La Teoria dell’Atomo di Bohr
Modello di Bohr dell’atomo di idrogeno:
Vedi documento “Atomo di Bohr.pdf” sul materiale didattico per la derivazione di queste equazioni
Livelli Energetici dell’Atomo di Idrogeno
Livelli Energetici dell’Atomo di Idrogeno
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
E(H) (J)
-218.0 x 10-20
-54.5 x 10-20
-24.2 x 10-20
-13.6 x 10-20
-8.72 x 10-20
-6.06 x 10-20
-4.45 x 10-20
-3.41 x 10-20
-2.69 x 10-20
-2.18 x 10-20
E(H) (Ry)
1 Ry
1/4 Ry
1/9 Ry
1/16 Ry
1/25 Ry
1/36 Ry
1/49 Ry
1/64 Ry
1/81 Ry
1/100 Ry
Livelli Energetici dell’Atomo di Idrogeno
Confronto fra la serie di Lyman calcolata e osservata
Transizione
21
31
41
51
61
71
81
91
10 1
ΔE (J)
1.64 x 10-18
1.94 x 10-18
2.04 x 10-18
2.09 x 10-18
2.12 x 10-18
2.14 x 10-18
2.15 x 10-18
2.15 x 10-18
2.16 x 10-18
Freq. (Hz)
2.47 x 10-15
2.92 x 10-15
3.08 x 10-15
3.16 x 10-15
3.20 x 10-15
3.22 x 10-15
3.24 x 10-15
3.25 x 10-15
3.26 x 10-15
L. onda
calcolata
(nm)
122
103
97.3
95.0
93.8
93.1
92.6
92.3
92.1
L. onda
sperimentale
(nm)
122 OK!
103 OK!
97.3 OK!
95.0 OK!
93.8 OK!
93.1 OK!
92.6 OK!
92.3 OK!
92.1 OK!
Livelli Energetici dell’Atomo di Elio
Confronto fra le bande di emissione dell’atomo di elio
calcolate e sperimentali.
Transizione
54
64
74
84
94
10 4
11 4
ΔE (J)
1.96 x 10-19
3.03 x 10-19
3.67 x 10-19
4.09 x 10-19
4.37 x 10-19
4.58 x 10-19
4.73 x 10-19
Freq. (Hz)
2.96 x 10-14
4.57 x 10-14
5.54 x 10-14
6.17 x 10-14
6.60 x 10-14
6.91 x 10-14
7.14 x 10-14
L. onda
calcolata
(nm)
1013
657
542
486
455
434
420
L. onda
sperimentale
(nm)
667 NO!
587 NO!
471 NO!
444 NO!
439 NO!
417 NO!
La Teoria dell’Atomo di Bohr
• Modello di Bohr vale anche per atomi idrogenoidi:
1 solo elettrone, numero di protoni >1
• Modello di Bohr non vale per atomi polielettronici
(non riesce a tener conto delle interazioni fra
elettroni).
• Modello di Bohr-Sommerfeld: considera orbite
ellittiche invece che circolari. Vale solo per atomo
di elio (2p + 2e).
La Teoria dell’Atomo di Bohr
Attrazione
nucleo - elettrone
Idrogeno
Repulsione
elettrone - elettrone
Elio
Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg
∆ = incertezza sulla posizione
∆ = incertezza sulla velocità
∆ × ∆ ≥ /
( = 6,6 x 10-34 Kg m2 s-1)
Mondo macroscopico: = 1 kg; ∆ = 1 m/s
∆ = / × ∆ ≅ m
Mondo microscopico: ≅ 10-30 kg; ∆ = 1 m/s
∆ ≅ m
∆ ca. 106 volte la dimensione atomica!!!
Non è possibile conoscere la traiettoria dell’elettrone.
Schroedinger...
La Teoria Probabilistica dell’Atomo
• Concetto di probabilità (P)
• Probabilità che l’elettrone si trovi in una certa
regione di spazio (orbitale)
• Si definisce una funzione matematica, ψ, che
descrive gli orbitali, tale per cui:
ψ2 = densità di probabilità = P / dV
La Teoria Probabilistica dell’Atomo
1) ψ(x,y,z) deve essere continua per ogni punto (x,y,z);
2) ψ(x,y,z) deve avere un valore singolo per ogni punto (x,y,z);
3) ψ(x,y,z) deve avere un valore finito per ogni punto (x,y,z);
4) La probabilità di trovare l’elettrone nello spazio totale = 1
(l’integrale di ψ(x,y,z) in tutto il volume = 1);
5) Ad ogni orbitale ψ è associata una certa energia E;
6) L’energia deve essere quantizzata.
L’Equazione di Schroedinger
Vale la relazione:
= Qualsiasi funzione ψ(x,y,z) tale per cui: descrive un orbitale.
è un operatore matematico (Hamiltoniano)
ψ è una funzione matematica
è l’energia associata a ciascun orbitale ψ
=
!", $, %&
2
' = '
2(
*
*
*
= *"
*$
*%
", $, % ' = )'
La Teoria Quantistica dell’Atomo
Le ψ(x,y,z) che soddisfano l’equazione di Schroedinger e le
condizioni sopra descritte dipendono matematicamente da una
serie di quattro numeri interi detti numeri quantici:
n = 1, 2, …, ∞
l = 0, 1, …, (n-1)
m = (-l), (-l+1), (-l+2), …, 0, …, (+l)
s = +½, -½
n = numero quantico principale, indica l’energia;
l = numero quantico secondario, descrive la forma dell’orbitale;
m = numero quantico magnetico, descrive la orientazione
dell’orbitale;
s = numero quantico di spin, indica il senso di rotazione
dell’elettrone.
Lo Spin dell’Elettrone
La Teoria Quantistica dell’Atomo
• n = 1; l = 0; m = 0
orbitale 1s
• n = 2; l = 0; m = 0
orbitale 2s
• n = 2; l = 1; m = -1 orbitale 2px
• n = 2; l = 1; m = 0 orbitale 2py
• n = 2; l = 1; m = +1 orbitale 2pz
La Teoria Quantistica dell’Atomo
• n = 3; l = 0; m = 0
orbitale 3s
• n = 3; l = 1; m = -1 orbitale 3px
• n = 3; l = 1; m = 0 orbitale 3py
• n = 3; l = 1; m = +1 orbitale 3pz
•
•
•
•
•
n = 3; l = 2; m = -2
n = 3; l = 2; m = -1
n = 3; l = 2; m = 0
n = 3; l = 2; m = +1
n = 3; l = 2; m = +2
orbitale 3dz2
orbitale 3dx2-y2
orbitale 3dxy
orbitale 3dyz
orbitale 3dxz
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La Teoria Quantistica dell’Atomo
• Densità di probabilità per un orbitale 1s
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La Teoria Quantistica dell’Atomo
Un piano nodale (o regione nodale) è una regione dello spazio in
cui ψ(x,y,z) = 0
Passando per un piano nodale ψ(x,y,z) cambia di segno.
La Teoria Quantistica dell’Atomo
Piani Nodali negli Orbitali s
La Teoria Quantistica dell’Atomo
1s
4s
2s
4p
2p
4d
3s
4f
3p
5s
3d
5p
Gli Orbitali 4f
Orbital Viewer
http://www.orbitals.com/orb/ov.htm
App per Android
App per Android
La Teoria Quantistica dell’Atomo
La funzione ψ(x,y,z,n,l,m) può essere scritta
in coordinate sferiche ψ(r,ϑ,ϕ,n,l,m):
La Teoria Quantistica dell’Atomo
Per l’atomo di idrogeno è possibile dimostrare che
ψ(r,ϑ,ϕ,n,l,m) è divisibile in due componenti:
ψ(r,ϑ,ϕ,n,l,m) = R(r,n,l) · Θ(ϑ,l,m) · Φ(ϕ,m) · Τ(ϑ,ϕ,l,m)
Componente
radiale
Componente
angolare
La Teoria Quantistica dell’Atomo
R(r, n, l) = componente radiale
n
l
ψ
1
0
1s
2
0
2s
2
1
2p
3
0
3s
3
1
3p
3
2
3d
La Funzione d’Onda 1s
Per gli orbitali s (l = 0) la densità di probabilità di trovare
l’elettrone è massima vicino al nucleo e decresce
esponenzialmente allontanandosi dal nucleo
«Probabilità» dalla «Densità di Probabilità»
Volume del guscio sferico di spessore in funzione del raggio +:
«Probabilità» dalla «Densità di Probabilità»
Per ottenere la probabilità (P) di trovare l’elettrone ad ogni
distanza r dal nucleo, dobbiamo moltiplicare la densità di
probabilità ψ2 per il volume di un guscio sferico di spessore
infinitamente piccolo, ,- :
dV(h) = 4πr2 + 8πhr + 4πh2
Per uno spessore infinitamente piccolo, vale che
La Funzione d’Onda 1s
Moltiplicando il quadrato della funzione per 4πr2 otteniamo la
probabilità di trovare l’elettrone in un guscio sferico di raggio dr
La Funzione d’Onda 2s
l numero dei piani nodali è uguale a (n – 1).
Nell’orbitale 2s esiste una superficie nodale costituito
da una sfera a distanza ca. 2a0 dove la funzione cambia segno.
La Funzione d’Onda 2p
Per gli orbitali p (l = 1) la probabilità di trovare l’elettrone è zero
sul nucleo ed ha un andamento simmetrico nelle due direzioni
dell’asse, cambiando segno.
Il Segno della Funzione d’Onda
Il numero dei piani nodali è: (n - 1).
In corrispondenza di un piano nodale la funzione R(r, n, l)
cambia segno.
Energie degli Orbitali negli Atomi Idrogenoidi
3s
3px 3py 3pz 3dxy 3dxz 3dyz 3dz2 3dx2-y2
2s
2px 2py 2pz
1s
La Struttura Elettronica dell’Atomo
• Le proprietà chimiche degli elementi dipendono
dalla posizione e dall’energia degli elettroni
(struttura elettronica)
• Per comprendere la struttura elettronica,
dovremo illustrare i concetti di:
1. Energia
2. Radiazione elettromagnetica
3. Teoria quantistica
4. L’atomo di idrogeno
5. Gli atomi polielettronici
L’Atomo di Elio
Consideriamo un atomo con due elettroni e carica nucleare Z.
Il caso più semplice è l’atomo di Elio (Z = 2).
In questo caso non possiamo trascurare la repulsione
elettronica. Ne possiamo tenere conto assumendo che gli
elettroni “schermino” parzialmente la carica nucleare.
Effetto Schermo degli Elettroni
Carica Nucleare Effettiva
• La carica nucleare netta sentita da un elettrone è definita
carica nucleare effettiva, Zeff.
• .// = . 0
• 0 è la costante di schermo:
• Energia atomi
idrogenoidi
• Energia atomi non
idrogenoidi
Energie degli Orbitali
• A causa dell’effetto schermo, sottogusci elettronici
caratterizzati dallo stesso numero quantico principale
(ma diverso numero quantico secondario) hanno energie
diverse:
1 < 3 < 4 < !/&
• L’energia dipende non solo da n ma anche da l.
• L’energia di un orbitale con lo stesso n ed l dipende dal
numero di cariche sul nucleo.
Energie degli Orbitali
Energie degli Orbitali
Struttura Elettronica degli Atomi Polielettronici
• La configurazione elettronica di un atomo mostra il numero di
elettroni in ogni orbitale atomico.
• Principio di minima energia.
• Il Principio di esclusione di Pauli stabilisce che: “Due elettroni
in un atomo non possono avere gli stessi quattro numeri
quantici”.
• La conseguenza è che ogni orbitale può essere occupato da un
massimo di due elettroni.
• Regola di Hund: “quando due o più elettroni occupano orbitali
degeneri, essi si dispongono nel numero massimo possibile di
orbitali mantenendo gli spin paralleli”.
Energie degli Elettroni
Configurazioni Elettroniche
H: 1s1
Configurazioni Elettroniche
He: 1s2
Configurazioni Elettroniche
Li: 1s22s1 = [He]2s1
Configurazioni Elettroniche
Be: 1s22s2 = [He]2s2
Configurazioni Elettroniche
B: 1s22s22p1 = [He]2s22p1
Configurazioni Elettroniche
C: 1s22s22p2 = [He]2s22p2
Configurazioni Elettroniche
N: 1s22s22p3 = [He]2s22p3
Configurazioni Elettroniche
O: 1s22s22p4 = [He]2s22p4
Configurazioni Elettroniche
F: 1s22s22p5 = [He]2s22p5
Configurazioni Elettroniche
Ne: 1s22s22p6
