Elettronica dello Stato Solido
Seconda Prova in Itinere
28.06.2010
1. Si introduca il concetto di reticolo reciproco.
2. Nel semiconduttore di Fig. 4 si trova che, in assenza di interazioni fonone-elettrone, non si ha assorbimento ottico
per radiazioni a λ>1 µm. Determinare il valore del gap energetico fra le bande.
3. Definire la massa DOS e ricavarne la formula per una banda con degenerazione g, massa longitudinale m*l e
massa trasversale m*t. Per massimizzare la conducibilità, è migliore un semiconduttore con alta o bassa massa
DOS?
4. Si consideri la struttura a bande di un semiconduttore 3D in Fig. 5. Calcolare la posizione del livello di Fermi
intrinseco Ei. Come si sposta Ei all’aumentare della temperatura?
-1
5. Applicando un campo elettrico F = 10 kVcm al semiconduttore dell’esercizio precedente, il k medio di elettroni e
7
-1
lacune si colloca a 10 cm rispetto al fondo banda. Calcolare il tempo di rilassamento del momento. Calcolare inoltre
la velocità media di elettroni, lacune leggere e lacune pesanti. Quale popolazione tra le tre avrà maggiore energia
cinetica?
6. Si consideri la misura di effetto Hall riportata in Fig. 3. Applicando tensioni VL pari a 0.5 V, 4 V e 5 V si misurano
valori di VH (orientata come in figura) pari a 5 mV, 50 mV e 50 mV, rispettivamente. Si dica se il semiconduttore è
drogato n o p, e si tracci la dipendenza della velocità di deriva dei maggioritari dal campo elettrico, indicando i valori
di mobilità, campo elettrico di saturazione e velocità di saturazione.
7. Fig. 6 mostra l’andamento della mobilità di elettroni in un semiconduttore n in funzione della temperatura. Le curve
1, 2, 3 e 4 si riferiscono a diversi drogaggi. Mettere in ordine di concentrazione di drogante i dati da 1 a 4, motivando
la risposta. Si spieghi perché la mobilità nel caso 4 cresce per bassi valori di T.
8. In una barretta di silicio all’equilibrio termodinamico, il fondo della banda di conduzione è legato al livello di Fermi
secondo: EC=EF+5 kT+kT sen(2π x/a), con a = 100 nm. Tracciare l’andamento lungo x del drogaggio, indicandone i
valori massimi e minimi. In quali punti le correnti di diffusione e deriva sono massime? In quali sono minime?
17
-3
9. Una barretta di silicio e una di germanio, entrambe drogate n (ND=10 cm ) vengono irradiate con luce
21
-3
monocromatica di λ=1.55 µm. In un caso si osserva generazione di coppie elettrone/lacuna pari a G = 10 cm . Dire
per quale materiale questo succede e, assumendo che il tempo medio di ricombinazione dei minoritari valga 1 µs,
calcolare la concentrazione di maggioritari e minoritari e le posizioni dei livelli di quasi Fermi in questo caso.
10. Definire la distanza di ricombinazione dei minoritari discutendone il significato fisico.
W=1µm
VL
B=0.5T
L=0.5µm
VH
Fig. 3
Fig. 1
Fig. 2
me*=0.5m0
mhh*=0.8m0
EG = 0.8 eV
mlh*=0.2m0
Fig. 4
Fig. 5
Fig. 6
Elettronica dello Stato Solido
Prova completa
28.06.2010
1. Viene condotto un esperimento di diffrazione elettronica sul campione a reticolo rettangolare mostrato in Fig. 1.
Noto a = 0.3 nm, determinare l’energia a cui accelerare gli elettroni affinché l’angolo del primo picco di diffrazione
relativo al piano (010) sia pari a 30°. Sapendo che l’angolo del primo picco di diffrazione relativo al piano (100) è
metà del primo, ricavare b.
2. Ricavare con l’aiuto del principio di indeterminazione il raggio di Bohr per l’atomo di idrogeno, costituito da un
elettrone ed un protone. La stessa formula è ancora valida per un elettrone che orbita attorno allo ione positivo di
un’impurezza donore nel silicio? Se no, quali modifiche sono necessarie?
3. Con riferimento alla Fig. 2, si calcoli il tempo medio necessario a un elettrone nello stato fondamentale della buca
A per raggiungere, per effetto tunnel, la buca C. Si effettui il calcolo per i due profili di potenziale proposti, nel caso di
campo elettrico nullo e pari a 10 kV/cm. (Per semplicità, si trascuri la possibilità che l’elettrone possa passare dalla
regione B ad A. Si assuma inoltre che nella struttura in basso l’elettrone, una volta giunto nella buca B, rilassi
immediatamente al livello energetico fondamentale.)
4. Si stimi il livello fondamentale di una buca di potenziale rettangolare larga 1 nm e alta 1 eV, e lo si confronti con
quello di una buca di uguale larghezza ma a pareti infinite.
5. Si discuta la differenza tra velocità di fase e velocità di gruppo per una funzione d’onda di particella. In particolare,
si chiarisca come le due grandezze si mettono in relazione alla velocità fisica della particella.
6. Nel semiconduttore di Fig. 4 si trova che, in assenza di interazioni fonone-elettrone, non si ha assorbimento ottico
per radiazioni a λ>1 µm. Determinare il valore del gap energetico fra le bande.
7. Definire la massa DOS e ricavarne la formula per una banda con degenerazione g, massa longitudinale m*l e
massa trasversale m*t. Per massimizzare la conducibilità, è migliore un semiconduttore con alta o bassa massa
DOS?
8. Si consideri la misura di effetto Hall riportata in Fig. 3. Applicando tensioni VL pari a 0.5 V, 4 V e 5 V si misurano
valori di VH (orientata come in figura) pari a 5 mV, 50 mV e 50 mV, rispettivamente. Si dica se il semiconduttore è
drogato n o p, e si tracci la dipendenza della velocità di deriva dei maggioritari dal campo elettrico, indicando i valori
di mobilità, campo elettrico di saturazione e velocità di saturazione.
9. Fig. 6 mostra l’andamento della mobilità di elettroni in un semiconduttore n in funzione della temperatura. Le curve
1, 2, 3 e 4 si riferiscono a diversi drogaggi. Mettere in ordine di concentrazione di drogante i dati da 1 a 4. Si spieghi
perché la mobilità nel caso 4 cresce per bassi valori di T.
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-3
10. Una barretta di silicio e una di germanio, entrambe drogate n (ND=10 cm ) vengono irradiate con luce
21
-3
monocromatica di λ=1.55 µm. In un caso si osserva generazione di coppie elettrone/lacuna pari a G = 10 cm . Dire
per quale materiale questo succede e, assumendo che il tempo medio di ricombinazione dei minoritari valga 1 µs,
calcolare la concentrazione di maggioritari e minoritari e le posizioni dei livelli di quasi Fermi in questo caso.
Costanti fisiche:
massa dell’elettrone
costante di Planck
carica elettronica
costante di Boltzmann
velocità della luce
costante dielettrica nel vuoto
m0 = 9.109 x 10 kg
-34
h = 6.626 x 10 Js
-19
e = 1.602 x 10 C
-23
-1
kB = 1.381 x 10 JK
8
-1
c = 2.998 x 10 ms
-12
-1
ε0 = 8.85419 x 10 F m
costante dielettrica relativa εr
-3
concentrazione intrinseca ni [cm ]
gap di energia EG [eV]
-3
densità di stati effettiva in banda di conduzione NC [cm ]
-3
densità di stati effettiva in banda di valenza NV [cm ]
Si
11.7
10
1.45 x 10
1.12
19
2.8 x 10
19
1.04 x 10
-31
Ge
16
13
2.4 x 10
0.66
19
1.04 x 10
19
0.6 x 10
Solid State Electronics
Second examination
28.06.2010
1. Introduce the concept of reciprocal lattice.
2. In the semiconductor of Fig. 4 no optical absorption is observed for radiation with λ>1 µm, if no electron-phonon
interaction occurs. Calculate the semiconductor energy gap.
3. Define the DOS effective mass and derive its formula for a band with degeneration g, longitudinal mass m*l and
transverse mass m*t. For maximum conductivity, is a high or low effective DOS mass to be preferred?
4. Considering the band structure for a 3D semiconductor in Fig. 5, calculate the position of the intrinsic Fermi level
Ei. How does Ei shift for increasing temperature?
-1
5. Applying an electric field F = 10 kVcm to the semiconductor in the previous exercise, the average k for electrons
7
-1
and holes locates at 10 cm with respect to the bottom of the band. Calculate the time for moment relaxation.
Calculate the average velocity for electrons, light holes and heavy holes. Which population has the highest kinetic
energy?
6. Consider the Hall-effect experiment as in Fig. 3. When VL voltages equal to 0.5 V, 4 V and 5 V are applied, the
measured VH (oriented as in the figure) equals 5 mV, 50 mV and 50 mV, respectively. Is the semiconductor n-doped
or p-doped? Plot the dependence of electron drift velocity on the applied electric field, indicating the values of mobility,
saturation electric field and velocity.
7. Fig. 6 shows electron mobility as a function of temperature for a n-doped semiconductor. Curves 1, 2, 3 and 4 refer
to different doping concentrations. Rank samples 1-4 by their respective doping concentration. Explain the physical
origin of the increase of mobility 4 at low T.
8. In a silicon chip at the thermal equilibrium, the conduction band bottom is related to the Fermi level as from the
following equation: EC=EF+5 kT+kT sen(2π x/a), where a=100 nm. Plot the doping concentration as a function of x,
indicating maximum and minimum doping values. Where do drift and diffusion currents have their maximum value?
And minimum value?
17
-3
9. A silicon chip and a germanium chip, both n-doped (ND=10 cm ), are irradiated with monochromatic light at
21
-3
λ=1.55 µm. In one case a generation G = 10 cm of electron-hole pairs is observed. Say in which case this happens
and, assuming that the minority carrier mean recombination time is 1 µs, determine the steady-state concentration of
both majority and minority carriers and the quasi-Fermi levels in this case.
10.
Introduce the recombination distance for minority carriers and discuss its physical meaning.
W=1µm
VL
B=0.5T
L=0.5µm
VH
Fig. 3
Fig. 1
Fig. 2
me*=0.5m0
mhh*=0.8m0
EG = 0.8 eV
mlh*=0.2m0
Fig. 4
Fig. 5
Fig. 6
Elettronica dello Stato Solido
Full examination
28.06.2010
1. A diffraction experiment is performed injecting electrons on the sample with rectangular lattice shown in Fig. 1.
Knowing a = 0.3 nm, calculate the Energy to which electrons must be accelerated for the angle of the first diffraction
peak for (010) plane to be equal to 30°. Knowing that the first diffraction peak for (100) is at one half the angle for
(010), calculate b.
2. Calculate the Bohr radius for the hydrogen atom, consisting of an electron and a proton (use the uncertainty
principle). Is the same formula valid for one electron orbiting around a positive ion of a dopant impurity? If not, what
changes are needed?
3. With reference to Fig. 2, determine the mean time for an electron in the fundamental state of the potential well A to
reach, through tunneling effect, the potential well C. Compare the results for the two reported potential profiles and
both for no electric field applied and for an electric field equal to 10 kV/cm. (For the sake of simplicity, neglect the
possibility that the electron may tunnel back from B to A. Furthermore, assume that the electron relaxes to the
fundamental level as soon as it reaches the potential well B.)
4. Determine the fundamental energetic level in a rectangular potential well of width 1 nm and height 1 eV, and
compare the results with a well having the same width but infinite height.
5. Discuss the difference between the phase velocity and the group velocity for a particle wave function. In particular,
explain how the two velocities relate to the physical particle velocity.
6. In the semiconductor of Fig. 4 no optical absorption is observed for radiation with λ>1 µm, if no electron-fonon
interaction occurs. Determine the value of the semiconductor energy gap.
7. Define the DOS effective mass and derive its formula for a band with degeneration g, longitudinal mass m*l and
transverse mass m*t. For maximum conductivity, is a high or low effective DOS mass to be preferred?
8. Consider the Hall-effect experiment as in Fig. 3. When VL voltages equal to 0.5 V, 4 V and 5 V are applied, the
measured VH (oriented as in the figure) equals 5 mV, 50 mV and 50 mV, respectively. Is the semiconductor n-doped
or p-doped? Plot the dependence of electron drift velocity on the applied electric field, in dicating the values of
mobility, saturation electric field and velocity.
9. Fig. 6 shows electron mobility as a function of temperature for a n n-doped semiconductor. Curves 1, 2, 3 and 4
refer to different doping concentrations. Rank samples 1-4 by their respective doping concentration, explaining why.
Explain the physical origin of the increase of mobility 4 at low T.
17
-3
10. A silicon chip and a germanium chip, both n-doped (ND=10 cm ), are irradiated with monochromatic light at
21
-3
λ=1.55 µm. In one case a generation G = 10 cm of electron-hole pairs is observed. Say in which case this happens
and, assuming that the minority carrier mean recombination time is 1 µs, determine the steady-state concentration of
both majority and minority carriers and the quasi-Fermi levels in this case.
Costanti fisiche:
massa dell’elettrone
costante di Planck
carica elettronica
costante di Boltzmann
velocità della luce
costante dielettrica nel vuoto
m0 = 9.109 x 10 kg
-34
h = 6.626 x 10 Js
-19
e = 1.602 x 10 C
-23
-1
kB = 1.381 x 10 JK
8
-1
c = 2.998 x 10 ms
-12
-1
ε0 = 8.85419 x 10 F m
costante dielettrica relativa εr
-3
concentrazione intrinseca ni [cm ]
gap di energia EG [eV]
-3
densità di stati effettiva in banda di conduzione NC [cm ]
-3
densità di stati effettiva in banda di valenza NV [cm ]
Si
11.7
10
1.45 x 10
1.12
19
2.8 x 10
19
1.04 x 10
-31
Ge
16
13
2.4 x 10
0.66
19
1.04 x 10
19
0.6 x 10
