Modelli di oligopolio

Appendice 10A
Modelli di oligopolio
Modelli di oligopolio
Si presenta, in questa Appendice, un’analisi formale
degli equilibri nei modelli di oligopolio di Cournot,
Bertrand e Stackelberg.
Si parte dal presupposto che ciascuno degli equilibri analizzati non ha migliore alternativa, ovvero
rappresenta un equilibrio alla Nash: le imprese sono
in equilibrio allorché non hanno incentivo a modificare le loro scelte considerato il comportamento prevedibile dei concorrenti.
Il modello di Cournot
Nel modello di oligopolio – specificamente, di duopolio – proposto da Cournot, le imprese producono e
offrono un bene omogeneo (acqua minerale) in un
mercato di cui conoscono la domanda. La competizione tra le due imprese riguarda la scelta del volume
di produzione da offrire sul mercato, nella consapevolezza che il prezzo dipenda – data la domanda –
dalla quantità totale offerta da entrambe.
L’ipotesi congetturale proposta dal modello è che
ogni impresa sceglie, contemporaneamente alla rivale, il volume di produzione che le prospetta il massimo
profitto, considerando come dato il volume di produzione dei concorrenti. Pur con una forma molto debole
e ingenua di interdipendenza consapevole, il modello
di Cournot propone un caso, non privo di interesse,
di significativa influenza reciproca nel comportamento di imprese oligopolistiche.
Si ipotizzi che la domanda di mercato sia espressa
dalla relazione
P a b (QA QB)
(A1)
ove a e b sono due parametri positivi, mentre QA e
QB sono i volumi di produzione e di offerta delle due
imprese oligopolistiche che operano nel mercato.
Poiché l’impresa A considera data la quantità offerta
di B (QB), la funzione di domanda di A può essere
definita dalla relazione
P (a bQB) bQA
(A2)
Graficamente (Figura 10.A1), la curva di domanda
dell’impresa A si ottiene spostando verso destra l’asse
verticale di una quantità pari al volume di offerta QB
di B.
Se QB fosse uguale a zero, la domanda dell’impresa A coinciderebbe con la domanda di mercato.
Quanto maggiore è QB, tanto minore è la domanda
residuale di mercato dell’impresa A.
La funzione del ricavo marginale dell’impresa A
è data dalla relazione
MRA (a bQB) 2bQA
rappresentata nella Figura 10.A1 dalla retta
pendenza doppia rispetto alla curva DD.
(A3)
MRA
con
P
a
a – bQB
MRA
0
QB
a – bQB
2b
DD
a – bQB
b
Q
Figura 10.A1 La curva di domanda (residuale) di un
duopolista di Cournot.
Economia 4/ed David Begg, Gianluigi Vernasca, Stanley Fischer, Rudiger Dornbusch © 2011, McGraw-Hill
2
Parte 2
d
La microeconomia positiva
Ipotizzando – come Cournot – che le due imprese vendano un prodotto omogeneo (acqua minerale) con costi variabili nulli, il costo marginale (MC) per entrambe è nullo. Ne consegue che il livello di produzione
che prospetta – per ogni dato valore di QB – il massimo
profitto conseguibile dall’impresa A è definibile risolvendo l’equazione
MRA 0
QB
Funzione
di reazione di A
(A4)
a/2b
ovvero
E Cournot-Nash
(a bQB) 2bQA 0
a/3b
(A49)
a/4b
subordinatamente alla condizione che
d2MRA
6 0,
dQA2
(A5)
Funzione
di reazione di B
EM
a a
4b 3b
a
2b
QA
facilmente verificabile dalla relazione (A3). Infatti:
Figura 10.A2 Le funzioni di reazione di due imprese
oligopolistiche secondo le ipotesi di Cournot.
d2MRA
5 2 2b 6 0
dQA2
4bQA* a bQA*
La soluzione dell’equazione (A49) è
QA*
a 2 bQB
5
2b
(A6)
QA* 5
L’equazione (A6) rappresenta la funzione di reazione
dell’impresa A, ossia la relazione che definisce – per
ogni dato valore di QB – il volume di produzione (QA*)
che prospetta il massimo profitto all’impresa A.
Se si ipotizza che la situazione dell’impresa B sia
simmetrica a quella dell’impresa A, la funzione di reazione di B è data da
QB* 5
a 2 bQA
2b
(A7)
Nella Figura 10.A2 sono rappresentate le funzioni di
reazione delle due imprese espresse dalle equazioni
(A6) e (A7).
L’unica situazione di equilibrio è rappresentata
dall’intersezione delle due funzioni di reazione. Solo
quando A e B producono QA* QB* a/3b, nessuna
delle due imprese ha convenienza a cambiare la produzione.
Esattamente, sostituendo in (A6) la (A7):
QA* 5
QA* 5
a2ba
a2 a
QA* 5
a 2 bQA*
b
2b
2b
bQA*
a2
2
2b
3bQA* ad
b
2a 2 a 1 bQA*
4b
a
3b
a
3b
La decisione di produrre e offrire tale quantità è la
strategia dominante per entrambe le imprese: ciascuna
realizza infatti il massimo profitto considerando come
dato il volume di produzione della rivale. L’equilibrio
di Cournot è altresì un tipico equilibrio di Nash.
Nell’ipotesi di comportamento cooperativo delle
due imprese e costituzione di un cartello per lo sfruttamento monopolistico del mercato, il volume di offerta che avrebbe prospettato il massimo profitto sarebbe stato QM a/2b.1 Quindi ognuna delle due imprese avrebbe ripartito la produzione nei propri imB
pianti per un volume pari a QA
M QM a/4b. Nella
Figura 10.A2 l’equilibrio di sfruttamento monopolistico del mercato (e collusivo tra le due imprese) è
rappresentato da EM.
e simmetricamente QB* 5
Il modello di Bertrand
Nel modello di duopolio di Bertrand, le imprese scelgono simultaneamente il prezzo che prospetta il mas1
Infatti il cartello – per ottenere il massimo profitto – dovrebbe scegliere di produrre QM in modo da soddisfare la
condizione MR 5 MC, ovvero a – 2bQ 5 0, la cui soluzione
è QM 5 a/2b.
Economia 4/ed David Begg, Gianluigi Vernasca, Stanley Fischer, Rudiger Dornbusch © 2011, McGraw-Hill
Appendice 10A
simo profitto individuale, sulla base della congettura
che il prezzo praticato dal concorrente non cambi.
Nell’ipotesi – analoga a quella di Cournot – che le
due imprese producano un prodotto omogeneo, la
competizione attraverso il prezzo induce entrambe le
imprese a fissare in equilibrio un prezzo uguale al costo marginale. Poiché il prodotto appare del tutto omogeneo ai consumatori, questi ultimi lo acquistano
dall’impresa che pratica il prezzo più basso. In questa
situazione, la scelta migliore per le due imprese – ovvero la strategia dominante – è la fissazione di un prezzo uguale al costo marginale che è, per ipotesi, identico per entrambe. Né si può pensare a un equilibrio
non cooperativo nel quale le due imprese pratichino
un identico prezzo inferiore al costo marginale. Ognuna, infatti, sa che – in questa situazione – riducendo
il prezzo acquisterebbe l’intera domanda di mercato
e accrescerebbe i suoi profitti. L’unico possibile equilibrio di Nash nel duopolio di Bertrand è quindi quello
tipico di un mercato perfettamente concorrenziale.
In riferimento alla stessa struttura di mercato ipotizzata per definire l’equilibrio di un duopolio con
competizione à la Cournot, l’equilibrio di una competizione sul prezzo basata sull’ipotesi di Bertrand
può essere rappresentato attraverso una semplice integrazione della precedente Figura 10.A2. Nella Figura 10.A3, l’equilibrio di Bertrand-Nash è rappresentato dal punto E Bertrand-Nash.
Poiché la scelta (strategia) dominante per entrambe le imprese è la fissazione di un prezzo uguale al
costo marginale (per ipotesi, nullo), la quantità ottimale di offerta per un duopolista à la Bertrand è definita dall’equazione:
P0
RA
a/4b
3
(abQB) bQA0
A
A
(A9)
B
che, risolta in Q e nell’ipotesi Q Q , dà:
QA* 5
a
2b
(A10)
Identica soluzione si ottiene per B, cosicché l’equilibrio di Bertrand-Nash è caratterizzato da QA* QB*
a/2b, combinazione di volumi di offerta corrispondenti al punto E Bertrand-Nash nella Figura 10.A3.
A parità di struttura del mercato, l’equilibrio non
cooperativo dei due oligopolisti che tende a configurarsi nell’ipotesi di Bertrand di competizione sui prezzi porta le imprese a produrre di più e a realizzare
profitti inferiori o addirittura nulli.
L’ipotesi di Bertrand di una competizione sui
prezzi tra duopolisti che offrono un prodotto omogeneo è poco plausibile. Appare invece più verosimile
se si ipotizza che le imprese oligopolistiche offrano
prodotti altamente sostituibili ma differenziati, cosicché le imprese possano praticare prezzi diversi senza
che ciò implichi l’annullamento della quantità domandata per chi pratica prezzi più alti. La competizione à la Bertrand in presenza di prodotti differenziati rappresenta un’ipotesi meno improbabile e più
interessante.
Si ipotizzi che due imprese oligopolistiche A e B
producano due prodotti differenziati in senso orizzontale2 con costi variabili Cvc Q e domanda espressa
dalle equazioni:
QA a bPA PB
B
B
A
Q a bP P
(A11)
(A12)
Le equazioni (A11) e (A12) indicano che la quantità
domandata e vendibile dalle due imprese decresce –
ma non si annulla – all’aumentare del prezzo fissato
dalle stesse, ma aumenta all’aumentare del prezzo
praticato dal concorrente.
Secondo l’ipotesi di Bertrand, ognuna delle imprese fissa il prezzo che le prospetta il massimo profitto considerando come dato il prezzo praticato dalla
rivale. Per esempio, l’impresa A sa che il suo profitto
A è dato dalla relazione:
a/b
E Bertrand-Nash
E Cournot-Nash
a/3b
Modelli di oligopolio
ovvero, considerando la funzione inversa di domanda
dell’impresa A (A2), dall’equazione:
(A8)
QB
a/2b
d
A PA QA CTA PA (a bPA PB) c QA
EM
(A13)
RB
a a
4b 3b
a
2b
a
b
QA
2
Figura 10.A3 L’equilibrio nel duopolio di Bertrand con
prodotto omogeneo e costi uguali.
La differenziazione orizzontale riguarda caratteri del prodotto (per esempio, il colore, il design ecc.) che non incidono sui costi ma lo rendono più gradito a consumatori con
gusti differenziati.
Economia 4/ed David Begg, Gianluigi Vernasca, Stanley Fischer, Rudiger Dornbusch © 2011, McGraw-Hill
4
Parte 2
d
La microeconomia positiva
Il prezzo che le garantisce il massimo profitto (PA*)
è determinato dalla condizione
PA 5
dP A
5 a 2 2bPA 1 PB 5 0
dPA
(A14)
a
1 # a
1 A
1
a
1
P b
2b
2b
2b
2b
PA 5
che, risolta in PA, dà:
1
a
# PB
1
2b
2b
PA* 5
a
1 # A
1
P
2b
2b
a
a
1
1 2 1 2 PA
2b
4b
4b
4b2PA 2ba a PA
(A15)
Nella Figura 10.A4 sono rappresentate le funzioni di reazione delle due imprese e l’equilibrio di Bertrand-Nash.
Nella competizione à la Bertrand i duopolisti scelgono il prezzo. Se l’impresa A rileva o congettura che
la rivale B fissi un prezzo più basso, la sua scelta ottima sarà a sua volta di fissare un prezzo basso. La
funzione di reazione di A è quindi inclinata positivamente rispetto al prezzo fissato da B. Andamento analogo e non necessariamente simmetrico ha la funzione
di reazione di B. L’equilibrio di Bertrand-Nash corrisponde quindi alla combinazione di prezzi determinata dall’intersezione delle due funzioni. La fissazione di un prezzo PA* PB* a/(2b –1) è la strategia
dominante per le due imprese.
Esattamente, la soluzione appena scritta deriva dalla esplicitazione nella funzione di reazione (A15) di
PB 5
Ovvero:
PA (4b2 – 1) a (2b 1)
PA* 5
a 12b 1 1 2
a
5
12b 1 1 2 12b 2 1 2
2b 2 1 .
Nessuna ha convenienza – data la scelta della rivale
– a modificare il suo prezzo. Anche in questo caso, la
cooperazione tra le due imprese finalizzata allo sfruttamento monopolistico del mercato e alla massimizzazione del profitto conseguito indurrebbe le due imprese a fissare un prezzo maggiore. La scelta ottima
– in questa ipotesi cooperativa – sarebbe la fissazione
di PM* a/(2b – 2) e quindi l’equilibrio del mercato
sarebbe rappresentato dal punto EM. Nel caso di fissazione cooperativa del prezzo, il profitto conseguito
dalle due imprese sarebbe infatti dato dalla relazione
PM PA PB 2aP – 2bP2 2P2 – 2cQ. Il prezzo
che garantisce il massimo profitto congiunto PM* sarebbe quindi determinato dalla condizione
dP M
50
dP
PA
EM
a
2b – 2
a
2b – 1
E Bertrand-Nash
Funzione
di reazione B
che ha come soluzione, attraverso alcuni intuitivi passaggi algebrici:
dP M
5 2a 2 4bP 1 4P
dP
2a – 4bP 4P 0
4bP – 4P 2a
Funzione
di reazione A
a/2b
4(b – 1)P 2a
P5
a/2b
a
2b – 1
a
2b – 2
PA
2a
a
5
4 1b 2 12
2b 2 2
Il modello di von Stackelberg
–a
Figura 10.A4 Le funzioni di reazione di due
oligopolisti con prodotti differenziati che competono
attraverso i prezzi.
Si riconsideri la struttura di mercato utilizzata per analizzare il comportamento di due oligopolisti che competono attraverso la fissazione del volume di offerta
in coerenza all’ipotesi di Cournot. Si ipotizzi ora che
l’impresa A conosca la funzione di reazione della rivale B e possa determinare per prima il proprio volume di offerta. In altri termini, l’impresa A dispone sia
Economia 4/ed David Begg, Gianluigi Vernasca, Stanley Fischer, Rudiger Dornbusch © 2011, McGraw-Hill
Appendice 10A
di un vantaggio informativo sia del vantaggio della
prima mossa rispetto a B. In questo senso, A è il leader
del mercato e B è il follower che reagisce secondo la
funzione di reazione del modello di Cournot.
In questa situazione, la funzione di domanda dell’impresa leader A può essere riscritta sostituendo –
nella precedente equazione (A2) – a QB l’espressione
(abQA)/2b rilevata dalla funzione di reazione di B.
Quindi, la funzione di domanda di A è data dall’equazione (A29):
1a 2 bQA 2
a 2 bQA*
(A29)
P5a2b
2 bQA 5
2b
2
la cui rappresentazione grafica è la curva di domanda
DDA della Figura 10.A5.
L’Equazione (A15) è la funzione di reazione dell’impresa A secondo l’ipotesi di Bertrand di competizione sui prezzi. In modo analogo si ricava la funzione di reazione dell’impresa B che – nelle condizioni ipotizzate – è simmetrica a quella di A ed è
espressa dall’equazione:
PB* 5
a
1 # A
1
P
2b
2b
(A16)
Poiché l’impresa leader A conosce e prevede il comportamento della rivale B, la sua curva di domanda
DDA incorpora l’effetto di ogni possibile variazione di
QA su QB e quindi – attraverso la funzione di domanda
di mercato (A1) – sul prezzo. Se le due imprese producono – secondo l’ipotesi semplificatrice di Cournot
– con costi variabili nulli, il costo marginale è anch’esso nullo e la quantità di produzione che prospetta il
P
a/2
P*A= a/4
MRA
DDA
Q*A = a/2b
a/b
Figura 10.A5 La curva di domanda e di ricavo
marginale dell’impresa leader nel duopolio di von
Stackelberg.
QA
d
Modelli di oligopolio
5
QB
a/b
RA
a/2b
a/3b
a/4b
E Cournot-Nash
E von Stackelberg-Nash
RB
a 3a a
3b 8b 2b
Figura 10.A6
a
b
QA
L’equilibrio di von Stackelberg.
massimo profitto (QA*) si determina risolvendo l’equazione MRA 0, che ha come soluzione QA* a/2b.
Come si può vedere dalla Figura 10.A6 – che riproduce
le funzioni di reazione dei duopolisti nel modello di
Cournot della Figura 10.A2 – l’impresa B reagisce alla
scelta del leader di offrire QA* a/2b offrendo a sua
volta QB a/4b. L’impresa leader A non reagisce tuttavia come farebbe nel modello di Cournot – riducendo
l’offerta da QA* a/2b a QA9 3a/8b – perché sa che
questa reazione indurrebbe un aumento dell’offerta di
B, e quindi un’ulteriore riduzione della sua offerta fintanto che non si arriva alla situazione QA QB a/3b
che rappresenta l’equilibrio di Cournot-Nash.
Come si può dedurre dalla Figura 10.A6, l’equilibrio di von Stackelberg-Nash è – a parità di condizioni
strutturali – caratterizzato da una quantità prodotta e
offerta a/2b – in capo al leader – superiore a quella
a/3b, di equilibrio secondo le ipotesi di Cournot. Quindi il prezzo di equilibrio nel mercato a/4 è inferiore a
quello conseguente alla competizione à la Cournot,
a/3. L’aspetto più interessante del modello di von Stackelberg è tuttavia l’introduzione nella teoria dell’oligopolio del vantaggio strategico che le imprese possono trarre dall’asimmetria informativa e dalla possibilità di anticipare le decisioni dei rivali. L’impresa
leader di von Stackelberg – annunciando o attuando
per prima la propria decisione in merito al volume di
offerta e soprattutto alla capacità produttiva – pone la
rivale di fronte a un fatto compiuto e in buona parte
irrevocabile. Razionalmente, il rivale subisce le scelte
del leader e sceglie di conseguenza di produrre o installare la minore quantità che, compatibilmente con
la prima mossa del leader, consente di realizzare il
massimo profitto. Il vantaggio strategico di anticipare
i rivali è presente in molte situazioni oligopolistiche.
Economia 4/ed David Begg, Gianluigi Vernasca, Stanley Fischer, Rudiger Dornbusch © 2011, McGraw-Hill