)Durante la frenata di un
n vago
vagone ferroviario che decelera con a=1,5m/
1,5m/s2, viene lanciato
verso l’alto un oggetto alla velocità
veloc iniziale di v0=3m/s verticalmente
te verso
vers l’alto. Rispetto
ad un osservatore a terra in qua
quale punto del vagone ricadrà l’oggetto?
R: 0,28m dal punto di lancio.
11)Un punto all’equatore, a causa della rotazione
ne della
de Terra attorno al
proprio asse
asse, è soggetto a un’accelerazione centripet
tripeta di 0,0337 m/s2,
mentre un punto
pu
ai poli non è soggetto all’accelerazio
erazione centripeta.
a) Mostrare
Mostr
che all’equatore la forza gravitaziona
zionale che agisce su
un oggetto
etto (i
(il peso vero) deve superare il peso apparente
appar
dell’oggetto
b) Qual è il peso apparente, all’equatore e ai poli, di una persona
che ha una m
massa di 75 kg?
Soluzione
Il peso vero di un oggetto
tto è mg mentre il “peso apparente” è la forza esercitata
sull’oggetto da una bilancia.
ncia. L’accelerazione centripeta diretta verso
erso iil centro della
Terra è: ac =
v2
R
Assumendo il verso positivo
sitivo verso il centro della Terra si ottiene:
mac = mg − N
N = m ( g − ac ) ⟨ mg
all' Equato
quatore:
N = m ( g − ac ) = 732 N
ai Poli:
oli:
N = mg = 735 N
g = 9,8
N
kg
Una formica cammina in direzio
irezione radiale verso l’esterno con velocità
cità re
relativa v= 1 cm/s su
un vecchio giradischi rotante
nte alla
al velocità angolare di 4,7 rad/s. Se
e il co
coefficiente di attrito
statico è µs= 0,08, a quale distanza
dista
dal centro del giradischi l’insetto
to inizierà
inizi
a slittare?
SOL. Nel sistema di riferimento
mento rotante col disco oltre alla forza peso e alla reazione del
vincolo agiranno una forza centrifuga
cent
e una forza di Coriolis la cui risulta
risultante deve essere
Forizz = m 2ω 4 r 2 + 4m 2ω 2 v 2 ≤ mg µ s
4
→
rmax = 3,, 5cm
5 cm
12)Un massa di 3 kg appesa
pesa a un’estremità di una corda è vincolata
colata al supporto di un
vagone ferroviario. Quando
o il vagone
va
accelera verso destra, la corda
da for
forma un angolo di 4°
con la verticale. Determinare
are l’a
l’accelerazione del vagone.
R: a=0,685m/s2
so al soffitto
s
di un vagone ferroviario in moto
oto accelerato
ac
e
13. Un filo ideale è sospeso
sostiene una massa puntiforme
forme m. In fase di accelerazione (supposta
sta costante)
co
si osserva
che il filo assume una posizione
izione di equilibrio (rispetto al treno) inclinata
nata d
di 15° rispetto alla
verticale. Calcolare l’accelerazio
lerazione del treno. [2.6m/s2]
14. Una persona si pesa su
u un ascensore.
a
Nota che quando questo
o è fermo
fe
la lettura è di
60kg, mentre quando si mette
ette in moto questa sale a 68kg. Determinare
inare ll’accelerazione
dell’ascensore. Sta salendo
o o sc
scendendo? [1.3m/s2]
15. Un carrello liscio è trascinato, su un piano
iano o
orizzontale, con
acceler
ccelerazione costante pari a 3m/s2. Un corpo
orpo di
d 7kg è legato ad
una
na pa
parte del carrello da un filo ideale. Determin
terminare la tensione
del
el filo.
filo.R: [21N]
16. Un autocarro viaggia ad
d una velocità di 60 km/h. Sul pianale dii carico è appoggiata
una cassa, libera di muoversi,
ersi, con
c un coefficiente di attrito statico fra
ra pia
pianale e cassa pari
a 0.3. Qual è la distanza minima
inima richiesta per fermarsi senza che la
a cass
cassa scivoli? [47m]
17. Un carrello
ca
scivola su un piano liscio, inclinato
linato di 30°. Una
massa
ssa di 2kg è vincolata all’estremo di una molla di costante
k=100N/m
00N/m, come in figura. Determinare la deforma
eformazione di equilibrio
della
a molla,
moll sapendo che non c'è attrito con il piano
pian del carrello.
Cambia
bia la risposta a seconda che il carrello scenda
scend o salga? [0m]
5
Esempi spiegati e commentati:
6
Problema svolto
18)Un ascensore è soggetto ad una accelerazione a0= di 1,3 m/s2. Nel momento in cui la
velocità verso l'alto è di v0=2,6m/s cade dal soffitto un bullone. Il soffitto è alto 2.8m (s)
Calcolare il tempo di caduta del bullone e la distanza percorsa rispetto a terra.
Soluzione:
Definizioni utili:
1) Principio di composizione delle accelerazioni:
Con a' accelerazione del bullone nel sistema primato, a accelerazione del bullone nel
sistema di terra e a0 accelerazione del sistema primato.
2) Spazio percorso (s) in moto accelerato:
Con V0 velocità iniziale e a accelerazione e t intervallo di tempo
Soluzione:
Mettiamoci nel sistema primato. In questo sistema orientando l'asse positivo delle z verso
il basso ( dal soffitto al pavimento) avremo:
7
dove l'accelerazione del bullone dal sistema di terra è g mentre a0 è negativa essendo
diretta verso l'alto.
Nel sistema primato il bullone cade con velocità nulla. Quindi applicando la 2) si ottiene:
Siamo in meccanica classica. Quindi il tempo che il bullone impiega a cadere dal soffitto al
pavimento è il medesimo nei due sistemi.
Nel sistema di terra quindi la distanza percorsa (Sterra) dal bullone si otterrà sottraendo a
s l'avanzamento del pavimento dell'ascensore rispetto al bullone dall'istante di caduta.
con s distanza soffitto ascensore mentre i due termini col - rappresentano l'avanzamento
del pavimento verso il bullone nel sistema di terra. Tale avanzamento è dato dalla
definizione 2) ( dal sistema di terra l'ascensore sta accelerando con accelerazione a0 a
partire dalla velocità iniziale V0)
19) Un corpo puntiforme di massa mA = 2kg `e posto su un carrello che scorre su un piano
orizzontale. Inizialmente il corpo `e fermo ed `e ad una distanza di d=1 m dal bordo del
carrello, la cui massa `e mB = 8 kg. Tra carrello e corpo il coefficiente di attrito dinamico `e
μd = 0.2. Il carrello viene mosso da una forza F=30 N e anche il corpo A inizia a scivolare
sul carrello. Quanto tempo occorre ad A per raggiungere il bordo? R: 1,24s
20)Un pendolo semplice di lunghezza l=0.4 m `e appeso ad un supporto che avanza con
accelerazione a=5 m/s2 (orizzontale). Calcolare l’angolo di equilibrio rispetto la verticale e
il periodo delle piccole oscillazioni rispetto la posizione di equilibrio.
R: [27°; 1,25s]
21 L’ascensore di un grande grattacielo raggiunge la velocità di 6.0 m/s in 2.5 secondi.
Supponendo che in questo intervallo la sua accelerazione sia costante, quale peso segna
una bilancia pesapersone su cui è appoggiato un signore che normalmente pesa 80 kg?
R: [100Kg]
Forza centrifuga:
22)Un’auto sta percorrendo un tratto rettilineo di strada a velocità v. La strada curva di 90°
tracciando un arco di circonferenza di raggio R Se il coefficiente di attrito statico, a causa
della presenza di ghiaccio, vale μ = 0.05 qual è la velocità massima con cui l’auto può
affrontare la curva senza slittare?
8
R: vmax2 = μgR ( calcolare)
23)Calcolare la forza centrifuga (in N) agente su un ciclista che percorre una pista
circolare del raggio di 100 m alla velocità di 40 km/h, sapendo che la massa del ciclista e
della macchina è di 80 kg.
R: 98,6N
24) Quale velocità deve avere un corpo affinché ruotando su una circonferenza di raggio r
il suo peso risulti uguale alla forza centrifuga su esso agente?
25)Quale velocità angolare deve avere un corpo rotante su una circonferenza di raggio
unitario affinché la forza centrifuga che ne risulta equilibri il suo peso?
Trascinamento rotatorio uniforme.
26 Una piattaforma circolare, orizzontale, di raggio R=1m ruota intorno al proprio asse
verticale. Un corpo di 2kg è appoggiato sul bordo della piattaforma, che presenta un
coefficiente di attrito statico μS=0.4. Qual è la velocità angolare massima della piattaforma
per cui il corpo non scivola via? [1.98 rad/s]
27. Una massa m=0.2kg è appesa ad un filo ideale lungo 80cm. Il filo descrive nel suo
moto un cono di semiampiezza 18°. Determinare il periodo di rotazione. [1.75s]
28. Una delle obiezioni che si facevano all’idea di rotazione terrestre era la seguente: se la
terra ruotasse, i corpi sarebbero scagliati lontano. In realtà l’effetto della rotazione è
piccolo: calcolare la forza centrifuga che agisce su una persona di 65kg a Padova, dovuta
al moto di rotazione terrestre. [1.56N]
29 Quale dovrebbe essere la durata del giorno affinché, all’equatore, i corpi si trovino in
condizioni di assenza di peso? [1h 24m]
30. Un proiettile è lanciato orizzontalmente, verso N, con velocità 400m/s. Determinare
l’accelerazione di Coriolis in modulo, direzione e verso, se ciò avviene alla latitudine di
45°. [0.04m/s2 verso E]
Problemi vari
1)Osserva il sistema in figura e disegna tutte le forze che
agiscono sulle varie parti.
Il sistema e’ composto da due corpi di massa M e m e
dal filo di massa trascurabile.
Il corpo di massa M e’ sottoposto all’azione della forza
peso che agisce sul corpo di massa M. La reazione a
tale forza e’ applicata al centro della terra. Il corpo
esercita una azione sul filo che reagisce con una forza
uguale e contraria detta TENSIONE DEL FILO (T). La
9
tensione e’ responsabile dell’azione che viene esercitata sul corpo di massa m. Sul corpo
di massa m agisce la forza peso e la reazione vincolare.
Tali forze si equivalgono e non producono alcun effetto. Se il corpo M si muove verso il
basso calcoliamo l’accelerazione dei due corpi e la tensione del filo.
Sul corpo M la risultante delle forze e’ P2-T. Per il secondo principio di Newton si ha P2T=Ma.
Sul corpo di massa m la forza che provoca il moto e’ la sola tensione T e quindi si ha:
T=ma. Si ha quindi:
P2 − T = Ma
. Si risolva il sistema rispetto alle incognite T e a.
T = ma
Si risolva numericamente il problema nell’ipotesi che M=5Kg, m=2Kg. Si ricavi
l’accelerazione a e la tensione del filo T.
2)In figura osservi un sistema composto di tre corpi: due masse e il filo.
Disegna le forze che agiscono sul sistema e determina
l’accelerazione a e la tensione del filo T.
Dalla figura supponiamo che il corpo di massa M sia
sollecitato a muoversi verso il basso. Di conseguenza il
corpo di massa m sale lungo il piano . Per il secondo
principio di Newton si ha:
P2 − T = Ma
mentre Py=R non offre alcun contributo alla
T
−
Px
=
ma
soluzione trattandosi di una identita’.
3) Risolvi il sistema supponendo che l’angolo sia di 45°, che M=10Kg e m=4Kg.
4)Su un piano orizzontale e’ posto un corpo di massa m=200Kg. Viene mosso verso
destra da una forza di F=150N. L’attrito e’ trascurabile. Calcola l’accelerazione a cui e’
sottoposto il corpo. Disegna il piano orizzontale, il corpo e tutte le forze che su esso
agiscono. Dai un nome a ciascuna forza e spiegane la natura.
5)Su un piano orizzontale striscia un corpo di massa m=200Kg. Il coefficiente di attrito tra
corpo e piano e’ µ =0,01. Calcola l’accelerazione del corpo. Disegna il piano orizzontale, il
corpo e tutte le forze che su esso agiscono. Dai un nome a ciascuna forza e spiegane la
natura.
6)Su un piano inclinato di 20° e alto h=200m striscia un corpo di massa m=80Kg. L’attrito
e’ trascurabile. Il corpo parte da fermo . Disegna il piano, il corpo e tutte le forze che su
10
esso agiscono. Calcola l’accelerazione del corpo e scrivi le leggi del moto. Calcola la
velocita’ al termine del piano e il tempo impiegato.
7)Risolvi il problema precedente supponendo che il coefficiente di attrito tra corpo e piano
sia µ=0,01.
8)Disegna le forze del sistema e determina accelerazione e tensione del filo:
Supponi che sul piano vi sia attrito tra copro e piano di coefficiente
µ=0,1. Sia M=10Kg e m=2Kg.
9)Risolvi il problema 1) supponendo che sul piano l’attrito non sia trascurabile e abbia
coeff. µ =0,1.
10)Sollevo 10 Kg da terra ad una altezza di 10m. Calcola il lavoro svolto.
11)Applico una forza di 10N inclinata di 20° e sposto un corpo di 100Kg di 300m. Calcola
l’energia spesa per compiere l’azione.
12)Calcio un pallone esercitando una forza di 20N e lo sposto di 200m. La massa del
pallone e’ 1,5Kg. Calcola la velocita’ acquistata dal pallone. Quale teorema applico? Lo sai
dimostrare?.
13)Un’automobile di massa 2.0 x 103 kg sta viaggiando a 50.0 km/h. Improvvisamente
frena fino a fermarsi. Schematizzando la frenata come conseguenza dell’applicazione di
una forza costante, si determini:
a) quanto vale questa forza se l’auto impiega 2.0 secondi per fermarsi:
b) quanto vale lo spazio di frenata, ossia la distanza percorsa da quando inizia la
frenata a quando l’automobile si ferma.
c) Se la forza frenante rimane la stessa ma l’automobile sta andando a 100 km/h
anziché a 50 km/h, come cambiano il tempo e lo spazio di frenata?
R: a)1.4 x 104 N; b)13,9m; c)
14)Un corpo di massa m scivola (senza attrito) lungo un piano inclinato di un angolo di 30
gradi rispetto all’orizzontale, in presenza di gravità. Se parte da fermo, quale sarà la sua
velocità dopo 2.0 secondi?
R: 9,8m/s
15)Un blocco di massa 2.8 kg è appoggiato su un piano orizzontale in presenza di gravità.
Se il coefficiente di attrito statico vale μS = 0.85 e quello di attrito dinamico vale μD = 0.67,
11
a) Quanto vale la forza orizzontale minima che si deve applicare per muovere
l’oggetto?
b) Quanto vale la forza orizzontale che si sta applicando se l’oggetto si muove sul
piano a velocità costante?
R: a)23N; b)18N
16)Nel caso dell’esercizio precedente, si determini l’angolo minimo a cui si può inclinare il
piano su cui si trova il blocco senza che questo cominci a scivolare.
R: tan-1(0,85)
12
