le coniche affini

le coniche affini
2010/2011
coniche affini
campo algebricamente chiuso
una conica in A2 è una curva algebrica di grado 2,
cioè una curva V (f ) con f un polinomio quadratico ridotto
notare: un polinomio quadratico non ridotto è f = `2 con `
lineare, e in questo caso V (f ) = V (`) è una retta
in una definizione più generale di curva, ogni curva V 0 (f ) con f un
polinomio quadratico si dice una conica, e se f = `2 la conica
V 0 (f ) = 2 V (`) si dice una retta doppia
la matrice associata a un polinomio quadratico
campo arbitrario di caratteristica 6= 2
un polinomio quadratico
f (x, y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + h
i coefficienti si raccolgono in una matrice simmetrica A
x
a
x
y  b
1
d

y
b
c
e
1

d
e 
h
in cui una sottomatrice B contiene i coefficienti della
componente omogenea quadratica f2 (x, y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2
invarianti affini
proprietà di un polinomio quadratico f che sono invarianti per
equivalenza affine:
i ranghi della matrice A e della sottomatrice B
la nullità o nonnullità dei determinanti
∆ := det A
δ := det B
campo reale: proprietà di un polinomio quadratico reale f che
sono invarianti per equivalenza affine reale:
il segno del determinante δ, quando non nullo
l’esistenza di zeri reali di f
forme canoniche
TEOREMA ogni polinomio quadratico è equivalente a una
delle seguenti forme canoniche
ax 2 + by 2 − 1
x2 − y
generali
ax 2 + by 2
x2 − c
x2
degeneri
a centro
senza centro
in cui i coefficienti si intendono diversi da 0.
due forme canoniche di tipo diverso non sono equivalenti.
polinomio quadratico generale se ∆ 6= 0, degenere se ∆ = 0
classificazione: campo algebricamente chiuso
TEOREMA ogni conica è equivalente a una e una sola delle
seguenti forme canoniche
x2 + y2 = 1
x2 = y
a centro
senza centro
x2 + y2 = 0
x2 = 1
due rette incidenti
due rette parallele
COROLLARIO le coniche irriducibili sono esattamente le
coniche generali.
classificazione: il campo reale
TEOREMA ogni conica affine reale è equivalente, mediante
una affinità reale, a una e una sola delle seguenti forme
canoniche
x2 + y2 = 1
x 2 + y 2 = −1
x2 − y2 = 1
x2 = y
ellisse
ellisse immaginaria
iperbole
parabola
x2 − y2 = 0
x2 + y2 = 0
x2 = 1
x 2 = −1
due
due
due
due
rette
rette
rette
rette
incidenti
incidenti immaginarie coniugate
parallele
parallele immaginarie coniugate
coniche reali: generali: a centro: ellisse
ellisse reale
ellisse immaginaria
x2 + y2 = 1
x 2 + y 2 = −1
coniche reali: generali: a centro: iperbole
iperbole
x2 − y2 = 1
coniche reali: generali: senza centro = parabola
parabola
x2 = y
coniche reali: degeneri
due rette immaginarie
incidenti
due rette reali
incidenti
x2 + y2 = 0
x2 − y2 = 0
coniche reali: degeneri
due rette immaginarie
parallele
due rette reali
parallele
x 2 = −1
x2 = 1