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COMPITO DI SCIENZE NATURALI 23 gennaio 2012 Modulo di probabilità e statistica 1. In Svizzera, al primo gennaio di ogni anno, tutti i cittadini vengono sottoposti a vaccinazione contro l’influenza annuale. Al primo gennaio 2012 i cittadini residenti erano per il 70% di lingua tedesca, per il 20% di lingua francese e per il 10% di lingua italiana. Volendo conservare le preferenze dei cittadini, gli amministratori svizzeri hanno somministrato ai cittadini di lingua tedesca il vaccino T, a quelli di lingua francese il vaccino F e a quelli di lingua italiana il vaccino I. I vaccini però hanno un efficacia diversa, e quindi la probabilità per un cittadino di lingua tedesca di rimanere immune dall’influenza nel 2012 è del 99%, per un cittadino di lingua francese è del 96%, e per un cittadino di lingua italiana il 90%. (a) Qual è la probabilità che un cittadino svizzero si ammali di influenza nel 2012? (b) Se un cittadino svizzero si ammala, qual è la probabilità che sia di lingua italiana? 2. L’osservatorio internazionale sui cambiamenti climatici ha registrato le temperature nel mondo nell’arco del decennio 2001 - 2010. All’inizio del decennio la temperatura media mondiale era di 14o , alla fine era di 16o e in generale la temperatura mondiale al tempo t (dove t è il numero di anni trascorsi dall’inizio del periodo) era di 14 + 1 2 t 50 gradi. Determinare il valor medio della temperatura media mondiale e la sua varianza nell’arco del decennio. COMPITO DI SCIENZE NATURALI 13 febbraio 2012 Modulo di probabilità e statistica 1. La ditta SNAT costruisce dadi cubici in cui su una faccia c’è il numero 1, su due facce il numero 2 e su tre facce il numero 3. (a) Qual è la probabilità che, tirando due dadi, la somma faccia 5? (b) Qual è la probabilità che, tirando tre dadi, la somma faccia 8? (c) Qual è, in media, la somma che si ottiene lanciando 60 dadi? 2. Un generatore di numeri a caso fornisce numeri nell’intervallo [0, 1] con una densità di distribuzione data dalla funzione f (x) = λe−x per ogni x ∈ [0, 1], dove λ è un numero reale positivo. (a) Determinare il valore di λ. (b) Calcolare la probabilità che un numero generato sia compreso nell’intervallo [ 31 , 23 ]. Prova scritta “Matematica per Scienze naturali e ambientali” Seconda parte – Probabilità e Statistica venerdı̀ 13 aprile 2012 1. In un gioco di carte si utilizzano due mazzi, uno rosso ed uno blu, di 54 carte ciascuno. Ogni giocatore riceve 13 carte. (a) Quante sono le combinazioni possibili? (b) Qual è la probabilità che un giocatore riceva 8 carte rosse e 5 carte blu? 2. Per ogni angolo α compreso fra 0 a π (cioè fra 0o a 180o ), sia T (α) un triangolo isoscele con due lati di lunghezza 1 e l’angolo compreso fra loro uguale ad α. Sia X = X(α) la variabile aleatoria che misura l’area del triangolo T (α). Supponendo che la densità di probabilità dell’angolo α nell’intervallo [0, π] sia uniforme, determinare E(X) e Var(X). Prova scritta “Matematica per Scienze naturali e ambientali” Seconda parte – Probabilità e Statistica giovedı̀ 31 maggio 2012 1. Dieci carte, numerate da 1 a 10, sono mescolate in modo casuale e poste in fila su un tavolo. (a) Qual è la probabilità che tutte siano “al loro posto”, ossia compaiano nell’ordine 1, 2, 3, . . . , 10? (b) Qual è la probabilità che tutte eccetto due siano al loro posto? (c) Qual è la probabilità che tutte le carte dispari siano nei posti dispari e tutte le carte pari nei posti pari? 2. In un determinato giorno dell’anno il sole sorge al tempo t = 0 e tramonta al tempo t = T . In ogni istante t del periodo di luce (0 ≤ t ≤ T ) il sole forma un angolo con l’orizzonte uguale a X(t) = 60o sin πt . T Calcolare E(X) e V ar(X) nel periodo di luce. Prova scritta “Matematica per Scienze naturali e ambientali” Seconda parte – Probabilità e Statistica venerdı̀ 22 giugno 2012 1. Ad una roulette truccata il rosso esce con probabilità 60% ed il nero con probabilità 40%. (a) Qual è la probabilità che esca lo stesso colore per quattro volte di fila? (b) Qual è la probabilità che in quattro lanci il rosso ed il nero escano due volte ciascuno? 2. Il numero di scosse di terremoto in Emilia segue una distribuzione di Poisson con media di 5 scosse al giorno. (a) Qual è la probabilità che in un determinato giorno ci siano esattamente 4 scosse? (b) Qual è la probabilità che in un determinato giorno ci siano non più di 2 scosse? (c) Qual è la probabilità che in un determinato giorno ci sia esattamente una scossa tra le 9 e le 12? Prova scritta “Matematica per Scienze naturali e ambientali” Seconda parte – Probabilità e Statistica venerdı̀ 14 settembre 2012 1. Il croupier di un casinò distribuisce le carte ai giocatori, una carta alla volta. Il mazzo è di 52 carte e ci sono 4 assi, 4 re, 4 regine, eccetera. (a) Qual è la probabilità che si riceva un asso come prima carta? (b) Qual è la probabilità che si ricevano due assi nelle prime due carte? (c) Qual è la probabilità di non ricevere neanche un asso fra le prime tre carte? 2. Siano x, y due numeri scelti a caso nell’intervallo [0, 1], con probabilità uniforme. (a) Qual è il valor medio di x + y? (b) Qual è la probabilità che x + y ≤ 13 ?
