Esercitazione Sistemi e Modelli n.4

Esercitazione Sistemi e Modelli n.4
05/11/2015
Esercizio 1
Dato il sistema continuo autonomo caratterizzato dalla seguente matrice modale:
1 −1
F =
1 1
se ne deduca la stabilità tramite equazione di Lyapunov.
Soluzione. Scegliamo come matrice Q:
Q=
1
0
0
1
chiaramente definita positiva (i due autovalori, λ = 1, sono entrambi positivi).
Poniamo la matrice P incognita
a b
P =
= PT
b c
A questo punto, determiniamo la matrice P risolvendo l’equazione di Lyapunov con la matrice Q scelta
in precedenza:
F T P + P F = −Q
−1
=
1
a+b
b+c
a + b −a + b
=
+
=
−a + b −b + c
b + c −b + c
2(a + b)
−a + 2b + c
−1 0
=
=
= −Q
−a + 2b + c 2(−b + c)
0 −1
⇒ FTP + PF =
1
−1
1
1
a
b
b
c
+
a
b
b
c
Dall’uguaglianza precedente si ottiene il seguente sistema:


1


2(a + b) = −1
a = − 2
−a + 2b + c = 0 ⇒ b = 0




c = − 12
2(−b + c) = −1
Si può vedere quindi che la matrice P ottenuta
1
−2
P =
0
0
− 21
1
1
(1)
(2)
non è definita positiva (gli autovalori sono negativi) e quindi si può concludere che il sistema non è
asintoticamente stabile.
Tramite i teoremi sulle equazioni di Lyapunov, in tal caso, non si può affermare nulla, in generale, a proposito
dell’eventuale stabilità semplice. Tuttavia, in questo caso, un metodo veloce per valutare se il sistema è
1
semplicemente stabile o instabile è calcolarne gli autovalori.
Definiamo quindi il polinomio caratteristico:
2
det (λI − F ) = (λ − 1) + 1 = λ2 − 2λ + 2
Gli autovalori sono:
λ=1±
√
−1 = 1 ± j
La parte reale degli autovalori risulta essere positiva e quindi il sistema è instabile.
Esercizio 2
Dato il sistema
−3
u, y = 1 1 x
0
1 a
• si risolva l’equazione di Lyapunov con Q(a) =
, dove a è un parametro reale, e si denoti con
a 1
P (a) la corrispondente soluzione (punti 1.5);
ẋ =
−1
−1
2
−1
x+
• si può dedurre qualcosa sulla stabilità del sistema ricorrendo alla coppia (P (0), Q(0))? Ed alla coppia
(P (1), Q(1))? (punti 1)
Soluzione. L’equazione di Lyapunov F T P + P F = −Q fornisce la soluzione
5−2a 1+2a 12
12
P = 1+2a
8+4a
12
Particolarizzando ai casi a = 0, 1, si ha:
1 0
1
Q(0) =
, Q(1) =
0 1
1
1
1
12
, P (0) =
5
12
1
12
1
12
2
3
, P (1) =
1
4
1
4
1
4
1
da cui si vede facilmente che P (0), P (1) e Q(0) sono definite positive, mentre Q(1) è semidifinita positiva.
• Nel caso a = 0 si può concludere per la stabilità asintotica, essendo V (x) > 0 e V̇ (x) < 0.
• Nel caso a = 1 si può concludere per la stabilità (almeno) semplice, essendo V (x) > 0 e V̇ (x) ≤ 0.
Utilizzando Krasowskii, si può concludere per la stabilità asintotica anche in questo caso, in quanto N
T
consiste di vettori paralleli a 1 −1
e, ponendo x2 = −x1 nelle equazioni di stato, si conclude
facilmente:
ẋ1 = −3x1
ẋ1 = 0
da cui x1 = x2 = 0.
Esercizio 3
Dato il sistema non lineare
ẋ1 = ax1 − x31
(3)
x32
(4)
ẋ2 = ax2 −
si studi la stabilità dell’equilibrio nell’origine al variare del parametro reale a
1. ricorrendo, quando possibile, alla linearizzazione
2. ricorrendo, nei casi critici, alla funzione V (x1 , x2 ) = x21 + x22 .
2
Soluzione.
1. Linearizzando si ottiene
F = Jf |eq =
a − 3x21
0
0
a − 3x22
=
|(0,0)
a
0
0
a
= aI,
da cui l’autovalore doppio λ = a, e quindi si ha instabilità se a > 0 e stabilità asintotica se a < 0.
2. Nel caso critico a = 0, calcolando V̇ , si trova facilmente
V̇ (x1 , x2 ) = 2x1 x˙1 + 2x2 x˙2 = −2 x41 + x42
che è definita negativa. Si ottiene quindi la stabilità asintotica.
Esercizio 4
Dato il sistema
ẋ1 = x2
(5)
ẋ2 = ax2 − x1 −
b2 x32
(6)
si studi la stabilità dell’equilibrio nell’origine al variare dei parametri a e b con il metodo della linearizzazione
e ricorrendo, ove necessario, alla funzione
1 2 1 2
x + x
2 1 2 2
V (x1 , x2 ) =
Soluzione. Linearizzando si ottiene:
F = Jf |e q =
0
−1
1
a
,
da cui segue il calcolo degli autovalori:
2
det(sI − F ) = s − as + 1
=⇒
λ1,2 =
a±
√
a2 − 4
2
• se a > 0, gli autovalori sono entrambi a parte reale positiva e quindi si ha instabilità;
• se a < 0, gli autovalori sono entrambi a parte reale negativa e quindi si ha stabilità asintotica;
• se a = 0 entrambi gli autovalori hanno parte reale nulla e quindi il teorema sulla linearizzazione non è
applicabile e non ci dà alcuna informazione. Utilizziamo quindi Lyapunov.
Con a = 0, il sistema diventa:
x˙1 = x2
x˙2 = −x1 −
(7)
b2 x32
Da cui, utilizzando la V (x1 , x2 ) proposta,si ottiene:
V̇ = x1 x˙1 + x2 x˙2 = x1 x2 − x1 x2 − b2 x42 = −b2 x42 ≤ 0
che è solamente semidefinita negativa. Possiamo concludere quindi per la stabilità (almeno) semplice.
Utilizziamo ora Krasowskii per studiare se la stabilità è solamente semplice o anche asintotica.
L’insieme N di tutti i punti in cui la V̇ (x1 , x2 ) si annulla è dato da: N = (x1 , x2 ) ∈ R2 | − b2 x42 = 0
3
(8)
• se b 6= 0, l’insieme N è costituito da tutti i punti del tipo con x2 = 0. Dalle equazioni della dinamica,
risulta quindi:
x˙1 = 0
x˙2 = −x1
(9)
(10)
Da x2 = 0 risulta anche x˙2 = 0, da cui x1 = 0. Perciò non esistono traiettorie, diverse dalla traiettoria
identicamente nulla, che giacciano in N . Possiamo concludere quindi per la stabilità asintotica.
• se b = 0, l’insieme N è costituito da tutti i punti di R2 , perciò il sistema risulta solamente semplicemente
stabile.
In questo caso si poteva anche notare che, nel caso a = b = 0, il sistema diventa lineare, con matrice F
pari a
0 1
F
−1 0
da cui si ricavano i due autovalori distinti λ1,2 = ±j, che ci permettono di concludere subito per la
stabilità solo semplice.
4