UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO
Facoltà di Ingegneria
Corso di
ECONOMIA INDUSTRIALE
Proff. Gianmaria Martini, Giuliano Masiero
Lezione 4: Applicazioni alle forme di mercato oligopolistiche e alle relazioni tra
imprese: Cournot, Bertrand, Stackelberg
Ve 29 Ott 2004
Introduzione
Le imprese controllano solitamente delle variabili chiave per conseguire i loro obiettivi di
mercato. Possono, ad esempio, modificare la quantità prodotta di un determinato bene
oppure il prezzo di vendita. Sul mercato delle telecomunicazioni Tele2 può decidere se
fornire un maggiore o un minore quantità di traffico telefonico in una determinata fascia
oraria oppure se aumentarne o ridurne il prezzo (la tariffa); oppure può intervenire su
entrambe le variabili. Naturalmente l’impresa può formulare moltissime ipotesi riguardo a
come reagiranno le concorrenti (Infostrada, Telecom, ecc.) alle sue decisioni. Potrebbe
ritenere che le rivali mantengano inalterato il prezzo dei loro prodotti, oppure che non
modifichino il livello di produzione. Non solo, potrebbe ipotizzare che reagiscano in altri modi
ancora.
Il modello di Cournot
Nel modello di Cournot ogni impresa assume che le concorrenti continuino a produrre lo
stesso livello di output. L’idea venne formulata nel 1838 dall’economista francese Auguste
Cournot e applicata a due imprese che vendevano acqua minerale. Quando in un mercato
oligopolistico sono presenti solo due imprese abbiamo un duopolio. Studiare il
comportamento e l’interazione di due sole imprese è chiaramente più agevole che occuparsi
di un numero più elevato di concorrenti; i risultati del modello di duopolio possono essere
facilmente generalizzati al caso di più imprese.
L’ipotesi principale del modello è che ogni impresa consideri costante la quantità prodotta
dalla concorrente, indipendentemente dalle sue decisioni di produzione. Nonostante ciò il
comportamento di ogni impresa riesce ad influenzare significativamente le decisioni dell’altro.
Partiamo dalla funzione di domanda (lineare) del mercato, in cui l’offerta è dalla da due
imprese, 1 e 2:
p = a − b( y1 + y 2 )
dove a e b sono due parametri positivi e y1 e y2 sono le quantità prodotte dalle due imprese.
Poiché l’impresa 1 assume che l’impresa 2 non modifichi la sua quantità prodotta y2, la
domanda per il bene offerto dall’impresa 1 sarà:
p1 = (a − by2 ) − by1
La curva di domanda viene quindi ottenuta sottraendo by2 dall’intercetta verticale della curva
di domanda di mercato. Le prime y2 unità del bene sono offerte dall’impresa 2 mentre
l’impresa 1 fronteggia la domanda rimanente. Se y2 fosse uguale a zero, l’impresa 1
servirebbe l’intera domanda. Quando invece y2 è positivo, la domanda dell’impresa 1 è
rappresentata spostando l’asse delle ordinate verso destra. Poiché la curva di domanda
dell’impresa 1 coincide con il tratto di domanda di mercato a destra del nuovo asse, viene
anche chiamata domanda residuale.
p
y1=0
a
D
a-by2
c
y2
MR1
0
y1
y1*=(a-c-by2)/2b
La funzione di reazione
Vediamo come l’impresa 1 massimizza il proprio profitto. Ipotizzando un costo di produzione
costante per unità di prodotto c, la funzione del profitto dell'impresa 1 è data da:
π 1 = [a − b( y1 + y 2 )]y1 − cy1
Possiamo assumere dei valori per i parametri a, b e c, che poi è possibile cambiare a
piacimento. Ipotizziamo quindi a=100 e b=2, c=4:
π 1 = (100 − 2 y1 − 2 y2 ) y1 − 4 y1 .
Utilizzando la funzione del profitto dell'impresa 1, possiamo individuare due livelli di y1 cui
corrisponde un profitto nullo:
y1 = 0
y1 = 48 − y2
In un grafico a 3 dimensioni possiamo rappresentare la funzione del profitto dell’impresa 1 al
variare del livello di output dell’impresa 2. Ciò che interessa all'impresa 1 è il punto di
massimo della funzione dato i livello di y2. Se fissiamo quindi il livello di produzione
dell’impresa 2, la funzione di profitto dell’impresa 1 è rappresentata da una parabola sul piano
di intersezione che passa per un dato livello di y2.
Per massimizzare il profitto l’impresa dovrà allora trovare il livello di produzione tale per cui
∂π 1
=0
∂y1
in quanto per una funzione strettamente concava (si noti che la funzione di profitto è
strettamente concava rispetto a y1 per ogni livello di y2 dato) il punto di massimo si trova
uguagliando a zero la derivata prima. In termini economici ciò significa eguagliare i ricavi
marginali ai costi marginali. I ricavi marginali sono dati da
MR1 = 100 − 4 y1 − 2 y2 .
Si noti che l’inclinazione della funzione è doppia rispetto a quella della curva di domanda
(rappresentata in figura). I costi marginali sono invece dati da MC1=4. Risolvendo
MR1 = MC1
Rispetto a y1 otteniamo quindi il livello di output che massimizza il profitto è
y1 = 24 −
1
y2 .
2
La funzione appena ricavata si chiama funzione di reazione dell’impresa 1 che possiamo
anche indicare come
y1 = R1 ( y2 )
in quanto è funzione del livello di output dell’impresa rivale. Le decisioni dell’impresa 1 si
modificano al variare del livello di output offerto dall’impresa rivale. Il livello di output scelto
dall’impresa 1, y1=(a-c-by2)/2b, diminuisce all’aumentare del costo di produzione (c) e della
pendenza della funzione di domanda (b), mentre aumenta all’aumentare del prezzo (a) che i
consumatori sono disposti a pagare la prima unità di produzione immessa sul mercato.
Allo stesso modo, se consideriamo il problema di massimizzazione del profitto dell’impresa 2
abbiamo
π 2 = (100 − 2 y2 − 2 y1 ) y2 − 4 y2
da cui deriva
∂π 2
= 100 − 4 y1 − 2 y2 − 4 = 0
∂y2
e risolvendo rispetto a y2
y2 = R2 ( y1 ) = 24 −
1
y1 .
2
Abbiamo quindi ottenuto le due funzioni di reazione. Le due funzioni di reazione sono
simmetriche in quanto le due imprese hanno preferenze, domande e funzioni di costo
identiche. Graficamente possiamo rappresentare le due funzioni di reazione dopo aver
invertito la funzione dell’impresa 2: y1=2(a-c)/b-y2. Supponiamo che l’impresa 1 decida
inizialmente di produrre la quantità y1o.
y1
(a-c)/b
Funzione di reazione
dell’impresa 2: R2(y1)
y1o
(a-c)/2b
Y1e=(a-c)/3b
Funzione di reazione
dell’impresa 1: R1(y2)
y2
e
Y2 =(a-c)/3b (a-c)/2b
(a-c)/b
Conseguentemente l’impresa 2 deciderà di offrire la quantità sulla sua funzione di reazione
corrispondente al livello di produzione della rivale y1o. A questo punto l’impresa 1 reagisce
modificando il proprio livello di produzione scegliendo una quantità sulla sua funzione di
reazione in corrispondenza del livello di output della concorrente. Il processo continuerà
finché non si raggiungerà un punto di equilibrio stabile in corrispondenza dell’intersezione
delle due funzioni di reazione. In questo punto nessuna delle due imprese sarà incentivata a
modificare il proprio livello di produzione per reagire alla scelta operata dall’altra impresa. I
livelli di output in corrispondenza del punto di intersezione delle due funzioni di reazione
definiscono quindi un equilibrio di Nash per i duopolisti nel modello di Cournot.
Il livello di produzione di equilibrio dell’impresa 1 si ottiene sostituendo y1*= y2* nella funzione
di reazione dell’impresa. Risolvendo avremo:
R1 ( y2 ) = 24 −
1 *
1
y 2 = 24 − y *1 = y *1
2
2
da cui ricaviamo
y *1 =
48
= y *2 .
3
Possiamo calcolare il prezzo di equilibrio sostituendo i livelli di produzione di equilibrio nella
funzione di domanda
p = a − b( y1 + y2 ) = a − b
2(a − c)
= 62,67 .
3b
Il livello di profitto realizzato da ciascuna impresa nel modello di Cournot sarà invece dato da
π
*
1
2( a − c ) ⎤ ( a − c )
(a − c) (a − c) 2
⎡
*
c
= ⎢a − b
−
=
=
π
2
.
⎥
b
b
b
b
3
3
3
9
⎣
⎦
E' possibile vedere l'effetto sull'equilibrio di una variazione di uno dei tre parametri a, b, e c.
Ad esempio, se crescono i costi (c aumenta), l'equilibrio si sposta verso l'origine. Infatti
abbiamo:
∂y e
1
=− <0
∂c
3b
Quindi le imprese producono meno, e scaricano l'aumento dei costi sul prezzo
∂p 2
= > 0.
∂c 3
Esercizio. In un mercato operano tre imprese, A, B e C. Esse hanno la stessa funzione
di costo totale di produzione data da CT(yi) = 8yi, con i = A,B,C. La domanda del
mercato è lineare e pari a p = 1000 − 10y, con y = yA + yB + yC.
(a) Determinare le funzioni di reazione delle tre imprese;
(b) determinare l’equilibrio di Cournot e i profitti delle tre imprese.
Il modello di Bertrand
Secondo Bertrand le imprese scelgono invece il livello dei prezzi d ei loro prodotti e si
confrontano su questa variabile. Poiché le chiamate telefoniche effettuate con i diversi
operatori sono sostanzialmente identiche, i consumatori preferiranno acquistare il servizio
dall’impresa che effettua il prezzo inferiore. Nel modello di Bertrand si assume che ogni
impresa fissi il proprio livello di prezzo assumendo che il prezzo del concorrente
rimanga costante. Vedremo che la concorrenza nei prezzi non porta allo stesso risultato
della concorrenza nelle quantità: il modello di Bertrand raggiungerà delle conclusioni differenti
da quello di Cournot.
Assumiamo che le due imprese abbiano le funzioni di domanda e di costo viste in precedenza
nel modello di Cournot. Assumiamo che l’impresa 1 fissi inizialmente il livello di prezzo p10. A
questo punto l’impresa 2 avrà 3 alternative:
1) fissare un livello di prezzo superiore a p10;
2) fissare un livello di prezzo pari a p10;
3) fissare un livello di prezzo marginalmente inferiore a p10.
Mentre nel primo caso non riuscirà a vendere nessun traffico telefonico, nel terzo caso
riuscirà ad appropriarsi di tutta la domanda di mercato. Nel caso intermedio, invece, le
due imprese si divideranno equamente il mercato. E’ chiaro che la terza alternativa
rappresenta la strategia migliore per l’impresa 2. Se infatti il prezzo è solo marginalmente
inferiore a p10, l’impresa realizzerà un profitto doppio rispetto al secondo caso.
Poiché le imprese sono identiche, come nel modello di Cournot, la strategia ottimale per
entrambe le imprese sarà quella di scegliere un prezzo marginalmente inferiore a quello
fissato dal concorrente. Ma a questo punto risulta chiaro che non potrà esistere un
equilibrio se le imprese continueranno a ridurre il loro prezzo per fissarlo ad un livello
inferiore a quello del rivale. Tale processo continuerà finchè il prezzo non raggiungerà il
costo marginale c. Nessuna delle due imprese sarà incentivata a ridurre ulteriormente il
prezzo al di sotto del costo marginale in quanto non avrebbe nessun guadagno dalla
vendita del proprio prodotto. Ad un livello di prezzo pari al costo marginale ogn’una delle
due imprese servirà metà della domanda di mercato.
P1
a
D
P01
P02
c
y1=0
y1=y2
y1
Esercizio. Sia p = 100 − 4Q la funzione di domanda inversa del mercato, con Q =
q1+q2 che rappresenta l’offerta dell’industria. Le due imprese hanno la stessa funzione
di costo data da CT = 3qi (i = 1, 2). Determinare:
(a) l’equilibrio di Cournot;
(b) l’equilibrio di Bertrand;
(c) l’equilibrio di Stackelberg se l’impresa 1 è il leader.
Il modello di Stackelberg
Ipotizziamo che un’impresa sappia che la sua concorrente si comporta come un ingenuo
dupolista à la Cournot; come le converrebbe comportarsi? Nel 1934 l’economista tedesco
Heinrich von Stackelberg si è posto questa domanda arrivando alla conclusione che l’impresa
prenderebbe le proprie decisioni sulla quantità da produrre considerando il loro effetto sulle
scelte della rivale. Anticiperebbe quindi la concorrente nelle proprie scelte dando luogo ad un
ipotetico “gioco sequenziale”.
Riprendiamo i dati del modello di Cournot spiegato in precedenza e ipotizziamo che l’impresa
1 sia a conoscenza del fatto che l’impresa 2 assuma costante il livello di produzione
dell’impresa 1. Vediamo quindi quale strategia converrebbe adottare all’impresa 1.
La funzione di reazione dell’impresa 2 è
y2 = R2 ( y1 ) =
( a − c − by1 )
2b
Sapendo che l’impresa 2 utilizzerà questa funzione di reazione e che fisserà il proprio livello di
produzione y2 in funzione della produzione del concorrente, può sostituire la funzione di
reazione nell’equazione della curva di domanda di mercato ottenendo:
p = a − b( y1 + R2 ( y1 )) =
a − c − by1
2
.
A questo punto è possibile ottenere la funzione del ricavo marginale MR1 raddoppiando
l’inclinazione della curva di domanda (-b). Scegliendo poi il livello di produzione in
corrispondenza dell’uguaglianza tra ricavo marinale e costo marginale, l’impresa 1
massimizzerà il profitto:
MR1 =
y1 =
*
a−c
− by1 = c = MC1
2
a − 3c
2b .
Questo è quindi il livello ottimo di output per l’impresa 1 quando tiene conto che l’imrpesa 2
reagisce alle sue decisioni sulla base della funzione di reazione R2(y1). Se quindi l’impresa 1
produce la quantità y1*, l’impresa 2 produrrà la quantità corrispondente sulla sua funzione di
reazione e cioè:
y
*
2
( )
= R2 y
*
1
( a − c − by *1 ) a + c
=
=
2b
4b
Poiché l’impresa 1 “conduce il gioco” viene chiamata leader di Stackelberg. L’impresa 2 che
invece “segue” viene chiamata follower.
Si noti la particolarità del risultato rispetto al modello di Cournot. Se l’impresa 1 ritenesse che
la rivale producesse sempre il livello di output y2*, le converrebbe scegliere un livello di
produzione inferiore, corrispondente a quello sulla funzione di reazione R1(y2). Facendo così,
infatti, massimizzerebbe il proprio profitto. Ma così non è in quanto l’impresa 1 sa che
provocherebbe una reazione da parte dell’impresa 2. Si innesterebbe una spirale di reazioni
che porterebbe l’impresa 1 a diminuire il livello di output per convergere verso il punto di
intersezione delle due funzioni di reazione. Per l’impresa 1 sarebbe sicuramente conveniente
produrre un livello inferiore a y1* se potesse impedire all’impresa 2 di variare la sua
produzione. Tuttavia non è in grado di farlo e quindi le conviene continuare a produrre il
livello y1*.
y1
(a-c)/b
R2(y1)
y1e=(a-3c)/2b
R1(y2)
y2e=(a+c)/4b
(a-c)/2b
(a-c)/b
y2
Cournot, Bertrand, Stackelberg: raffronto dei risultati
In un grafico è possibile rappresentare il risultato dei tre modelli studiati e procedere aad un
raffronto anche con i due casi classici del monopolio e della concorrenza perfetta. Si faccia
riferimento ai livelli di output individuati sopra per trovare la posizione dei tre equilibri sulla
curva di domanda.
p
a
D
Monopolio
(a-c)/2
Cournot
Stackelberg
MR
Bertrand/Concorrenza perfetta
c
0
ym*=(a-c)/2b
y1
