le coniche affini
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le coniche affini 2010/2011 coniche affini campo algebricamente chiuso una conica in A2 è una curva algebrica di grado 2, cioè una curva V (f ) con f un polinomio quadratico ridotto notare: un polinomio quadratico non ridotto è f = `2 con ` lineare, e in questo caso V (f ) = V (`) è una retta in una definizione più generale di curva, ogni curva V 0 (f ) con f un polinomio quadratico si dice una conica, e se f = `2 la conica V 0 (f ) = 2 V (`) si dice una retta doppia la matrice associata a un polinomio quadratico campo arbitrario di caratteristica 6= 2 un polinomio quadratico f (x, y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + h i coefficienti si raccolgono in una matrice simmetrica A x a x y b 1 d y b c e 1 d e h in cui una sottomatrice B contiene i coefficienti della componente omogenea quadratica f2 (x, y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2 invarianti affini proprietà di un polinomio quadratico f che sono invarianti per equivalenza affine: i ranghi della matrice A e della sottomatrice B la nullità o nonnullità dei determinanti ∆ := det A δ := det B campo reale: proprietà di un polinomio quadratico reale f che sono invarianti per equivalenza affine reale: il segno del determinante δ, quando non nullo l’esistenza di zeri reali di f forme canoniche TEOREMA ogni polinomio quadratico è equivalente a una delle seguenti forme canoniche ax 2 + by 2 − 1 x2 − y generali ax 2 + by 2 x2 − c x2 degeneri a centro senza centro in cui i coefficienti si intendono diversi da 0. due forme canoniche di tipo diverso non sono equivalenti. polinomio quadratico generale se ∆ 6= 0, degenere se ∆ = 0 classificazione: campo algebricamente chiuso TEOREMA ogni conica è equivalente a una e una sola delle seguenti forme canoniche x2 + y2 = 1 x2 = y a centro senza centro x2 + y2 = 0 x2 = 1 due rette incidenti due rette parallele COROLLARIO le coniche irriducibili sono esattamente le coniche generali. classificazione: il campo reale TEOREMA ogni conica affine reale è equivalente, mediante una affinità reale, a una e una sola delle seguenti forme canoniche x2 + y2 = 1 x 2 + y 2 = −1 x2 − y2 = 1 x2 = y ellisse ellisse immaginaria iperbole parabola x2 − y2 = 0 x2 + y2 = 0 x2 = 1 x 2 = −1 due due due due rette rette rette rette incidenti incidenti immaginarie coniugate parallele parallele immaginarie coniugate coniche reali: generali: a centro: ellisse ellisse reale ellisse immaginaria x2 + y2 = 1 x 2 + y 2 = −1 coniche reali: generali: a centro: iperbole iperbole x2 − y2 = 1 coniche reali: generali: senza centro = parabola parabola x2 = y coniche reali: degeneri due rette immaginarie incidenti due rette reali incidenti x2 + y2 = 0 x2 − y2 = 0 coniche reali: degeneri due rette immaginarie parallele due rette reali parallele x 2 = −1 x2 = 1
