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Programma di
Algebra Lineare e Geometria Analitica
Emanuele Munarini
Anno 2011-2012
Vettori in R3 . Vettori liberi. Operazioni tra vettori: somma e prodotto per uno scalare. Riferimenti cartesiani ortogonali. Base canonica. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale. Norma del
prodotto vettoriale (identità di Lagrange). Area di un parallelogrammo e di un triangolo. Teorema
generalizzato di Pitagora nello spazio. Prodotto misto. Volume di un parallelepipedo. Dipendenza
e indipendenza lineare.
Algebra delle Matrici. Definizione di matrice. Operazioni tra matrici (somma, prodotto per
uno scalare, prodotto righe per colonne). Matrice identica e matrice nulla. Matrice trasposta.
Matrici diagonali. Matrici triangolari superiori ed inferiori. Matrici simmetriche ed emisimmetriche. Matrici invertibili. Matrice inversa. Unicità della matrice inversa. Proprietà delle matrici
invertibili. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare di matrici. Determinante di
una matrice. Proprietà principali del determinante. Teorema di Binet. Minori complementari.
Complementi algebrici. Primo e secondo teorema di Laplace. Matrice aggiunta. Proprietà fondamentale della matrice aggiunta. Matrici singolari e non singolari. Teorema di caratterizzazione
delle matrici invertibili. Costruzione esplicita della matrice inversa. Minori di una matrice. Rango
di una matrice mediante i minori. Rango di una matrice mediante l’indipendenza lineare delle
linee. Teorema di Kronecker. Sistemi lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli.
Teorema sui sistemi lineari omogenei.
Spazi vettoriali. Preliminari algebrici: gruppi e campi. Esempi principali. Definizione di spazio
vettoriale. Proprietà elementari. Esempi. Combinazioni lineari di vettori. Sistemi di generatori.
Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Teorema di caratterizzazione delle basi. Proprietà delle basi. Dimensione. Coordinate. Sottospazi vettoriali.
Teorema di caratterizzazione dei sottospazi. Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.
Chiusura lineare di un insieme di vettori. Operazioni tra sottospazi: intersezione, somma e somma
diretta. Intersezione di due sottospazi. Teorema di rappresentazione della somma. Teorema di
caratterizzazione della somma diretta. Sottospazi di dimensione finita. Formula di Grassmann.
Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare. Esempi. Composizione di applicazioni
lineari. Applicazioni lineari invertibili. Nucleo e immagine. Applicazioni lineari iniettive e surittive. Caratterizzazione delle applicazioni lineari iniettive. Teorema delle dimensioni (o della nullità
+ rango). Equivalenza dell’iniettività e della suriettività nel caso finitodimensionale. Trasformati
dei vettori di una base. Proprietà fondamentale delle applicazioni lineari e delle basi. Spazi isomorfi. Caratterizzazione degli spazi isomorfi mediante la dimensione. Spazio delle coordinate.
Rappresentazione matriciale di una applicazione lineare. Interpretazione delle colonne e del rango
della matrice rappresentativa. Prodotto di matrici e composizione di applicazioni lineari. Matrici inverse e applicazioni lineari invertibili. Caratterizzazione degli isomorfismi mediante matrici
rappresentative.
Teoria spettrale. Autovalori, autovettori, autospazi di un endomorfismo e di una matrice. Polinomio caratteristico di una matrice. Proprietà del polinomio caratteristico. Coefficienti del polinomio caratteristico. Teorema di Cayley-Hamilton. Proprietà degli autospazi. Endomorfismi semplici. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Autovalori regolari. Caratterizzazione
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degli endomorfismi semplici. Rappresentazione matriciale di un endomorfismo semplice. Interpretazione geometrica degli endomorfismi semplici. Matrici diagonalizzabili. Diagonalizzazione di
una matrice. Condizioni per la diagonalizzabilità di una matrice. Matrici simili. Relazioni di
equivalenza. Proprietà fondamentali delle matrici simili. Condizioni per la similitudine di due
matrici. Simmetrie e proiezioni. Caratterizzazione delle simmetrie e delle proiezioni. Matrice
rappresentativa di una simmetria e di una proiezione.
Struttura euclidea di Rn . Prodotto scalare standard. Proprietà del prodotto scalare. Norma
di un vettore. Proprietà della norma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Versori. Distanza
tra due vettori. Proporietà della distanza. Angolo tra due vettori. Ortogonalità tra vettori,
tra un vettore e un sottoinsieme, tra due sottoinsiemi. Sottospazio ortogonale. Ortogonalità tra
un vettore e un sottospazio vettoriale. Complemento ortogonale di un sottospazio. Teorema del
complemento ortogonale. Basi ortogonali ed ortonormali. Indipendenza di vettori non nulli a
due a due ortogonali. Teorema degli sviluppi di Fourier. Proiezioni ortogonali: su un vettore, su
un iperpiano, su un qualunque sottospazio. Processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
Matrici ortogonali. Proprietà delle matrici ortogonali. Trasformazioni ortogonali lineari. Teorema
di rappresentazione delle trasformazioni ortogonali lineari. Matrici reali simmetriche. Autospazi
di una matrice reale simmetrica. Diagonalizzazione di una matrice reale simmetrica madiante
una matrice ortogonale di passaggio. Trasformazioni ortogonali del piano. Esempi: rotazioni e
riflessioni. Classificazione delle trasformazioni ortogonali del piano. Trasformazioni ortogonali
dello spazio. Classificazione delle trasformazioni ortogonali dello spazio. Riconoscimento di una
rotazione. Matrice rappresentativa di una rotazione. Matrici di permutazione.
Rette e piani nello spazio. Equazione vettoriale della retta ed equazioni parametriche della
retta (punto e direzione). Parametri direttori. Equazione di una retta per due punti. Equazioni
parametriche del piano (punto e giacitura). Equazione cartesiana del piano (punto e direzione
normale). Equazioni cartesiane della retta (intersezione di due piani). Piano per tre punti non
allineati. Piano contenente due rette complanari. Condizioni di parallelismo e di ortogonalità.
Posizioni reciproche. Rette sghembe. Proiezione ortogonale di un punto su un piano e su una
retta. Simmetria di un punto rispetto ad un punto, una retta, un piano. Distanza tra due punti,
un punto e un piano, un punto e una retta. Fasci di piani. Distanza tra due rette (sghembe).
Superfici e curve nello spazio. Superfici e curve definite tramite equazioni cartesiane e parametriche. Sfere. Equazione cartesiana della sfera. Posizione reciproca tra un piano e una sfera.
Piano tangente ad una sfera. Circonferenze nello spazio. Intersezione di un piano con una sfera.
Equazioni cartesiane di una circonferenza nello spazio. Centro e raggio di una circonferenza nello
spazio. Retta tangente a una circonferenza. Circonferenza per tre punti. Circonferenza di dato
centro tangente a una retta data. Cilindri. Equazioni parametriche di un cilindro. Cilindri circolari retti. Cilindri con generatrici parallele ad un asse coordinato. Coni. Equazioni parametriche
di un cono. Coni circolari retti. Cono tangente a una sfera uscente da un dato punto. Superfici
di rotazione. Rotazione di una retta attorno a un’altra retta. Equazione di una superficie di rotazione. Proiezioni (parallele e centrali) di una curva su un piano. Proiezioni ortogonali sui piani
coordinati.
Coniche. Coniche come luogo di punti. Ellisse: equazione canonica, fuochi, centro, assi, vertici.
Iperbole: equazione canonica, fuochi, centro, assi, vertici, asintoti. Iperbole equilatera: equazione
canonica riferita agli asintoti. Parabola: equazione canonica, asse, vertice. Definizione algebrica di
una conica. Coniche degeneri e non degeneri. Coniche a centro. Conica per cinque punti a tre a tre
non allineati. Equivalenza a meno di rototraslazioni. Invarianti ortogonali. Classificazione delle
coniche mediante gli invarianti ortogonali. Riduzione a forma canonica dell’equazione di una conica
non degenere mediante gli invarianti ortogonali. Determinazione delle rette che compongono una
conica degenere. Metodo del completamento a un quadrato. Coordinate del centro. Equazione
degli assi. Teorema dell’eccentricità. Rette tangenti ad una conica uscenti da un punto. Retta
tangente a una conica. Polare di un punto rispetto a una conica. Punti di tangenza (caratterizzazione della polare). Coniche nello spazio. Riconoscimento di una conica nello spazio mediante
proiezioni parallele.
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