Congettura sulle curve ellittiche con punti razionali
connessi ai numeri di Fibonacci.
(Possibili conseguenze per la congettura di
Swinnerton – Dyer e la crittografia ECC)
Gruppo “B. Riemann”*
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
**Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show a possible connection between elliptical
curves and Fibonacci’s numbers
Riassunto
In questo lavoro mostreremo una possibile ma ancora labile
connessione tra le equazioni delle curve ellittiche con punti
razionali con i numeri di Fibonacci, con possibili conseguenze
per la futura dimostrazione della congettura di Swinnerton –
Dyer (uno dei sei problemi del Millennio ancora irrisolti) e ,
indirettamente, anche sulla crittografia ECC basata su tale
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congettura, così come la crittografia RSA è basata su due
numeri primi molto grandi p e q e alla difficoltà temporale di
fattorizzare il loro prodotto N = p*q, con N = numero RSA.
Nel libro si Marcus du Sautoy “L’equazione da un milione di
dollari” (Rizzoli), leggendo da pag. 294 a pag. 299 il paragrafo
“ La domanda da un milione di dollari” relativa alla
congettura di Swinnerton – Dyer, e che riportiamo di seguito,
abbiamo notato una certa correlazione tra i coefficienti di
alcune curve ellittiche prese come esempi, e i numeri di
Fibonacci, direttamente o indirettamente come parti dei loro
punti razionali. Per esempio, la curva relativa all’equazione
y2 + ax + b con a = 0 e b = -2 dà, come punti razionali, (3, 5)
e ( 3, -5), con 3 e 5 numeri di Fibonacci, come anche il 2 di
b – 2, e lo 0 di a = 0.
Abbiamo, in questo primo esempio, in tutto quattro numeri di
Fibonacci coinvolti in questa curva ellittica: 0, 2, 3, e 5 e così
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anche, come vedremo, in un’altra equazione un po’ più
complessa (secondo esempio) riportata come esempio nello
stesso paragrafo, e nella quale i tre numeri di Fibonacci
direttamente coinvolti sono 3, 5 e 8 , e quattro (11, 22, 16, 32)
solo indirettamente :
43 = 2*21+1 = 34 + 9, e 3=√9; 9= 43 - 34
166=144 + 22; 22 =21+ 1
11=22/2; 22 + 21 = 43 ; 43 - 34 = 9
16=2*8 =13+3; 32 = 2*16 = 4*8 =34 – 2
Ci ritorneremo subito dopo il paragrafo del suddetto libro:
3
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Commento e osservazioni.
Nell’equazione x2 = x3 - 43x + 166 di questo secondo
esempio sono coinvolti : come prima accennato, i numeri di
Fibonacci, in rosso:
43 = 2*21+1 = 34 + 9, e 3=√9; 9= 43 - 34
166=144 + 22; 22 =21+ 1
11=22/2; 22 + 21 = 43 ; 43 - 34 = 9
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16=2*8 =13+3; 32 = 2*16 = 4*8 =34 – 2
E molto altro ancora sui sette punti razionali trovati con la
suddetta equazione:
(x,y) = (0,0), (3, 8), (3, - 8), (- 5, 16), (-5, - 16), (11, 32) (11, 32) :
trascurando il primo punto (0,0), abbiamo, per i successivi
sei punti, delle coppie di numeri che sono, in valore assoluto,
numeri di Fibonacci: 3, 5, 8 (il punto (3, 8) è del tipo F(n),
Fn+2, e quindi non consecutivi come 3, 5; e quindi si trova
nella tangente più bassa nel grafico finale.
Mentre 3, 5 e 8 sono numeri di Fibonacci, 8, 16 e 32 sono
invece potenze di 2 e multipli di 8 anche numero di Fibonacci ;
11 come numero primo è anche connesso a 22 = 166 – 144
(numero di Fibonacci prima di 166) e 22/2 = 11.
Ricordiamo, inoltre, che 8 è uguale al numero dei modi delle
vibrazioni fisiche corrispondenti alle superstringhe che è
rappresentabile dalla seguente equazione modulare di
Ramanujan:
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∞ cos πtxw'
− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx 142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'
4
e
φw' (itw')
1
8=
. (1)
3
10 + 11 2
10 + 7 2
+
log
4
4
Come si vede, numeri di Fibonacci e potenze di 2 , insieme al
numero primo 11, non sembrano del tutto casuali nei sette
numeri che individuano i sette punti razionali dell’equazione.
Poiché la crittografia ellittica ECC è connessa a tali punti
razionali, e quindi alla relativa equazione, ipotizziamo che
tutte le curve con punti razionali interi siano legati ad
equazioni di curve ellittiche in cui sono coinvolti coefficienti
a loro volta connessi con numeri di Fibonacci, potenze di 2 e
qualche numero primo, come nell’esempio precedente.
Data una chiave pubblica come punto razionale di una curva
ellittica, si potrebbe trovare (tramite apposite curve che
combinino insieme numeri di Fibonacci e potenze di 2,ecc.), la
relativa equazione della curva originaria, e con ciò violare la
ECC e decifrare il messaggio. Sembra più facile a dirsi che a
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farsi, ma potrebbe essere uno spiraglio per far luce sul
percorso a ritroso da un punto razionale alla curva ellittica
originaria iniziale e alla relativa equazione. Questa quindi la
nostra congettura provvisoria, ancora tutta da verificare
meglio con altri esempi :
“tutte o in parte le curve ellittiche con infiniti punti razionali,
sono connesse ai numeri di Fibonacci e a potenze di 2,
specialmente se anche quadrati (4, 16, 64…); la retta di
Fibonacci x=F(n) ed y = F(n+1) potrebbe essere la tangente
che unisce i punti razionali”
(la tangente alla curva ellittica potrebbe cioè essere una retta
con punti F(n), F(n + 1) quando il primo punto comincia con
(3, 5) coincidente con un punto della curva ellittica, vedasi i
due grafici finali; in tal caso la curva ellittica potrebbe avere
infiniti punti razionali, vedi primo esempio, oppure un
numero finito di tali punti, vedi secondo esempio).
Poiché la domanda che ci pone Marcus du Sautoy nel suo
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suddetto libro (pag. 298) è :
“Esiste un modo per stabilire quali curve ellittiche
possiedono infiniti punti le cui coordinate sono numeri interi o
frazioni?”
tale nostra congettura potrebbe essere un punto di
partenza per lo studio dell’andamento a ritroso (dal punto
razionale all’equazione originaria, tramite la possibile
“tangente di Fibonacci”, dalla quale si potrebbe risalire
all’equazione originaria della curva ellittica) per approfondire
meglio (e magari infine contribuire anche a dimostrare) la
congettura di Swinnerton – Dyer , base della crittografia ECC.;
e quindi, infine, possibilmente ,diminuire i tempi di calcolo
per la sua eventuale violazione (ma non è questo il nostro
scopo , che è solo quello di approfondire lo studio della
congettura di Swinnerton – Dyer come problema del
millennio).
La nostra risposta potrebbe essere che le curve ellittiche che
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hanno come tangente la retta di Fibonacci (F(n) , F(n+1),
con, tra i primi punti (3, 5) con due numeri di Fibonacci, e
presente nel primo esempio, hanno infiniti punti le cui
coordinate o frazioni (nel secondo esempio spunta fuori
il punto (3, 8), con però due numeri di Fibonacci non
consecutivi (vedi grafico finale)), e quindi in questo caso si
avrebbero un numero finito di tali punti. Non sappiamo
ancora se tale tangente di Fibonacci sia unica in questo senso,
o se ce ne possano essere altre (eventualmente si cercheranno
in futuro); ma essa potrebbe permettere, in qualche modo
ancora da scoprire, di andare a ritroso in qualche curva
ellittica connessa alla crittografia ECC, e di ricostruire
l’equazione della curva ellittica originaria, e con ciò poter
contribuire , anche parzialmente, alla dimostrazione della
congettura di Birch e Swinnerton -Dyer
Come dice du Sautoy a fine pag. 298:
“ Per cifrare il messaggio, quel punto viene spostato
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utilizzando la procedura che abbiamo spiegato, così da
generare nuovi punti. Ricostruire a ritroso questa procedura
geometrica richiede conoscenze matematiche che al momento
non disponiamo…”
Ma troviamo sentore di Fibonacci anche nel risultato le
radici quadrate dei numeratori delle frazioni, e nel rapporto a
pagine 297, per nuovi punti x ed y :
√ 2 340 922 881 = 48 383,08…≈ 46 368 numero di Fibonacci
con differenza 2015 ≈ media tra 1597 e 2584 = 2090,5
x = 2 340 922 881 / 45 427 600= 51,53 ≈ 55 numero di
Fibonacci con loro differenza intera 4 = 55 - 51
√45427600 = 6740 ≈ 6765 numero di Fibonacci
Con l’altro rapporto, abbiamo invece:
y = 93 955 726 337 279/306 182 024 000 = 306,862≈ 310 media
tra 233 e 377 numeri di Fibonacci, poiché (233 + 377)/2 = 305
√93 955 726 337 279 = 9 693 076 ≈ 9 227 465 = 35° numero di
Fibonacci, con differenza 465 611≈ 416020 media tra 317 811 e
11
514 229 numeri di Fibonacci
√306 182 024 000 = 553 337,17 ≈ 514 229 = 29° numero di
Fibonacci. Ma questi due nuovi valori di x e y non ricadono
sulla retta tangente di Fibonacci, ma sono molto vicini a
numeri di Fibonacci o loro medie : 51 ≈ 55
e 306 circa la media 305 tra 233 e 377 .
Insomma, i numeri di Fibonacci non sembrano proprio del
tutto casuali in questo caso , ma forse sono conseguenza della
tangente di Fibonacci relativa a tale curva, che ha tra i primi
punti (3, 5), cioè con coordinate razionali ( 3 e 5) che sono
interi e insieme anche numeri di Fibonacci consecutivi.
Circa la crittografia ECC e la nostra suddetta congettura:
analogamente a come potrebbe succedere con l’eventuale
dimostrazione dell’ipotesi di Riemann (RH), che si pensa possa
portare a metodi di fattorizzazione dei numeri RSA.
Già ci sono metodi di fattorizzazione basati sull’assunzione
che la RH sia vera, ma la crittografia RSA è tuttora inviolata,
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segno che tali metodi non sono del tutto sufficienti a tale scopo.
Dimostrando la congettura di Swinnerton –Dyer, potrebbe
succedere più o meno la stessa cosa: nuovi metodi per
diminuire in qualche misura i tempi di calcolo per la
crittografia ECC, magari non tanto da poterla ancora violare.
Per la crittografia RSA abbiamo ottenuto dei progressi
(eliminazione del 67% dei tempi di calcolo, poiché p si trova
tra il 67% e il 99% della radice n = √N con N numero RSA, e
al 33/2 = 16,5% se si procedesse contemporaneamente il
calcolo dal 67% di al 67% + 16,5% 80,5% di n e a ritroso,
da n all’80,5% di n: p si troverà certamente in una delle due
parti di 16,5% esplorate).
Per un numero RSA che richiedesse , per esempio, 100 anni
per essere fattorizzato, occorreranno così al massimo 16,5
anni.
Non è poco, ma non ancora abbastanza da violare la
crittografia RSA , e anche senza scomodare la RH e la sua
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eventuale futura dimostrazione: seguendo quest’ultima via,
non si sono ancora ottenuti risultati paragonabili alla
nostra migliore “tecnica”, probabilistica (considerando p, n e
q come terna di una progressione geometrica di ratio = √q/r),
e basata sulla congettura forte sui numeri RSA e relativi
lavori , già pubblicati su questo sito. I pericoli non
verrebbero tanto dalla RH, quanto da congetture minori,
come la congetture di Goldbach, dei numeri primi gemelli, i
cui prodotti N sono facilmente fattorizzabili, ma partendo a
ritroso a partire da n = √N.
Con questo primo lavoro sulle curve ellittiche , vorremmo alla
fine trovare qualcosa di analogo con la crittografia ECC, pur
senza ancora disporre della dimostrazione della congettura di
Swinnerton – Dyer.
Questa è connessa anche ai numeri primi, come anche da noi
già notato con il numero 11 del secondo esempio, e una sua
buona descrizione, anche in relazione proprio ai numeri primi,
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si trova nel libro di Keith Devlin “I problemi del millennio”
(Longanesi & C.) nel relativo capitolo “Sapere quando
un’equazione non può essere risolta” pag. 236.
Nel corso di tale capitolo, si trova un altro esempio di curva
ellittica, con sette punti razionali, sebbene ottenuti con altre
considerazioni matematiche (congruenze mod. p con p primo,
ecc.):
(0,0) , (1, 0), ( 4, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 3) (2, 4) dove i rosso
abbiamo i numeri di Fibonacci (successivi ma in ordine
inverso come grandezza: ( 1, 0), (2, 1), (3, 2); potenze di 2 (in
questo caso solo il 2 e il 4), ma ora a prescindere dai
coefficienti a e b.
La nostra congettura è quindi ancora compatibile con tali
punti razionali.
Un altro buon indizio è la formula del discriminante, pag. 239
“… Il discriminante di questa equazione (“y2 = x3 – d2
dove d è un numero intero, citata poco prima, N. d. A. A.)
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∆ = -16 (-4d2) =64d2
non è nullo, e pertanto il grafico dell’equazione è una curva
ellittica ) si ponga a = - d e b = 0 nella formula del
discriminante (notiamo che 16, 4, e 64 sono multipli di 2,
coinvolti nel problema. Ed anche qui è possibile la connessione
con 8 che è il numero uguale ai modi delle vibrazioni fisiche
delle superstringhe rappresentate dall’equazione (1).
N.d.A.A.) . In altre equazioni, il discriminante contiene 27 =33
invece di 64 =26, e così via.
Il problema degli antichi Greci - in altre parole, il problema
di trovare interi d che siano le aree di triangoli rettangoli con
lati razionali – equivale pertanto al problema di trovare punti
razionali (ossia punti i cui coefficienti siano numeri razionali)
su certe curve ellittiche . Questo è il problema che Birch e
Swinnerton – Dyer si accinsero a studiare”.
Ma tutto ciò i matematici professionisti già lo sanno.
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Il nostro modesto suggerimento, con questa nostra congettura,
è di segnalare e proporre il coinvolgimento dei numeri di
Fibonacci (come retta tangente se sono due numeri
consecutivi come coordinate di un punto razionale) e delle
potenze di 2 siano esse multiple di 8 , come 32, 16, 64 oppure
no , come 2 e 4, (oppure quadrati come 4, 16, e 64 nei punti
razionali delle curve ellittiche), e quindi il loro futuro studio
ai fini della dimostrazione della congettura di Birch e
Swinnerton - Byer come problema del millennio.
E poi, in caso positivo, come possibile proseguimento, anche
lo studio delle eventuali e possibili conseguenze dei risultati
raggiunti sulla crittografia ECC.
Conclusioni
Possiamo quindi concludere che la nostra timida congettura
sul coinvolgimento dei numeri di Fibonacci e delle potenze di
2 - presenti in tutte o in molte equazioni per le curve ellittiche
(con coefficienti interi connessi a numeri di Fibonacci, come
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43 e 166 del secondo esempio) potrebbe essere utile ad una
futura dimostrazione, magari dopo altri ed interessanti
passaggi intermedi che ne tengano conto, della congettura di
Swinnerton – Dyer.
Riferimenti
Oltre ai due libri di Marcus du Sautoy e di Keith Devlin citati
nel testo , anche tutti i lavori sulla fattorizzazione già
pubblicati su questo sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/ ,
per quanto riguarda la crittografia RSA (notoriamente basata
sulla difficile fattorizzazione di grandi numeri), maggiore
concorrente della crittografia ECC, basata invece sulle ancora
più difficili curve ellittiche.
Grafici finali
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