Retroazione - Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Università degli Studi di Roma Tor Vergata
Dipartimento di Ing. Elettronica
corso di
ELETTRONICA APPLICATA
Prof. Franco GIANNINI
Retroazione
1
Amplificatori a retroazione (I)
L’introduzione di una controreazione in un amplificatore ne modifica le caratteristiche in modo che dipende sia
da come si preleva il segnale di uscita (campionamento) sia da come lo si riporta in ingresso (confronto).
Prima di esaminare i diversi tipi di retroazione è perciò opportuno individuare quelle che sono le proprietà dei
vari tipi di amplificatori non retroazionati, per capire come la retroazione le modifichi. A tal proposito
distinguiamo 4 tipi di amplificatori: di tensione, di corrente, di transconduttanza, di transresistenza.
Amplificatore di Tensione: e’ un amplificatore che dà in uscita una tensione proporzionale alla tensione di
ingresso:
RS
vs
vi
vO = Av
Ro
Ri
Avvi
RL vo
RL
Ri
vs = Av' vs
RL + R0 Ri + Rs
da cui se Ri>>RS e Ro<<RL (caso ideale Ri=∞ e Ro=0)
vo ≅ Avvs
sicché la costante di proporzionalità tra le due tensioni è indipendente dalla resistenza di carico e di sorgente.
A cura dell’Ing. A. Ticconi
2
Amplificatori a retroazione (II)
Amplificatore di Corrente: e’ un amplificatore che dà in uscita una corrente proporzionale alla corrente di
ingresso:
io
ii
is
RS
Ri
Aiii
RL
Ro
Ro
Rs i = Ai'
is
Ro + RL Rs + Ri s
io ≅ Aii s
da cui se Rs>>Ri e Ro>>RL (caso ideale Ri=0 e Ro=∞)
io = Ai
sicché la costante di proporzionalità tra le due correnti è indipendente dalle resistenze di carico e di sorgente.
Amplificatore di Transconduttanza: e’ un amplificatore che dà in uscita una corrente proporzionale alla
tensione di ingresso:
RS
io
Ro
vs
vi
io = Gm
Ri
Gmvi
RL
Ri
Ro
vs = Gm' vs
Ri + Rs Ro + RL
io ≅ Gmvs
da cui se Rs<<Ri e RL<<Ro (caso ideale Ri=∞ e Ro=∞)
sicché la costante di proporzionalità tra corrente d’uscita e tensione d’ingresso è indipendente
dalle resistenze di carico e di sorgente.
A cura dell’Ing. A. Ticconi
3
Amplificatori a retroazione (IV)
Amplificatore di Transresistenza: e’ un amplificatore che dà in uscita una tensione proporzionale alla
corrente di ingresso:
ii
+
is
RS
Ri
-
vo = Rm
Ro
Rmii
RL
vo
RL
Rs
is = Rm' is
Rs + Ri Ro + RL
da cui se Rs>>Ri e RL>>Ro (caso ideale Ri=0 e Ro=0)
vo ≅ Rmis
sicché la costante di proporzionalità tra la tensione d’uscita e la corrente d’ingresso è indipendente dalle
resistenze di carico e di sorgente.
A cura dell’Ing. A. Ticconi
4
Concetto di controreazione (I)
Gli amplificatori reali non sempre soddisfano le condizioni di un “buon” amplificatore di corrente, tensione,
transconduttanza, transresistenza.
Si può allora pensare di prelevare una parte del segnale di uscita e di riportarlo in ingresso in modo da
modificare l’amplificatore di partenza e di avvicinare le prestazioni al case ideale.
iS
vS
S
Confronto
io
i
ii
Amplificatore
(A)
vi
v
Campionamento
vo
if
vf
Rete di
Retroazione
Nello schema di un normale amplificatore sono inserite, oltre alla rete di retroazione che può contenere sia
elementi passivi che attivi, le reti che eseguono la comparazione (in serie o parallelo) ed il campionamento (in
serie o parallelo) dei segnali.
iS
RS
+
-
vS
RS
RL
RL
Sulla base dello schema di partenza, è possibile definire sia un legame tra le grandezze di ingresso e
di uscita dell’amplificatore non reazionato, sia tra la corrente o tensione d’uscita e la corrente o
tensione di sorgente. Generalizziamo i legami introducendo la quantità A che potrà di volta in volta
v , i i v e A per vo , io , io , vo .
rappresentare:
, ,
f
vi ii vi ii
vs is vs is
A cura dell’Ing. A. Ticconi
5
Concetto di controreazione (II)
Nel caso ideale, la relazione tra Af ed A si ricava a partire dallo schema seguente nell’ipotesi che i blocchi A e
β siano unidirezionali
xs +
xo
xd
A
xf
B
Avremo allora, essendo xd=xs-xf e ponendo x0=Afxs:
(
xo = A xs − x f
Da cui
xo =
A
x e quindi:
1+ β A s
Af =
)
x f = β xo
A
1+ β A
Dove la quantità –βA è chiamata guadagno d’anello del sistema e la quantità
D=1-(- βA ) è il fattore di desensibilizzazione del sistema, spesso espresso in forma logaritmica (dB):
N = −20log D = 20log
A f (* )
A
Il fattore D è fondamentale nello studio degli amplificatori reazionati perché entra praticamente in tutte le
relazioni che ne caratterizzano le prestazioni.
(* )
Se N<0 la controreazione è negativa (Af<A)
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6
Concetto di controreazione (III)
Esaminiamo ora il caso reale di un amplificatore di transresistenza caricato da una rete di retroazione e
cerchiamo il legame tra l’ingresso e l’uscita
iS
ii
A’
RS
RL
vo
β’
Caratterizziamo le due reti con le matrici ammettenze di corto circuito ⎡⎣YA' ⎤⎦ ⎡⎣YB ' ⎤⎦ e facciamo l’ipotesi che le
due reti in parallelo si comportino ancora come reti due porte. Avremo:
⎡Gs
⎡Y ⎤ = ⎡Y ⎤ + ⎡Y ⎤ + ⎡G ⎤
⎡
⎤
=
G
⎣ ⎦ ⎢0
⎢⎣ f ⎥⎦ ⎣ A ' ⎦ ⎣⎢ β ' ⎦⎥ ⎣ ⎦ dove
⎣⎢
Quanto alla transresistenza dell’amplificatore controreazionato sarà:
Z 21 f =
essendo ∆Yf il determinante di [Yf]. Sarà perciò:
Z 21 f = −
(G + Y
s
11 A '
Y
vo
= − 21 f
is c.e.
∆Y f
Y21A' + Y21β '
)(
0⎤
⎥
GL ⎦⎥
) (
)(
+ Y11β ' GL + Y22 A' + Y22 β ' − Y21A' + Y21β ' Y12 A' + Y12 β '
)
che introducendo le ipotesi di unidirezionalità:
Y21β ' << Y12β ' Y21A' >> Y12 A'
ed assumendo quindi:
Y12 A' << Y12 β ' Y21β ' << Y21A'
diventa
Z 21 f ≅ −
A cura dell’Ing. A. Ticconi
(G + Y
s
11 A '
+ Y11β '
)(
Y21A'
GL + Y22 A' + Y22 β ' − Y21A'Y12 β '
)
7
Concetto di controreazione (IV)
Scriviamo ora la transimpedenza Z21f nella forma
Z 21 f
−Y21A'
Gs + Y11A' + Y11β ' GL + Y22 A' + Y22 β '
=
−Y21A'
1 + Y12 β '
Gs + Y11A' + Y11β ' GL + Y22 A' + Y22 β '
)(
(
)
)(
(
)
E confrontiamola con il risultato ottenuto con lo schema di principio
Af =
A
1+ β A
È facile osservare che i risultati ottenibili con tale schema sono estensibili al caso esaminato se si pone:
A=−
(
−Y21A'
Gs + Y11A' + Y11β ' GL + Y22 A' + Y22 β '
)(
)
β = Y12β '
In altre parole il legame ingresso-uscita dell’amplificatore
“A” è quello dell’amplificatore di partenza ma caricato
dalle resistenze RS ed RL nonché dalle ammettenze
di ingresso e di uscita della rete di retroazione. La rete
di retroazione “β” si riduce invece alla sola ammettenza
di trasferimento e non è più quindi una rete fisicamente
realizzabile, ma solo quello che ne rimane avendo tolto
“Y21β’” per l’ipotesi di unidirezionalità e “Y11β’” e “Y22β’” che
Vengono inglobate nell’amplificatore “A”
A cura dell’Ing. A. Ticconi
ii
Y11β’ RSY11A’
Y22A’
A
Y22β’
RL
vu
vi
Y21A’vi
B
Y12β’v2
v2=-vu
8
Concetto di controreazione (V)
ii
ii
iS
RS
A’
Y11β’ RSY11A’
vo
RL
Y22A’
A
Y22β’
RL
vu
vi
Y21A’vi
β’
B
Y12β’v2
v2=-vu
⎡Y
+ Y11β ' + GS
⎡
⎤ ⎢ 11A'
⎢Y f ⎥ = ⎢
⎣
⎦ ⎢ Y
' + Y21β '
A
21
⎣⎢
⎡Y
+ Y11β ' + GS
⎢ 11A'
=⎢
Y21A'
⎢
⎢⎣
= ⎡⎢YA ⎤⎥ + ⎡⎢YB ⎤⎥
⎦
⎣
⎦ ⎣
A cura dell’Ing. A. Ticconi
Y12 A' + Y12β '
⎤
⎥
⎥=
Y22 A' + Y22β ' + GL ⎥
⎦⎥
⎤ ⎡
⎥ ⎢0
⎥+⎢
Y22 A' + Y22β ' + GL ⎥ ⎢0
⎥⎦ ⎣
0
Y12β ' ⎤⎥
0
⎥=
⎥⎦
9
Concetto di controreazione (VI)
v1 = h111
i + h12v2
i2 = h211
i + h22v2
v2 = k11i2 + k12v1
i1 = k21i2 + k22v1
1
Parallelo Parallelo
Rete β
2
Y ⎤⎥
Y12β
Rmf − R
−1
R
3
A cura dell’Ing. A. Ticconi
⎡
⎢
⎣
⎦
10
Concetto di controreazione (VII)
A
Y12β
A = Rm
Z12β
A = Gm
h12β
A = Av
k12β
A = Ai
β
A
β
A
β
A
β
1/Y12β
Se A corrispondente è >>1 allora:
Af=
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1/Z12β
1/h12β
1/k12β
11
Proprietà generali della controreazione negativa
Premesso che quanto visto per l’amplificatore di transresistenza vale per tutti i tipi di amplificatore
controreazionati che verifichino le seguenti condizioni:
A)
B)
C)
Il blocco A è unidirezionale (nel caso visto y12A>>y12A )
Il blocco β è unidirezionale (nel caso visto y12β>>y12 β )
Le due reti A e β interconnesse si comportano ancora come reti due porte (vale cioè [Kf](*)= [KA] + [Kβ] )
Esaminiamo i principali effetti della controreazione negativa. Questo tipo di controreazione infatti modifica
il comportamento dell’amplificatore producendo uno o più dei seguenti effetti:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Stabilizzazione del punto di lavoro
Stabilizzazionde del guadagno
Variazione della resistenza d’ingresso e/o d’uscita
Riduzione degli effetti dei disturbi
Riduzione delle distorsioni di non linearità
Modifica della risposta in frequenza
Quanto detto è in gran parte legato alla seguente osservazione: se |A β |>>1 si ha che
Af =
A 1
1+ β A β
In altre parole le proprietà dell’amplificatore controreazionato dipendono, in questo caso, solo dalla rete di
retroazione che, essendo in genere passiva, può realizzarsi con caratteristiche di precisione e stabilità
molto migliori del blocco principale A.
(*):
Con [Kf] si è indicata la rappresentazione matriciale, relativa al tipo di connessione delle due reti, per la
quale vale la relazione di somma indicata
A cura dell’Ing. A. Ticconi
12
Sensibilità degli amplificatori controreazionati (I)
Valutiamo la sensibilità di un amplificatore controreazionato alle variazioni di A e β. Si ha
dAf d
Af
A =
A=
1
=
dA dA 1 + β A 1 + β A 2 A A(1 + β A)
(
)
dAf
Af A
dAf
− A2 β
dA
1
β
=
=
−
=
2 β
β
β
1
β
+
d
A
Af 1 + β A A
(1 + β A)
da cui
e quindi
dA f
≅ − dβ
Af
β
In altre parole la controreazione “desensibilizza” l’amplificatore rispetto alle variazioni del guadagno a catena
aperta A ma non ha effetto sulle variazioni della rete di retroazione,che dovrà perciò essere molto stabile.
Esaminiamo ora il caso di un amplificatore multi-stadio e confrontiamo, nell’ipotesi Af1= Af2, le due situazioni
indicate
A
Af1
+
-
A
β
+
-
f2
+
A
-
β
A
+
-
A
A
βt
β
⎛ A ⎞
Af 1 = ⎜⎜
⎟⎟
⎝1+ β A ⎠
n
A cura dell’Ing. A. Ticconi
A
Af 2 =
An
1 + βt An
13
Sensibilità degli amplificatori controreazionati (II)
dA . Avremo:
A
n
dA
=
n
1 + βt A A
Calcoliamo la sensibilità dei due amplificatori ad una variazione
dA f 1
n dA
=
Af 1 1 + β A A
ora, dalla condizione Af1=Af2, si ha:
(1 + β A)
dA f 2
Af 2
n
= 1 + βt An per cui:
dA f 2
dA f 1
1
=
A f 2 (1 + β A)n−1 A f 1
da cui si ricava che una unica controreazione in una cascata di amplificatori è più efficace della cascata di
amplificatori singolarmente controreazionati.
Analoga desensibilizzazione si ottiene, nei confronti dei disturbi, controreazionando opportunamente un
amplificatore. Fissiamo l’attenzione sulla distorsione che, come sappiamo, dipende dall’ampiezza del segnale
ed è perciò particolarmente importante nell’ultimo stadio e negli amplificatori di potenza:
N’i
Ni
S’i
A
S o = AS i
+
So ,N o
No = Ni
S’i +
-
A
+
S’o ,N’o
β
N o' =
N i'
1 + βA
S o' =
AS i'
1 + βA
Il confronto tra i due casi può farsi supponendo uguali le uscite (So=So’) oppure uguali agli ingressi (Si=Si’)
1)
So=So’: in questo caso anche Ni=Ni’ poiché dipendono dall’ampiezza del segnale in uscita. Si ha però
Si’=(1+βA)Si e quindi S’/N’=(1+βA)S/N
2)
Si=Si’: in questo caso Ni<Ni’ perché il segnale di uscita So’<So e, come si è detto, la distorsione dipende
dall’ampiezza del segnale d’uscita.
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14
Amplificatori Controreazionati
I o=IL
+
Vs
Vi
- βv o +
+
(a)
Vf
-
+
RL +
Amplificatore
di tensione
Vo
-
β
Ii
I o=I L
+
is
Amplificatore
di corrente
I f=β I o
Vo
-
a)
amplificatore
di
tensione:
controreazione tensione (uscita)
serie (ingresso) ovvero: tensione –
tensione
b)
amplificatore di transconduttanza:
controreazione corrente (uscita)
serie (ingresso) ovvero serie – serie
c)
RL
d)
amplificatore
di
corrente:
controreazione corrente (uscita)
parallelo (ingresso) ovvero corrente
– corrente
Vs
Vi
- βv o +
+
Vf
-
Amplificatore
di transconduttanza
Vo
-
β
(b)
Ii
RL +
is
Amplificatore
di trans-resistenza
amplificatore di transresistenza:
controreazione tensione (uscita)
parallelo (ingresso) ovvero parallelo
– parallelo.
β
If =V
β
RL +
Vo
-
o
β
(c)
(d)
I diversi tipi di campionamento e confronto possono essere associati ad uno qualunque dei 4 tipi di
amplificatori, dando luogo a 16 possibili configurazioni, che si riducono alle 4 indicate se ci si limita ad
esaminare quelle situazioni che portano ad un miglioramento delle prestazioni dell’amplificatore di partenza.
A cura dell’Ing. A. Ticconi
15
Resistenze d’ingresso (I)
a) Tensione - serie (tensione - tensione)
+
Vs
Vi
- βv o +
+
Vf
-
RL +
Amplificatore
di tensione
ii
Vo
-
Ro
Ri
+
vs
vi
βvo
β
+
io
RL
Avv i
vo
+
Definendo Rif=vs/ii avremo, per la maglia d’ingresso
vs = ii Ri + β vo = ii Ri + β Av
da cui
⎛
⎞
RL
RL
vi = Ri ⎜⎜1 + β
Av ⎟⎟ ii
RL + Ro
RL + Ro ⎠
⎝
Rif = Ri (1 + β AV )
dove
AV = Av
A cura dell’Ing. A. Ticconi
RL
RL + Ro
16
Resistenze d’ingresso (II)
b) Corrente - serie (serie - serie)
I o=IL
+
Vs
Vi
- βv o +
RL +
Amplificatore
di transconduttanza
Vo
io
ii
-
Ri
+
+
vi
vs
vi
Gv
m
i
Ro
RL +
Vo
+
Vf
-
βio
β
-
+
Definendo Rif=vs/ii avremo, per la maglia d’ingresso
vs = ii Ri + β io = ii Ri + β Gm
⎛
⎞
Ro
Ro
vi = Ri ⎜⎜1 + β
Gm ⎟⎟ ii
Ro + RL
Ro + RL
⎝
⎠
da cui
Rif = Ri (1 + β GM )
dove
GM = Gm
A cura dell’Ing. A. Ticconi
Ro
Ro + RL
17
Resistenze d’ingresso (III)
c) Corrente - parallelo (corrente - corrente)
Ii
I o=I L
is
io
ii
RL
Amplificatore
di corrente
is
βi o
Ri
Aii i
Ro
RL
io
I f=βI o
β
Definendo Rif=vi/is avremo, per la maglia d’ingresso
⎛
⎞
R
R
o
o
is = β io + ii + ii + β
Ai = i ⎜1 + β
A⎟
Ro + Ri i i i ⎜⎝
Ro + Ri i ⎟⎠
da cui
Rif =
Ri
1 + β AI
dove
AI = Ai
A cura dell’Ing. A. Ticconi
Ro
Ro + RL
18
Resistenze d’ingresso (IV)
d) Tensione - parallelo (parallelo - parallelo)
Ii
RL +
is
Amplificatore
di trans-resistenza
ii
vo
-
is
βv o
Ro
RL
Ri
Rm i i
If =βV o
vo
β
Definendo Rif=vi/is avremo, per la maglia d’ingresso
is = β vo + ii = ii + β
RL
R i
RL + Ro m i
da cui
Rif =
Ri
1 + β RM
dove
RM = Rm
A cura dell’Ing. A. Ticconi
RL
RL + Ro
19
Resistenze d’uscita (I)
a) Tensione - serie (tensione - tensione)
+
Vs
Vi
- βv o +
RL +
Amplificatore
di tensione
Ro
Vo
-
Ri
+
vi
io
i
Avv i
vo
Rof
+
Vf
-
βvo
β
Dal circuito equivalente si ha
da cui
+
vo = Roio + Avvi = Roi − Av β vo
vo (1 + Av β ) = Roi
e quindi
Rof =
che ad R’of poi
Ro
1 + Av β
R'of = Rof // RL
che dà
R'of
'
Ro // RL
R
o
=
=
1 + AV β 1 + AV β
A cura dell’Ing. A. Ticconi
dove
AV =
RL
Av RL
Ro + RL
20
R’of
Resistenze d’uscita (II)
a) Corrente - serie (serie - serie)
+
Vs
Vi
- βv o +
io
RL +
Amplificatore
di transconduttanza
Vo
Ri
-
vi
βi o
+
Gmvi Ro
RL
Rof
+
β
Vf
-
da cui essendo
I o=IL
i = vo − Gmvi = vo + β Gmio
Ro
Ro
io = −i
i (1 + β Gm ) = vo
Ro
da cui
(
Rof = Ro 1 + Gm β
quanto ad R’of poi
)
R'of = Rof // RL
che dà
R'of
R'o (1 + β Gm )
=
(1 + β GM )
A cura dell’Ing. A. Ticconi
dove
GM = Gm Ro
Ro + RL
21
vo
R’of
Resistenze d’uscita (III)
d) Corrente - parallelo (corrente - corrente)
Ii
I o=I L
is
io
ii
RL
Amplificatore
di corrente
βi o
i s=0
Ri
Aii
i
Ro
RL
Rof
vo
I f=βI o
β
i = vo − Aii i = vo + β Aii o
Ro
Ro
da cui, essendo io
e quindi
quanto a R’of:
= −i
vo = i 1 + β A
i)
Ro (
Rof = Ro (1 + β Ai )
Rof' = Rof // RL
che diventa
Rof' = Ro'
1 + β Ai
1 + β AI
A cura dell’Ing. A. Ticconi
dove
AI = Ai
Ro
Ro + RL
22
R’of
Resistenze d’uscita (IV)
Ii
ii
RL +
is
Amplificatore
di trans-resistenza
If =βV o
vo
βi o
-
Ro
i
Ri
i s=0
RL
Rm i i
Rof v o
R’of
β
vo = iRo + Rmii = iRo − β Rmvo
Rof =
da cui, essendo
e quindi
Ro
1 + β Rm
Rof' = Rof // RL
quanto a R’of:
R'of =
R 'o
1 + β Rm
che diventa
Rof' = Ro'
1
1 + β RM
A cura dell’Ing. A. Ticconi
dove
RM = Rm
RL
Ro + RL
23
Risultati complessivi
I risultati precedenti, al di là delle relazioni analitiche trovate, mostrano un’interessante caratteristica dei
diversi tipi di reazione.
Il comportamento ed il confronto di tipo parallelo abbassano la rispettiva resistenza d’uscita e d’ingresso
Il comportamento ed il confronto di tipo serie aumentano la rispettiva resistenza d’uscita e d’ingresso
Nella tabella seguente sono sintetizzate le relazioni che permettono di ricavare le quantità Af, Rif, ed Rof,
una volta che siano state determinate le quantità A, Ri e Ro dell’amplificatore di potenza non reazionato
ma caricato dal generatore, dall’utilizzatore e dalla rete di retroazione
Topologia
Caratteristiche
Feedback Xf
Tensione Corrente Serie
Serie
Tensione
Tensione
Corrente
Parallelo
Corrente
Tensione
Parallelo
Corrente
Campionamento Xo
Tensione
Corrente
Corrente
Tensione
Circuito d’ingresso (*)
Vo=0
Io=0
Io=0
Vo=0
Circuito d’uscita (*)
Ii=0
Ii=0
Vi=0
Vi=0
Sorgente
Thevenin
Thevenin
Norton
Norton
β=Xf/Xo
Vf/Vo
Vf/Io
If/Io
If/Vo
A=Xo/Xi
AV=Vo/Vi
GM=Io/Vi
Af=Io/Ii
RM=Vo/Ii
D=1+ βA
1+ βAV
1+ βGM
1+ βAI
1+ βRM
Af
AV/D
GM /D
AI /D
RM /D
Rif
RiD
RiD
Ri/D
Ri/D
Rof
Ro/(1+ βAV)
Ro(1+ βGM)
Ro(1+ βAI)
Ro/(1+ βRM)
R’of
R’o/D
R’o(1+ βGM)/D
R’o(1+ βAI)/D
R’o/D
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(* )
Questa procedura
fornisce il circuito
amplificatore base senza
feedback ma tenendo in
conto gli effetto di β RL,
RS.
24
Esempi di amplificatori a controreazione (I)
VCC
VCC
RC
R’
C
C
B
+
Vs
Ic
B
If
RS
RC
Io
E
Vi
N
Ib
Vo
Is= Vs/Rs
R’of
Rs
R’if
Ri
R
R’
R’ Vo
E
If
hie
Il circuito a) presenta la resistenza R’ come elemento di reazione che agisce in parallelo all’uscita e
all’ingresso (caso tensione-parallelo), stabilizzando la transresistenza (parametro RM).
Il circuito b) è quello in base al quale si possono calcolare i parametri RM, Ri, Ro dell’amplificatore non
reazionato ma caricato dalla rete di reazione. E’ ottenuto dal circuito a) annullando la retroazione (poiché
l’inserimento è del tipo parallelo-parallelo ciò significa cortocircuitare il nodo B per valutare il carico dell’uscita
e cortocircuitare il nodo C per valutare il carico dell’ingresso). Il generatore di tensione d’ingresso è
trasformato in quello di corrente per semplificare i calcoli (RM=Vo/Is).
Incominciando a calcolare il parametro β della rete di retroazione. Dalla definizione:
β=
X f If
1
= − '
X i Vo
R
espressione ottenuta trascurando la tensione vi tra il nodo B e la massa. Calcoliamo ora le altre quantità,
trascurando come al solito i parametri hre e hoe.
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25
Esempi di amplificatori a controreazione (II)
La rete da esaminare è la connessione in parallelo delle due reti due porte indicate:
R’
RS
+
RS
RL
RL
+
Vs
Vs
ed è quindi descritta da:
⎡YF ⎤ = ⎡Y ' ⎤ + ⎡Y ' ⎤
⎣ ⎦ ⎣ A ⎦ ⎢⎣ β ⎥⎦
dove, ponendo Y12A’=0 e Y12β’=0 abbiamo:
1⎤
⎡1
−
⎡
⎢R'
0 ⎤
R '⎥
⎡Y ⎤ = ⎢Y11A '
⎡
⎤
Y
=
⎢
⎥
⎥
'
⎣ β⎦
⎣ A' ⎦ ⎢Y21A ' Y22 A ' ⎥
1
⎢
⎥
⎣
⎦
0
⎣⎢
R ' ⎦⎥
⎡YF ⎤ può anche porsi uguale però a:
⎣ ⎦
⎡YF ⎤ = ⎡YA ⎤ + ⎡Yβ ⎤ dove
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡
1
⎡
1⎤
Y11A' +
0
⎢
'
R
⎡Y ⎤ = ⎢0 − R ' ⎥
⎡YA ⎤ = ⎢
⎣ ⎦ ⎢
⎥
⎣ β⎦ ⎢
0
0
Y22 A' +
⎣⎢
⎦⎥
⎢⎣ Y21A'
RS
R’
+
Vs
⎤
⎥
⎥
1⎥
R ' ⎥⎦
Ovvero ad una rete (β) non fisicamente realizzabile e alla rete (A) seguente:
A cura dell’Ing. A. Ticconi
RL
R’
A
β=-1/R’
26
Esempi di amplificatori a controreazione (III)
Si ha:
Ri = R // hie ,
Ro = ∞,
h fe RC // R'
V0
⋅R
RM = = −
IS
R + hie
Ro' = RC // R'
Per calcolare ora Rif, R’of, ed RMf, ricordiamo ora che:
RMf = RM D ,
dove
'
Rif = Ri D ,
R'of = R o D
h fe RC // R' R
D = 1 + β RM = 1 +
⋅
R + hie R'
Si noti in particolare che essendo βRM>>1, si ha:
RMf − R'
E’ inoltre opportuno ricordare che l’uso delle formule viste è legato, tra l’altro, all’ipotesi che l’amplificatore
e la rete di retroazione siano unidirezionali. Ciò comporta che la corrente If sia trascurabile rispetto alla
corrente Io.
Ponendo hfe=0 si ha
If =
D’altra parte si ha
AVf VS
Io =
RC
dove
In conclusione quanto visto vale per:
VS
RS + R' + RC
AVf =
R
Vo
V
= o = Mf
VS I S RS RS
AVf >>
RC
(R
S
A cura dell’Ing. A. Ticconi
+ R' + RC
)
27
Effetto della controreazione sulla risposta in frequenza
L’effetto della controreazione negativa sulla
risposta in frequenza di un amplificatore è fatta
nell’ipotesi più semplice che la risposta dello
stadio non reazionato sia del tipo:
|Av|
0.707 |Av|
ABF =
|Aof|
Ao
1+
0.707 |Aof|
fLf
fL
fHf
fH
LOG (f)
1+
20log|Aof|
-20 dB/decade
20log|Ao/(1+βAo)| ≈20log|1/β|
fL
ωLf =
ω
ωH
ωL
Ao
jω
Af =
=
β Ao 1 + β A + ωL
1+
o
ωL
jω
1+
jω
20log|Ao|
≈20log(βAo)
Dove:
1+ j
In questo caso in presenza di una
controreazione β, si ha per la risposta in bassa
frequenza:
dB del feedback= 20log|1+βAo|
fLf
Ao
Ao
|A| dB, |Af| dB
20 dB/decade
ωL
jω
AHF =
fH
ωL
1 + Ao β
=
ωL
D
=
fHf
LOG (f)
Ao
1 + β Ao
1+
ωL
jω ⋅ (1 + β Ao )
Afo
=
1+
ωHf = ωH ⋅ (1 + Ao β ) = ωH ⋅ D
A cura dell’Ing. A. Ticconi
28
ωLf
jω
Effetto della controreazione sulla risposta in frequenza
L’effetto della controreazione negativa sulla
risposta in frequenza di un amplificatore è fatta
nell’ipotesi più semplice che la risposta dello
stadio non reazionato sia del tipo:
|Av|
0.707 |Av|
ABF =
|Aof|
0.707 |Aof|
fLf
fL
fHf
fH
|A| dB, |Af| dB
LOG (f)
20log|Ao|
Af =
≈20log(βAo)
20log|Aof|
-20 dB/decade
20log|Ao/(1+βAo)| ≈20log|1/β|
fLf
Dove:
fL
ωLf =
fH
ωL
1 + Ao β
=
ωL
D
fHf
LOG (f)
1+
ωL
jω
AHF =
Ao
1+ j
Ao
jω
1+
ωH
Ao
=
ω
β Ao
1 + β Ao + j
1+
jω
ωH
1+
ωH
Ao
Afo
1 + β Ao
=
=
ω
jω
1+
1+ j
ωHf
ωH ⋅ (1 + β Ao )
ωHf = ωH ⋅ (1 + Ao β ) = ωH ⋅ D
A cura dell’Ing. A. Ticconi
ω
ωH
E analogamente per la risposta in alta
frequenza:
dB del feedback= 20log|1+βAo|
20 dB/decade
Ao
29
Università degli Studi di Roma Tor Vergata
Dipartimento di Ing. Elettronica
corso di
ELETTRONICA APPLICATA
Prof. Franco GIANNINI
AMPLIFICATORI
OPERAZIONALI
30
AMPLIFICATORI OPERAZIONALI
L’amplificatore operazionale è il più diffuso integrato lineare ed è utilizzato per la realizzazione di un gran
numero di circuiti sia lineari che non lineari che effettuano le tre operazioni fondamentali in elettronica:
amplificazione, generazione, elaborazione dei segnali. E’ realizzato in genere con amplificatori in
continua ad elevato guadagno ed ha in genere un ingresso differenziale. E’ alimentato in modo
simmetrico o meno a seconda che il livello di uscita debba o no variare intorno allo zero.
Le proprietà dei circuiti che li utilizzano, sono
+V
praticamente dipendenti solo dalla rete di
retroazione, almeno nel caso di op. amp.
ideale che presenta le seguenti caratteristiche:
+
+
a)
Guadagno di tensione infinito Av=∞
b)
Impedenza di ingresso infinita Zin=∞
c)
Impedenza d’uscita nulla Zo=0
d)
Rapporto di reiezione (CMRR) infinito
e)
Banda infinita
-V
i
c.c.
c.a.
massa virtuale
v
Se ne deduce che l’uscita è finita se l’ingresso è nullo, che la corrente di ingresso è al pari della
tensione di ingresso, nulla (massa virtuale), che le prestazioni sono indipendenti dal carico, che se i
segnali di ingresso sono uguali l’uscita è nulla, che il tempo di ritardo in-out è nullo. Si noti infine che le
tensioni di alimentazione rappresentano la massima e la minima tensione ottenibile in uscita, ovvero i
valori delle tensioni di saturazione dell’op. amp. Essendo poi Av infinito, l’op. amp. a catena aperta può
assumere solo uno dei due valori di saturazione.
A cura dell’Ing. A. Ticconi
31
AMPLIFICATORE INVERTENTE
Circuito (a): amplificatore invertente
Z2
Essendo nulla la tensione di ingresso avremo:
V1 = Z 1 I 1
V2 = − Z 2 I 2
I2
( vi = 0 )
Z1
Essendo inoltre nulla la corrente di ingresso sarà:
I1 = I 2
( ii = 0 )
e quindi
vi
+ I1
V1
-
V2
Z
=− 2
V1
Z1
In particolare se il circuito prende il nome di invertitore, se Z2 e
Z1 sono semplici resistenze il circuito invertente si
comporta come amplificatore di tensione ideale
(Rin=∞,R0=0).
Circuito (b): sommatore
( ii = 0 )
V1 = Z1 I1 ; V2 = Z 2 I 2 ; V3 = Z3 I 3
( vi = 0 )
da cui:
V4 = −
Z3
+
V3
-
Z4
Z
Z
V1 − 4 V2 − 4 V3
Z1
Z2
Z3
In generale l’uscita è una combinazione lineare dei segnali di
ingresso (somma pesata se Z1, Z2, Z3, Z4, sono delle resistenze).
A cura dell’Ing. A. Ticconi
+
V2
-
+
a)
Essendo nulla la tensione e la corrente di ingresso
(massa virtuale) si ha:
I1 + I 2 + I 3 = I 4
-
+
V2
-
I
Z2 3
Z4
I2
Z1
I4
+ I1
V1
-
+
V4
-
+
b)
32
AMPLIFICATORE NON INVERTENTE
Z2
Anche in questo caso essendo nulla la
tensione e la corrente di ingresso avremo:
v2
v + = V1
v − = V2
I2
Z1
= v1
Z1 + Z 2
Z1
i1 = i2
I1
da cui:
+
+
V2
-
+
V1
-
v2
Z
= 1+ 2
v1
Z1
Z1
Z1 + Z 2
legame, nell’ipotesi di Z1 e Z2 puramente resistite, tipico di un amplificatore di tensione non invertente.
Osserviamo poi che assumendo Z2=0 ovvero il rapporto tra l’uscita e l’ingresso diventa unitario
restando positivo. Si realizza così uno stadio di buffer (separatore) ideale (Rin=∞, Ro=0, Av=1) in una
delle due configurazioni seguenti:
Z2
Z2=0
Z1
Z1=∞
+
V1
A cura dell’Ing. A. Ticconi
V2
+
V1
V2
33
AMPLIFICATORE DIFFERENZIALE
Utilizzando entrambi gli ingressi dell’amplificatore e
applicando la sovrapposizione degli effetti, è facile
ottenere, per le tensioni ai morsetti I ed NI, le
espressioni:
v I = v1
R1
R2
+ v3
R1 + R2
R1 + R2
v NI = v 2
R2
R4
R3 + R4
R1
poiché la tensione tra i due morsetti è per ipotesi nulla
(vI=vNI) avremo
R +R R
R
v3 = 1 2 4 v2 − 2 v1
R3 + R4 R1
R1
che, supponendo verificata la condizione
diventa
v3 =
V1
- I
V2
+ NI
+
V3
-
R3
R4
R2 R4
=
R1 R3
R2
(v2 − v1 )
R1
che è la tipica funzione di trasferimento di un amplificatore differenziale di amplificazione Ad=R2/R1.
Notiamo però che, anche partendo da un operazionale ideale, il CMRR dell’amplificatore differenziale
così realizzato non è infinito a causa delle inevitabili differenze tra le resistenze usate. Si ha infatti:
v3 = v2
R4 R1 + R2 R2
R
R
− v1 + 2 v2 − 2 v2
R1 R3 + R4 R1
R1
R1
Assumendo ora v1 ≅ v 2 e quindi
v1 + v 2
≅ v2
2
A cura dell’Ing. A. Ticconi
da cui
As =
v3 =
R2
(v2 − v1 ) + R1 R4 − R2 R3 v2
R1
R1 (R3 + R4 )
R1 R4 − R2 R3
R1 ( R3 + R4 )
R2 ⎛ R4 ⎞
⎜1 + ⎟
R1 ⎝ R3 ⎠
Ad
=
da cui CMRR =
R4 R2
As
−
R3 R1
34
INTEGRATORE E DERIVATORE
Nel caso di un amplificatore invertente il legame tra
ingresso ed uscita è del tipo:
v2
Z
=− 2
v1
Z1
R
che possiamo particolarizzare nel caso dei due circuiti
indicati. Nel caso (a), poiché:
Z2 =
1
j ωC
e
Z1 = R
avremo
v2 = −
-
V1
e Z1 =
1
jωC
avremo
+
V2
-
+
1
v1
jω RC
a) integratore
che corrisponde ad avere in uscita un segnale
1
proporzionale all’integrale dell’ingresso - si ricordi che ∫ dt →
jω
Nel caso (b), poiché:
Z2 = R
C
i
i
R
v2 = − jω RCv1
che corrisponde ad avere in uscita un segnale
proporzionale alla derivata dell’ingresso - si ricordi che d → jω
dt
C
V1
Si noti poi che le funzioni di trasferimento così ottenute dimostrano
una notevole sensibilità dei due circuiti rispettivamente alle basse
frequenze (circuito integratore) e alle alte frequenze (circuito
derivatore). Nei due casi infatti, anche in corrispondenza di piccoli
valori dell’ingresso, l’uscita è notevolmente elevata, fatto questo
che può portare a cattivo funzionamento.
A cura dell’Ing. A. Ticconi
+
V2
-
+
b) derivatore
35
INTEGRATORE E DERIVATORE REALI (I)
R2
R2
C
R1
V1
R1
C
-
V1
-
+
V2
-
+
+
V2
-
+
b)
a)
Per rendere l’integratore ed il derivatore meno sensibili rispettivamente alle alte ed alle basse
frequenze, i circuiti vengono modificato come in fig. (a) e (b). Si ha infatti:
a)
b)
v2
Z
R
R
1
=− 2 =− 2
=− 2
v1
Z1
R1 1 + jωR2 C
R1
v2
Z
R
=− 2 =− 2
v1
Z1
R1
1
1+
1
jωR1C
=−
R2
R1
1
1+ j
f
fs
1
1+
fi
jf
L’inserzione delle resistenze, non presenti negli schemi ideali, modifica dunque le risposte
impedendo che vadano all’infinito nei casi limite esaminati. Ciò comporta in realtà l’aver limitato
superiormente (caso a) ed inferiormente (caso b) la banda passante dell’operazionale, che è
supposta infinita. Ciò suggerisce di limitare la banda dell’operazionale nel modo seguente
A cura dell’Ing. A. Ticconi
36
INTEGRATORE E DERIVATORE REALI (II)
C2
R1
R2
C1
20 log
-
V1
+
f
|G|dB
V
G = 2
V1
R2
R1
20 dB
fs
0,
fi
f
0
−20 dB
dec
+
V2
-
2π fi =
1
RC
1 1
2π fs =
1
R2C2
dec
ω
Per rendere l’integratore ed il derivatore meno sensibili rispettivamente alle alte ed alle basse
frequenze, i circuiti vengono modificato come in fig. (a) e (b). Si ha infatti:
a)
b)
v2
Z
R
R
1
=− 2 =− 2
=− 2
v1
Z1
R1 1 + jωR2 C
R1
v2
Z
R
=− 2 =− 2
v1
Z1
R1
1
1+
1
jωR1C
=−
R2
R1
1
1+ j
f
fs
1
1+
fi
jf
L’inserzione delle resistenze, non presenti negli schemi ideali, modifica dunque le risposte
impedendo che vadano all’infinito nei casi limite esaminati. Ciò comporta in realtà l’aver limitato
superiormente (caso a) ed inferiormente (caso b) la banda passante dell’operazionale, che è
supposta infinita. Ciò suggerisce di limitare la banda dell’operazionale nel modo seguente
A cura dell’Ing. A. Ticconi
37
INTEGRATORE REALE
Utilizzando i diagrammi di Bode, la risposta dell’integratore reale diventa:
Av
dB
R
= 20 log 2 + 20 log
R1
∠Av = π − arctg
1
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fs ⎠
2
con
|Av|
1
fs =
2π R2C2
3 dB
f
fs
Av
fs
log(f)
180°
45°
90°
Confrontando questi risultati con la risposta in frequenza
del passa basso
Av =
R2
V1
C
V2
v2
=
v1
ovvero
1
1+ j
Av
f
fs
dB
fs
con f s =
= 20 log
log(f)
1
2πR2 C
1
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fs ⎠
2
∠Av = − arctg
f
fs
se ne deduce che l’integratore reale si comporta come il passa basso, ovvero che il gruppo R2C limita la
banda di funzionamento dell’operazionale che dà in uscita un segnale proporzionale all’ingresso fino alla
frequenza fs, frequenza di taglio superiore, ed integra il segnale per frequenze superiori a fs.
A cura dell’Ing. A. Ticconi
38
DERIVATORE REALE
Utilizzando i diagrammi di Bode, la risposta del derivatore reale diventa:
Av
dB
R
= 20 log 2 + 20 log
R1
∠Av = π + arctg
1
⎛ f ⎞
1+ ⎜ i ⎟
⎝ f ⎠
2
con
|Av|
1
fi =
2π R1C1
3 dB
fi
f
Av
fi
log(f)
270°
45°
180°
Confrontando questi risultati con la risposta in frequenza
del passa alto
C
V1
Av =
R2
V2
v2
1
=
v1 1 + fi
j⋅ f
ovvero
Av
dB
fs
con
= 20 log
fs =
log(f)
1
2π R1C
1
⎛ f ⎞
1+ ⎜ i ⎟
⎝ f ⎠
2
∠Av = arctg
fi
f
Ne deduciamo che il derivatore reale si comporta come il passa-alto, ovvero che il gruppo R,C limita la
banda di funzionamento dell’operazionale che dà in uscita un segnale proporzionale all’ingresso per
frequenze superiori a fi, frequenza di taglio inferiore, e “deriva” il segnale per frequenze inferiori a fi.
A cura dell’Ing. A. Ticconi
39
BANDA PASSANTE
Riprendiamo il caso dell’amplificatore operazionale “caricato” come in figura:
è evidente che la sua risposta in frequenza, in
termini di modulo e di fase, potrà essere scritta
come:
R
A ( f ) = 20 log 2 + 20 log
R1
∠A ( f ) = π − arctg
1
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fs ⎠
2
+ 20 log
⎛ f ⎞
1+ ⎜ i ⎟
⎝ f ⎠
R2
C1
-
V1
2
+
V2
-
+
f
f
+ arctg i
fs
f
ovvero come mostrato in figura:
1
fi =
2π R1C1
R1
1
C2
20 dB
− 20 dB
dec
fi
1
fs =
2π R2C2
Banda Passante
fs
dec
log(f)
dove (fs-fi) è la banda passante
dell’amplificatore.
fi
A cura dell’Ing. A. Ticconi
fs
40