Esercizio
Un’indagine statistica ha rivelato che il 15% degli abitanti di una certa città fa l’elemosina ai mendicanti che vede sul
marciapiede. Passano 20 persone davanti ad un mendicante.
1. Qual è la probabilità che il mendicante riceva elemosina da almeno 3 di esse? [risp: 0.595]
È una binomiale dove:
n = 20,
p = 0.15,
1-p = 0.85
P(X ≥ 3)= 1- P(X ≤ 2) = 1- P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)
= 1 – 0.03876 – 0.136798 – 0.229338 = 0.595104
2. Quante persone al minimo devono passare davanti al mendicante perchè con probabilità superiore a 0.5 gli
venga fatta almeno un’elemosina?[risp: almeno 5]
X ~ Binom(n, 0.15) dove n è il parametro che questa volta non conosciamo. Dobbiamo trovare quel n tale che:
P(X ≥ 1) ≥ 0.5
che diventa:
1- P(X = 0) ≥ 0.5
dove P(X = 0) = (1-p)n = 0.85 n
quindi otteniamo
1- 0.85 n ≥ 0.5 ovvero 1- 0.5 ≥ 0.85 n ovvero
0.5 ≥ 0.85 n
passando al logaritmo si ottiene n
3. Supposto che ogni persona che fa l’elemosina dia 50 centesimi di euro, quante persone devono passare perchè il
mendicante ottenga, in media, 3 euro di elemosina prima di andarsene?
[risp: 40]
Chiamiamo Y= {“ importo ricevuto”}
Evidentemente Y=0.50 X dove X= {“ numero di persone che fanno l’elemosina”}
L’esercizio chiede di trovare l’importo medio o atteso ricevuto quando passano n persone.
E(Y)= E(0.5 X) = 0.5 E(X) (per le proprietà del valore atteso)
Da cui E(Y) = 0.5 np
Dunque deve succedere che 3 = 0.5 n 0.15 da cui n=40
Esercizio
Una media di 5.2 terremoti colpiscono ogni anno lo stato della California.
1. Qual è la probabilità che non ci sia nessun terremoto quest’anno?
X è una Poisson di parametro lambda=5.2. P(X=0)=0.005517
2. Qual è la probabilità che non ci sia nessun terremoto il prossimo mese?
X diventa una Poisson di parametro 5.2/12=0.433333333333333
P(X=0)=0.648
Esercizio
Una centralina telefonica presenta in media 3 guasti all'anno. Supponendo che il numero X di guasti all'anno si
distribuisca secondo la legge di Poisson, calcolare la probabilità che in un anno si verifichino:
• esattamente 3 guasti
P(X=3)=0.224042 con lambda=3
•
non più di 3 guasti
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.647232
•
almeno 3 guasti
P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.57681
Esercizio
In un nucleo familiare vi sono tre figli. E’ ragionevole assumere che la probabilità che un figlio sia maschio è
uguale alla probabilità che un figlio sia femmina ed inoltre che il sesso di ciascun figlio sia indipendente dal
sesso dei fratelli. Si calcoli la probabilità che:
a) almeno un figlio sia maschio
1- P("nessun maschio") = 1- (1/2)^3=7/8
b) almeno due figli siano maschi
binomiale con n=3 e p=1/2
si fa P(X=2) + P(X=3) = (1/2)^2 (1/2) 3 + (1/2)^3 =4/8
c) almeno due siano maschi, sapendo che almeno uno è maschio
P(X>= 2 | X >=1) = P(X>= 2 intersecato X >=1 ) / P ( X >=1 )
= P(X>= 2 ) / P ( X >=1 )
= (1/2) / (7/8) = 4/7
d) almeno due siano maschi, sapendo che il più vecchio è maschio
poiché gli eventi sono indipendenti è come calcolare la probabilità che su n=2 nascite almeno 1 sia
maschio quindi n=2 e p=1/2
P (X>=1) = 1- P(X=0) = ¾
Esercizio
La probabilità che un'agenzia immobiliare venda un appartamento in una contrattazione è 0.036. Si determini
la probabilità che in 100 contrattazioni l'agenzia venda almeno un appartamento.
E’ una binomiale con n=100 e p=0.036
P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0.0256 = 0.9744
Esercizio
La terapia contro una certa malattia dà luogo ad un tasso di guarigione di 0,33. Un nuovo farmaco viene
somministrato a 14 pazienti. Se una clinica richiede, per il riconoscimento della superiorità del farmaco, che 8
pazienti guariscano, qual è la probabilità che il farmaco non sia accetto anche se esso porta il tasso di
guarigione a 0.50?
La prima informazione p=0.33 in realtà è fuorviante e non serve. Ciò che serve è p=0.5 e n=14.
E’ una binomiale. P(“non sia accettato”) = P (X ≤ 7) = 0.6047
Esercizio
Si consideri la seguente distribuzione doppia:
1) Si calcoli la covarianza delle variabili aleatorie X ed Y : sono correlate?
2) X ed Y : sono indipendenti?
Esercizio
Sia (X, Y ) un vettore aleatorio discreto. Consideriamo la seguente tabella:
Quali condizioni devono soddisfare i parametri a, b e c affinché la tabella data sia effettivamente una densità
congiunta? Calcolare le densità marginali e i valori attesi di X e di Y .
Deve succedere che a+b+c=1; inoltre a ≥ 1, b ≥ 1 e c ≥ 1
X marginalmente è una variabile aleatoria che assume valore 0 con probabilità a+c e valore 1 con probabilità b
Y marginalmente è una variabile aleatoria che assume valore 0 con probabilità a, valore 1 con probabilità b e valore 3
con probabilità c
E(X)=b
E(Y)=b+2c
Ulteriori esercizi
Si possono consultare anche dalla biblioteca:
Calcolo delle probabilità, S. Bernstein and R. Bernstein, McGraw-Hill,
collezione Schaum.
A. Montanari, P. Agati, D.G. Calò, Open Statistica, Statistica con esercizi commentati e risolti, Masson,
Milano, 1988. (cap. sul calcolo delle probabilità)
