UNITÀ DIDATTICA
“Le funzioni e grafici di funzioni;
trasformazione del grafico di una funzione.”
Aspetti didattici e metodologie
nell’utilizzo di DERIVE per affrontare il problema.
Classe di concorso A49
Bernardi Eros
Anno 2006/2007
Introduzione
L’insegnamento della matematica ha da sempre operato su due fronti:
• risolvere i problemi e matematizzare la realtà esterna,
• simboleggiare e formalizzare, attraverso modelli interpretativi i propri strumenti di lettura.
Questi due aspetti, fra loro divergenti, interagiscono vicendevolmente, accrescendo la formazione e
l’intelligenza degli studenti,poiché:
•
promuovere le facoltà intuitive e logiche,
•
educa ai processi euristici e ai processi d’astrazione e formalizzazione dei concetti,
•
esercita a ragionare induttivamente e deduttivamente,
•
sviluppa le attitudini sia analitiche che sintetiche.
Queste finalità devono concorrere in armonia con l’insegnamento delle altre discipline, alla crescita
culturale e formativa dei giovani.
Il cambiamento della scuola italiana impone sia con programmi ministeriali e anche con un bisogno
effettivo un maggior utilizzo del mezzo informatico per facilitare queste finalità
Le funzioni e i grafici di funzione;
trasformazione del grafico di funzione.
Collocazione curricolare.
Tale unita didattica si svolgerà in parallela alle altre unità didattiche programmate per una classe
quinta di un liceo scientifico. Unendo al programma di calcolo simbolico dell’anno quinto,
l’utilizzo di un software DERIVE per meglio inquadrare il problema ed appassionare gli studenti
allo studio dell’analisi matematica.
Tale unità didattica si prefigge lo scopo di facilitare lo studente nello svolgere il programma di
analisi del quinto anno, in modo che si avvicinarlo allo studio della matematica in maniera intuitivo
e sappia utilizzare tutti gli strumenti che il mondo gli offre per potersi risolve i propri problemi.
Unita didattica.
Prerequisiti.
• Padronanza del calcolo letterario.
• Concetto di insieme e relativa simbologia.
• Concetto di piano cartesiano.
• Conoscenza della geometria di base.
• Conoscenza dell’informatica di base.
Finalità.
•
Matematizazione del reale.
•
Formalizzazione.
•
Costruzione di modelli.
•
Acquisizione del lessico corretto ed appropriato.
•
Capacità di collegare la matematica allo strumento informatico.
1
•
Utilizzo consapevole e critico del software didattico.
•
Conoscenza dei limiti di tale software.
Obbiettivi.
Conoscenze.
•
Concetto di funzione, di dominio e codominio.
•
Riconoscere i vari tipi di funzioni elementari.
•
Punti di intersezione di una funzione con gli assi coordinati.
•
Concetto di limite.
•
Concetto di derivata e retta tangente a una funzione.
•
Massimi minimi e flessi di una funzione.
•
Grafico di funzioni e relazione con i punti fondamentali.
Capacità
• Uso consapevole della definizione associata al procedimento di calcolo.
• Dedurre il grafico di una funzione ottenuto come manipolazione di una funzione
elementare.
• Determinazione di dominio e segno.
• Determinazione intersezione con gli assi coordinati
• Determinare limiti e asintoti.
• Determinare massimi minimi e flessi.
Competenze
2
•
Comprendere i procedimenti applicativi.
•
Sapere utilizzare il software di calcolo in maniera opportuna.
•
Comprendere il significato e l’uso del modello.
•
Sapere rilevare gli errori.
Funzioni Elementari
Questa tesina vuole mostrare come lo strumento informatico sia molto utile nel regolare
svolgimento del programma del quinto anno di un liceo quando si entra in contatto con lo studio di
una funzione. Sicuramente è necessario spendere un po’ di tempo per mostrare le varie funzioni del
programma DERIVE e tutti i suoi comandi.
Prima di portali sul programma mostro qui sopra, in classe richiamo i grafici di tutte le funzioni
elementari:
•
retta y = x
•
parabola y = x 2
•
iperbole y =
•
esponenziale y = e x
•
logaritmica y = ln x
•
trigonometriche y = sin x y = cos x
1
x
y = tgx y = ctgx
3
Normalmente gli studenti apprendo l’uso del programma fin da subito in maniera molto veloce ed
intuitivo, dopo qualche tentativo si divertono a disegnare la maggio parte delle funzioni che fino ad
ora hanno studiato. Una volta che hanno compreso lo strumento grafico di funzione di Derive,
inizio con la classe lo studio del grafico di una funzione deducendolo come trasformazione di una
funzione elementare.
Una delle funzioni che richiedo disegnino con DERIVE è y = x deducendola la y = x
#1:
f(x) ≔ x
#2:
y = ⎮f(x)⎮
4
La grafica ed il disegno rende subito molto chiaro come agisca il valore assoluto e subito si
cimentano anche nella visualizzazione dei valor assoluti delle alteri funzioni.
Quindi mostro come si possa traslare ottenere una simmetria centrale assiale di una parabola, una
retta, delle funzioni trigonometriche logaritmiche e esponenziali.
2
#1:
f(x) ≔ x
Prendiamo la traslazione :
#2:
x = x - 2
#3:
y = y - 2
#4:
y = f(x)
#5:
y - 2 = f(x - 2)
5
Ora ottengo la parabola simmetrica rispetto all’asse y e poi all’origine.
#6:
x = -x
#7:
y = y
#8:
y - 2 = f(-x - 2)
#9:
x = -x
#10:
y = -y
#11:
-y - 2 = f(-x - 2)
Naturalmente tutte queste cose sono gia state studiate negli anni precedenti, richiamare alla mente
queste spiegazione didattiche con l’utilizzo di derive e di grande effetto.
6
Ora solitamente mostro come si possa ottenere il grafico di una funzione come reciproca di una
data. Disegnando prima la funzione poi le rette y = 1 e y = −1 , osservando che i punti che si
trovano su queste rette rimangono fisse e che quando la funzione di partenza tende all’infinito la
reciproca va a zero e viceversa.
#1:
f(x) ≔ x
#2:
y = 1
#3:
y = -1
#4:
1
y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
f(x)
- 4
7
Prediamo ora in considerazione le funzioni trigonometriche, come prima accortezza faccio cambiare
il fattore di scala sull’asse x e lo posiziono in π in nodo che risulti il più possibile di facile
visualizzazione; quindi mostro alcune manipolazioni che contraggono e dilatano tali funzioni,
osservando cosa succede al periodo.
#1:
f(x) ≔ SIN(x)
#2:
y = f(3·x)
#3:
y = 2·f(x)
Inoltre di ogni funzione disegnata deduciamo sempre dominio condominio, se è pari o dispari
eventuali massimi e minimi, intersezione con glia assi, consideriamo gli intervalli dove e positiva e
negativa.
8
Le Funzioni Inverse.
Una volta illustrato quando una funzione ammette inversa, o come si può localmente invertire una
funzione li porto a disegnare i grafici di alcune funzione e delle loro inverse facendo notare che
sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Introduco la funzione y = e x , faccio trovare la sua inversa con il comando Risolvi>Espressione
facendo risolvere l’espressione rispetto ad x reale, per tracciare il grafico bisogna scambiare la x
con la y, ora faccio aprire il menu Semplifica>Sostituisci variabili e si scambiano le due variabili.
Tracciamo i grafici delle funzioni così ottenute e in fine inseriamo la retta y = x
#1:
y = e
#2:
x
SOLVE(y = e , x, Real)
#3:
x = LN(y)
#4:
y = LN(x)
#5:
y = x
9
Limiti di funzioni
Con gli spunti seguenti si vuole mostrare come introdurre il concetto di limite servendosi di metodi
numerici e grafici. Il calcolo del limite può essere fato direttamente con DERIVE, a mio parere
risulta molto più utile un approccio di tipo grafico numerico, che aiuta a comprendere in la
spiegazione teorica.
Definizione – Sia y = f (x) una funzione definita su un insieme numerico A ed avente valori in R;
sia x0 un punto di accumulazione di A. Si dice che, per c tendente ad x0 , la funzione f ( x) tende a
limite L, e si scrive
lim f ( x) = L
x → xo
Se, scelto ad arbitrio un numero ε piccolo a piacere, si può corrispondentemente determinare un
intorno V di x0 tale che per ogni x appartenente all’insieme A ∩ V e diverso da x0 valga la
seguente disuguaglianza
f ( x) − L < ε
Esprimendoci in modo meno rigoroso, possiamo dire che L è il limite di f (x) per x tendente ad x0
se, all’avvicinarsi di x ad x0 il valore di f (x) finisce prima o poi per differire da L meno di ε .
Un approccio numerico come primo visione della definizione risulta utile ed con l’utilizzo di
DERIVE si ovvia al problema di numerosi calcoli e quindi si ottimizzano i tempi della spiegazione.
Con l’utilizzo del comando VECTOR ci avviciniamo per punti al valore del limite.
Consideriamo la funzione:
#1:
3
2
x - 3·x + 5·x - 3
f(x) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x - 1
Vogliamo vedere come si comporta la funzione quando x si avvicina a 1, prima
facciamolo da destra e poi da sinistra
#2:
VECTOR([x, f(x)], x, 0, 0.9, 0.1)
⎡
0
⎢
⎢
1
⎢ ⎯⎯⎯⎯
⎢ 10
⎢
10
3
⎤
⎥
281 ⎥
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
100 ⎥
⎥
#3:
#4:
#5:
⎢
1
⎢ ⎯⎯⎯
⎢
5
⎢
⎢
3
⎢ ⎯⎯⎯⎯
⎢ 10
⎢
⎢
2
⎢ ⎯⎯⎯
⎢
5
⎢
⎢
1
⎢ ⎯⎯⎯
⎢
2
⎢
⎢
3
⎢ ⎯⎯⎯
⎢
5
⎢
⎢
7
⎢ ⎯⎯⎯⎯
⎢ 10
⎢
⎢
4
⎢ ⎯⎯⎯
⎢
5
⎢
⎢
9
⎢ ⎯⎯⎯⎯
⎣ 10
66
⎯⎯⎯⎯
25
⎥
⎥
⎥
⎥
249 ⎥
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
100 ⎥
⎥
59
⎥
⎯⎯⎯⎯ ⎥
25
⎥
⎥
9
⎥
⎯⎯⎯ ⎥
4
⎥
⎥
54
⎥
⎯⎯⎯⎯ ⎥
25
⎥
⎥
209 ⎥
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
100 ⎥
⎥
51
⎥
⎯⎯⎯⎯ ⎥
25
⎥
⎥
201 ⎥
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
100 ⎦
VECTOR([x, f(x)], x, 2, 1.1, -0.1)
⎡
2
⎢
⎢ 19
⎢ ⎯⎯⎯⎯
⎢ 10
⎢
⎢
9
⎢ ⎯⎯⎯
⎢
5
⎢
⎢ 17
⎢ ⎯⎯⎯⎯
⎢ 10
⎢
⎢
8
⎢ ⎯⎯⎯
⎢
5
⎢
⎢
3
⎢ ⎯⎯⎯
⎢
2
⎢
⎢
7
⎢ ⎯⎯⎯
⎢
5
3
⎤
⎥
281 ⎥
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
100 ⎥
⎥
66
⎥
⎯⎯⎯⎯ ⎥
25
⎥
⎥
249 ⎥
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
100 ⎥
⎥
59
⎥
⎯⎯⎯⎯ ⎥
25
⎥
⎥
9
⎥
⎯⎯⎯ ⎥
4
⎥
⎥
54
⎥
⎯⎯⎯⎯ ⎥
25
⎥
11
⎢
⎢ 13
⎢ ⎯⎯⎯⎯
⎢ 10
⎢
⎢
6
⎢ ⎯⎯⎯
⎢
5
⎢
⎢ 11
⎢ ⎯⎯⎯⎯
⎣ 10
⎥
209 ⎥
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
100 ⎥
⎥
51
⎥
⎯⎯⎯⎯ ⎥
25
⎥
⎥
201 ⎥
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
100 ⎦
Quindi riportiamo i punti su di un piano cartesiano.
I punti ci indicano che il limite è due in quanto i punti verificano la condizione che all’avvicinarsi di
x ad i la f(x) differisce da 2 meno di ipsilon.
A questo punto mostriamo lo strumenti di calcolo di DERIVE calcoliamo il limite.
#6:
lim f(x)
x→1
#7:
2
#8:
2
x - √(x - 3·x + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√(10 - x) - 3
#9:
2
x - √(x - 3·x + 3)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→1
√(10 - x) - 3
#10:
12
-9
Asintoti
Utilizzo dei limiti per il calcolo degli asintoti.
consideriamo le seguenti tre funzioni.
#1:
x
f(x) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
(x - 1)
#2:
2
x - 3·x
g(x) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
x - 4
#3:
3
2
x - x
t(x) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
x - 3·x
Cerchiamo se la funzione f(x) ammette asintoto verticale per x=1
#4:
x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→1
2
(x - 1)
#5:
∞
Quindi ammette asintoto verticale x=1
Cerchiamo se la funzione g(x) ammette asintoto orizzontale o obliquo per x che
tende a più infinito.
#6:
2
x - 3·x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→+∞
2
x - 4
#7:
1
Quindi ammette asintoto orizzontale y=1
Cerchiamo se la funzione t(x) ammette asintoto orizzontale o obliquo per x che
tende a più infinito.
#8:
#9:
3
2
x - x
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→+∞
2
x - 3·x
+∞
13
Potrebbe esserci l'asintoto obliquo.
#10:
t(x)
m ≔ lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→+∞
x
#11:
#12:
#13:
m ≔ 1
q ≔ lim (t(x) - m·x)
x→+∞
q ≔ 2
All’interno del capitolo sulle derivate mostrerò un secondo modo per trovare gli asintoti obliqui.
14
Derivata di funzione.
Una volta introdotto il rapporto incrementale con l’utilizzo dello strumento limite introdotto prima
ci calcola alcuni limiti di vari rapporti incrementali come di seguito.
x
2
- 2·x
#1:
f(x) ≔ e
#2:
f(1 + h) - f(1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
h
#3:
f(1 + h) - f(1)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
h→0
h
#4:
e - 4
#5:
3
2
g(x) ≔ x - SIN(x)
#6:
g(1 + h) - g(1)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
h→0
h
#7:
3 - SIN(2)
Calcolato il limite del rapporto incrementale per h che tende a 0 in x0=1, quindi data la definizione
di derivata in un punto facciamo notare che il valore della derivata dipende dal punto scelto, in altre
parole anche la derivata è una funzione di x. Quindi calcoliamo col rapporto incrementale le
derivate delle due funzioni precedenti.
x
2
- 2·x
#1:
f(x) ≔ e
#2:
f(x + h) - f(x)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
h
#3:
f(x + h) - f(x)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
h→0
h
x
e - 4·x
#4:
#5:
3
2
g(x) ≔ x - SIN(x)
#6:
g(x + h) - g(x)
lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
h→0
h
#7:
2
3·x - SIN(2·x)
15
Calcoliamo ora la derivata utilizzando il comando Deriva preso dal Menu Calcola, oppure
utilizzando l’icona seguente
sulla barra , è necessario scegliere la variabile rispetto a cui
vogliamo derivare e l’ordine di derivazione.
Queste due scelte consentono di calcolare uno di calcolare derivate a più variabili che non
tratteremo, o funzioni di un parametro, e di calcolare direttamente derivate del secondo ordine senza
necessariamente ottenerla come derivata di una di primo ordine.
#8:
d
⎯⎯ f(x)
dx
x
e - 4·x
#9:
#10:
d
⎯⎯ g(x)
dx
2
#11:
3·x
- 2·SIN(x)·COS(x)
Derive è in grado di derivare funzioni generiche e quindi di ridarci le regole di calcolo delle
derivate.
#1:
y = x
#2:
d
⎯⎯ x
dx
#3:
#4:
#5:
1
n
y = x
d
n
⎯⎯ x
dx
n - 1
#6:
n·x
#7:
x
y = a
#8:
d
x
⎯⎯ a
dx
x
a ·LN(a)
#9:
#10:
16
x
y = e
#11:
d
x
⎯⎯ e
dx
x
e
#12:
#13:
y = LOG(x, a)
#14:
d
⎯⎯ LOG(x, a)
dx
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x·LN(a)
#15:
#16:
y = LN(x)
#17:
d
⎯⎯ LN(x)
dx
1
⎯⎯⎯
x
#18:
#19:
f(x) ≔
#20:
g(x) ≔
#21:
f(x) + g(x)
#22:
d
⎯⎯ (f(x) + g(x))
dx
#23:
f'(x) + g'(x)
#24:
f(x)·g(x)
#25:
d
⎯⎯ (f(x)·g(x))
dx
#26:
g(x)·f'(x) + f(x)·g'(x)
#27:
f(x)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
g(x)
#28:
d
f(x)
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dx g(x)
#29:
g(x)·f'(x) - f(x)·g'(x)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
g(x)
17
Funzione visualizza passaggi nelle Derivate
Alcune volte anche dopo essersi ripetutamente gli alunni commettono i più banali errori sul calcolo
della derivate la funzione visualizza passaggi è sicuramente molto utile, si trova nel menu
semplifica o ha la seguente icona
#1:
3
2·x - 2
f(x) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
3·x + x - 2
#2:
3
d
2·x - 2
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dx
2
3·x + x - 2
. Vediamone il funzionamento.
d
d
G(x)·⎯⎯ F(x) - F(x)·⎯⎯ G(x)
d
F(x)
dx
dx
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⇒ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dx G(x)
2
G(x)
2
d
3
3 d
2
+ x - 2)·⎯⎯ (2·(x - 1)) + 2·(1 - x )·⎯⎯ (3·x + x - 2)
dx
dx
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(3·x + x - 2)
(3·x
#3:
d
d
⎯⎯ (a·F(x)) ⇒ a·⎯⎯ F(x)
dx
dx
2
d
3
3 d
2
+ x - 2)·2·⎯⎯ (x - 1) + 2·(1 - x )·⎯⎯ (3·x + x - 2)
dx
dx
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(3·x + x - 2)
(3·x
#4:
d
d
⎯⎯ (F(x) + y) ⇒ ⎯⎯ F(x)
dx
dx
#5:
2
d
3
3 d
2
(3·x + x - 2)·2·⎯⎯ x + 2·(1 - x )·⎯⎯ (3·x + x - 2)
dx
dx
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(3·x + x - 2)
d
n
n - 1
⎯⎯ x ⇒ n·x
dx
18
#6:
2
2
3 d
2
(3·x + x - 2)·2·3·x + 2·(1 - x )·⎯⎯ (3·x + x - 2)
dx
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(3·x + x - 2)
d
d
⎯⎯ (F(x) + y) ⇒ ⎯⎯ F(x)
dx
dx
2
2
3 d
2
+ x - 2)·6·x + 2·(1 - x )·⎯⎯ (3·x + x)
dx
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(3·x + x - 2)
(3·x
#7:
d
d
d
⎯⎯ (F(x) + G(x)) ⇒ ⎯⎯ F(x) + ⎯⎯ G(x)
dx
dx
dx
#8:
2
2
3
⎛d
2
d
⎞
(3·x + x - 2)·6·x - 2·(x - 1)·⎜⎯⎯ (3·x ) + ⎯⎯ x⎟
⎝dx
dx ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(3·x + x - 2)
d
d
⎯⎯ (a·F(x)) ⇒ a·⎯⎯ F(x)
dx
dx
#9:
2
2
3
⎛ d
2
d
⎞
(3·x + x - 2)·6·x - 2·(x - 1)·⎜3·⎯⎯ x + ⎯⎯ x⎟
⎝ dx
dx ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(3·x + x - 2)
d
n
n - 1
⎯⎯ x ⇒ n·x
dx
#10:
2
2
3
⎛
d
⎞
(3·x + x - 2)·6·x - 2·(x - 1)·⎜6·x + ⎯⎯ x⎟
⎝
dx ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(3·x + x - 2)
d
⎯⎯ x ⇒ 1
dx
19
#11:
2
2
3
(3·x + x - 2)·6·x - 2·(x - 1)·(6·x + 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(3·x + x - 2)
#12:
4
3
2
2·(3·x + 2·x - 6·x + 6·x + 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(3·x + x - 2)
Significato grafico della tangente.
Utilizzando la derivata posso calcolare in maniera molto rapida la retta tangente ad una qualsiasi
curva, e interessante mostrare i due modi permessi di calcolo della tangente in un punto
#1:
2
x
f(x) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
x + x + 1
Calcoliamo la tangente a questa funzione nel suo punto di coordinata x=-1
Prima mi calcolo derivata della funzione in x=-1
#2:
d
⎯⎯ f(x)
dx
x·(x + 2)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
(x + x + 1)
#3:
#4:
(-1)·(-1 + 2)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
((-1) + -1 + 1)
#5:
-1
Fascio di rette per un punto con coefficiente noto mi da la retta che cercavo
#6:
y - f(-1) = - 1·(x - -1)
#7:
SOLVE(y - f(-1) = - 1·(x - -1), y)
#8:
20
y = -x
Un modo più veloce è il seguente
#9:
y = TANGENT(f(x), x, -1)
#10:
y = -x
La funzione TANGENT di DERIVE permette anche di calcolare gli asintoti obliqui consideriamo la
funzione seguente già vista in precedenza.
#1:
3
2
x - x
f(x) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
x - 3·x
#2:
y = TANGENT(f(x), x, +∞)
#3:
y = x + 2
Massimi Minimi e Flessi a tangente orizzontale e obliqua.
Introdotto in classe lo studio dei massimi, minimi e flessi, si passa a risolvere il tutto con Derive.
#1:
3
2·x
f(x) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
3·x - 3
#2:
d
⎯⎯ f(x)
dx
#3:
2
2
2·x ·(x - 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2
3·(x - 1)
21
Studio il segno della derivata
#4:
2
2
2·x ·(x - 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ 0
2
2
3·(x - 1)
#5:
⎛
2
2
⎞
⎜ 2·x ·(x - 3)
⎟
SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ 0, x, Real⎟
⎜
2
2
⎟
⎝ 3·(x - 1)
⎠
#6:
x = 0 ∨ x ≤ - √3 ∨ x ≥ √3
massimo in radice terza di -√3 minimo in √3 flesso a tangente orizzontale in 0
#7:
⎛d ⎞2
⎜⎯⎯⎟ f(x)
⎝dx⎠
2
4·x·(x + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
3
3·(x - 1)
#8:
#9:
2
4·x·(x + 3)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ 0
2
3
3·(x - 1)
#10:
⎛
2
⎞
⎜ 4·x·(x + 3)
⎟
SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ 0, x, Real⎟
⎜
2
3
⎟
⎝ 3·(x - 1)
⎠
#11:
-1 < x ≤ 0 ∨ x > 1
Unico flesso in 0 in quanto 1 e -1 erano esclusi dal dominio.
22
Studio di Funzione
#1:
y = √(x - 1)·√(x + 1)
Dominio
#2:
x + 1 ≥ 0
#3:
x - 1 ≥ 0
#4:
SOLVE([x + 1 ≥ 0, x - 1 ≥ 0], [x])
#5:
[x ≥ 1]
Intersezione asse x
#6:
SOLVE([y = √(x - 1)·√(x + 1), y = 0], [x, y])
#7:
[x = 1 ∧ y = 0, x = -1 ∧ y = 0]
C'e un problema mi da un punto fuori dal domino.
Intersezione asse y
#8:
SOLVE([y = √(x - 1)·√(x + 1), x = 0], [x, y])
#9:
[x = 0 ∧ y = i]
Derive risolve i sistemi in campo complesso dobbiamo fare attenzione.
La funzione e sempre positiva
#10:
lim √(x - 1)·√(x + 1)
x→+∞
#11:
∞
Cerco asintoto obliquo
#12:
y = TANGENT(√(x - 1)·√(x + 1), x, +∞)
#13:
y = x
Max e Min
#14:
d
⎯⎯ (√(x - 1)·√(x + 1))
dx
x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√(x + 1)·√(x - 1)
#15:
#16:
x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ 0
√(x + 1)·√(x - 1)
#17:
⎛
x
⎞
SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ 0, x, Real⎟
⎝ √(x + 1)·√(x - 1)
⎠
23
#18:
x ≥ 0
Sempre Positiva non ha max e min.
Flessi derivata seconda.
#19:
#20:
⎛d ⎞2
⎜⎯⎯⎟ (√(x - 1)·√(x + 1))
⎝dx⎠
1
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3/2
3/2
(x + 1)
·(x - 1)
Sempre negativa rivolta verso il basso ora disegniamola.
Derive lavorando in campo complesso mi ha disegnato una parte di grafico che
in realtà non esiste.
Concludendo Derive è un ottimo strumento di calcolo ed grafico, l’utilizzo del quale appassiona
molto gli studente, l’utilizzo di tale software rende più piacevole una materia che non tutti amano,
molti ragazzi stanno attenti alla spiegazione solo per essere più rapidi a casa nella risoluzione degli
studi di funzione, comunque seguono e qualcosa sicuramente gli resterà.
24
