COMPITO DI SCIENZE NATURALI
23 gennaio 2012
Modulo di probabilità e statistica
1. In Svizzera, al primo gennaio di ogni anno, tutti i cittadini vengono
sottoposti a vaccinazione contro l’influenza annuale. Al primo gennaio
2012 i cittadini residenti erano per il 70% di lingua tedesca, per il 20%
di lingua francese e per il 10% di lingua italiana. Volendo conservare le
preferenze dei cittadini, gli amministratori svizzeri hanno somministrato ai cittadini di lingua tedesca il vaccino T, a quelli di lingua francese
il vaccino F e a quelli di lingua italiana il vaccino I. I vaccini però hanno
un efficacia diversa, e quindi la probabilità per un cittadino di lingua
tedesca di rimanere immune dall’influenza nel 2012 è del 99%, per un
cittadino di lingua francese è del 96%, e per un cittadino di lingua
italiana il 90%.
(a) Qual è la probabilità che un cittadino svizzero si ammali di influenza nel 2012?
(b) Se un cittadino svizzero si ammala, qual è la probabilità che sia
di lingua italiana?
2. L’osservatorio internazionale sui cambiamenti climatici ha registrato le
temperature nel mondo nell’arco del decennio 2001 - 2010. All’inizio
del decennio la temperatura media mondiale era di 14o , alla fine era
di 16o e in generale la temperatura mondiale al tempo t (dove t è il
numero di anni trascorsi dall’inizio del periodo) era di
14 +
1 2
t
50
gradi.
Determinare il valor medio della temperatura media mondiale e la sua
varianza nell’arco del decennio.
COMPITO DI SCIENZE NATURALI
13 febbraio 2012
Modulo di probabilità e statistica
1. La ditta SNAT costruisce dadi cubici in cui su una faccia c’è il numero
1, su due facce il numero 2 e su tre facce il numero 3.
(a) Qual è la probabilità che, tirando due dadi, la somma faccia 5?
(b) Qual è la probabilità che, tirando tre dadi, la somma faccia 8?
(c) Qual è, in media, la somma che si ottiene lanciando 60 dadi?
2. Un generatore di numeri a caso fornisce numeri nell’intervallo [0, 1] con
una densità di distribuzione data dalla funzione f (x) = λe−x per ogni
x ∈ [0, 1], dove λ è un numero reale positivo.
(a) Determinare il valore di λ.
(b) Calcolare la probabilità che un numero generato sia compreso
nell’intervallo [ 31 , 23 ].
Prova scritta
“Matematica per Scienze naturali e ambientali”
Seconda parte – Probabilità e Statistica
venerdı̀ 13 aprile 2012
1. In un gioco di carte si utilizzano due mazzi, uno rosso ed uno blu, di
54 carte ciascuno. Ogni giocatore riceve 13 carte.
(a) Quante sono le combinazioni possibili?
(b) Qual è la probabilità che un giocatore riceva 8 carte rosse e 5 carte
blu?
2. Per ogni angolo α compreso fra 0 a π (cioè fra 0o a 180o ), sia T (α) un
triangolo isoscele con due lati di lunghezza 1 e l’angolo compreso fra loro
uguale ad α. Sia X = X(α) la variabile aleatoria che misura l’area del
triangolo T (α). Supponendo che la densità di probabilità dell’angolo α
nell’intervallo [0, π] sia uniforme, determinare E(X) e Var(X).
Prova scritta
“Matematica per Scienze naturali e ambientali”
Seconda parte – Probabilità e Statistica
giovedı̀ 31 maggio 2012
1. Dieci carte, numerate da 1 a 10, sono mescolate in modo casuale e poste
in fila su un tavolo.
(a) Qual è la probabilità che tutte siano “al loro posto”, ossia compaiano nell’ordine 1, 2, 3, . . . , 10?
(b) Qual è la probabilità che tutte eccetto due siano al loro posto?
(c) Qual è la probabilità che tutte le carte dispari siano nei posti
dispari e tutte le carte pari nei posti pari?
2. In un determinato giorno dell’anno il sole sorge al tempo t = 0 e tramonta al tempo t = T . In ogni istante t del periodo di luce (0 ≤ t ≤ T )
il sole forma un angolo con l’orizzonte uguale a
X(t) = 60o sin
πt
.
T
Calcolare E(X) e V ar(X) nel periodo di luce.
Prova scritta
“Matematica per Scienze naturali e ambientali”
Seconda parte – Probabilità e Statistica
venerdı̀ 22 giugno 2012
1. Ad una roulette truccata il rosso esce con probabilità 60% ed il nero
con probabilità 40%.
(a) Qual è la probabilità che esca lo stesso colore per quattro volte di
fila?
(b) Qual è la probabilità che in quattro lanci il rosso ed il nero escano
due volte ciascuno?
2. Il numero di scosse di terremoto in Emilia segue una distribuzione di
Poisson con media di 5 scosse al giorno.
(a) Qual è la probabilità che in un determinato giorno ci siano esattamente 4 scosse?
(b) Qual è la probabilità che in un determinato giorno ci siano non
più di 2 scosse?
(c) Qual è la probabilità che in un determinato giorno ci sia esattamente una scossa tra le 9 e le 12?
Prova scritta
“Matematica per Scienze naturali e ambientali”
Seconda parte – Probabilità e Statistica
venerdı̀ 14 settembre 2012
1. Il croupier di un casinò distribuisce le carte ai giocatori, una carta alla
volta. Il mazzo è di 52 carte e ci sono 4 assi, 4 re, 4 regine, eccetera.
(a) Qual è la probabilità che si riceva un asso come prima carta?
(b) Qual è la probabilità che si ricevano due assi nelle prime due carte?
(c) Qual è la probabilità di non ricevere neanche un asso fra le prime
tre carte?
2. Siano x, y due numeri scelti a caso nell’intervallo [0, 1], con probabilità
uniforme.
(a) Qual è il valor medio di x + y?
(b) Qual è la probabilità che x + y ≤ 13 ?
