Geometria
Fondamenti della Logica e della Matematica
Novembre 2013
Geometria
Novembre 2013
1 / 26
I
La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente
della ‘misura della terra’ o più in concreto, delle aree di terreno.
Geometria
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I
La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente
della ‘misura della terra’ o più in concreto, delle aree di terreno.
I
La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che
sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che
gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso:
Geometria
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I
La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente
della ‘misura della terra’ o più in concreto, delle aree di terreno.
I
La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che
sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che
gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso:
I
La riga è lo strumento che serve per disegnare la retta che passa per due
punti dati A e B.
Geometria
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2 / 26
I
La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente
della ‘misura della terra’ o più in concreto, delle aree di terreno.
I
La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che
sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che
gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso:
I
La riga è lo strumento che serve per disegnare la retta che passa per due
punti dati A e B.
I
Il compasso è lo strumento che serve per disegnare tutti i punti che
equidistano di un punto dato A (chiamato centro del cerchio) tanto come
un altro punto dato B.
Geometria
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I
La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente
della ‘misura della terra’ o più in concreto, delle aree di terreno.
I
La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che
sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che
gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso:
I
La riga è lo strumento che serve per disegnare la retta che passa per due
punti dati A e B.
I
Il compasso è lo strumento che serve per disegnare tutti i punti che
equidistano di un punto dato A (chiamato centro del cerchio) tanto come
un altro punto dato B.
B
A
B
A
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I
Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti,
se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, perché?)
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I
Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti,
se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, perché?)
I
Due rette che no si intersecano si chiamano parallele.
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I
Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti,
se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, perché?)
I
Due rette che no si intersecano si chiamano parallele.
I
Due retti che si intersecano dividono il piano dove si trovano in quattro
parti, e determinano quattro angoli. Il vertice di questi angoli è il punto
d’intersezione delle rette, e i lati degli angoli sono le semirette che gli
delimitano.
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I
Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti,
se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, perché?)
I
Due rette che no si intersecano si chiamano parallele.
I
Due retti che si intersecano dividono il piano dove si trovano in quattro
parti, e determinano quattro angoli. Il vertice di questi angoli è il punto
d’intersezione delle rette, e i lati degli angoli sono le semirette che gli
delimitano.
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali.
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si
chiamano perpendicolari.
Geometria
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si
chiamano perpendicolari.
I
Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto.
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si
chiamano perpendicolari.
I
Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto.
I
Un angolo piatto è un caso limite: è l’angolo determinato per le due
semirette diverse in cui un punto divide una retta. (È uguale a “la somma
di due retti”.)
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si
chiamano perpendicolari.
I
Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto.
I
Un angolo piatto è un caso limite: è l’angolo determinato per le due
semirette diverse in cui un punto divide una retta. (È uguale a “la somma
di due retti”.)
I
Un angolo più grande di un retto e più piccolo di un piatto è un angolo
ottuso.
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I
L’angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo
spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si
chiamano perpendicolari.
I
Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto.
I
Un angolo piatto è un caso limite: è l’angolo determinato per le due
semirette diverse in cui un punto divide una retta. (È uguale a “la somma
di due retti”.)
I
Un angolo più grande di un retto e più piccolo di un piatto è un angolo
ottuso.
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I
Un triangolo è una figura piana determinata da tre punti non allineati, cioè
che non stanno sopra la stessa retta. Questi punti si chiamano i vertici
del triangolo; i tre segmenti determinati per questi punti si chiamano i lati
del triangolo e gli angoli determinati per questi segmenti (quelli che sono
più piccole di un piatto) si chiamano gli angoli del triangolo.
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I
Un triangolo è una figura piana determinata da tre punti non allineati, cioè
che non stanno sopra la stessa retta. Questi punti si chiamano i vertici
del triangolo; i tre segmenti determinati per questi punti si chiamano i lati
del triangolo e gli angoli determinati per questi segmenti (quelli che sono
più piccole di un piatto) si chiamano gli angoli del triangolo.
G
C
A
F
equilatero
B
H
D
E
I
isoscele
scaleno
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5 / 26
I
Un triangolo è una figura piana determinata da tre punti non allineati, cioè
che non stanno sopra la stessa retta. Questi punti si chiamano i vertici
del triangolo; i tre segmenti determinati per questi punti si chiamano i lati
del triangolo e gli angoli determinati per questi segmenti (quelli che sono
più piccole di un piatto) si chiamano gli angoli del triangolo.
G
C
A
C
D
E
F
G
A
equilatero
I
B
B
H
D
E
I
rettangolo
H
F
isoscele
scaleno
acutangolo
ottusangolo
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Costruzione di un triangolo equilatero
C
A
B
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Costruzione di un triangolo equilatero
C
A
No.
1
2
3
4
5
6
Name
Point A
Point B
Circle c
Circle d
Point C
Triangle poly1
B
Definition
Circle through A with center B
Circle through B with center A
Intersection point of c, d
Polygon A, B, C
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Bisettrice di un angolo
D
E
A
B
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Bisettrice di un angolo
I
D
E
Prendiamo B in un lato
dell’angolo, disegniamo il cerchio
con centro A e che passa per B e
troviamo la intersezione D con
l’altro lato. Così, AB è uguale a
AD.
A
B
Geometria
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7 / 26
Bisettrice di un angolo
I
Prendiamo B in un lato
dell’angolo, disegniamo il cerchio
con centro A e che passa per B e
troviamo la intersezione D con
l’altro lato. Così, AB è uguale a
AD.
I
Costruiamo un triangolo
equilatero BED. Così, BE è
uguale a DE.
D
E
A
B
Geometria
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7 / 26
Bisettrice di un angolo
I
Prendiamo B in un lato
dell’angolo, disegniamo il cerchio
con centro A e che passa per B e
troviamo la intersezione D con
l’altro lato. Così, AB è uguale a
AD.
I
Costruiamo un triangolo
equilatero BED. Così, BE è
uguale a DE.
I
La bisettrice è la retta che passa
per A ed E.
D
E
A
B
Geometria
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7 / 26
Bisettrice di un angolo
I
Prendiamo B in un lato
dell’angolo, disegniamo il cerchio
con centro A e che passa per B e
troviamo la intersezione D con
l’altro lato. Così, AB è uguale a
AD.
I
Costruiamo un triangolo
equilatero BED. Così, BE è
uguale a DE.
I
La bisettrice è la retta che passa
per A ed E.
D
E
A
B
Qua stiamo usando il seguente criterio di uguaglianza:
Se due triangoli hanno i suoi tre lati uguali, uno a uno, allora hanno i suoi tre
angoli uguali, uno a uno.
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I tre problemi classici
1
3α
1
3α
A
A
1
3α
2·V
V
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8 / 26
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
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9 / 26
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
I
La trisezione dell’angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un
qualsiasi angolo assegnato.
Geometria
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9 / 26
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
I
La trisezione dell’angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un
qualsiasi angolo assegnato.
I
La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equisteso a un
cerchi assegnato.
Geometria
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9 / 26
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
I
La trisezione dell’angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un
qualsiasi angolo assegnato.
I
La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equisteso a un
cerchi assegnato.
I
La duplicazione del cubo: la costruzione del lato di un cubo avente il
volume doppio di quello di un cubo con lato assegnato.
Geometria
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9 / 26
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
I
La trisezione dell’angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un
qualsiasi angolo assegnato.
I
La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equisteso a un
cerchi assegnato.
I
La duplicazione del cubo: la costruzione del lato di un cubo avente il
volume doppio di quello di un cubo con lato assegnato.
Questi problemi classici non hanno soluzione.
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9 / 26
I tre problemi classici
I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si
chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la
riga e il compasso:
I
La trisezione dell’angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un
qualsiasi angolo assegnato.
I
La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equisteso a un
cerchi assegnato.
I
La duplicazione del cubo: la costruzione del lato di un cubo avente il
volume doppio di quello di un cubo con lato assegnato.
Questi problemi classici non hanno soluzione. Il gran trionfo della matematica
su questi tre problemi classici è stato, non il trovarne una soluzione, ma
riuscire a dimostrare che queste costruzioni (soltanto con riga e compasso)
non possono esistere.
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Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
Geometria
Novembre 2013
10 / 26
Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
I
Sia AB la retta terminata data.
Geometria
Novembre 2013
10 / 26
Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
I
Sia AB la retta terminata data.
I
Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC,
Geometria
Novembre 2013
10 / 26
Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
I
Sia AB la retta terminata data.
I
Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC,
\ sia diviso per metà dalla retta CD;
e l’angolo ACB
I
Geometria
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10 / 26
Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
I
Sia AB la retta terminata data.
I
I
Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC,
\ sia diviso per metà dalla retta CD;
e l’angolo ACB
I
dico che la retta AB è stata divisa per metà nel punto D.
Geometria
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10 / 26
Proposizione 10
Dividere per la metà una retta terminata data.
I
Sia AB la retta terminata data.
I
I
Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC,
\ sia diviso per metà dalla retta CD;
e l’angolo ACB
I
dico che la retta AB è stata divisa per metà nel punto D.
C
A
D
Geometria
B
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Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
Geometria
Novembre 2013
11 / 26
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Geometria
Novembre 2013
11 / 26
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
Geometria
Novembre 2013
11 / 26
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
si ponga CE uguale a CD,
Geometria
Novembre 2013
11 / 26
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
si ponga CE uguale a CD,
su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE,
Geometria
Novembre 2013
11 / 26
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
I
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
si ponga CE uguale a CD,
su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE,
e si tracci la congiungente F C;
Geometria
Novembre 2013
11 / 26
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
I
I
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
si ponga CE uguale a CD,
su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE,
e si tracci la congiungente F C;
dico che sulla retta data AB dal punto C dato su essa è stata innalzata la
linea retta perpendicolare F C.
Geometria
Novembre 2013
11 / 26
Proposizione 11
Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta
perpendicolare.
I
I
I
I
I
I
Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare
sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare.
Si prenda su AC un punto a piacere D,
si ponga CE uguale a CD,
su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE,
e si tracci la congiungente F C;
dico che sulla retta data AB dal punto C dato su essa è stata innalzata la
linea retta perpendicolare F C.
F
A
D
C
Geometria
E
B
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11 / 26
Proposizione 15
Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro
uguali.
γ
β
α
Geometria
Novembre 2013
12 / 26
Proposizione 15
Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro
uguali.
γ
β
α
α + γ = 2 retti = β + γ
Geometria
⇒
α = β.
Novembre 2013
12 / 26
Proposizione 15
Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro
uguali.
γ
β
α
α + γ = 2 retti = β + γ
⇒
α = β.
Proposizione 20
In ogni triangolo la somma di due lati, comunque presi, è maggiore del lato
rimanente.
Geometria
Novembre 2013
12 / 26
Proposizione 26
Se due triangoli hanno due angoli uguali rispettivamente a due angoli e un
lato uguale a un lato, o quello [adiacente] agli angoli uguali o quello che è
opposto a uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati rimanenti uguali
rispettivamente ai lati rimanenti, e l’angolo rimanente uguale all’angolo
rimanente.
Geometria
Novembre 2013
13 / 26
Proposizione 26
Se due triangoli hanno due angoli uguali rispettivamente a due angoli e un
lato uguale a un lato, o quello [adiacente] agli angoli uguali o quello che è
opposto a uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati rimanenti uguali
rispettivamente ai lati rimanenti, e l’angolo rimanente uguale all’angolo
rimanente.
F
A
b
C
e
Se
α
d
γ
c
a
D
e
o c=f
β=δ
o
e
a = d,
allora i due triangoli sono
uguali.
β
f
B
b=e
α=γ
δ
E
Geometria
Novembre 2013
13 / 26
Proposizioni 27 e 29
Una retta che viene a cadere su altre due rette forma gli angoli alterni uguali
fra loro se e soltanto se le due rette sono fra loro parallele.
r
α
s
α=β
⇔
r k s.
β
Geometria
Novembre 2013
14 / 26
Proposizione 32
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla
somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del
triangolo è uguale a due retti.
A
α
ζ
γ
ε
B
β
C
δ
Geometria
Novembre 2013
15 / 26
Proposizione 32
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla
somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del
triangolo è uguale a due retti.
A
A
γ
α
β0
0
α
ζ
γ
ε
B
β
C
B
γ
β
C
δ
Geometria
Novembre 2013
15 / 26
Proposizione 32
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla
somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del
triangolo è uguale a due retti.
A
A
γ
α
β0
0
α
ζ
γ
ε
B
I
β
C
B
γ
β
C
δ
Questa proposizione non si può dimostrare senza usare il postulato V
(delle parallele).
Geometria
Novembre 2013
15 / 26
Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro.
Geometria
Novembre 2013
16 / 26
Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro.
Proposizione 34
I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla
diagonale in due parti uguali
Geometria
Novembre 2013
16 / 26
Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro.
Proposizione 34
I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla
diagonale in due parti uguali
Proposizione 35
Parallelogrammi che siano [posti] sulla stessa base e fra le stesse parallele
sono uguali fra loro [equistesi].
A
B
D
E
F
C
Geometria
Novembre 2013
16 / 26
Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro.
Proposizione 34
I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla
diagonale in due parti uguali
Proposizione 35
Parallelogrammi che siano [posti] sulla stessa base e fra le stesse parallele
sono uguali fra loro [equistesi].
A
B
D
E
C
F
A
B
Geometria
D
E
F
C
Novembre 2013
16 / 26
Proposizione 37
Triangoli che siano posti sulla stessa base e fra le stesse parallele sono uguali
fra loro [equistesi].
C
D
B
A
Geometria
Novembre 2013
17 / 26
Proposizione 37
Triangoli che siano posti sulla stessa base e fra le stesse parallele sono uguali
fra loro [equistesi].
C
D
B
A
I
Infatti, questa proposizione ci permette dimostrare che l’area del triangolo
è uguale alla metà della base moltiplicato per l’alteza.
Geometria
Novembre 2013
17 / 26
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
Geometria
Novembre 2013
18 / 26
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
I
G
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
F
D
A
E
B
K
H
J
C
I
Geometria
Novembre 2013
18 / 26
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
G
F
I
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equistesi.
D
A
E
B
K
H
J
C
I
Geometria
Novembre 2013
18 / 26
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
G
F
D
A
E
B
K
H
J
I
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equistesi.
I
I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è
uguale a BA, BC è uguale a BH, e
\ = 1 retto + CBA
\ = CBA
\ + 1 retto = HBA.
\
CBE
C
I
Geometria
Novembre 2013
18 / 26
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
G
F
D
I
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equistesi.
I
I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è
uguale a BA, BC è uguale a BH, e
\ = 1 retto + CBA
\ = CBA
\ + 1 retto = HBA.
\
CBE
I
AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a
BH.
A
E
B
K
H
J
C
I
Geometria
Novembre 2013
18 / 26
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
G
F
D
I
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equistesi.
I
I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è
uguale a BA, BC è uguale a BH, e
\ = 1 retto + CBA
\ = CBA
\ + 1 retto = HBA.
\
CBE
I
AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a
BH.
I
Quindi i triangoli BAH e BKH sono equistesi.
A
E
B
H
K
J
C
I
Geometria
Novembre 2013
18 / 26
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
G
F
D
I
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equistesi.
I
I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è
uguale a BA, BC è uguale a BH, e
\ = 1 retto + CBA
\ = CBA
\ + 1 retto = HBA.
\
CBE
I
AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a
BH.
A
E
B
H
K
J
C
I
Quindi i triangoli BAH e BKH sono equistesi.
I
Quindi i triangoli BEA, BEC, BAH, BKH sono
tutti equistesi.
I
Geometria
Novembre 2013
18 / 26
Teorema di Pitagora
Proposizione 47
Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale
alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.
G
F
D
I
\ e BAC
\ sono
D, A e C sono allineati, perché BAD
retti. Quindi, DC e parallela a EB.
I
Quindi i triangoli BEA e BEC sono equistesi.
I
I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è
uguale a BA, BC è uguale a BH, e
\ = 1 retto + CBA
\ = CBA
\ + 1 retto = HBA.
\
CBE
I
AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a
BH.
A
E
B
H
K
J
C
I
I
Quindi i triangoli BAH e BKH sono equistesi.
I
Quindi i triangoli BEA, BEC, BAH, BKH sono
tutti equistesi.
I
E quindi i quadrato ABED, che è il doppio di
BEA, e uguale al rettangolo BKJH, che è il
doppio di BKH.
Geometria
Novembre 2013
18 / 26
Punti notevoli di un triangolo
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio. (Ja sappiamo come si
costruisce con riga e compasso.)
Geometria
Novembre 2013
19 / 26
Punti notevoli di un triangolo
C
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio. (Ja sappiamo come si
costruisce con riga e compasso.)
Geometria
A
M
B
D
Novembre 2013
19 / 26
Punti notevoli di un triangolo
C
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio. (Ja sappiamo come si
costruisce con riga e compasso.)
A
M
B
D
Teorema
I tre assi dei lati di un triangolo si incontrano in un punto chiamato circocentro.
Questo punto è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, cioè
l’unica circonferenza che passa per i tre vertici del triangolo.
A
M2
M3
O
M1
C
B
Geometria
Novembre 2013
19 / 26
Punti notevoli di un triangolo
C
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio. (Ja sappiamo come si
costruisce con riga e compasso.)
A
M
B
D
Teorema
I tre assi dei lati di un triangolo si incontrano in un punto chiamato circocentro.
Questo punto è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, cioè
l’unica circonferenza che passa per i tre vertici del triangolo.
A
M2
M3
M1
B
Corollary
O
C
Tre punti no allineati determinano una unica
circonferenza che passa per tutti i tre.
Geometria
Novembre 2013
19 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
I
Prendiamo O il punto di intersezione di due degli assi.
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
I
Prendiamo O il punto di intersezione di due degli assi.
I
Dimostriamo che O si trova anche nel terzo asse.
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
I
Prendiamo O il punto di intersezione di due degli assi.
I
Dimostriamo che O si trova anche nel terzo asse.
I
E quindi, O è l’unico punto dove si incontrano i tre assi.
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
I
Prendiamo O il punto di intersezione di due degli assi.
I
Dimostriamo che O si trova anche nel terzo asse.
I
E quindi, O è l’unico punto dove si incontrano i tre assi.
Abbiamo però bisogno di una proprietà che caratterizza i punti dell’asse di un
segmento, cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti di l’asse e soltanto loro:
C
Punti dell’asse di un segmento
d
I punti dell’asse di un segmento sono i punti che sono
equidistanti dagli stremi del segmento.
A
d
M
B
asse di AB
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
I
Prendiamo O il punto di intersezione di due degli assi.
I
Dimostriamo che O si trova anche nel terzo asse.
I
E quindi, O è l’unico punto dove si incontrano i tre assi.
Abbiamo però bisogno di una proprietà che caratterizza i punti dell’asse di un
segmento, cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti di l’asse e soltanto loro:
C
Punti dell’asse di un segmento
d
I punti dell’asse di un segmento sono i punti che sono
equidistanti dagli stremi del segmento.
A
d
M
B
asse di AB
I
Sia O il punto di intersezione degli assi di AB e BC.
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
I
Prendiamo O il punto di intersezione di due degli assi.
I
Dimostriamo che O si trova anche nel terzo asse.
I
E quindi, O è l’unico punto dove si incontrano i tre assi.
Abbiamo però bisogno di una proprietà che caratterizza i punti dell’asse di un
segmento, cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti di l’asse e soltanto loro:
C
Punti dell’asse di un segmento
d
I punti dell’asse di un segmento sono i punti che sono
equidistanti dagli stremi del segmento.
A
d
M
B
asse di AB
I
Sia O il punto di intersezione degli assi di AB e BC.
I
Siccome O si trova nell’asse di AB, allora O è equidistante da A e B.
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
I
Prendiamo O il punto di intersezione di due degli assi.
I
Dimostriamo che O si trova anche nel terzo asse.
I
E quindi, O è l’unico punto dove si incontrano i tre assi.
Abbiamo però bisogno di una proprietà che caratterizza i punti dell’asse di un
segmento, cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti di l’asse e soltanto loro:
C
Punti dell’asse di un segmento
d
I punti dell’asse di un segmento sono i punti che sono
equidistanti dagli stremi del segmento.
A
d
M
B
asse di AB
I
Sia O il punto di intersezione degli assi di AB e BC.
I
Siccome O si trova nell’asse di AB, allora O è equidistante da A e B.
I
Siccome O si trova nell’asse di BC, allora O è equidistante da B e C.
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
I
Prendiamo O il punto di intersezione di due degli assi.
I
Dimostriamo che O si trova anche nel terzo asse.
I
E quindi, O è l’unico punto dove si incontrano i tre assi.
Abbiamo però bisogno di una proprietà che caratterizza i punti dell’asse di un
segmento, cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti di l’asse e soltanto loro:
C
Punti dell’asse di un segmento
d
I punti dell’asse di un segmento sono i punti che sono
equidistanti dagli stremi del segmento.
A
d
M
B
asse di AB
I
Sia O il punto di intersezione degli assi di AB e BC.
I
Siccome O si trova nell’asse di AB, allora O è equidistante da A e B.
I
Siccome O si trova nell’asse di BC, allora O è equidistante da B e C.
I
Quindi O è equidistante da A e C, e pertanto O si trova nell’asse di AC.
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
I
Prendiamo O il punto di intersezione di due degli assi.
I
Dimostriamo che O si trova anche nel terzo asse.
I
E quindi, O è l’unico punto dove si incontrano i tre assi.
Abbiamo però bisogno di una proprietà che caratterizza i punti dell’asse di un
segmento, cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti di l’asse e soltanto loro:
C
Punti dell’asse di un segmento
d
I punti dell’asse di un segmento sono i punti che sono
equidistanti dagli stremi del segmento.
A
d
M
B
asse di AB
I
Sia O il punto di intersezione degli assi di AB e BC.
I
Siccome O si trova nell’asse di AB, allora O è equidistante da A e B.
I
Siccome O si trova nell’asse di BC, allora O è equidistante da B e C.
I
Quindi O è equidistante da A e C, e pertanto O si trova nell’asse di AC.
I
Siccome O è equidistante da A, B e C, allora la circonferenza con centro O e
raggio OA passa per A, B e C,
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
Dimostrazione: Per dimostrare che tutti i tre assi si incontrano in un punto faremo
così:
I
Prendiamo O il punto di intersezione di due degli assi.
I
Dimostriamo che O si trova anche nel terzo asse.
I
E quindi, O è l’unico punto dove si incontrano i tre assi.
Abbiamo però bisogno di una proprietà che caratterizza i punti dell’asse di un
segmento, cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti di l’asse e soltanto loro:
C
Punti dell’asse di un segmento
d
I punti dell’asse di un segmento sono i punti che sono
equidistanti dagli stremi del segmento.
A
d
M
B
asse di AB
I
Sia O il punto di intersezione degli assi di AB e BC.
I
Siccome O si trova nell’asse di AB, allora O è equidistante da A e B.
I
Siccome O si trova nell’asse di BC, allora O è equidistante da B e C.
I
Quindi O è equidistante da A e C, e pertanto O si trova nell’asse di AC.
I
Siccome O è equidistante da A, B e C, allora la circonferenza con centro O e
raggio OA passa per A, B e C, e questa è la unica (perché?).
Geometria
Novembre 2013
20 / 26
La bisettrice di un angolo è la retta che lo divide a metà.
La sappiamo anche costruire.
Geometria
Novembre 2013
21 / 26
La bisettrice di un angolo è la retta che lo divide a metà.
La sappiamo anche costruire.
C
D
A
B
Geometria
Novembre 2013
21 / 26
La bisettrice di un angolo è la retta che lo divide a metà.
La sappiamo anche costruire.
C
D
A
B
Teorema
Le bisettrici degli angoli di un triangolo si incontrano in un punto chiamato
incentro. Questo punto è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo,
cioè la unica circonferenza che è tangente ai tre lati del triangolo.
A
I
C
B
D
Geometria
Novembre 2013
21 / 26
La bisettrice di un angolo è la retta che lo divide a metà.
La sappiamo anche costruire.
C
D
A
B
Teorema
Le bisettrici degli angoli di un triangolo si incontrano in un punto chiamato
incentro. Questo punto è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo,
cioè la unica circonferenza che è tangente ai tre lati del triangolo.
Dimostrazione: Questa dimostrazione è molto
simile a quella di prima.
A
I
C
B
D
Geometria
Novembre 2013
21 / 26
La bisettrice di un angolo è la retta che lo divide a metà.
La sappiamo anche costruire.
C
D
A
B
Teorema
Le bisettrici degli angoli di un triangolo si incontrano in un punto chiamato
incentro. Questo punto è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo,
cioè la unica circonferenza che è tangente ai tre lati del triangolo.
Dimostrazione: Questa dimostrazione è molto
simile a quella di prima.
A
I
I
Prendiamo il punto I di intersezione di
due delle bisettrici.
C
B
D
Geometria
Novembre 2013
21 / 26
La bisettrice di un angolo è la retta che lo divide a metà.
La sappiamo anche costruire.
C
D
A
B
Teorema
Le bisettrici degli angoli di un triangolo si incontrano in un punto chiamato
incentro. Questo punto è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo,
cioè la unica circonferenza che è tangente ai tre lati del triangolo.
Dimostrazione: Questa dimostrazione è molto
simile a quella di prima.
A
I
Prendiamo il punto I di intersezione di
due delle bisettrici.
I
Mostriamo che I si trova anche nella terza
bisettrice.
I
C
B
D
Geometria
Novembre 2013
21 / 26
La bisettrice di un angolo è la retta che lo divide a metà.
La sappiamo anche costruire.
C
D
A
B
Teorema
Le bisettrici degli angoli di un triangolo si incontrano in un punto chiamato
incentro. Questo punto è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo,
cioè la unica circonferenza che è tangente ai tre lati del triangolo.
Dimostrazione: Questa dimostrazione è molto
simile a quella di prima.
A
I
Prendiamo il punto I di intersezione di
due delle bisettrici.
I
Mostriamo che I si trova anche nella terza
bisettrice.
I
Quindi, I è l’unico punto dove si
incontrano le tre bisettrici.
I
C
B
D
Geometria
Novembre 2013
21 / 26
Abbiamo bisogno di una proprietà che caratterizza i punti della bisettrice di un angolo,
cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti della bisettrice e soltanto loro:
E
d
Punti della bisettrice di un angolo
C
I punti della bisettrice di un angolo sono i punti che sono
equidistanti dai lati dell’angolo.
A
d
F
Geometria
Novembre 2013
22 / 26
Abbiamo bisogno di una proprietà che caratterizza i punti della bisettrice di un angolo,
cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti della bisettrice e soltanto loro:
E
d
Punti della bisettrice di un angolo
C
I punti della bisettrice di un angolo sono i punti che sono
equidistanti dai lati dell’angolo.
A
d
F
(La distanza da un punto C a una retta r è la minima distanza da C ai punti di r, e si
può trovare come la larghezza del segmento che unisce C e r, e che è perpendicolare
a r.)
Geometria
Novembre 2013
22 / 26
Abbiamo bisogno di una proprietà che caratterizza i punti della bisettrice di un angolo,
cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti della bisettrice e soltanto loro:
E
d
Punti della bisettrice di un angolo
C
I punti della bisettrice di un angolo sono i punti che sono
equidistanti dai lati dell’angolo.
A
d
F
(La distanza da un punto C a una retta r è la minima distanza da C ai punti di r, e si
può trovare come la larghezza del segmento che unisce C e r, e che è perpendicolare
a r.)
I
\ e CBA.
\
Sia I il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli BAC
Geometria
Novembre 2013
22 / 26
Abbiamo bisogno di una proprietà che caratterizza i punti della bisettrice di un angolo,
cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti della bisettrice e soltanto loro:
E
d
Punti della bisettrice di un angolo
C
I punti della bisettrice di un angolo sono i punti che sono
equidistanti dai lati dell’angolo.
A
d
F
(La distanza da un punto C a una retta r è la minima distanza da C ai punti di r, e si
può trovare come la larghezza del segmento che unisce C e r, e che è perpendicolare
a r.)
I
I
\ e CBA.
\
Sia I il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli BAC
\ allora I è equidistante dai lati AB e
Siccome I si trova nella bisettrice di BAC,
AC.
Geometria
Novembre 2013
22 / 26
Abbiamo bisogno di una proprietà che caratterizza i punti della bisettrice di un angolo,
cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti della bisettrice e soltanto loro:
E
d
Punti della bisettrice di un angolo
C
I punti della bisettrice di un angolo sono i punti che sono
equidistanti dai lati dell’angolo.
A
d
F
(La distanza da un punto C a una retta r è la minima distanza da C ai punti di r, e si
può trovare come la larghezza del segmento che unisce C e r, e che è perpendicolare
a r.)
I
I
I
\ e CBA.
\
Sia I il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli BAC
\ allora I è equidistante dai lati AB e
Siccome I si trova nella bisettrice di BAC,
AC.
\ allora I è equidistante dai lati BC e
Siccome I si trova nella bisettrice di CBA,
BA.
Geometria
Novembre 2013
22 / 26
Abbiamo bisogno di una proprietà che caratterizza i punti della bisettrice di un angolo,
cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti della bisettrice e soltanto loro:
E
d
Punti della bisettrice di un angolo
C
I punti della bisettrice di un angolo sono i punti che sono
equidistanti dai lati dell’angolo.
A
d
F
(La distanza da un punto C a una retta r è la minima distanza da C ai punti di r, e si
può trovare come la larghezza del segmento che unisce C e r, e che è perpendicolare
a r.)
I
I
I
I
\ e CBA.
\
Sia I il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli BAC
\ allora I è equidistante dai lati AB e
Siccome I si trova nella bisettrice di BAC,
AC.
\ allora I è equidistante dai lati BC e
Siccome I si trova nella bisettrice di CBA,
BA.
Quindi I è equidistante da AB e BC, e pertanto I si trova nella bisettrice
\
dell’angolo ABC.
Geometria
Novembre 2013
22 / 26
Abbiamo bisogno di una proprietà che caratterizza i punti della bisettrice di un angolo,
cioè, una proprietà che soddisfano tutti i punti della bisettrice e soltanto loro:
E
d
Punti della bisettrice di un angolo
C
I punti della bisettrice di un angolo sono i punti che sono
equidistanti dai lati dell’angolo.
A
d
F
(La distanza da un punto C a una retta r è la minima distanza da C ai punti di r, e si
può trovare come la larghezza del segmento che unisce C e r, e che è perpendicolare
a r.)
I
I
I
\ e CBA.
\
Sia I il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli BAC
\ allora I è equidistante dai lati AB e
Siccome I si trova nella bisettrice di BAC,
AC.
\ allora I è equidistante dai lati BC e
Siccome I si trova nella bisettrice di CBA,
BA.
I
Quindi I è equidistante da AB e BC, e pertanto I si trova nella bisettrice
\
dell’angolo ABC.
I
Siccome I è equidistante dai tre lati del trianglo, allora la circonferenza con centro
I e raggio uguale a la distanza da I a ognuno dei lati è inscrita nel trianglo.
Geometria
Novembre 2013
22 / 26
Una mediana di un triangolo è una retta che passa per un vertice e il punto
medio del lato opposto. Si chiama mediana anche al segmento che questi
due punti determinano.
Geometria
Novembre 2013
23 / 26
Una mediana di un triangolo è una retta che passa per un vertice e il punto
medio del lato opposto. Si chiama mediana anche al segmento che questi
due punti determinano.
Teorema
Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto chiamato baricentro o
centro di massa del triangolo.
A
M2
M3
B
G
C
M1
Geometria
Novembre 2013
23 / 26
Una mediana di un triangolo è una retta che passa per un vertice e il punto
medio del lato opposto. Si chiama mediana anche al segmento che questi
due punti determinano.
Teorema
Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto chiamato baricentro o
centro di massa del triangolo.
I
A
M2
M3
B
G
Una delle proprietà del baricentro è che
divide ogni mediana in due segmenti, uno
il doppio dell’altro. Cioè, il baricentro si
trova su ogni mediana a due terzi dal
vertice e un terzo dal lato opposto.
C
M1
Geometria
Novembre 2013
23 / 26
Una mediana di un triangolo è una retta che passa per un vertice e il punto
medio del lato opposto. Si chiama mediana anche al segmento che questi
due punti determinano.
Teorema
Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto chiamato baricentro o
centro di massa del triangolo.
I
Una delle proprietà del baricentro è che
divide ogni mediana in due segmenti, uno
il doppio dell’altro. Cioè, il baricentro si
trova su ogni mediana a due terzi dal
vertice e un terzo dal lato opposto.
I
Un’altra proprietà del baricentro è che, se
il triangolo fosse costruito da un materiale
uniforme, allora il baricentro sarebbe
l’unico punto da dove il triangolo si
terrebbe in equilibrio.
A
M2
M3
B
G
C
M1
Geometria
Novembre 2013
23 / 26
Una altezza di un triangolo è una retta che passa per un vertice e è
perpendicolare al vertice opposto.
Geometria
Novembre 2013
24 / 26
Una altezza di un triangolo è una retta che passa per un vertice e è
A
perpendicolare al vertice opposto.
0
B
C0
Teorema
Le tre altezze di un triangolo si incontrano in
un punto chiamato ortocentro.
H
C
A0
B
Geometria
Novembre 2013
24 / 26
Una altezza di un triangolo è una retta che passa per un vertice e è
A
perpendicolare al vertice opposto.
0
B
C0
Teorema
Le tre altezze di un triangolo si incontrano in
un punto chiamato ortocentro.
H
C
A0
B
Il punto di intersezione di una altezza con il lato del triangolo a cui è
perpendicolare si chiama piede della altezza.
Geometria
Novembre 2013
24 / 26
Una altezza di un triangolo è una retta che passa per un vertice e è
A
perpendicolare al vertice opposto.
0
B
C0
Teorema
Le tre altezze di un triangolo si incontrano in
un punto chiamato ortocentro.
H
C
A0
B
Il punto di intersezione di una altezza con il lato del triangolo a cui è
perpendicolare si chiama piede della altezza. Il triangolo formato per i tre
piedi delle altezze di un triangolo si chiama il suo triangolo pedale.
Geometria
Novembre 2013
24 / 26
Una altezza di un triangolo è una retta che passa per un vertice e è
A
perpendicolare al vertice opposto.
0
B
C0
Teorema
Le tre altezze di un triangolo si incontrano in
un punto chiamato ortocentro.
H
C
A0
B
Il punto di intersezione di una altezza con il lato del triangolo a cui è
perpendicolare si chiama piede della altezza. Il triangolo formato per i tre
piedi delle altezze di un triangolo si chiama il suo triangolo pedale.
A
B0
C0
H
C
A0
Teorema
L’ortocentro di un triangolo è l’incentro del suo
triangolo pedale.
B
Geometria
Novembre 2013
24 / 26
Il punto di Fermat
Si chiama punto di Fermat di un triangolo quel punto che minimiza la distanza
complessiva da tutti e tre i vertici del triangolo.
Geometria
Novembre 2013
25 / 26
Il punto di Fermat
Si chiama punto di Fermat di un triangolo quel punto che minimiza la distanza
complessiva da tutti e tre i vertici del triangolo.
Questi sono due costruzioni del punto di Fermat del triangolo 4ABC che
fanno uso di triangoli equilateri costruiti sui lati del trianglo:
Geometria
Novembre 2013
25 / 26
Il punto di Fermat
Si chiama punto di Fermat di un triangolo quel punto che minimiza la distanza
complessiva da tutti e tre i vertici del triangolo.
Questi sono due costruzioni del punto di Fermat del triangolo 4ABC che
fanno uso di triangoli equilateri costruiti sui lati del trianglo:
B0
C0
A
F
C
B
A0
Geometria
Novembre 2013
25 / 26
Il punto di Fermat
Si chiama punto di Fermat di un triangolo quel punto che minimiza la distanza
complessiva da tutti e tre i vertici del triangolo.
Questi sono due costruzioni del punto di Fermat del triangolo 4ABC che
fanno uso di triangoli equilateri costruiti sui lati del trianglo:
B0
B0
C0
C0
A
A
F
F
C
C
B
B
A0
A0
Geometria
Novembre 2013
25 / 26
Il punto di Fermat
Allora, per definizione, il punto de Fermat ha la caratteristica che la somma
delle distanze F A, F B e F C è la minima possibile.
Geometria
Novembre 2013
26 / 26
Il punto di Fermat
Allora, per definizione, il punto de Fermat ha la caratteristica che la somma
delle distanze F A, F B e F C è la minima possibile.
Cioè, se A, B e C fossero città, e voliamo costruire
la strada più corta unendo le tre città, dovremmo
prima trovare il punto di Fermat F , e poi costruire
le tre strade F A, F B, F C:
Geometria
A
F
C
B
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26 / 26
Il punto di Fermat
Allora, per definizione, il punto de Fermat ha la caratteristica che la somma
delle distanze F A, F B e F C è la minima possibile.
Cioè, se A, B e C fossero città, e voliamo costruire
la strada più corta unendo le tre città, dovremmo
prima trovare il punto di Fermat F , e poi costruire
le tre strade F A, F B, F C:
A
F
C
B
A
γ = 120◦
β = 120◦
F
α = 120◦
C
Un’altra proprietà del punto di Fermat è che tutti gli
angoli che formano i segmenti F A, F B e F C sono
uguali (e quindi da 120◦ ).
B
Geometria
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26 / 26
Il punto di Fermat
Allora, per definizione, il punto de Fermat ha la caratteristica che la somma
delle distanze F A, F B e F C è la minima possibile.
Cioè, se A, B e C fossero città, e voliamo costruire
la strada più corta unendo le tre città, dovremmo
prima trovare il punto di Fermat F , e poi costruire
le tre strade F A, F B, F C:
A
F
C
B
A
γ = 120◦
β = 120◦
F
α = 120◦
C
Un’altra proprietà del punto di Fermat è che tutti gli
angoli che formano i segmenti F A, F B e F C sono
uguali (e quindi da 120◦ ).
B
Il punto di Fermat è il punto dove si fa zero la somma di tre vettori di uguale modulo (arbitrario) e direzioni ai vertici.
Geometria
Novembre 2013
26 / 26
Il punto di Fermat
Allora, per definizione, il punto de Fermat ha la caratteristica che la somma
delle distanze F A, F B e F C è la minima possibile.
Cioè, se A, B e C fossero città, e voliamo costruire
la strada più corta unendo le tre città, dovremmo
prima trovare il punto di Fermat F , e poi costruire
le tre strade F A, F B, F C:
A
F
C
B
A
γ = 120◦
β = 120◦
F
α = 120◦
C
Un’altra proprietà del punto di Fermat è che tutti gli
angoli che formano i segmenti F A, F B e F C sono
uguali (e quindi da 120◦ ).
B
Il punto di Fermat è il punto dove si fa zero la somma di tre vettori di uguale modulo (arbitrario) e direzioni ai vertici. Cioè, se abbiamo tre forze applicate
al punto di Fermat, di uguale intensità, e ognuna in
direzione a un vertice di un triangolo, allora la loro
risultante è 0.
Geometria
A
u
~ +~
v+w
~ =~
0
~
u
~
v
w
~
F
C
B
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