Numero di Fermat

Problema matematico irrisolto riguardante
Fermat : la nostra proposta di soluzione
Gruppo B.Riemann*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le
teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show the difficulty to prove the Fermat’s problem for n > 4
Riassunto
In questo lavoro cercheremo di risolvere il problema di Fermat:
“Ogni numero di Fermat è composto per
?“
Ma abbiamo capito che tale problema è irrisolvibile solo per via teorica, ma solo parzialmente,
tramite calcolo fino ad un grande numero prefissato, per esempio 1000 miliardi, o anche più grande
Iniziamo con la definizione di Wikipedia:
“Numero di Fermat
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un numero
intero esprimibile come:
con n intero non negativo.
Numeri primi di Fermat [modifica]
…
Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti, questo è
vero per i primi cinque:
1
Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F5:
Dimostrò anche che ogni eventuale divisore di Fn è della forma k 2n+2 + 1.
Nel caso di F5, per k = 1, 2, 3, 4, 5 troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641; di questi, solo
257 e 641 sono primi, e 641 effettivamente divide F5.
Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi si ritiene molto probabile che i
numeri di Fermat primi siano in numero finito”
Qui vogliamo vedere più da vicino come stanno le cose.
Poiché tutti i numeri primi di Fermat finora noti (tranne il 3 iniziale) sono di Forma 6k-1
ciò significa che tutte le potenze di 2 coinvolte (2^2^n) sono pari, e quindi sono di forma 6k-2: se
a 6k-2 di tale forma aggiungiamo 1, otteniamo 6k-2+1 = 6k-1, che è una delle forme dei numeri
primi (l’altra, com’è noto, è 6k +1). Quindi, per qualsiasi n > 4 della forma
dei
numeri di Fermat, darà sempre un numero finale di forma 6k-1, e quindi potenzialmente numero
primo. Il fatto che non se ne siano ancora trovati, non significa necessariamente che per n > 4 i
numeri di Fermat siano tutti composti, come ipotizza l’enunciato del problema. Questo sarebbe
dimostrato se tutti i numeri di forma
ricadessero nelle forme aritmetiche diverse da
6k-1 e 6k +1, che contengono tutti i numeri primi (tranne il 2 e il 3 iniziali) , e loro prodotti e
potenze. Tali forme diverse sono 6k-4, equivalente alla forma 6k +2 (contenente anche le potenze
di 2 con esponente dispari), 6k-3 (tutti i multipli di 3, e quindi composti) , 6k-2 contenente le
potenze pari di 2.
Siccome però la forma dei numeri di Fermat contiene tutti i numeri (tranne il 3 iniziale) di forma
2
6k-1, non possiamo escludere del tutto che tra i numeri grandissimi di tale forma , ci sia anche
qualche altro numero primo oltre a quelli già noti 3, 5, 17, 257 e 65537.
Si prevede che, forse, il prossimo numero di Fermat abbia circa 12 milioni di cifre.
Se finora non se ne sono ancora trovati, potrebbe essere dovuto al fatto che la forma dei numeri di
Fermat è esponenziale, il che significa che i numeri successivi, primi e non primi, sono sempre più
grandi, e ricadono in zone dove i numeri primi sono sempre più rarefatti, e, pur essendo di forma
6k-1, sono composti, senza escludere del tutto la possibilità che ci fosse qualche primo. Quindi, il
relativo problema non può essere risolto definitivamente solo per via teorica ma soltanto, e
parzialmente, con la ricerca tramite il calcolo ma fino ad un certo N prefissato, per esempio fino a
1000 miliardi ecc. in base alla velocità e alla potenza del computer usato. Ma, molto probabilmente,
è un problema tecnico simile, o forse anche peggio, della fattorizzazione di un grande numero RSA.
Abbiamo notato che, tra quelli noti, il prossimo numero primo di Fermat è di circa il quadrato del
precedente, come da successiva Tabella 1 (inoltre, tutti i numeri primi di Fermat sono di forma
più generale 2^k +1)
TABELLA 1
Numeri primi di
Fermat = 2^k +1
(a)
Loro quadrati
(b)
Numeri primi di
Fermat successivi (c )
3
2
9
5
5
4
25
17
17
16 289
257
256 66049
65537
…
257
65537
65536 4 295 098 369
≈ 4 294 967 296
composto
… …
…
Rapporto b/c
Differenza b - c
9/5= 1,80
9-5=4 =22
25/17=1,47
25-17= 8 =23
289/257=1,12
289-257 = 32 =25
66049/65537= 1,0078
66049 - 65537= 512= 29
… =131 073 ≈ 131072
=217
17= (13+21)/2 media tra
13 e 21 numeri di
Fibonacci
…
(Notiamo che 8, 32, 512 e 131072 sono tutti numeri divisibili per 8 che è il numero dei modi
corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle superstringhe e che è uguale alla seguente relazione di
Ramanujan:
3
∞ cos πtxw'


− πx 2 w '
∫0 cosh πx e dx  142

4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
−
w'

4
e
φw' (itw') 
1 
8=
. (1) )
3
  10 + 11 2 
 10 + 7 2  
+ 

log  



4
4
 




Come possiamo notare nell’ultima colonna (oltre al successivo diminuire del rapporto b/c), gli
esponenti di 2 delle differenze successive sono numeri di Fibonacci (2,3,5) mentre 9 è vicino a 8
numero di Fibonacci: procedendo con numeri successivi, continuerà tale vicinanza con i numeri di
Fibonacci? E quindi potrà, il prossimo numero primo di Fermat, avere un numero esponente di 2
connesso alla serie di Fibonacci, anche come media come per 17 tra 13 e 21?
Già 4 294 967 296 come valore approssimativo successivo a 65 537 è grandissimo, possiamo
quindi immaginare il successivo, e ancora di più successivi , che hanno come valore
approssimativo i quadrati dei precedenti (per eccesso, con una differenza di 2^k con k prossimo ad
un numero di Fibonacci.
Sarà quest’ultima osservazione a migliorare in futuro la ricerca di nuovi numeri primi di Fermat?
Ma i numeri di Fibonacci rispuntano anche come prossimi al numero delle cifre dei numeri di
Fermat (primi e non primi), ma anche nei numeri perfetti. Riportiamo da un altro lavoro (Rif.1)
“…I primi 10 numeri perfetti sono:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
6
28
496
8128
33 550 336 (8 cifre)
8 589 869 056 (10 cifre)
137 438 691 328 (12 cifre)
2 305 843 008 139 952 128 (19 cifre)
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 (37 cifre)
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 (54 cifre) “
Notiamo che il numero delle cifre ( evidenziato da noi in rosso) dei numeri perfetti successivi
“costeggia” la serie di Fibonacci (in verde):
1=1
2=2
3=3
4
4≈5
8=8
10 ≈ 13
12 ≈ 13
19 ≈ 21
37 ≈ 34
54 ≈ 55
…? ≈ 89
…? ≈ 144
…
…
I prossimi numeri perfetti, quindi dovrebbero in teoria avere rispettivamente numeri di cifre
prossimi agli altri numeri di Fibonacci, ma non è proprio cosi: tale relazione comincia a venir meno.
Dalla voce “Numero perfetto” di Wikipedia, infatti:
“ …L'undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo
da ben 314 cifre. Si conoscono[1] solo 47 primi di Mersenne, e quindi 47 numeri perfetti[2]. Il
più grande tra questi è 243,112,608 × (243,112,609 − 1), formato in base 10 da 25.956.377 cifre.
Osserviamo però che 65 + 77 = 142 vicinissimo a 144 numero di Fibonacci, e che 314 = 377 -14 =
63, prossimo a 65 , numero di cifre dell’undicesimo numero perfetto; e che anche 377 è numero di
Fibonacci.
La relazione numero di cifre e numeri di Fibonacci quindi continua, sia pure indirettamente, anche
dopo l ‘undicesimo numero perfetto, e potrebbe essere ulteriormente approfondita, e possibilmente
anche dimostrata.”
Per i numeri di Fermat, invece, , pure da Rif.1:
“Numeri primi di Fermat [modifica]
Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti,
questo è vero per i primi cinque:
Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F5:
Dimostrò anche che ogni eventuale divisore di Fn è della forma k 2n+2 + 1.
5
Nel caso di F5, per k = 1, 2, 3, 4, 5 troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641; di questi, solo 257 e 641 sono
primi, e 641 effettivamente divide F5.
Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi si ritiene molto probabile che i numeri di
Fermat primi siano in numero finito.
Le uniche altre fattorizzazioni complete di numeri di Fermat a Gennaio 2012 sono le seguenti:
•
•
•
•
•
•
F6 = 274177 · 67280421310721 (Clausen,Landry e Le Lasseur, 1880)
F7 = 59649589127497217 · 5704689200685129054721 (Morrison e Brillhart, 1970)
F8 = 1238926361552897 · P62 (Brent e Pollard, 1980)
F9 = 2424833 · 7455602825647884208337395736200454918783366342657 · P99 (Western, 1903 /
Lenstra,Manasse e altri, 1990)
F10 = 45592577 · 6487031809 · 4659775785220018543264560743076778192897 · P252 (Selfridge ,1953 /
Brillhart ,1962 / Brent ,1995)
F11 = 319489 · 974849 · 167988556341760475137 · 3560841906445833920513 · P564 (Cunningham ,1899 /
Brent e Morain ,1988)
dove Px indica un fattore primo di x cifre.[1]…”
La formula per i numeri primi di Fermat è la seguente, è da i cinque numeri primi fino ad n = 4,
poiché è compreso anche n = 0
F = 2^2^n+1
Tabella 1
n
2^n
2^2n+1
c = numero cifre
0
1
2
3
4
5
6
1
2
4
8
16
32
64
2^1+1=3
1
2^2= 4+1=5
1
2^4+1+1=17
2
2^8+1=257
3
2^16+1= 65537
5
2^2^32= 429967297
9
2^64+1=18446744073709551617
…
…
…
fattori
20
1,3
1, 5
1, 17
1,257
1, 65537
1,641,6700417
…
Primo o
composto
primo
primo
primo
primo
primo
composto
composto
…
…
Da F6 in poi vedi sopra dalla voce di Wikipedia. (Anche qui, notiamo i numeri 8, 16, 32 e 64, tutti
divisibili per 8 numero connesso ai modi corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle superstringhe e
quindi connesso alla relazione precedente (1))).
Non abbiamo trovato delle novità circa la soluzione del problema di Fermat, ma solo due possibili
relazioni approssimative tra i numeri delle cifre dei valori noti con i numeri di Fibonacci (cosa che
abbiamo notato anche con i numeri perfetti, relazione inclusa in un lavoro ancora in corso), e con i
6
valori di k di 6k+1 , forme dei numeri primi, in questo caso 6k -1 per i numeri di Fermat (tranne il 3
iniziale).
Alla tabella abbiamo infatti aggiunto, accanto al valore di 2^2^n+1 (primo o composto che fosse), il
relativo numero di cifre, c, molto prossimo ai numeri di Fibonacci; e che riepiloghiamo nella
seguente Tabella 2
Tabella 2
Fn
c = numero di cifre (o
somma c+c’… dei
rispettivi fattori)
Numeri f di Fibonacci (o
loro medie)
F0
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
…
1
1
2
3
5
9
20
28
19+62=81
7+49+99=155
8+10+40+252=310
6+6+21+22+564=619*
…
1
1
2
3
5
≈8
≈ 21
≈ 27,5 = (21+34)/2
≈ 89
≈ 144
≈ 377
≈ 610
…
* qualche differenza di
Differenze
f–c
anche queste prossime ad
f
-1
1
-0,5 ≈ 1
8
-11≈ - 13
67≈72=(55+89)/2
-9 ≈ 8
…
poche unità è possibile, poiché il prodotto di un numero di a cifre con uno di
b cifre non ha sempre come numero di c cifre c =a + b, ma un numero vicinissimo, c ≈ a + b.
Come si vede, la relazione tra c dei numeri di Fermat, e i numeri f di Fibonacci o loro medie
aritmetiche c’è, sebbene approssimativa. Possiamo prevedere che per F12 il suo numero c di cifre
sarà prossimo a 987 numero di Fibonacci.
Non sappiamo ancora come tale relazione potrebbe influire sulla soluzione del problema di Fermat
(per n > 5 si hanno tutti composti?) ma potrebbe influire in futuro con altre ricerche sull’argomento.
Riepiloghiamola con una tabella comparativa riepilogativa e i numeri di Fibonacci:
Numero di cifre
dei numeri perfetti a
partire da6,28,ecc.)
1
2
3
4
8, 10, 12
Numero di cifre dei
numeri di Fermat primi e
non (a partire da F0
1
1
2
3
5
9
7
Numeri di Fibonacci
Differenze
1
1
2
3
5
8
0
0
0
0
1, 1
2, 1
19
37
20
28
21
27,5
media tra 13 e 34
29= 1,618
13≈1,618^5
34≈1,618^7
2, 1
- 0,5
81
155
89
144
-
8
- 11
310
619
…
?
377
610
…
≈ 26 989 059
media
-
67
-9
-
-
54
65, 77 con 65+77=
142≈144
25.956.377≈1,618^35,5
≈ Media tra 33 360 044= 1,618^36 e 20 618 074= 1,618^35
(33 360 044+20 618 074)/2 = 53 978 118/2 = ≈ 26 989 059 ≈ 25 956 377,
caso simile al caso numero di fibonacci media tra 21 e 34, e quindi connessione con Fibonacci
anche per il più grande numero perfetto conosciuto”
Conclusioni
Concludiamo questo lavoro dicendo che una dimostrazione puramente teorica dell’enunciato del
problema è impossibile, poiché tutti i numeri di forma
sono di forma 6k-1 e
quindi potenzialmente anche primi, sebbene per numeri enormi e non ancora trovati.
Riferimenti
1) “I numeri di Fibonacci nei numeri di cifre dei numeri perfetti e di Fermat (primi e non
primi)” Francesco Di Noto, Eugenio Amitrano
di prossima pubblicazione sul sito ( http://www.atuttoportale.it/
2) “Connessione tra Repunit, numeri di Mersenne e Congettura di Collatz
A cura di Francesco Di Noto
(http://www.gruppoeratostene.com/)
Eugenio Amitrano
( http://www.atuttoportale.it/)
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