Liceo artistico statale «A. Modigliani» di Padova
A.s. 2010–2011 — Cl. 2C
Programma di Matematica
Docente: Prof. G. Mezzetti
Equazioni di primo grado
Ripasso delle equazioni «numeriche» di primo grado. Equazioni «numeriche»
frazionarie di primo grado; condizioni di accettabilità delle soluzioni e dominio
di un’equazione frazionaria; risoluzione delle equazioni frazionarie. Equazioni
«letterali» (o meglio, parametriche) intere di primo grado, loro risoluzione e
discussione. Problemi risolubili mediante equazioni di primo grado.
Disequazioni di primo grado
Disuguaglianze numeriche e loro proprietà. Intervalli e semirette chiusi e aperti
in Q e loro rappresentazione mediante le notazioni [a; b], ]−∞; b], [a; +∞[
e simili. Cos’è una disequazione. Disequazioni in una incognita (in generale).
Concetto di soluzione. Insieme delle soluzioni di una disequazione. Disequazioni
equivalenti. Princìpi di equivalenza per le disequazioni e loro conseguenze,
in particolare il principio del trasporto. Forma normale e grado di una disequazione. Disequazioni intere di primo grado e loro risoluzione. Disequazioni
di primo grado frazionarie e loro risoluzione mediante il metodo dello studio del
segno. Disequazioni intere e fratte riconducibili a disequazioni di primo grado e
loro risoluzione mediante il metodo dello studio del segno. Disequazioni intere di
primo grado con parametri («letterali»), loro risoluzione e discussione. Sistemi
di disequazioni e loro risoluzione. Problemi risolubili mediante disequazioni di
primo grado.
Introduzione alla logica
Proposizioni logiche. Operazioni logiche e tabelle di verità; congiunzione (∧),
disgiunzione (∨), negazione ( · o ¬), implicazione materiale (→), coimplicazione
materiale (↔). Espressioni logiche; tautologie e contraddizioni. Proposizioni
aperte, anche con più variabili; quantificatori logici (∀ e ∃) e regole per la loro
manipolazione (in particolare, loro comportamento con la negazione).
Relazioni e funzioni
Proprietà e relazioni, relazioni binarie. Terminologia relativa alle relazioni binarie: immagine, controimmagine, dominio, codominio. Rappresentazione delle
relazioni: per elencazione, sagittale (o a frecce), tabellare, cartesiana. Relazioni
binarie definite in un insieme (cioè, fra un insieme e sé stesso) e loro rappresentazione mediante grafo. Relazioni inverse. Proprietà delle relazioni definite in
un insieme: riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica debole e forte,
transitiva. Come si riconoscono alcune di queste proprietà nelle varie rappresentazioni delle relazioni. Relazioni di equivalenza. Funzioni e terminologia
relativa. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive, corrispondenze biunivoche.
Prodotto (o composizione) di due funzioni; funzione inversa.
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L.A.S. «A. Modigliani» — A.s. 2010–2011 — Classe 2C — Programma di Matematica
Sistemi di equazioni di primo grado
Equazioni lineari in due incognite. Sistemi di equazioni; concetto di soluzione;
princìpi di equivalenza dei sistemi (sostituzione, riduzione). Sistemi lineari di
due equazioni in due incognite e metodi per la loro risoluzione: metodo grafico,
metodo di sostituzione, metodo del confronto, metodo di riduzione. Matrici 2×2
e loro determinante; riduzione di un sistema a forma normale e sua risoluzione
mediante il metodo di Cramer.
Cenno ai numeri reali
Cenno alla rappresentazione dei numeri reali come allineamenti decimali (con
esclusione degli allineamenti che terminano con 9 periodico: 0,9 = 1).
Radicali aritmetici
Definizione
√ dei radicali aritmetici; proprietà fondamentale: se A ≥ 0 e B ≥ 0,
allora n A = B ⇐⇒ B n = A (per n ∈ N). Proprietà invariantiva dei radicali;
semplificazione dei radicali e riduzione allo stesso indice. Moltiplicazione e divisione dei radicali; trasporto di un fattore non negativo dentro e fuori radice.
Potenza e radice di radicali. Addizione algebrica di radicali. Razionalizzazione
√
n
A,
dei denominatori
√
√
√delle frazioni, nei casi in cui il denominatore
√ è della
√ forma
√
A ± B, A ± B; cenno al caso in cui esso è della forma A ± B ± C.
Equazioni di secondo grado
Cos’è un’equazione di secondo grado; concetto di soluzione; riduzione alla forma
normale ax2 +bx+c = 0 con a 6= 0. Metodo del completamento dei quadrati per
la risoluzione delle equazioni complete. Discriminante ∆ e formula risolutiva
per le equazioni di secondo grado complete, compresa la sua dimostrazione.
Casi particolari in cui è possibile una risoluzione abbreviata: equazioni pure e
spurie. Equazioni di secondo grado frazionarie e loro risoluzione. Enunciato
dei due teoremi di Euclide e del teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli.
Problemi risolubili mediante equazioni di secondo grado, in particolare problemi
di geometria che coinvolgono i teoremi di Euclide e di Pitagora.
Nota: Nel prossimo anno scolastico verranno completati alcuni argomenti
trattati nei testi di quest’anno. Si raccomanda pertanto di conservarli.
Esercizi per il periodo estivo
Sono 36 esercizi: cercare di svolgerli con regolarità, in ragione di 3/4 a settimana,
senza aspettare l’ultimo momento.
Dal volume 1 di algebra: es. n. 202, 216, 225, 248 pagg. 442–445; es. n. 275,
279, 286 pag. 447; es. n. 104, 105, 108, 113 pag. 504; es. n. 121 pag. 568; es. n. 58
pag. 619; es. n. 105 pag. 624; es. n. 164 pag. 632.
Dal volume 2 di algebra: es. n. 105, 110, 111, 121, 134 pagg. 34–37; es. n. 148
pag. 38; es. n. 204, 207, 213 pagg. 510–511; es. n. 263 pag. 513; es. n. 327 pag. 108;
es. n. 339 pag. 109; es. n. 473, 487 pagg. 118–119; es. n. 152, 153, 158 pag. 221;
es. n. 172, 183 pagg. 222–223; es. n. 590 pag. 250; es. n. 623, 628 pag. 252.
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N.B.: chi dovesse avere sospeso il giudizio di ammissione alla terza a causa
di un’insufficienza in Matematica farà bene a svolgere un buon numero di esercizi aggiuntivi, scelti fra quelli simili a quelli sopra indicati. Nel libro sono
chiaramente indicati, mediante titoletti, i punti dove cominciano esercizi che
riguardano un nuovo argomento.
Libri di testo
• E. Cassina e M. Bondonno, L’ora della Matematica — Algebra, vol. 1,
Paravia.
• E. Cassina e M. Bondonno, L’ora della Matematica — Algebra, vol. 2,
Paravia.
• E. Cassina e M. Bondonno, L’ora della Matematica — Geometria, Paravia.
Padova, 8 giugno 2011
Gli alunni
Il docente
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