seconda parte - Dipartimento di Matematica

Istituzioni di Matematiche
seconda parte
anno acc. 2010/2011
Univ. degli Studi di Milano
Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano)
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Calcolo dei limiti
index
1
Calcolo dei limiti
2
Continuità
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Calcolo dei limiti
Limiti delle funzioni monotone
Le funzioni monotone definite su un intervallo ammettono limite agli estremi
dell’intervallo.
Più precisamente,
se f è crescente nell’intervallo I = (a, b) si ha limx→a+ f (x) = Inf (f ) e
limx→b− f (x) = Sup(f )
se f è decrescente nell’intervallo I = (a, b) si ha limx→a+ f (x) = Sup(f ) e
limx→b− f (x) = Inf (f ).
OSSERVAZIONE - Il risultato
scritto sopra continua a valere
anche quando a = −∞ oppure
b = +∞.
ESERCIZIO - Determinare i limiti agli estremi dell’intervallo di definizione
delle funzioni potenza, esponenziale e logaritmo.
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Calcolo dei limiti
Continuità delle funzioni elementari
Anticipiamo qui il concetto di continuità che tratteremo ampiamente in
seguito.
Una funzione f : A → R si dice continua in un punto x0 ∈ A di accumulazione
per A se esiste finito il limite limx→x0 f (x) e tale limite vale f (x0 ).
Ovvero f è continua in x0 se e solo se limx→x0 f (x) = f (x0 ).
Sono continue in tutti i punti del loro dominio di esistenza le funzioni
potenza, esponenziale, logaritmo, seno, coseno, tangente, arcotangente.
Ciò vuol dire, ad esempio, che limx→3 x4 = 34 = 81 e che
limx→0 cos(x) = cos(0) = 1.
Si noti che, come già osservato in precedenza, la funzione seno non ha però
limite per x → +∞.
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Calcolo dei limiti
Operazioni con i limiti
In alcuni casi, se una funzione h è somma (o prodotto, o quoziente) di altre
due f e g, se sono noti i limiti di f e di g si può dedurre il limite di h. In
particolare questo è sempre vero se i limiti di f e di g sono numeri reali.
SOMMA DI FUNZIONI - Se i limiti sono numeri reali, il limite della somma
è la somma dei limiti, cioè, ad esempio
limx→4 (x2 + 3x ) = limx→4 x2 + limx→4 3x = 42 + 34 = 16 + 81 = 97.
PRODOTTO DI FUNZIONI - Se i limiti sono numeri reali, il limite del
prodotto è il prodotto dei limiti, cioè, ad esempio
limx→1 (x3 )(2x ) = (limx→1 x3 )(limx→1 2x ) = (13 )(21 ) = 2.
QUOZIENTE DI FUNZIONI - Se i limiti sono numeri reali, e il limite del
divisore è 6= 0, il limite del quoziente è il quoziente dei limiti, cioè, ad
esempio
limx→4
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limx→4 x
x
=
= 4/7
x+3
limx→4 x + 3
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Calcolo dei limiti
In alcuni casi i risultati relativi al limite di somma, prodotto e quoziente si
estendono anche a funzioni f e g divergenti.
Valgono cioè, con ovvio significato dei simboli, le seguenti "regole di calcolo"
per i limiti:
SOMMA
(+∞) + k = (+∞); (−∞) + k = (−∞), ∀k ∈ R.
(+∞) + (+∞) = (+∞); (−∞) + (−∞) = (−∞).
PRODOTTO
(+∞) · k = (+∞) se k > 0; (+∞) · k = (−∞) se k < 0;
(−∞) · k = (−∞) se k > 0; (−∞) · k = (+∞) se k < 0.
(+∞) · (+∞) = (+∞); (−∞) · (−∞) = (+∞) (−∞) · (+∞) =
(+∞) · (−∞) = (−∞).
QUOZIENTE
+∞
se k > 0;
k = +∞
−∞
se k > 0;
k = −∞
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+∞
k
−∞
k
= −∞
= +∞
se k < 0.
se k < 0.
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Calcolo dei limiti
Nel caso del quoziente, quando il denominatore tende a zero, in alcuni casi (in
particolare quando non ci sono dubbi sul segno del risultato), si possono
anche usare le ulteriori due "regole di calcolo":
k
se k 6= 0; ±∞
0 = ±∞
0 = ±∞.
2x−1
Ad esempio limx→3 (x−3)2 = +∞, poiché
limx→3 2x − 1 = 5 > 0, limx→3 (x − 3)2 = 0, e la funzione al denominatore
(in un intorno di 3) si mantiene sempre ≥ 0 per cui, come si suol dire, il
denominatore tende a 0+ .
Invece, ad esempio limx→3 2x−1
x−3 non esiste, poiché
limx→3 2x − 1 = 5 > 0, limx→3 x − 3 = 0, ma questa volta la funzione al
denominatore cambia segno in un intorno di 3.
Si può invece calcolare limx→3+ 2x−1
x−3 = +∞ (il limite del numeratore è
positivo ed il denominatore tende a 0+ in quanto si mantiene positivo in un
intorno destro di 3) e limx→3− 2x−1
x−3 = −∞ (il limite del numeratore è positivo
−
ed il denominatore tende a 0 in quanto si mantiene negativo in un intorno
sinistro di 3.)
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Calcolo dei limiti
LIMITE DI FUNZIONI COMPOSTE
Se limx→c f (x) = L e limz→L g(z) = M (e inoltre, in un intorno di c, fuori di c,
la funzione f non assume il valore L) allora limx→c g(f (x)) = M.
ESERCIZIO - Utilizzare le "regole di calcolo" per calcolare:
√
3
1 lim
x→−∞ (x )( −x)
3
x
2 lim
x→+∞ x + 2 + 4
2
−x
3 lim
x→−∞ x + 7
3
4 lim
x→∞ x2 +2x
2
5
x
limx→−4+ x+4
6
x
limx→−4− x+4
7
x−1
limx→2 (x−2)
2
2
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Calcolo dei limiti
Forme di indecisione
Le espressioni
±∞
0
,
0
±∞
sono invece forme di indecisione nel senso che, ad esempio per la forma
(+∞) + (−∞), se f tende a +∞ e g tende a −∞, non si può a priori
prevedere il comportamento di h = f + g. In questa situazione infatti può
accadere che h diverga, ma anche che h converga, o che non abbia limite.
Ad esempio, per x → +∞, se f = x + 1 e g = −x, allora h = f + g = 1
converge, mentre se f = x + x2 e g = −x, allora h = f + g = x2 diverge, e
infine se se f = x + sin(x) e g = −x, allora h = f + g = sin(x), che non ha
limite.
(+∞) + (−∞),
0 · (±∞),
Per mostrare che anche 0 · (+∞) è di indecisione, si può osservare ad
esempio che, per x → +∞, con f = 1x e g = x2 , la funzione prodotto h = f · g
diverge, mentre con f = x12 e g = x, la funzione prodotto h = f · g converge a
0, e con f = 1x e g = x, la funzione prodotto h = f · g è costante di valore 1 (e
quindi converge a 1).
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Calcolo dei limiti
ESERCIZIO - Calcolare seguenti limiti che presentano una forma di
indecisione:
2
1 lim
x→−∞ x + x
2
4
2
+x
limx→0 xx6 +x
2
3
+4x
limx→+∞ 2x3x+x
2
2
4
limx→1 √x−1
x−1
√
√
2
2
5 lim
x→+∞ 1 + x − x − x.
OSSERVAZIONE - Raccogliendo a fattore al numeratore e al denominatore
la potenza di x di grado massimo, ed effettuando le dovute semplificazioni, si
a xn +a xn−1 +···+a
x+a
verifica che limx→+∞ b 0xm +b 1xm−1 +···+bn−1 x+bnm =
0
1
m−1
±∞ se n > m;
a0
b0 se n = m;
0 se n < m.
4
a xn +a xn−1 +···+a
x+a
OSSERVAZIONE - Invece per calcolare limx→0 b 0xm +b 1xm−1 +···+bn−1 x+bnm si
0
1
m−1
raccoglie a fattore al numeratore e al denominatore la potenza di x di grado
minimo.
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Calcolo dei limiti
Teoremi sui limiti
Nel seguito c denota un numero reale oppure +∞ o −∞, e f , g, h denotano
funzioni : A → R.
TEOREMA (unicità del limite) - Se limx→c f (x) esiste, è unico.
TEOREMA - Se limx→c f (x) = L, allora esiste un intorno di c in cui f è
limitata, se L ∈ R;
inferiormente limitata, se L = +∞;
superiormente limitata, se L = −∞.
TEOREMA (della permanenza del segno) - Se limx→c f (x) = L 6= 0, allora
esiste un intorno di c in cui f è positiva, se L > 0 o L = +∞ (rispett.
negativa, se L < 0 o L = −∞.)
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Calcolo dei limiti
TEOREMA (criterio del confronto)
1. Supponiamo che sia f (x) ≤ g(x) in un intorno di c, allora
se limx→c f (x) = +∞, allora limx→c g(x) = +∞ ;
se limx→c g(x) = −∞, allora limx→c f (x) = −∞.
2. Supponiamo che sia f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) in un intorno di c, allora se
limx→c f (x) = limx→c h(x) = L, allora limx→c g(x) = L.
OSSERVAZIONE - Se limx→c f (x) = 0 e g è limitata in un intorno di c, allora
limx→c f (x) · g(x) = 0.
ESERCIZIO - Mostrare che limx→0 xsin( 1x ) = 0 e che limx→−∞ cos(x)5x = 0
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Calcolo dei limiti
Confronto tra infiniti
Una funzione si dice infinito per x → c se limx→c f (x) = ±∞.
Supponiamo che f e g siano infiniti per x → c,
f (x)
se limx→c g(x)
= 0, si dice che f è un infinito di ordine inferiore a g e che
g è un infinito di ordine superiore a f ;
f (x)
se limx→c g(x)
= k 6= 0, si dice che f e g sono infiniti dello stesso ordine;
f (x)
se non esiste il limite limx→c g(x)
si dice che f e g sono infiniti non
confrontabili.
f (x)
Si noti che se limx→c g(x)
= ±∞, allora f è un infinito di ordine superiore a g
e g è un infinito di ordine inferiore a f .
ESERCIZIO - Confrontare tra loro gli
√ ordini di infinito, per x → +∞, di
f (x) = 3x2 + 2x3 , e di g(x) = x3 + x.
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Calcolo dei limiti
Confronto tra infiniti: esempi fondamentali
CONFRONTO TRA POTENZE - Per x → +∞
xa è un infinito di ordine superiore a xb se e solo se a > b > 0.
xa è un infinito di ordine uguale a xb se e solo se a = b > 0.
CONFRONTO TRA ESPONENZIALI - Per x → +∞
ax è un infinito di ordine superiore a bx se e solo se a > b > 1.
ax è un infinito di ordine uguale a bx se e solo se a = b > 1.
CONFRONTO TRA LOGARITMI - Per x → +∞
loga x è un infinito dello stesso ordine di logb x,
∀a, b > 0, a, b 6= 1.
Inoltre ax è un infinito di ordine superiore a xh (∀h > 0, a > 1) e xh è un
infinito di ordine superiore a logb x (∀h > 0, b > 0, b 6= 1).
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Calcolo dei limiti
Confronto tra infinitesimi
Una funzione si dice infinitesimo per x → c se limx→c f (x) = 0.
Supponiamo che f e g siano infinitesimi per x → c,
f (x)
se limx→c g(x)
= 0, si dice che f è un infinitesimo di ordine superiore a g
e che g è un infinitesimo di ordine inferiore a f ;
f (x)
se limx→c g(x)
= k 6= 0, si dice che f e g sono infinitesimi dello stesso
ordine;
f (x)
si dice che f e g sono infinitesimi non
se non esiste il limite limx→c g(x)
confrontabili.
f (x)
Si noti che se limx→c g(x)
= ±∞, allora f è un infinitesimo di ordine inferiore
a g e g è un infinito di ordine superiore a f .
ESERCIZIO - Confrontare
√ tra loro gli ordini di infinitesimo, per x → +∞, di
f (x) = x23+x , e di g(x) = 3 x.
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Calcolo dei limiti
Confronto tra infinitesimi: esempi fondamentali
CONFRONTO FRA POTENZE - Per x → 0+
xa è un infinitesimo di ordine superiore a xb se e solo se a > b > 0.
xa è un infinitesimo di ordine uguale a xb se e solo se a = b > 0.
Il confronto tra infinitesimi, nel caso di esponenziali, si può ridurre ad un
confronto tra infiniti, come negli esempi che seguono.
x
−x
ESEMPIO - limx→−∞ 23x = limx→−∞ 32−x = +∞
( 1 )x
x
ESEMPIO - limx→+∞ ( 51 )x = limx→+∞ 35x = 0.
3
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Calcolo dei limiti
Asintoti obliqui
Abbiamo già visto quando una funzione ammette un asintoto orizzontale o un
asintoto verticale.
Se, per x → +∞, f è divergente, può accadere che f ammetta un asintoto
obliquo.
La retta di equazione y = mx + q, con m 6= 0, è un asintoto obliquo per f per
x → +∞ se
limx→+∞ (f (x) − mx − q) = 0.
Analoga definizione si ha per x → −∞.
La retta y = mx + q è un asintoto obliquo per f per x → +∞ se e solo se
1
2
limx→+∞ f (x)
e
x = m 6= 0
limx→+∞ (f (x) − mx) = q.
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Calcolo dei limiti
Ad esempio la funzione
f (x) =
2x2 − x − 4
x+1
ammette asintoto obliquo. Infatti
limx→+∞ f (x) = +∞
(e questo dice che f può ammettere un asintoto obliquo per x → +∞), inoltre
limx→+∞
f (x)
= 2(= m)
x
e infine
limx→+∞ (f (x) − 2x) = limx→+∞
−3x − 4
= −3(= q).
x+1
L’asintoto pertanto ha equazione y = 2x − 3.
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Continuità
index
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Calcolo dei limiti
2
Continuità
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Continuità
Continuità in un punto
Abbiamo già visto che una funzione f : A → R si dice continua in un punto
x0 ∈ A di accumulazione per A se esiste finito il limite limx→x0 f (x) e tale
limite vale f (x0 ).
Ovvero f è continua in x0 se e solo se limx→x0 f (x) = f (x0 ).
Supponiamo per semplicità che x0 sia un punto interno ad A. Dalla definizione
di funzione continua segue che perché f sia continua in x0 è necessario che
x0 ∈ A (quindi sia definito f (x0 ))
x0 sia di accumulazione per A (altrimenti non sarebbe possibile parlare di
limite)
esistano sia limx→x+ f (x) che limx→x− f (x) e siano uguali (altrimenti non
0
0
esisterebbe il limite)
limx→x0 f (x) = limx→x+ f (x) = limx→x− f (x) sia un numero reale (quindi
0
0
non ±∞)
limx→x0 f (x) = f (x0 ).
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Continuità
Operazioni tra funzioni continue
Abbiamo già visto che le funzioni elementari
f (x) = xa , f (x) = bx , f (x) = logc (x), f (x) = |x|, f (x) = sin(x), f (x) = cos(x)
sono continue in tutto l’insieme di definizione.
Se f e g sono continue in un punto x0 allora anche le funzioni
f + g, f − g, fg sono continue in x0 ;
se f e g sono continue in un punto x0 e g(x0 ) 6= 0, allora anche f /g è
continua in x0 ; inoltre, se g(x0 ) 6= 0, allora anche gf è continua in x0 ;
se f è continua in x0 e g è continua in f (x0 ) allora g ◦ f è continua in x0 ;
se f è invertibile ed è continua in x0 allora f −1 è continua in f (x0 ).
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Continuità
TEOREMA (permanenza del segno) - Se f è definita in un intorno di x0 , è
continua in x0 , e f (x0 ) > 0, allora esiste un intorno di x0 tale che ivi f sia
positiva.
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Continuità
Teoremi sulle funzioni continue in un intervallo [a, b]
TEOREMA - Se f è continua in un intervallo [a, b], allora è limitata.
La seconda e la terza delle figure di sopra mostrano come in generale il
teorema sulla limitatezza non vale se cade l’ipotesi di continuità o l’ipotesi
che l’insieme di definizione sia del tipo [a, b].
TEOREMA (degli zeri) - Se f è
continua in un intervallo [a, b], e
f (a)f (b) < 0 (cioè f (a) e f (b)
sono discordi), allora esiste
almeno un punto c ∈ (a, b) tale
che f (c) = 0.
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Continuità
TEOREMA (di Darboux) - Se f
è continua in un intervallo [a, b],
allora f assume tutti i valori
compresi tra f (a) e f (b).
TEOREMA (di Weierstrass) - Se f è continua in un intervallo [a, b], allora f
ammette massimo e minimo assoluti.
I due teoremi di Darboux e di
Weierstrass dicono che se f è
continua in [a, b], allora f
assume tutti i valori compresi tra
i proprio massimo assoluto e il
proprio minimo assoluto.
ESERCIZIO - Come si è fatto nel caso del teorema sulla limitatezza, mostrare
con esempi grafici che i teoremi degli zeri, di Darboux e di Weiestrass in
generale non valgono se cade l’ipotesi di continuità o l’ipotesi che l’insieme
di definizione sia del tipo [a, b].
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Continuità
Punti di discontinuità
Abbiamo visto che una funzione può essere non continua in un punto per
diversi motivi.
Un punto in cui la funzione è definita, ma non è continua, viene detto punto di
discontinuità. Nelle figure che seguono sono illustrati alcuni esempi di
discontinuità.
Discontinuità eliminabile: i
limiti da destra e da sinistra
esistono, sono uguali, ma non
coincidono con il valore della
funzione nel punto.
Discontinuità di prima specie: i
limiti da destra e da sinistra
esistono, sono finiti, ma sono
diversi.
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Continuità
Discontinuità di seconda specie:
almeno uno dei due limiti destro
e sinistro non esiste o è infinito.
ESERCIZIO - Determinare per quale valore di a ∈ R la funzione f (x) definita
da f (x) = 5 − 3x per x ≤ 1 e da f (x) = ax2 per x > 1 è continua su tutto R.
ESERCIZIO - Riconoscere le discontinuità della funzione f (x) definita da
1
per x < 2, e da f (x) = log2 (x) per x ≥ 2.
f (x) = x−2
ESERCIZIO - Riconoscere le discontinuità della funzione f (x) definita da
√
f (x) = log2 (1 + 2x) per − 21 < x < 0 e da f (x) = (2 − x) x per x ≥ 0.
ESERCIZIO - Riconoscere le discontinuità della funzione f (x) definita da
1
f (x) = 3 x per x < 0, f (x) = 5 per x = 0, e da f (x) = sin(x) per x > 0.
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