LU OGH I GEOMETR IC I e APPLIC AZION I - parallelogrammi
def.
Si definisce luogo geometrico l'insieme dei punti che godono di una determinata proprietà.
Per dire che una figura è un luogo geometrico bisogna dimostrare che ogni punto gode di quella determinata proprietà, e
se un punto gode di quella determinata proprietà allora appartiene alla figura.
esempi:
L' Asse di un segmento è il luogo dei punti di un piano equidistanti dai punti estremi del segmento.
Tutti i punti,come P, appartenenti
all'asse r, hanno uguale distanza
dagli estremi A e B del segmento.
se α≠ 90° PA≠ PB
r
α = 90,0 °
α
-►
MUOVERIL
EILPUNTO
PUNTOPP
MUOVERE
distanza PA= PB
A
α = 90°
PA= 2,26 cm
PB= 2,26 cm
Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO “EINSTEIN” MOTTOLA (TA)
P
M
B
L' Bisettrice di un angolo convesso è il luogo dei punti di un piano equidistanti dai lati del'angolo.
a
r
Tutti i punti,come P, appartenenti alla bisettrice r,
hanno uguale distanza dai lati a e b che
costituiscono l'angolo.
Applicazione:Applicazione:
TRACCIARETRACCIARE
DA P LE PERPENDICOLARI
AI LATI
aE
DAPLEPERPENDICO
LARI
AI
b, SEGNARE LATI
LE MISURE
DA
P
AD
a
E
b
E
VERIFICARE
a Eb, SEGNARELEMISUREDA PAD a Eb E
MUOVENDO V
ILERIFICARE
PUNTO P.MUOVENDOIL PUNTOP.
La Circonferenza è il luogo dei punti che .... ....
L' Ellisse è il luogo dei punti che .... ....
Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO “EINSTEIN” MOTTOLA (TA)
P
b
APPLICAZIONI ai PARALLELOGRAMMI e PROPRIETA'
def.
D icesi parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli fra loro.
C
C
D
D
M
D
A
M
C
D
C
M
M
B
B
B
A
B
A
A
T
Proprietà dei Parallelogrammi:
1°) i lati opposti sono congruenti;
2°) gli angoli opposti sono congruenti;
3°) le diagonali hanno lo stesso punto medio;
4°) gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari;
altr e o s s e r v az io n i:
1 °) o g n i d i a g o n a le d i v i d e i l p a r a lle lo g r a m m a i n
d u e tr i a n g o li i s o m e tr i c i ;
2 °) le d u e d i a g o n a li d i v i d o n o i l p a r a lle lo g r a m m a i n
q u a ttr o tr i a n g o li a d u e a d u e i s o m e tr i c i fr a lo r o ;
D
Applic az ione: VERIFICARE TAL I PROPRIETA' AI
PARAL L EL OG RAMMI SOPRA RAPPRESEN TATI.
FARE DEL L E PROPRIE CON SIDERAZ ION I SUI
TRIAN G OL I CHE N E SCATURISCON O.
C
Applicazione:
VERIFICARE
SESE
TALI
Applicazione:
VERIFICARE
TALIPROPRIETA'
PROPRIETA' SONO
SONO RISPETTATE
IN
QUALSIASI
QUADRILATERO.
RISPETTATEIN QUALSIASI QUADRILATERO
.
-►
A
Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO “EINSTEIN” MOTTOLA (TA)
B
d e f.
D i c e s i a l t e z z a d i u n p a r a lle lo g r a m m a q u a ls i a s i , la d i s ta n z a fr a u n la to a s s u n to c o m e b a s e
e d i l v e r ti c e a d e s s o o p p o s to .
Applic az ione: SEG N ARE L ' AL TEZ Z A PER VARI TIPI DI PARAL L EL OG RAMMI.
-
►
Sono Parallelogrammi particolari il Rettangolo, il Rombo, il Quadrato.
Applic az ione: IN DIVIDUARE L E PROPRIETA' PARTICOL ARI DI CIASCUN O DI ESSI.
-
►
C
D
OSSERVAZIONE: due poligoni (non triangoli) che hanno i lati
rispettivamente congruenti, non è detto che siano congruenti.
C
B
D
2,20 cm
A 2,20 cm B
A
NELLA FIG. SI N
OSSERVA
SIA
ILSIA
ROMBO
ELLAFIG. SI OCHE
SSERVA
CHE
ILROMBOCHE
CHEILIL
QUQUADRATO
ADRATOHANNOHANNO
I QUATTROILATI
COCONGRUENTI
NGRUENTI FRALORO
(MISULORO
RADI2,20
cm) MALEDI
DUE
FIG. Ncm)
ONSO
NOS
OVR
APPOFIG.
NIBILI E
QUATTRO LATI
FRA
(MISURA
2,20
MA
LE
DUE
QUINDINONSONOCONEGR
UENTI. NON SONO CONGRUENTI.
NON SONO SOVRAPPONIBILI
QUINDI
Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO “EINSTEIN” MOTTOLA (TA)
TRAPEZI e PROPRIETA'
def.
Dicesi trapezio un quadrilatero avente due lati opposti paralleli fra loro.
NOTA:NSE
LATI
//ISONO
OTA:I DUE
SEI D
UELAT
// SONOCCONGRUENTI
ONGRUENTI FRALOFRA
RO LORO
ALLORA
IL
TRAPEZIO
SAREBBE
UN
PARALLELOGRAMMA
ALLORAILTRAPEZIOSAREBBEUNPARALLELOGRAMMA
D106,7 °
C 118,0 °
Il PUNTO
INTERSEZIONE
(P)
DELLE
DUE
DIAGONALI
Il PUDI
NTO
DI INTERSEZIONE(P
) DE
LLEDUED
IAGON
ALI
NONCOINCIDE
PIU'C
ONI PU
TI MEDI DMEDI
ELLESTDELLE
ESSE STESSE
NON COINCIDE
PIU'
CON
IN
PUNTI
COMEINUNPARALLELOGRAMMA
A
In un trapezio si distinguono:
la base maggiore;
la base minore DC;
B 62,0 °
i due lati (o lati obliqui) AD e BC
73,3 °
T
T
C
In un trapezio qualsiasi gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementati.
In u n tr a p e z i o q u a ls i a s i g li a n g o li a d i a c e n ti a c i a s c u n la to o b li q u o s o n o s u p p le m e n ta ti .
αA + αD = 180°
Classificazione:
e
αC + αB = 180°
α A + α D = 180 ° e
α C + α B = 180 °
TRAPEZIO ISOSCELE
D118,0 °
C
118,0 °
In u n T r a p e z i o i s o s c e le g li a n g o li a d i a c e n ti a c i a s c u n a b a s e s o n o c o n g r u e n ti .
α A= α B
e
α D= α C
P
A
62,0 °
62,0 °
B
C o n d i z i o n e N e c e s s a r i a e S u ffi c i e n te a ffi n c h è u n t r a p e z i o s i a i s o s c e l e è c h e g li
a n g o li a d i a c e n ti a u n a d e lle b a s i s i a n o c o n g r u e n ti .
TT
In In
unu trapezio
isoscele
gligangoli
n tr a p e z i o
i s o s c e le
li a n g oopposti
li o p p o ssono
ti s o nsupplementati.
o s u p p le m e n ta ti .
αA +α αAC+=α180°
e ° αe
D + ααD
B+
=α
180°
C = 180
B = 180 °
Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO “EINSTEIN” MOTTOLA (TA)
TRAPEZIO RETTANGOLO
D 90,0 °
C 120,0 °
In u n T r a p e z i o r e tta n g o lo u n o d e i l a t i è p e r p e n d i c o l a r e a lle b a s i .
α A= α D = 90 °
e
α C + α B = 180 °
P
A
90,0 °
B
60,0 °
In u n T r a p e z i o r e tta n g o lo l'a l t e z z a c o i n c i d e c o n la d i s ta n z a tr a le d u e b a s i .
APPLICAZIONI problemi.
problema N.1 Sia ABC un triangolo. Si tracci una qualsiasi mediana e si consideri sul prolungamento di quaesta il
punto simmetrico rispetto al vertice corrispondente. Sia D tale punto.
D imostrare che il quadrilatero ABC D che si viene a formare è un parallelogramma.
problema N.2 Siano r, s due rette qualsiasi passanti per il punto d'incontro delle diagonali di un parallelogramma
qualsiasi. Si considerino i punti di intersezione di queste rette con i lati del parallelogramma.
Dimostrare che tali punti sono i vertici di un nuovo parallelogramma.
problema N.3 Si conducano da un punto qualunque della bisettrice di un angolo qualsiasi le parallele ai lati.
Dimostrare che si ottiene un rombo.
Cosa si ottiene se l'angolo è retto?
problema N.4 Sia ABC un triangolo rettangolo. Sui cateti si custruiscano i quadrati corrispondenti o esternamente o
internamente al triangolo.
Dimostrare che due diagonali dei due quadrati sono parallele e due sono sulla stessa retta.
Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO “EINSTEIN” MOTTOLA (TA)
