Calcolo combinatorio e cenni di Probabilità
Il calcolo combinatorio studia i modi di combinare, secondo certi criteri, gli elementi di un dato
insieme
1) Le Disposizioni
1.1 Disposizioni semplici
Una persona possiede quattro quadri, ma può appenderne solo tre lungo una parete. Ha
importanza anche l’ordine con cui i quadri vengono appesi, per questione di colore e di luce.
Calcoliamo in quanti modi può appenderli.
Indichiamo i quattro quadri con le lettere P, Q, R, S e con A l’insieme costituito dai quattro
elementi, cioè: A P, Q, R, S .
Costruiamo con i diagrammi ad albero tutte le possibili terne di quadri.
Notiamo che ogni terna si distingue dalle altre per:
la diversità di almeno un elemento
l’ordine degli elementi
oppure entrambi i motivi
1
Chiamiamo disposizioni semplici i gruppi con le caratteristiche sopra indicate. Per arrivare
rapidamente al calcolo del numero delle disposizioni, consideriamo che per il primo posto le
possibilità sono 4, per il secondo posto 3 e per il terzo2. Complessivamente i gruppi sono:
4·3∙2 = 24
Per indicare il valore trovato, usiamo la seguente notazione D4,3 24
(Si legge: <<Disposizioni semplici di 4 elementi di classe 3>> ; dove la classe indica il
numero di elementi di cui è costituito ogni gruppo).
N.B.
Nel caso precedente, i fattori da considerare a decrescere, a partire da 4, sono 3 ( 3 = K).
Generalizziamo il procedimento considerando n oggetti distinti e determiniamo la formula per i
raggruppamenti di classe k.
Definizione: Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k (con k ≤ n ) sono
tutti i possibili raggruppamenti di k elementi scelti tra gli n elementi , che differiscono per
almeno un elemento o per l’ordine con cui gli elementi sono collocati:
Dn,k n (n 1) (n 2) ... (n k 1) con n, k N
D 4 3 2 24
Dove: 4,3
(Nella successione di prodotti da effettuare, si parte da n, nel
nostro caso è 4, e l’elemento finale della serie di prodotti è: n – k + 1 = 4 – 3 + 1 = 2. In tutto, i
fattori da considerare, a partire da 4, sono 3, tanti quanto k).
Esempio: Ad un torneo di calcio regionale partecipano 15 squadre. Quante sono le possibili
classifiche delle prime 5 squadre?
L’insieme di partenza contiene come elementi 15 squadre, perciò n =15. i raggruppamenti
contengono 5 elementi, dunque k = 5. Il numero delle possibili classifiche è, pertanto:
D15,5 15 14 13 12 11 360.360
1.2 Disposizioni con ripetizioni
Lanciamo una moneta tre volte e cerchiamo di prevedere tutti i modi con cui si succedono le
due facce.
L’insieme A che contiene i due possibili risultati del lancio è: A T , C dove T indica il
risultato “Testa” e C indica il risultato “Croce”.
Costruiamo con diagrammi ad albero le terne di tutti i possibili risultati.
2
I gruppi così ottenuti differiscono per l’ordine degli elementi contenuti, ma un elemento può
comparire più di una volta. I gruppi trovati si chiamano disposizioni con ripetizione.
Per determinare il loro numero possiamo ricorrere al ”metodo delle possibilità”.
Per il primo posto abbiamo 2 possibilità, che restano due anche per il secondo e per il terzo in
quanto un elemento già utilizzato può ripresentarsi: 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23 = 8
Si utilizza la notazione: D 2,3 8
(Si legge: <<Disposizioni con ripetizione di 2 elementi di classe 3>> ; a differenza delle
disposizioni semplici, la classe di un gruppo (nel nostro caso 3) può essere maggiore del
numero di elementi a disposizione (nel nostro caso 2)).
'
Generalizziamo il procedimento considerando n oggetti distinti e determiniamo la formula per
raggruppamenti di classe k.
Definizione: Le disposizioni con ripetizione di n oggetti distinti di classe k (con k minore,
uguale o maggiore di n ) sono tutti i gruppi di k elementi, anche ripetuti, scelti tra gli n
elementi, che differiscono per almeno un elemento o per il loro ordine:
D ' n ,k n k con n, k N
Nel caso di cui sopra: D 2,3 2 8
'
3
Esempio:
Le targhe delle automobili italiane iniziano con una coppia di lettere (anche ripetute)
dell’alfabeto inglese. Quante sono le possibili sigle con cui può iniziare la targa?
Poiché l’alfabeto inglese contiene 26 lettere, le possibili sigle sono (n = 26, mentre k = 2):
D' 26,2 262 676
2) Le Permutazioni
2.1 Permutazioni semplici
Supponiamo di avere quattro palline colorate, ognuna di colore diverso (bianco, nero, rosso,
verde). Calcoliamo in quanti modi diversi possiamo metterle in fila
L’insieme dei colori è: A b, n, r , v
Costruiamo con diagrammi ad albero tutti i possibili raggruppamenti.
3
Se la prima pallina è bianca, si ottengono 6 raggruppamenti. Ma la prima pallina può essere
bianca, rossa, nera o verde. Per cui si ottengono:
6 ·4 = 24 raggruppamenti
Notiamo che ogni gruppo contiene tutti gli elementi dell’insieme e differisce dagli altri solo
per l’ordine.
Stiamo quindi considerando le disposizioni semplici di 4 elementi di classe 4.
Chiamiamo i raggruppamenti che hanno queste caratteristiche permutazioni semplici.
Nel nostro caso parliamo di permutazioni di 4 elementi (senza specificare la classe, visto che
coincide con il numero degli elementi) e scriviamo il numero delle permutazioni ottenute nel
modo seguente:
P4 = 24
Nel nostro caso, poiché le permutazioni di 4 elementi coincidono con le disposizioni semplici di
classe 4 dei 4 elementi, per calcolare tale numero di permutazioni possiamo ricorrere alla
formula delle disposizioni semplici, con k = n = 4.
P4 = D4,4 4 3 2 1 24
Nel caso generale, le permutazioni di n elementi coincidono con le disposizioni semplici di
classe n degli n elementi, con k = n:
Pn = Dn,n n (n 1) (n 2) ... ( n n 1) n ( n 1) ( n 2) ... 2 1
Il prodotto: n (n 1) (n 2) ... 2 1 si indica con il simbolo n! e si legge: (n fattoriale).
Nel nostro caso, quindi, le permutazioni delle quattro palline colorate sono:
P4 = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
Definizione
Le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi formati dagli n elementi,
che differiscono per il loro ordine:
Pn n! n (n 1) (n 2) ... 3 2 1 , con n ≥ 2
Esempi:
- Quanti numeri di sei cifre distinte possiamo scrivere utilizzando gli elementi dell’insieme
A 2,3,4,7,8,9
P6 6! 6 5 4 3 2 1 720
- Quanti anagrammi possiamo fare con le lettere della parola ROMA:
P4 4! 4 3 2 1 24
4
2.2 Permutazioni con ripetizioni
Calcoliamo, adesso, quanti anagrammi (anche privi di significato) si possono formare con le lettere
della parola TETTO. Pensiamo per il momento che le tre T non siano uguali e distinguiamole
colorandole diversamente:
Se calcoliamo le permutazioni P5 di 5 elementi, consideriamo come diverse anche le parole che
differiscono soltanto per la posizione delle tre T colorate. Per esempio, mettendo la E e la O nelle
prime due posizioni, con le permutazioni sono distinte le parole:
Abbiamo 6 casi diversi, corrispondenti alle permutazioni delle tre T colorate: 3! = 6
Questi casi sono invece indistinguibili e uguali a EOTTT, se consideriamo la T come lettera non
colorata ripetuta più volte.
Pertanto, se consideriamo le 120 permutazioni di 5 lettere, in questo caso troviamo in ogni
raggruppamento ripetuto 6 volte. Quindi per ottenere il numero degli anagrammi di TETTO
dobbiamo dividere 120 per 6:
120
20 .
6
Per indicare che dei cinque elementi tre corrispondono ad uno stesso elemento ripetuto usiamo il
(3)
simbolo P5 , che si legge: “Permutazioni di 5 elementi di cui 3 ripetuti”. Abbiamo che:
P5(3)
P5 5!
20
P3 3!
Chiamiamo i raggruppamenti di questo tipo permutazioni con ripetizione. In generale:
Pn ( k )
n!
k!
La formula si generalizza ulteriormente quando nell’insieme di n elementi gli elementi ripetuti sono
k+h+…+r ≤ n
Definizione
Le permutazioni con ripetizione di n elementi , di cui h, k ripetuti, sono tutti i raggruppamenti
formati dagli n elementi che differiscono per l’ordine in cui si presentano gli elementi distinti
e la posizione che occupano gli elementi ripetuti.
Esempio:
Calcoliamo il numero di modi in cui cinque sedie possono essere occupate da tre persone.
5
Dobbiamo calcolare il numero delle permutazioni di 5 elementi, con tre distinti e 2 ripetuti (le due
sedie vuote), quindi: P5
(2)
5! 5 4 3 2 1
60
2!
2 1
3) Le Combinazioni
Nei problemi combinatori analizzati fino ad ora, si è tenuto sempre conto anche dell’ordine in cui si
presentavano gli elementi di un dato insieme. Vi sono situazioni in cui tale ordine non ha
importanza.
3.1 Le combinazioni semplici
Si pensi al gioco del lotto, in cui si estraggono cinque numeri da un’urna che contiene, ciascuno
imbussolato in una piccola sfera, i numeri da 1 a 90. In tale gioco importa sapere quali sono i cinque
numeri estratti, ma non conta l’ordine in cui essi si presentano.
Estrarre cinque numeri equivale a scegliere un sottoinsieme di cinque elementi dell’insieme
1;2;3;...;89;90 formato da 90 elementi; si parla in tal caso di combinazioni dei 90 elementi
presi a 5 a 5 ( o di classe 5).
In generale si chiama combinazione semplice, o anche solo combinazione, di classe K di n
elementi (con k ≤ n), o anche combinazione di n elementi presi a k a k, un qualunque
sottoinsieme di k elementi di un dato insieme di n elementi tutti distinti tra loro.
Degli n elementi distinti si chiamano combinazioni di classe k tutti i possibili raggruppamenti che
si possono formare con k degli n elementi in modo da considerare diversi due raggruppamenti che
differiscono tra loro per almeno un elemento (non importa l’ordine). Tale numero di combinazioni
di classe k degli n elementi, dipende solo da n e da k, e si indica con Cn ;k . Per calcolare Cn ;k
consideriamo un esempio più facile.
Vogliamo formare tutte le possibili combinazioni di classe 2 dell’insieme A = a; b; c; d .
Formiamo prima di tutto le disposizioni di classe 2 degli elementi di tale insieme; esse sono
precisamente: ab
ac
ad
ba
bc
bd
ca
cb
cd
da
db
dc
Il loro numero si può ottenere da : D4,2 4 3 12
Si può osservare che nel nostro caso le disposizioni ab e ba sono formate dagli stessi elementi ma
differiscono per il loro ordine. Lo stesso si può dire per ac e ca , ad e da e così via (bd e db e
ancora cb e bc ed infine cd con dc ). Perciò, se si prescinde dall’ordine, ossia se si considerano
uguali quei raggruppamenti che differiscono solo per l’ordine dei loro elementi, dalle disposizioni
precedenti si possono ottenere le combinazioni seguenti: ab ac ad bc bd cd .
In tutto 6 raggruppamenti.
(E’ evidente che il numero delle combinazioni è inferiore rispetto al numero delle disposizioni).
Viceversa, da tali combinazioni si possono ottenere le disposizioni: basta permutare in tutti i modi
possibili i due elementi che compongono ciascuna combinazione: in questo caso i modi possibili
sono 2 (P2 = 2! = 2). E così da ogni combinazione si ottengono due disposizioni e si avrà che il
numero delle disposizioni delle 4 lettere a 2 a 2 è uguale al numero delle combinazioni per il
numero delle permutazioni P2, cioè: D4,2 C4;2 P2 6 2 12
In generale: Dn,k Cn;k Pk
6
Da questa relazione si ricava: Cn ,k
Dn ;k
Pk
Definizione
Le combinazioni semplici di n elementi distinti di classe k (con k ≤ n) sono tutti i gruppi di k
elementi scelti tra gli n, che differiscono per almeno un elemento (ma non per l’ordine).
Ora, in base a quanto precedentemente trovato:
Cn , k
Dn ;k n(n 1)(n 2)...(n k 1)
con n, k N (al numeratore compaiono k fattori)
Pk
k!
In definitiva: il numero di combinazioni di classe k che si possono formare con n elementi
distinti è uguale al prodotto di k numeri interi decrescenti a partire da n, diviso il fattoriale di
K (cioè il prodotto dei primi k numeri interi)
Come vedremo tra poco,
Cn ,k
Dn;k n(n 1)(n 2)...(n k 1) n
cioè :
Pk
k!
k
n
Cn ,k
k
Esempio:
- In quanti modi si possono estrarre cinque numeri del lotto?
Come si è detto, ciascuna estrazione possibile corrisponde ad una combinazione di classe 5
dell’insieme dei numeri da 1 a 90. Il numero di tali combinazioni è perciò:
C90;5
90 89 88 87 86
43.949.268
5 4 3 2 1
- Calcoliamo il numero di terni che si possono fare al lotto:
C90;3
90 89 88
117.480
3!
- In un Gran Premio di F1 una casa automobilistica ha disposizione cinque vetture da assegnare a
due piloti. In quanti modi la scuderia può utilizzare le automobili?
L’insieme di partenza contiene le cinque automobili che numeriamo da 1 a 5: A = 1;2;3;4;5
Poiché i piloti sono due (a ; b), i raggruppamenti sono tutte le coppie che si possono formare con le
cinque macchine . L’ordine non conta, quindi tali raggruppamenti sono le combinazioni:
a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 (in tutto sono 10), cioè:
C5,2
Dn ,k 5 4
10
Pk
2!
7
3.2 Le Combinazioni con ripetizione
Consideriamo l’insieme costituito da 2 elementi A = a; b . Consideriamo adesso le combinazioni
con ripetizioni di classe 3 degli elementi dell’insieme A. Questo vuol dire considerare tutti i
possibili raggruppamenti, ciascuno di tre elementi, in cui un elemento può essere ripetuto, senza
considerare l’ordine degli elementi del gruppo. Abbiamo: aaa, aab, abb, bbb. Come si vede , non si
è considerato il raggruppamento aba perché, in quanto combinazione, è indistinguibile da aba o da
baa (non ha importanza l’ordine degli elementi nel gruppo).
'
In questo caso n = 2 e K = 3. Nel nostro caso : C 2,3 4 . Osserviamo che:
C ' 2,3 C231,3 C4,3
4 3 2 24
4
3!
6
In generale: tutte le possibili combinazioni con ripetizione, di n elementi distinti di classe k (con k
'
maggiore minore o uguale a n), in simboli: C n ,k sono tutti i gruppi di k elementi che si possono
formare, nei quali:
- ogni elemento può essere ripetuto al massimo fino a k volte;
- non interessa l’ordine con cui gli elementi si presentano;
- è diverso il numero di volte con il quale un elemento compare.
Si può dimostrare che: C n ,k Cn k 1,k
'
Esempi:
- In quanti modi diversi possiamo inserire 2 palline identiche in tre scatole?
Se indichiamo con a , b , c le tre scatole, abbiamo: aa , bb , cc , ab , ac, bc (la scrittura aa vuol
dire che abbiamo inserito due palline nella stessa scatola a, mentre ab significa che una pallina è
stata inserita nella scatola a e una in b). E’ evidente che in questo caso ab e ba sono la stessa cosa:
due palline inserite nelle scatole a e b e non importa l’ordine con il quale le abbiamo inserite. In
totale abbiamo 6 possibili diverse combinazioni. Utilizziamo la formula per le combinazioni con
ripetizione:
C '3,2 C3 21,2 C4,2
4 3 12
6
2!
2
- In quanti modi diversi possiamo distribuire sei oggetti in quattro scatole?
Se indichiamo con le lettere a, b, c, d le quattro scatole, alcune possibili distribuzioni sono le
seguenti:
aaabcd
aaaaaa
bbbddd
bbbbba
Nella prima distribuzione tre oggetti vanno nella scatola a , uno in b, uno in c ed uno in d.
Nella seconda tutti gli oggetti vanno nella scatola a
Nella terza tre oggetti vanno nella scatola a e tre nella d
Nella quarta distribuzione cinque oggetti vanno nella scatola b e uno in a.
Osserviamo che tutte le modalità sono le combinazioni con ripetizione di 4 oggetti di classe 6.
C ' 4,6 C461,3 C9,3
98 7
84
3!
4) I coefficienti binomiali
Abbiamo visto che il fattoriale di un numero n si indica con n! e vale:
n! n (n 1) (n 2) ... 3 2 1 con n ≥ 2
8
Nel caso particolare:
1! = 1
2! = 2∙1=2
3! = 3∙2 = 6
4! =4∙3∙2∙1=24
5! = 5∙4∙3∙2∙1=120
6! = 6∙5∙4∙3∙2∙1 = 720
7!= 7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 5.040
8!= 8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 =40.320
9!= 9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 =362.880
10!= 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 =3.628.800
Si pone anche: 0! = 1
Come si vede, al crescere di n il fattoriale cresce molto rapidamente.
Vale la relazione: n! = n∙(n-1)!
Abbiamo visto che :
D5,3 5 4 3
5 4 3 (2 1) 5!
(2 1)
2!
Per cui possiamo scrivere, in generale:
Dn ,k n (n 1) ... (n k 1)
n (n 1) ... (n k 1) (n k )!
n!
(n k )!
(n k )!
5
3
Consideriamo il simbolo (che si legge “cinque su tre”). Questo simbolo si chiama
5 5 4 3 5 4 3 60
10
3
3!
3
2
1
6
coefficiente binomiale. Ad essa corrisponde la quantità:
n
k
In generale:
n (n 1) (n 2) ... (n k 1)
( al numeratore abbiamo k fattori)
k!
Se moltiplichiamo il tutto per (n-k)! abbiamo:
n n (n 1) (n 2) ... (n k 1) (n k )!
n!
(1 ) legge dei tre fattoriali
k
k ! (n k )!
k !(n k )!
5 5 5
2
3
5
3
Si può dimostrare che:
5
2
Infatti
5 4 5 4 20
10
2!
2
2
9
n n
(2) legge delle classi complementari
k n k
In generale:
La formula prima trovata è piu’ utile per fare i calcoli. Infatti.
10 10 10 10 9
8 10 8 2 2 45 ed è molto piu’ facile di
10 10 9 8 7 6 5 4 3 10 9
8 8 7 6 5 4 3 2 1 2 45
In particolare:
n
n
n!
infatti,
applicando
la
(1)
per
k
=
0
si
ha
:
1
0 0! n! 1
0
e , in particolare,
0
0 1 mentre
n
n!
n!
n n! (n n)! n! 0! 1
n n
n
0 1
n
n
n
che si può ricavare dalla (2):
5) Cenni di Probabilità
Consideriamo i seguenti eventi:
a) un oggetto lasciato cadere, raggiunge il pavimento della stanza in cui siamo;
t
b) data la funzione y 2 , si ha che: y=16 per t=4
c) estraiamo un numero da un sacchetto contenente i 90 numeri della tombola e abbiamo il
numero 3;
d) lanciamo due monete e otteniamo che le facce superiori presentano due teste;
e) scommettiamo sull’esito di una corsa di cavalli e il nostro favorito vince.
Tali avvenimenti possono verificarsi o no.
Definizione
Un evento è un avvenimento, descritto da una proposizione, che può accadere o non accadere.
Chiamiamo:
eventi certi gli eventi che accadono con certezza
eventi impossibili gli eventi che non possono mai verificarsi
10
Esempio:
-
la proposizione : “Lancio un dado ed esce il numero 9”, in base alle conoscenze, è
sempre falsa e quindi descrive un evento impossibile ;
la proposizione: “Dopo il lunedì viene il martedì”, è sempre vera, per cui essa
descrive un evento certo.
Un evento si dice evento aleatorio se il suo verificarsi dipende dal caso, ossia può accadere ma
senza certezza
N.B.
aleatorio deriva dal latino alea, che significa dado.
Ogni singolo risultato possibile è detto evento elementare o campione.
Esempio
Nel lancio del dado, sono elementari gli eventi:
E1= “esce il numero 1”
E2= “esce il numero 2”
………………………
E6= “esce il numero 6”
L’insieme di tutti gli eventi elementari si chiama universo degli eventi o spazio campionario.
Si può utilizzare per gli eventi il linguaggio degli insiemi.
Nel nostro esempio, possiamo rappresentare l’insieme universo U come:
U 1,2,3,4,5,6 e graficamente con un diagramma di Eulero-Venn, come in figura.
Nel lancio di un dado consideriamo l’evento aleatorio: E = “esce un numero dispari”.
L’insieme E 1,3,5 rappresenta l’insieme dei casi favorevoli, ossia di quelli in cui E è
verificato.
L’insieme Universo U 1,2,3,4,5,6 è invece l’insieme dei casi possibili.
Supponiamo che tutti i casi siano ugualmente possibili: il rapporto:
fornisce una stima sulla possibilità che l’evento E si
verifichi e viene chiamato probabilità di E, p(E).
Definizione
La probabilità di un evento E ( in simboli: p(E) ) è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f
ed il numero dei casi possibili u, quando sono tutti ugualmente possibili: p( E )
f
u
Esempi
Estraiamo una carta da un mazzo di 52 carte. Consideriamo gli eventi
E1 = Estrazione di una figura rossa
E2 = Estrazione di una carta di picche
Per entrambi gli esempi u = 52, cioè tutti i possibili esiti dell’estrazione.
Per E1 i casi favorevoli sono f = 6, cioè il numero delle figure rosse;
per E2 i casi favorevoli sono f =13, cioè il numero delle carte di picche:
11
p( E1 )
6
3
52 26
0,12
mentre
p( E2 )
13 1
52 4
0,25
Esprimiamo questi valori in percentuali.
p( E1 ) 12% mentre è p( E2 ) 25%
Poiché il numero f dei casi favorevoli è sempre minore o uguale al numero dei casi possibili, si ha:
0 ≤ p ≤ 1 , cioè la probabilità di un evento aleatorio è sempre compresa tra 0 ed 1.
Per un evento impossibile f = 0 poiché il numero dei casi favorevoli è nullo. In questo caso,
evidentemente: p(E) = 0 (impossibilità che l’evento accada).
Per un evento certo f = u, poiché il numero dei casi favorevoli è uguale al numero dei casi possibili.
In questo caso p(E) = 1 (certezza che l’evento accada),
- Evento contrario
Dato un evento E, il suo evento contrario è l’evento E (che si legge non E) che si verifica se e solo
se non si verifica E. E’ vero che: p( E ) 1 p( E ) .
Infatti, essendo u = numero di casi possibili e f = numero di casi favorevoli a E, il numero di casi
favorevoli a E è: u – f . La probabilità delle vento E è, pertanto:
p( E )
u f
f
1 1 p( E ) c.v.d.
u
u
Esempio
Nel lancio di un dado, consideriamo l’evento:
E = “esce un numero pari”, con p( E )
3 1
0,5 50%
6 2
L’evento contrario è:
E = “esce un numero dispari”, con p( E )
3 1
0,5 50%
6 2
E’ vero che: p( E ) 1 p( E )
Esempio
Consideriamo l’evento E = “esce il numero 1” . p( E )
1
0,17 17%
6
L’evento contrario E è: “uscirà il numero 2, oppure il 3, oppure il 4, oppure il 5, oppure il 6”.
5
0,83 83% a questo risultato si può anche pervenire con :
6
1 5
p( E ) 1 p( E ) = 1
6 6
p( E )
12
- probabilità totale
Se un evento può verificarsi in più modi differenti, ma tali che ciascuno di essi escluda gli altri, la
sua probabilità si dice probabilità totale.
Si può dimostrare che: la probabilità totale di un evento è uguale alla somma delle probabilità che
esso si verifichi in ciascuno dei diversi modi secondo cui esso si può presentare.
Se dunque E1 , E2 , sono i singoli eventi semplici (tali che E1 escluda E2 ) e p1 , p2 le rispettive
probabilità, la probabilità dell’evento totale è:
p = p1 + p2
Esempio
In un’urna vi sono 40 palline di cui 6 bianche, 8 rosse, 2 verdi e le rimanenti di altro colore; qual è
la probabilità che estraendo una pallina questa sia o bianca o rossa o verde ?
Le palline son in tutto 40, pertanto 40 sono i casi possibili dell’estrazione di una solo pallina,
perciò:
6
40
8
la probabilità che essa sia rossa p2 =
40
2
la probabilità che essa sia verde p3 =
40
la probabilità che essa sia bianca p1 =
Siccome gli eventi parziali si escludono a vicenda, la probabilità che estraendo una pallina essa sia
o bianca, o rossa o verde è:
p = p1 + p2 + p3 =
6
8
2 16 2
0,4 40%
40 40 40 40 5
La giustezza del risultato è resa evidente dalla seguente considerazione:
in sostanza si suppone che l’urna contenga 6 + 8 + 2 = 16 palline di colore favorevoli e 24 di colore
contrario, perciò la probabilità che nell’estrazione esca una pallina di colore favorevole (bianca
rossa o verde) è: p
16 2
come già trovato.
40 5
- Probabilità composta
Quando un evento consiste nel verificarsi simultaneo o successivo di più eventi, esso si dice
composto e la sua probabilità si dice pute composta.
Si può dimostrare che: la probabilità di un evento composto è uguale al prodotto delle probabilità
dei singoli eventi componenti.
Se dunque E1 , E2 , E3 sono i singoli eventi semplici e p1 , p2 , p3 le rispettive probabilità, la
probabilità dell’evento composto è:
p = p1 ∙ p2 · p3
13
Esempi
- Due urne contengono: l’una 10 palline di cui 7 bianche; l’altra 15 palline di cui 4 bianche. Quale è
la probabilità di estrarre simultaneamente una pallina bianca da entrambe le urne?
La probabilità di estrarre una palina bianca dalla 1a urna è p1 = 7/10 e dalla 2a urna è p2 = 4/15 ;
pertanto la probabilità di estrarre simultaneamente una pallina bianca dall’una e dall’altra urna è:
p = p 1 ∙ p2 =
7 4 28 14
0,19 19%
10 15 150 75
- In un’urna vi sono 20 palline colorate di cui 5 bianche, 7 rosse e 8 verdi. Estraendo
successivamente tre palline, qual è la probabilità perché escano, nell’ordine, una pallina bianca, una
rossa ed una verde?
Qui bisogna distinguere due casi.
Se dopo ogni estrazione la pallina estratta viene rimessa nell’urna, i tre eventi sono indipendenti fra
loro e le loro rispettiva probabilità sono:
p1
5
20
;
p1
7
20
; p1
8
20
perciò la probabilità dell’evento composto è : p
5 7 8
7
0,035 3%
20 20 20 200
Se, invece,le palline estratte non vengono riposte nell’urna , si deve ragionare così:
p1
5
20
;
p1
7
19
; p1
8
18
perciò la probabilità dell’evento composto è : p
5 7 8
7
0,04 4%
20 19 18 171
14
Ulteriori chiarimenti
- Disposizioni semplici
Quanti numeri di due cifre si possono formare con la condizione che le cifre siano diverse tra loro
ed entrambe dispari?
Gli elementi del mio insieme sono: 1;3;5;7;9
Per risolvere questo problema consideriamo questo diagramma.
Come si vede, la prima cifra del numero da formare può essere scelta in 5 modi diversi e, in
corrispondenza di ciascuna di tali cinque scelte, vi sono 4 possibilità di scegliere la seconda cifra. In
tutto vi sono 5∙ 4 = 20 numeri diversi.
A differenza delle Permutazioni, dove si devono mettere in ordine tutti gli elementi di un dato
insieme, nelle Disposizioni si richiede di disporre in un certo ordine due elementi scelti
dall’insieme di partenza. In generale:
Definizione
Dati n elementi distinti ed un numero k ≤ n , si dicono disposizione semplici o anche solo
disposizioni di classe k, tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli elementi dati, in
modo che ogni raggruppamento ne contenga k tutti distinti tra loro e che due raggruppamenti
differiscano tra loro o per qualche elemento oppure per l’ordine secondo il quale gli elementi si
susseguono.
- Disposizioni con ripetizione
Supponiamo di avere tre diversi elementi: a, b, c. Desideriamo calcolare il numero delle
disposizioni con ripetizione dei tre elementi presi a due a due.
Facciamo un rapido calcolo. Le disposizione con ripetizione dei tre elementi a, b, c a due a due
sono:
aa
ab
ac
ba
bb
bc
ca
cb
cc
Come si può notare nella prima riga vi sono le disposizioni in cui a è seguito da ciascuno dei tre
elementi a, b, c ; nella seconda riga vi sono le disposizioni in cui b è seguito da ciascuno dei tre
elementi a, b, c ; e infine nella terza riga vi sono le disposizioni in cui c è seguito da ciascuno dei
tre elementi a, b, c . In questo esempio il numero delle disposizioni dei tre elementi, presi a due a
due, è: 9, che possiamo anche scrivere così:
15
D' 2,3 3 3 32 9
Generalizzando:
Definizione: Le disposizioni con ripetizione di n oggetti distinti di classe k (con k minore,
uguale o maggiore di n ) sono tutti i gruppi di k elementi, anche ripetuti, scelti tra gli n
elementi, che differiscono per almeno un elemento o per il loro ordine; tale numero è dato
dal prodotto di k fattori uguali a n, ossia nk:
D ' n ,k n k con n, k N
- Combinazioni semplici
Consideriamo cinque punti nel piano, a tre a tre non allineati. Determiniamo quanti triangoli
possiamo costruire congiungendo tre punti.
Indichiamo i punti con le lettere A, B, C, D, E . Consideriamo, per esempio, il triangolo ABC. Esso
viene anche individuato da tutte queste terne: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (in tutto 6).
Nel contare i triangoli queste terne vanno prese solo una volta, perché identificano un solo
elemento. Quindi tutte le terne di lettere che indicano i vertici dei triangoli costituiscono dei gruppi
che si differenziano tra loro solo per gli elementi contenuti e non per l’ordine. Chiamiamo questi
gruppi combinazioni (semplici) di 5 elementi di classe 3. Per indicare il loro numero usiamo il
5
3
simbolo C5,3 che si legge “combinazioni di 5 elementi di classe 3” oppure con il simbolo
che si legge “cinque su tre” .
Per ricavare C5,3 partiamo da tutte le terne possibili, ossia dalle disposizioni D5,3 e osserviamo che
le permutazioni P3 di ognuno dei gruppi di tre lettere non devono essere pensate distinte, quindi:
C5,3
Dn ,3 5 4 3 60
10
P3
3!
6
5 D
5 4 3 60
C5,3 5,3
10
3!
6
3 P3
16
