Conversione Elettromeccanica
A.A. 2002/2003
Esercizio 1. CALCOLO DEI PARAMETRI DEL CIRCUITO EQUIVALENTE
DI
UN
TRASFORMATORE
MONOFASE
E
DEL
SUO
RENDIMENTO MASSIMO
Si consideri un trasformatore monofase di cui sono noti i seguenti dati:
−
potenza apparente nominale
An = 20 kVA
−
tensione primaria nominale
V1n = 8 kV
−
tensione secondaria nominale
V2n = 240 V
−
fattore di potenza del carico
cosϕcarico = 1
Risultati della prova a vuoto:
−
tensione di prova = tensione nominale
V1n
−
corrente a vuoto
I0 = 214 mA
−
potenza attiva assorbita a vuoto
P0 = 240 W
Risultati della prova in corto circuito:
−
tensione di corto circuito
V1cc = 489 V
−
corrente assorbita = corrente nominale
I1n
−
potenza attiva assorbita in corto circuito
Pcc = 400 W
Si determinino:
a)
le correnti nominali primaria e secondaria I1n e I2n;
b) le componenti attiva I0a e reattiva I0r della corrente a vuoto;
c) i parametri resistivi e induttivi R0, X0, R1cc, X1cc del circuito equivalente semplificato riferito
all’avvolgimento primario illustrato in figura;
d) il fattore di potenza a vuoto cosϕ0 e in corto circuito cosϕcc;
e) il fattore di carico xηmax per il quale il rendimento risulta massimo e il valore di tale rendimento
η max , essendo il trasformatore connesso ad un carico con cosϕcarico = 1 e trascurando la
variazione della tensione secondaria rispetto a quella nominale.
Esercizio 1 sui trasformatori
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Soluzione dell’Esercizio 1
a)
I1n =
A n 20000
=
= 2,5 A
V1n
8000
I 2n =
A n 20000
=
= 83,33 A
V2n
240
b) In un trasformatore la corrente a vuoto I0 (che è circa uguale alla corrente magnetizzante a
carico) può essere scomposta in due componenti:
• una componente I0r (componente magnetizzante, o reattiva, legata a X 0 ) in fase col flusso
magnetico totale Φ 0 , a cui è legata la potenza reattiva necessaria per magnetizzare il nucleo
e quindi generare il flusso;
• una componente I0a (componente attiva, legata a R0) in quadratura con il flusso, cioè in fase
con la f.e.m. indotta e1 , a cui è legata la potenza attiva che compensa le perdite nel ferro del
nucleo.
Vettorialmente, la corrente a vuoto I0 è quindi data da: I0 = I0a + I0r
2
2
Il suo modulo risulta uguale a: I0 = I0a
+ I0r
Il modulo della componente attiva I0a si calcola a partire dall’espressione della potenza attiva
assorbita a voto P0 :
P0 =V1n I0a ⇒
I0a =
P0
240
=
= 30 mA
V1n 8000
2
⇒ I0r = I02 − I0a
≅ 212 mA
N.B.: ϕ0 è l’angolo tra la corrente I0 e la f.e.m. indotta e1 .
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c) Osservando il ramo in derivazione:
la resistenza a vuoto R 0 , la reattanza a vuoto X 0 e il modulo dell’impedenza a vuoto Z0
possono essere calcolate con le formule seguenti:
R0 =
V1n 8000
=
≅ 266, 667 kΩ
I0a 0, 03
X0 =
V1n 8000
=
≅ 37, 756 kΩ
I0r 0, 212
Z0 =
V1n 8000
=
≅ 37,383kΩ
I0
0, 214
Per calcolare la resistenza a vuoto R 0 è possibile usare anche la seguente formula:
R0 =
V1n
V2
V 2 80002
= 1n = 1n =
≅ 266, 667 kΩ
I0a I0a V1n
P0
240
L’impedenza a vuoto Z0 può essere anche calcolata come parallelo della resistenza a vuoto
R 0 e della reattanza a vuoto jX 0 :
Z0 =
R 0 ⋅ jX 0
R 0 X 0 ∠90°
10 068 270953∠90°
=
=
≅ 37 383∠81,94°Ω
R 0 + jX 0
269326∠8, 06°
R 02 + X 02 ∠ arctan ( X 0 R 0 )
Nella prova di corto circuito i terminali del secondario vengono cortocircuitati mentre quelli del
primario vengono alimentati a tensione ridotta V1cc rispetto alla tensione nominale V1n .
In queste condizioni, la corrente assorbita dal ramo in derivazione è del tutto trascurabile
rispetto alla corrente I1n e la caduta di tensione nel trasformatore può ritenersi interamente
localizzata sulla resistenza R1cc e sulla reattanza X1cc .
La resistenza di corto circuito riferita a primario R1cc si calcola sapendo che:
2
Pcc =R1cc I1n
⇒
R1cc =
Pcc 400
=
= 64 Ω
2
I1n
2,52
Il modulo dell’impedenza di corto circuito riferita a primario Z1cc si calcola ipotizzando che in
essa scorra la corrente I1n .
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⇒ Z1cc =
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V1cc 489
=
≅ 195, 6 Ω
I1n
2,5
La resistenza R1cc e la reattanza X1cc sono in serie tra loro, perciò: Z1cc = R1cc + jX1cc :
2
2
− R1cc
= 184,83 Ω
La reattanza X1cc risulta quindi uguale a: X1cc = Z1cc
N.B.: ϕcc è l’angolo tra la corrente I1n e la tensione V1cc .
d) Il fattore di potenza a vuoto si calcola sapendo che:
P0 =V1n I0a = V1n I0 cos ϕ0 ⇒
cos ϕ0 =
P0
240
=
≅ 0,140
V1n I0 8000 ⋅ 0, 214
Avendo già calcolato I0a , si poteva anche calcolare cos ϕ0 come:
cos ϕ0 =
I0a 0,030
=
≅ 0,140
I0 0, 214
Il valore di ϕ0 è quindi uguale a: ϕ0 =arcos ( cos ϕ0 ) = 81,94° .
Noto ϕ0 , il calcolo di Z0 poteva essere svolto anche semplicemente ricordando che, nel
circuito equivalente considerato, la tensione applicata al ramo in derivazione è V1n :
⇒ V1n = I0 Z0
V1n = V1n ∠90°
I0 = I0 ∠ ( 90° − ϕ0 ) = 0, 214∠ ( 90° − 81,94° ) A = 0, 214∠8, 06° A
⇒ Z0 =
V1n
8000∠90°
=
≅ 37383∠81,94° Ω
I0
0, 214∠8, 06°
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Il fattore di potenza in corto circuito si calcola sapendo che:
Pcc =V1cc I1n cos ϕcc
⇒
cos ϕcc =
Pcc
400
=
≅ 0,327
V1cc I1n 489 ⋅ 2,5
Oppure con la formula:
X
cos ϕcc = cos arctan 1cc ≅ 0,327
R1cc
e) Trascurando la variazione della tensione secondaria rispetto a quella nominale nel passaggio da
vuoto a carico, il rendimento del trasformatore è massimo quando le perdite a vuoto sono
uguali alle perdite a carico:
P0 = x η2 max Pcc
⇒
x ηmax =
P0
240
=
≅ 0, 775 = 77,5%
Pcc
400
Una volta calcolato il valore di x ηmax , si può calcolare il rendimento massimo o inserendo il
valore x ηmax nell’espressione generale del rendimento:
ηmax =
x ηmax Pn
x ηmax Pn + P0 + x η2 max Pcc
ricordando che: Pn = A n cos ϕcarico = 20 ⋅1 = 20 kW
oppure utilizzando la formula che fornisce direttamente il rendimento massimo:
ηmax =
1
1
1
=
=
≅ 0,9699 ≅ 97%
2 P0 Pcc
2 P0 Pcc
2 240 ⋅ 400
1+
1+
1+
20000 ⋅1
Pn
A n cos ϕcarico
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