Il lavoro che segue viene ripubblicato senza alcuna

Il lavoro che segue viene ripubblicato senza alcuna revisione.
Inoltre il 1987 era un’epoca in cui, almeno da noi, i word processor non erano
comuni, specialmente quelli che permettevano di scrivere formule e inserire figure.
Pertanto gli autori chiedono venia al lettore se i simboli matematici e le formule
risultano di difficile lettura e le figure, disegnate a mano dagli stessi, non perfette.
Abbiamo lo stesso ritenuto che questo lavoro possa ancora giovare a qualcuno.
LINEARIZZAZIONE
DI
A.
IFA
87/34
DELLA RISPOSTA
TERMISTORI
Ricotta,
M.
NTC
Viterbini
SETTEMBRE1987
INTRODUZIONE
Un modo
semplice
e relativamente
economico
per
misurare
là
temperatura
in
diverse
circostanze
consiste
nell'uso
di
termistori
a coefficiente
di
temperatura
negativo
( NTC ) .
Essi
però
presentano
una
caratteristica
di
trasduzione
non
lineare
(Appendice
A) e pongono
perciò
il
problema
della
conversione
dalla
lettura
elettrica
al
dato
termico.
Tre
sono
le possibili
soluzioni.
Utilizzo
di
un
circuito
non
lineare
oppure
di
un
microelaboratore
con
apposito
programma
di
conversione
o di
una
rete
lineare.
La terza
da
realizzare
prestazioni
misure
è
IL
modalità
è naturalmente
e poiche.
nel
nostro
di
precisione.
sensibilità
stata
la piu
caso.
economica
forniva
e
ripetibilità
e
le
semplice
richieste
delle
adottata.
PROBLEMA DELLA
LINEARIZZAZIONE
Un
trasduttore
converte
una
grand~zza
fisica
in un'altra.
generalmente
elettrica.
più
facile
da manipolare
e da confrontare
e pertanto
misurabile
per
definizione.
La nuova
grandezza
è poi
immessa
in un circuito
condizionatore
che
produce
l'uscita
desiderata.
Possiamo
schematizzare
l'intero
processo
come:
/N'.A
~
.-1'P6~L"'
~T~~~"~E
T fisica
T-grandezza
V-uscita
&"lrout
fisica
-f
in
(T)-+1n
a
CA-
~/7:ZR
TDRE
ut-V-aT+b
!./NG
V-b
out-~
T
a
f(T)-uscita
ingresso
non
lineare
lineare
Fig.l
in cui
come:
I a f (T) ,
supposta
m
(1
f(T)
K
f
(Tl)
è la
La condizione
centrato
su
Tl
dove
dertvate
~
Per
porre
di
fisicamente
..
..-'
(AT)
K
f
-L.
O
K
e
derivabile.
si
izzabi
può
(Tl)
esprimere
(AT)
f(Tl)+f'(Tl)AT+f"(Tl)
poi.
tramite
circuitali
le .
2
circuiti
lineari
indipendenti
2
---+..
2
K!
derivata
Kesima
e T-Tlz~T.
esatta
di
linearit~
nell'intervallo
si
otterrebbe
se si
annullassero
dalla
seconda
in
realizzare
questo
infiniti
parametri
irreal
continua
in
Tl
~
tutte
AT
le
dovremmo
discio'
che
è
All'estremo
opposto
annulliamo
la sola
derivata
seconda.
In tal
modo otteniamo
un'unica
condizione
cui
ottemperare
corrispondente
ad un solo
parametro
circuitale
e consideriamo
lè
derivate
successive
quali
termini
d'errore.
Se identifichiamo
la f(T)
con la
tensione
V(T)
all'uscita
del
circuito
di fig.2.
f(T)-V(T)
.si
ottiene
un semplice
modello
elettrico
dell'operazione
di
linearizzazione
discussa.
v (T)
Fig.2
con
Linearizzazione
Il
circuito
sia
resistivo
adesso.
Dalla
fig.2
di
ma
si
v
Definiamo
(T)
fig.2
lascia
presuppone
la
forma
singolo
resistore
solo.che
il
di
R(T)
sensore
termico
indeterminata
per
ha
-Rl*I(T)-
risposta
H(T)
V.Rl
-~(T~+Rl
della
maglia
V(T)
Rl
Va:
R(T)+Rl
dH
Rl*R'
H(T)
e
sensibilit~
S(T)
(T)
S (T) dT
(R(T)+Rl)a
dove
H' (T)
è la derivata
prima
di
H(T) .
La condizione
di
linearit~
impone
che
V(T)
sia
lineare
e
quindi
anche
H(T)
il
che
si
traduce
nella
costanza
di
S(T)
secondo
le
(2) , (3)
e (4) .
Per
la
(4)
la costanza
di
S(T)
significa
che
se R(T)
è
una
funzione
crescente
o decrescente
di
T anche
R' (T)
deve
essere
una
funzione
rispettivamente
crescente
o decrescente
in
modulo
diT
affinchè
S(T)
abbia
a priori
la possibilit~
di
rimanere
costante.
Queste
condizioni
impongono
a
R(T)
una
concavità
verso
l'aìto
e quindi
un andamento
monotono
come mostrato
in fig.3,AeB.
.
..
3
"'
B
C=Resistore
di
platino,
non
linearizzabile
con
il
metodo
in discussione.
R(T)
T
A.B-
Possibili
andamenti
Quantitativamente
si
deve
-O
-
fig.
è
per
si
legato
(6)
alla
(T)
si
costanza
verifica
.1)
di
S(T)
allorchè
è
CApp.Bl)
R'2
(T)
Rl+R(T)
R" (T)
è la derivata
seconda
di
R(T)
La
(6)
implica.
poichè
le resistenze
è la condizione
di
curvatura
soddisfatta
3.
Dalla
la
(Rif
dr
2
che
avere.
che
dT
dove
linearizzabili
dzH
dS
0_-
R'.
Fig.3
di R(T)
ricava
R(T)
anche
che
Rl.
.
sono
positive.
dalle
curve
parametro
da
R"(T).?O
AeB
di
determinare.
dalla:
2R'2 (T)
Rl
R(T)
R" (T)
In definitiva
la
siste
nell'uguagliare
ne
di
trasferimento
linearizzare
e trovare
condizione
di
linearizzazione
locale
cona zero
la derivata
seconda
della
funziodel
circuito
che
si
intende
usare
per
cosi
il
valore
del
parametro
libero
a dis-
posizione
LINEARIZZAZIONE
ad
DI
La caratteristica
ossidi
metallici
TERMISTORI
NTC
resistenza/temperatura
(appendice
A) può
essere
di un termistore
NTC
approssimata
dalla
B/T
(8)
dove
vallo
T
è la temperatura
termico
sono
R(T)
da
-A
e
assoluta
ritenersi
e
d
A e
delle
B
in
un
costanti
limitato
caratteristiche
inter-
del
termistore.
In particolare
Si
PUò infatti
B è connesso
definire
un
dR(T)
dT
1
a=
(9)
alla
sensibilità
coefficiente
del
termico
termistore
come:
B
T2
=
R(T)
Poichè
è
tipicamente
B =
a=
-4
%IOC
La A rappresenta
siderando
che
invece
3600K,
la
a T=
R(+ro}
e
300K
si
si
può
ha
con-
valutare
è:
B/Tr
R(Tr)=Ae
e ponendo
Tr=3QQ
Riprendendo
mistore
K,
la
B=36QQ K, R(Tr)=5KQ
da cui
A=Q,Q31Q.
(7) sostituiamo
a R(T)
l'equazione
del
ter-
(10)
mostra
che
la
linearità
esatta
si
PUò ottenere
ad
una
data
temperatura
e fornisce
un metodo
per
Rl
note
le costanti
A e B del
termistore.
Spesso
in
luogo
di
A viene
fornita
la.resistenza
R(Tr)
termistore
alla
temperatura
Tr
a 0 o 25 °C.
Per
ottenere
la R(T)
si
noti
che:
solo
cal-
B/T
R(T)=Ae
si
ottiene
(
vedi
Rl
appendice
Bl)
:
B-2T
B+2T
= R(T)*
La
intorno
colare
B/T
R (T)
1
e
= ---
R(Tr)
= e
del
1
B(---
)
T
da
Tr
cui:
B/Tr
e
B
R (T)
che
è
termistore
dà
la
La (10)
Rl=3571Q
= R (Tr)
forma
piu'
*(
1
1
T
Tr
e
comune
per una situazione
ovvero
come regola
in
cui
viene
tipica
B=3600
a spanne
5
data
K,
l'equazione
T=300
K
del
R(T)=5K
7
Rl
~
R(Tl)
.
10
seguito
dell'appendice
Bl
è ricavata
la forma
della
condizione
di
linearizzazione
locale
(10)
per
due
varianti
del
circuito
di
fig.2
e infine
in B2 si
indaga
sulla
forma
che
dovrebbe
avere
R(T)
affinchè
il
circuito
di
fig.2
fosse
un
perfetto
linearizzatore
su un intervallo
arbitrario
di
temperatura.
Nel
ERRORE
La
media
R1
tra
In
linearita'
DI
LINEARITA'
E DI
DERIVA
TERMICA
va determinata
ad una
temperatura
Ti
aprossimativamente
i due
estremi
Tmin
e Tmax
previsti
di
funzionamento.
tal
modo
si
minimizza
l'errore
massimo
(Appendice
D) .
Rimane
ora
da
determinare
linearizzazione
di fig.2
pratico.
Causa
la Va, nell'NTC
passa
sipazione
di potenza
pari
a
la
Va per
una
corrente
rendere
che
il
produce
circuito
una
di
di
dis-
R(T)*I2
Tale
dissipazione
aumenta
artificialmente
la temperatura
del
termistore
alterando
la misura
della
temperatura
ambiente.
L' innalzamento
termico
del
termistore
dipende
oltre
che dalla
sua
composizione
e
massa
anche
dallo
scambio
di calore
con
l'ambiente
in cui
è immerso.
Quest'ultimo
fenomeno
è molto
complesso
perchè
dipende
dalle
caratteristiche
costruttive
del
termistore,
dalle
caratteristiche
dell'ambiente
e dallo
stato
di moto relativo.
Il
calore,
alle
temperature
tra
O e 30 .c
a
cui
operiamo
viene
asportato
per conduzione
e convezione
forzata
dal
fluido
in
moto.
In
tal
caso
si
PUò
scrivere,
all'equilibrio
termico,
(Appendice
E)
( 12)
Te
-Ta
Pe
= -~(S)
=
Rtt
dove
chiude
tore
*Pe
Rth-è la resistenza
termica
termistore-ambiente,
che racil
complesso
problema
dello
scambio
di
calore
tra
termise ambiente.
I 1 parametro
RT.h-( o i 1 suo
inverso
D (s)
) dipende
ne 1 caso
che
interessa,
cioè
in
un
fluido
e
per
limitate
escursioni
termiche,
essenzialmente
dalla
velocità
"s'I
relativa
termistorefluido.
Una buona
legge
per
modellare
questo
fenomeno
è la
6
~
D(s)
dove
s
è
la
= D(O)
velocità
+ b
*
relativa
e D(O)
mediante
calibrazione.
Ci
limitiamo
a
concludere
una
misura
o dalle
caratteristiche
si
vuole
contenere
l'errore
valore
eT dovrà
essere
per
la
eT
> Te-Ta
s
= R~M--
~ ~
dV(T)/dT
P_m_~
determinare
=
P.m...
(Te)
/D(s)
dissipata
al circuito
(appendice
massima
di fig.2
P) :
deve
si
quindi
(4*Rl*eT*D(s»
Va
Va
deve
che
la
direttamente
però
è
=
*
da
Rtn-.
O D(s)
attraverso
per
il
termistore,
se
termica
sotto
un certo
elettrica
che
dalla
quale
si dedurrebbe
possibile.
Per
la
(4)
si
ha
d'uscita
per grado
termico
secondo
la:
costanti
che
nota
fornite
di
deriva
(12) :
La Pemax ovvero
la potenza
realizza
allorche
R(T)
= Rl.
La
tensione
Va applicabile
soddisfare
la seguente
relazione
Va
,b,c
*
essere
la
variazione
della
proporzionale
piu'
bassa
tensione
a
Va
S(T)
che
possiamo
interpretare
come un sensibilità
globale
in agalla
S(T)
che si
potrebbe
vedere
come
una
sensibilità
sola
rete
resistiva.
Pertanto
il
valore
minimo
di
Va deve
soddisfare
anche
un
eventuale
limite
posto
dalla
(16) (Appendice
G2) .
giunta
della
CIRCUITO
DI
SCALA
(
SCALING
)
Nella
semplice
maglia
di fig.2
non si PUò
adattare
l'uscita
in
modo
da
avere
una
lettura
diretta
della
temperatura,
per
questo
occorre
un amplificatore
da regolare
opportunamente
come
guadagno
e come offset
di tensione.
Il
circuito
di
fig.4
risolve
il
problema
ma necessita
di
resistenze
d'ingresso
.
Fig.4
di
Circuito
tali
che
R4
di
accoppiare
d'ingresso.
In
tali
linearizzata
»
R(T)
Il
la risposta
Rl
R5
+
R7
)
»
R2
Il
dell'amplificatore
condizioni
diT.
l'uscita
P6
Vu(T)
(
e
scaling
è.
essendo
R7
+ V3 R5 + R7
Vl(T)
P3
con
per
i
Vl(T)
evitare
generatori
una
funzione
P6
*
(
R4
+
1
R4
e sostituendo:
P3
V::s
*
--Va
---~3+R2
ed
--
identificando
i
gruppi
P3* P6
+ N P3+R2
+Q
costanti
con
M,N,Q
si
ottiene:
( 17)
Vu
(T)
--M*P6*Vl(T)
P3
Volendo
ad esempio
leggere
Vu(T)
-O
per
tigradi
e Vu(Tmax)
-Tmax
in gradi
centigradi
sistema
a due
equazioni
generato
dalla
(17)
dei
questo
parametri
Questo
circuito
liberi
P6
accoppiamento
essendo
e
in
P3.
tra
P6
pratica
e P3
è
però
necessario
indipendentemente.
8
T
e
P3+R2
-O
basta
trovare
un
gradi
cenrisolvere
il
i
valori
inconveniente
poterli
aggiustare
di
Inoltre
anche
la
condizione
sulle
resistenze
di
ingresso
è
vincolante.
pertanto
si
è preferito
adottare
una soluzione
ci~~
cuitale
per
lo scaling
elaborata
da Jackman
et
al.(1977)
in
fig.5
la quale
supera
tali
problemi.
L'effetto
sulla
linearizzazione
è
però
lo
stesso
e
non
migliore
di
quello
di
un ponte
di
resistori
come gli
autori
invece
affermano
a causa
di
un errato
confronto
come
sottolineato
da Hoge
(1979)
.
La
differenza
tra
una
linearizzazione
puramente
resistiva
ed
una
con
circuiti
attivi
risiede
perciò
in
altre
caratteristiche
che
andranno
evidenziate.
Nel
circuito
proposto
da Jackman
la regolazione
dell'offset
d'uscita
per
la taratura
dello
O
della
scala
termica
è
stata
risolta
adottando
una
doppia
alimentazione
+ e -Vs
mentre
il
R(T)
B
v"
Rl
Fig.
Circuito
~
elaborato
da
Jackman
et
al
(1977)
problema
dell'accoppiamento
all'amplificatore
6 stato
risolto
includendo
la Ri nel
calcolo
della
linearizzazione.
Avendo
a disposizione
due parametri
liberi
Ri e
Rl
possiamo
com'e
naturale
utilizzare
Rl per fissare
lo O della
scala
termica
R(O.C)
-Rl
ed Ri
per
soddisfare
la
condizione
di
linearit~
espressa
dalla
(10)
nel mezzo dell'intervallo
termico
di
lavoro
come indicato
in testa
al paragrafo
sull'analisi
degli
errori
di
linearit~.
Inoltre
rimanendo
libera
Rf.
essa servir~
per aggiustare
il
fondo
scala
della
lettura
diretta
della
temperatura.
Possiamo
vedere
che la (10)
si
applica
anche al
circuito
di
fig.5
allorch~
ad Rl si sostituisca
la (Ri//Rl)
.
E'infatti
dall'Appendice
Gl
(Rl//Ri)
9
-R(T)
B-2T
-B+2T
~
ed
esplicitando
rispetto
la
si
ha
Rl*R(T)*(B-2T)
= B(Rl-R(T))+2T(Rl+R(T))
Ri
mentre
ad Ri
funzione
di
trasferimento
Vu
= Vs
---=
H(T)
H(T)
è
data
da
Rf(Rl-R(T))
R(T) (Rl+Ri)+RiRl
R(T)-Rl
Rl+Ri
RlRi
+
R(T)
Rf
Rf
Notare
che
nella
(18)
non
compare
Rf che
rimanendo
perciò
estraneo
alla
condizione
di
linearizzazione
è disponibile
per
aggiustare
il
fondo
scala.
R1 ed Ri si
determinano
come già
fondamentalmente
illustrato:
infatti
dalla
(19)
per
T = O °C si
deve
avere
V(O)
= O
e
quindi
R1 = R ( O ° C) .
Con
la
(18)
si
determina
Ri per
T=
Tm nel
mezzo
della
scala.
Ci
si
PUò chiedere
cosa
accadrebbe
se
le tensioni
+eVs non
fossero
perfettamente
bilanciate
ed anzi
fossero
tensioni
V1 e V2
arbitrarie.
La
domanda
è
opportuna
in
quanto
la risposta
influenza
la
realizzabilità
pratica
del
circuito.
Il
risultato
è (Appendice
H) che
la
condizione
di
linearizzazione
espressa
dalla
(18)
non viene
modificata
da un eventuale
sbilanciamento
delle
tensioni
V1 e V2 ed anche
lo zero
e il
fondo
scala
possono
essere
regolati
indipendentemente
in
quanto
l'uscita
del
circuito
di
fig.5
con
V1 e V2 arbitrarie
è
Rf
Ri
(20)
Vu
=
-
Vi
R(T)
(
--
1
---+
1
---+
R(T)
che
dà
per
T=
O"C
Vi
R(O°C)
da
T=
cui
si
Dalla
Tmax.
ricava
(18)
Vu
V2
R1
+
=
.
Vu
1
---
R1
=
o
Ri
la
-V2
R1
R1 note
V1 e V2.
a T=
Tm si
trova
= Tmax
si
calcola
la
la
10
Ri
Rf
ed
date
infine
le V1
dalla
e V2
che
(20)
a
devono
soddisfare
le
condizioni
espresse
nel
paragrafo
ERRORE
DI
LINEARITA'E
DI DERIVA TERMICA eq (15) .
In
definitiva
nessuna
delle
pregevoli
caratteristiche
del
circuito
di fig.5
si perde
fino
a quando
si usano
due sorgenti
di
polarità
opposta
anche
se di valore
diverso.
Se
però
una delle
due sorgenti
viene
messa a massa generando
il
piu
semplice
circuito
di fig.6.
l'analisi
dimostra
che R1 e Rf
Circuito
vengono
accoppiati,
<Appendice
H)
(21)
Vu
nel
a
Fig.6
singola
senso
che.
sorgente
come
si
vede
dalla
(21)
-Rf*Rl*Vl
Rl*Ri+R(T)Ri+Rl*R(T)
devono
essere
determinati
simultaneamente
per
aggiustare
nello
stesso
momento
lo zero
( in
questo
caso
relativo)
e
il
fondo
scala.
ciò
che
rende
in pratica
difficile
la messa
a punto
del
circuito.
Nessuna
soluzione
supplementare
di
scaling
tipo
1)
o
2)
di
fig.6
PUò
risolvere
il
problema
che
è intrinseco
a questa
configurazione
circuitale.
REALIZZAZIONE
DEL CIRCUITO
L'analisi
esposta
nelle
pagine
precedenti
è
stata
anche
utilizzata
per
progettare
il
circuito
di
fig.7
che
è servito
a
linearizzare
e adattare
la risposta
di
due
catene
di
termistori
per
uso
oceanografico
della
AANDERAA
con
numero
di
serie
755
e
785,
di
proprietà
dell'IFA.
I termistori
delle
catene
erano
entrambi
FENWAL
standard
bead,
2K isocurve
tipo
GB32JM19
con
caratteristiche
fornite
dalla
AANDERAA
come
in
tabella
1
11
~
T.C.-costante
in mW/.C
di
tempo
Dal
in
secondi;
D.C.-costante
Tab.l
dei
termistori
manuale
di
dissipazione
Fenwal
nno' andDlssipltlcn' Cmotliltllcw loo<:uM' nwrmbl«1
~oto: AI ~
Lk~~
~
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/
MMIq
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Wal-
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r~l~t.",.,M
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la
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bIrs..'YO"AI-'d"...'..-'!.
T"","~~
-!1IOtmiIIIn
dei
Tab.2
termistori
Fenwal
Essendo
i sensori
inseriti
in uno spesso
cavo
di
poliuretano
e
imbevuti
in uno
stampo
di
poliuretano
per
metterli
in
contatto
termico
con
l'esterno
la
loro
costante
di
tempo
di
2
secondi
diviene
( dato
AANDERAA
) di
2,5
minuti
(Appendice
L)
L'intervallo
termico
di
nostro
interesse
era
0-30°C.
12
Per
determinare
valore
della
costante
da Il a(
11)
R1
eRi
B mediante
In
R(T2)
1
B-
(22)
si
è
la
proceduto
seguente
-In
a misurare
equazione
prima
derivata
il
,
R(Tl)
1
T2
Tl
Le
coppie
di
punti
scelti
per
tale
misura
sono state:
(T2.T1)-(0.25.C)
.(T2.T1)-(0.10.C)
.(T2.T1)-(20.30.C)
.
Per ognuno
di questi
intervalli
si è misurata
la
B che
è
risultata
essere
abbastanza
costante
e di valor
medio
B-3400.
Con
la
R(O.C)-5700Q
si
è
POsto
Rl-5700Q
per
la lettura
diretta
e si è quindi
proceduto
al calcolo
di Ri secondo
la
(18)
con T-15.C
e R(15.C)-2984Q.
risultandone
Ri-3373Q.
La
tensione
di alimentazione
Vs è stata
scelta
come la massima
consentita
in
funzione
perO
di
un
limitato
autoriscaldamento.
Se
l'errore
eT derivante
dall'autoriscaldamento
deve essere
contenuto
entro
O.Ol.C
ed
assumendo
per
la
costante
di
dissipazione
il
valore
D-O.8mW/.C
si ha.
con ~(Rl//Ri)
(Appendice
L)
-3
Va < ..(4R(T)eT
D) -..(.4*2119*0.01*0.8*10
)
-26Omv
ed
essendo
Vs-Va/2
si
ottiene
Vs-13OmV.
5.' Kn.
~~+12.V
1
.
AO
.
.-.
~~.n
~
100k'
..~K..n..
'*'
"R-t
581.
.
+1'?V
2.~J(1
~
Vv
RL
l(
-12.V
4~OJl
5 ,K.n.
I C-
,
i+/
-\
1~--,--~.2k.'SO
~1KÀ M ~;,.{
-Vs
Realizzazione
,
RT
fEHWAL
GB32.Jt119 .
pratica
r.
-;-
Fig.7
del
circuito
13
39n
":'"
di
Jackman
et.
al
Per verificare
l'andamento
dell'uscita
Vu(T)
del
circuito
di
fig.7
in funzione
di T,
in una prima
fase,
il
termistore
è stato
sostituito
con un box di resistenze
campione
ottenendo
un'uscita
che si discosta
dall'andamento
rettilineo
di meno di O.l.C
intercettando
la retta
a O.C,
15.C e 30.C
come aspettato.
Sono state
infine
eseguite
delle
misure
con i sensori
stessi
immergendoli
in un termostato
COLORA con stabilità
misurata
della
temperatura
di O.O5.C.
.
Le misure
sono
state
effettuate
con un termometro
a
quarzo
HP2801
con
sonda
di
ridotta
capacità
termica
e
precisione
migliore
di
~ O.Ol.C
.
Il
sensore
nel
suo involucro
occupa
120cror
dei
1000c~
del
termostato.
I risultati
si
possono
vedere
in fig..8.
0\}
,--.
no
%
1-
~
"
.
e
t'..;.~
te.~?ìl\->"Z-;oi-'..t
)(
Sec.o~
"
otoO.oe
-
Ik. +0.0,
2
"' +0.04
..,,-:=-,
+0.01
1
J~
o
~
0.00
-0.01
-0.01
.\
...I\
\
~
,1 .~
.fAr
.0
.,~
1?~
- .T HP C
30'
~ O~
I
\
J
\
\
/
,
Deviazione
',~--'
.~
,
dalla
F
linearità
.
19.
8
del
'circuito
di
fig.7
E'
stato
possibile
misurare
solo
la met~
superiore
(15/30.C)
dell'intero
intervallo
di
interesse
in quanto
il
tipo
di
termostato
a disposizione
non raffreddava
la temperatura
della
sorgente
.acqua
di
rubinetto.
che
non
scendeva
sotto
i
15°C
(era
d'inverno!)
.
L'errore
per
ciascun
punto
è-di
f 0.01.C
stimato
entro
i 30
su un
campione
di
130 misure
per
ogni
punto.
E'
da notare
infine
che.
nel
circuito
di
fig.7.
la
+Vs
è
dalla
parte
di
Rl
al
contrario
che
nel
circuito
di
fig.5.
ciò
per
avere
una
tensione
positiva
per
temperature
positive.
14
APPENDICE
A
I termistori
NTC ( Negative
Temperature
Coefficient
)
sono
resistori
con elevato
coefficiente
negativo
di temperatura.
Quelli
piu
soventemente
utilizzati
sono una miscela
di ossidi
metallici
di elementi
quali
manganese.
cromo.
ferro.
cobalto.
nichel.
rame.
Tali
ossidi
allo
stato
puro
presentano
un'elevata
resistivita
ma divengono
semiconduttori
con l'aggiunta
di
piccole
quantit~
di
ioni
di altri
elementi
con differente
valenza.
Ad esempio
un semi conduttore
di tipo
n si ottiene
sostituendo
nell'ossido
di ferro
Fe:+Oiuna piccola
parte
degli
ioni
Fe3+
con ioni
titanio
Ti~+
.
Per
mantenere
l'equilibrio
delle
cariche.
gli
ioni
titanio
vengono
compensati
da un'equivalente
quantit~
di
ioni
Fe2+.
A basse
temperature
l'elettrone
in piu
di ogni
ione
Fe2+
è
legato
a ciascuno
degli
ioni
Ti~+.
ma a temperature
piu elevate
questi
elettroni
divengono
gradualmente
cariche
libere
aumentando
la conduttivit~.
Un esempio
di semi conduttore
di tipo
p si ottiene
dall'ossido
di cobalto
COI+QIsostituendo
parzialmente
CO2+ con
ioni
litio
L I.J....
--.0Per
l'equilibrio
delle
cariche
si
introduce
insieme
agli
ioni
Lil+
una equivalente
parte
di
ioni
CO3+.
A basse
temperature
le
lacune
degli
ioni
trivalenti
sono
legati
agli
ioni
Lil+
.ma
a temperature
piu
alte
tali
lacune
si
muovono
nella
struttura
cristallina
aumentando
la conduttivit~.
Gli
altri
ossidi
vengono
aggiunti
per
ottenere
sia
una
migliore
riproducibilit~
e stabilit~
delle
caratteristiche
che un
dato
coefficiente
termico
e resistivit~.
Una derivazione
qualitativa
della
(8) PUò farsi
in base
alle
seguenti
considerazioni;
per
i materiali
del
tipo
citato
si può
scrivere:
a (T)
-q
n (T)
dove
o è la conducibilità
q l'unità
di
carica
elettrica
Per
n(T)
si
ha in
base
* Il (T)
.n
la densità
e u
è la
alla
statistica
volumica
dei
mobilità
.
di
Boltzmann.
portatori.
-El/k*T
n(T)
.e
dove
k è la costante
trostatica
di
legame
Per
u(T)
da una
car1che
mobili
in
di
Boltzmann
e El
dipende
fra
le cariche
mobili
e
parte
si
ha una
dipendenza
un
semi conduttore
al
dall'energia
eletioni
d'impurit~.
da
T
del
tipo
germanio:
u ~ T-b
;
d'àltra
una
conduttore
parte
si
ha
dipendenza
del
15
tipo
gli
a
ioni
:
-E2/k*T
-1
.u(T
dove
E2
livello
è
~
l'energia
contiguo.
in
definitiva
E'
e
T
termica
per
minima
i
materiali
~
T
-c
.u(T)
A(3)
e
sostituendo
A(2)
e A(3)
necessaria
in
dove
la
In
resistività
A{l)
q
E2 PUò essere
nulla.
pratica
predomina
è:
in
un
poichè
la
salto
oggetto:
-E2/K*T
si
ottiene
-(El+E2)/K*T
-c
~
il
e
in
cr(T)
per
e
T
fattore
il
esponenziale
e
l/cr(T)
nota
la geometria
del
dispositivo
si
ottiene
la
(8) .
Per
la preparazione
dei
dispositivi
secondo
la
tecnologia
tradizionale
si
utilizza
un
procedimento
quello
usato
nell'
industria
della
ceramica.
Alla
miscela
di
ossidi
metallici
viene
aggiunto
piu'
un
comune
simile
a
indurente
plastico.
Da
questa
pasta
si
ottengono
cilindri
per
estrusione
o dischi
per
pressatura,
quindi
tali
componenti
vengono
cotti
a
temperatura
sufficientemente
alta
( appena
al
di
sotto
del
punto
di
fusione)
per
ottenere
la sinterizzazione
degli
ossidi.
Infine
i contatti
elettrici
vengono
formati
mediante
soffiatura
di
uno
strato
di
argento
o spruzzatura
di
un metallo
o
altri
cia
cando
in
processi
elettrochimici.
I componenti
in miniatura
si
di
pasta
tra
due
fili
paralleli
e sinterizzando
il
tutto.
Per
dare
un esempio
delle
miniatura
hanno
un diametro
termistore
di
O,2mm.
Per
talune
applicazioni
ampolle
di
vetro
che
li
ottengono
di
lega
dimensioni
di
O,O6mm
i dispositivi
proteggono
contro
16
i
e
depositando
di
platino
fili
di
distano
vengono
l'azione
una
goced essicun
nel
componente
corpo
del
incapsulati
dell'ambiente.
in
APPENDICE
B
Bl.
Il
circuito
di
linearizzazione
in
esame
La
condizione
di
linearizzazione
nell'uguagliare
a zero
la
derivata
seconda
trasferimento
d2H
---=
ottiene
di
H=
~~~~
Rl
dT
R' (T)
(T)
Rl
R' (T)
(R(T)+Rl)2
-RlR"(T)
+Rl)
(R(T)+Rl)2+RlR'
a
(R(T)
(T)
+2RlR'
(T)*2(R(T)+Rl)R'
(T)
+Rl)4
2 (T)
+Rl)3
eguagliando
-RlR"
-o
(R(T)
(R(T)
(R(T)
si
Rl
R(T)+Rl
(R(T)+Rl)2
Ed
R(T)+Rl
R(T)+Rl
-Rl*
-RlR"
=
seguito:
=
d T
fig.2.
consiste
funzione
essere:
d
d
di
Va
d2
dT2
---(
Si
quello
locale
della
Rl
dove
O
dT2
Deve
è
O
+Rl)
+2RlR'2
(T)
=
O
ottiene
2R'2
ovvero
(Bl)
Rl
(T)
=
R(T)
R" (T)
che
sono
la
Se R(T)
(6)
e
= Ae
la
B/T
(7)
si
ha
R' (T)
18
= Ae
B/T
(-
B
B
---)=
T2
T2
R(T)
di
B
B*2T
H"
(T)
H (T)
2
---+
T
e
B
---)
T2
sostituendo
(T)
2
---+
--(
r
T4
-
--R'
--
B
---
B
---)
T
R I (T)
T2
R(T)
T2
tali
derivate
in
(Bl
si
ha
2Ba
---Ra
2B
B2
R(T)
+
T3
( T)
'!'4
R(T)
T4
Rl
+
R(T)
2B
2B2
R(T)
R(T)
T
1'4
Rl
+ R(T)
B2
2BR(T)
0
-
--
2B
-?che
circuiti
è
la
Allo
(10) .
stesso
di
fig.Bl
2T+B
B
+ ---
2
+
---
T4
T
per
risultato,
Thèvenin
-Norton.
conducono
i
VA-IRl
I
JR
(T)
<=>
~
Linearizzazione
Consideriamo
:.
con
ora
il
Fig.Bl
resistenza
seguente
circuito
serie
o
in
cui
parallelo
si
hanno
due
resistori
da
determinare
VA
-V(T)
Rl
Linearizzazione
La
funzione
di
Rl
+
ponendo
Si
trsferimento
ha
di
RlR2+RlR(T)
RlR2+(Rl+R2)R(T)
a -RlR2
e b-
Rl+R2
a+
a+
diviene:
RlR(T)
b R(T)
seguito
RlR'
(T)
=
(aRl-ab)R"(T)
(a+bR(T)
( a+bR
dT
(aRl-ab)
( a+bR
(a+bR(T)
dT
poichè
parallelo.
R2+R(T)
dH
dH'
tipo
e
Rl
R2 R(T)
H-
che
Fig.B2
due parametri
con
(T)
dH'/dT
-O
-bR'
(T)
(a+RlR(T)
(T) ) 2
R' (T)
)2
)-(aRl-ab)R'
(a+bR(T»::S
dev'essere
)
è
20
(T)*2bR'
(T)
)
(aHl-ab)
da
H" (T)
(a+b
H(T)
cui:
)
-2b(aHl-ab)
2bR'
(B2)
2
(T)
2R' 2
La
(B2)
R1R2/Rl+R2
(B3)
-o
(T)
R'I (T)
a+bR(T)
a/b-
(T)
H'2
coincide
-Rl//R2
Rl//R2
con
e
le
(Bl)
quindi
R(T)
allorchè
nella
(10)
ad Rl
si
si
ha:
sostituisca
B-2T
B+2T
-R(T)
Questo
significa
tenze
per
ottenere
peratura
e l'altra
zazione
locale.
Lo stesso
dicasi
a
---+
b
che possiamo
scegliere
una delle
due
resisuna
determinata
tensione
ad una certa
temper ottemperare
alla
condizione
di
linearizper
il
circuito
seguente:
R(T)
Rk
V(T)
~"II'MRl
Linearizzatore
esso
H
si
Fig.B3
due
parametri
a
tipo
serie
ha:
v (T)
VA
Rl
(RT+Rk)+Rl
H'-
-RlR'
(T)
( (R(T) +Rk)
-RlR"
(T)
-1-11'-
+Rl)
( (R(T)
2
+Rk)
+Rl)
2 +RlR'2
(T)
«R(T)+Rk)+Rl)~
0-
-R"(T)
(H (T) +Rk)
+Hl)
+2R'
.
-
21
2 (T)
*2*
( (R(T)
+Rk)
+Rl)
da
cui
2R'2 (T)
= R(T)+(Rk+Rl)
R" (T)
(B4)
ovvero
2R'2
Rk+Rl
=
(T)
--
---R(T)
R" (T)
B-2T
da
analogamente
cui.
che
in
precedenza,
Rk+Rl
=
R(T)
B+2T
In
definitiva
i circuiti
di figg.
B2 e B3 sono dei
semplici
circuiti
di scaling
utili
per
esempio
ad
aggiustare
il
fondo
scala
o fissare
uno zero
relativo
non incidendo
minimamente
sulla
linearizzazione.
Anche
per
il
circuito
di fig.2
è possibile
una lettura
diretta
a
0°C semplicemente
sdoppiando
l'alimentazione
in modo opportuno.
B2.
Ci
si
affinchè
ogni
T.
Deve
PUò
la
infine
chiedere
condizione
di
quale
è
linearità
la
forma
espressa
specifica
dalla
per
(7)
valga
R(T)
per
essere:
S(T)
=
Rl
---(~(T)+Rl)2
cost
R'
(T)
cost
poniamo
Cl
=
ed
Rl+R(T)
= E si
ha:
Rl
-1
E'
Cl
---
-1
dE
--
da
E2
eui
E
~
ClT+C2
dT
ovvero
1
Rl+~~~)=
cost
--~~--
T+
C2
da
cui
infine
1
Rl(
-1
cost
La
curva
deve
T+
C2
essere
perciò
di
22
tipo
iperbolico
e
cost
e C2
possono
essere
determinate
in
base
alla
realizzabilit~
fisica
del
dispositivo.
~PPENDICE
C
B/T
{8)
L'equazione
pratica
piu
R(T)
A)
(appendice
-A
o
e
la
sua
forma
(11}
B(l/T-l/Tr
R(T)
sono modelli
validi
perchè
la costante
-R(Tr)
solo
B in
per
realtà
e
un
limitato
aumenta
intervallo
con
l'aumentare
termico
della
anche
tem-
peratura
per un dato
termistore.
In un intervallo
tra
O e 50.C un errore
di +1- 0.3°C
è tipico
per
il
solo
effetto
dell'approssimazione
del
modello
{8) .
Per utilizzare
l'equazione
{11)
occorrono
almeno
due punti
di
calibrazione
per calcolare
R{Tr)
e
la
B
oppure
ovviamente
un
punto
di calibrazione
R{Tr)
e il
valore
di B dato.
I
valori
dati
di B però sono soggetti
a una tolleranza
che
oltretutto
---L'effetto
piu'
o in
un
è variabile
con la temperatura.
di tale
tolleranza
è espresso
meno di R(T)
per ogni
T o come
determinato
La situazione
intervallo
di
è illustrata
temperatura.
nella
fig.
come
scarto
percentuale
termico
fAT
in
per
Cl
R(T)
HA)(
t1IH
1
!~~
,
~.
...
tA_T
R~
~
.,
"
I,T
~~
.Tx
Fig.
Fascia
Ad
3%
esempio
per
una
Per
il
inAT
Per
valore
,
,
B
-:t
di
tramite
Cl
delle
tolleranza
25"CAR/R
produzione
termistore
e valeAT
misure
di
a
di
-1%
accurata.
da noi
O.l"C
precisione
che
curve
sale
utilizzato
nell'intervallo
pertanto
la:
..
--
23
però
la
è
R(T)
a
O e 50"C
tolleranza
-5,+35"C.
preferibile
aAR/R
è
-
espressa
misurare
il
In
B
Per
temperatura
sviluppato
ridurre
è
da
R(T2)
1
-In
1
R(Tl)
T2
Tl
massimo
su
intervalli
passare
ad un
modello
e Hart
in
cui
è:
l'errore
necessario
Steinhart
piu
piu'
estesi
complicato
di
3
(
R(T)
+a3/T
aO+al/T+a2/P
)
-e
3
1
ovvero
exp
+ a3(lnR(T»
(aO+allnR(T)+a2(lnR(T»2
T
Queste
equazioni
danno un errore
massimol1T
intervallo
da O a lOO.C.
Sono necessari
quattro
punti
di calibrazione
le quattro
costanti.
-
-O.OOl5.C
per
in
un
determinare
Ovviamente
le precisioni
summenzionate
si riferiscono
al computo
della
temperatura
T attraverso
la misura
di R(T)
utilizzando
le e-9uazioni
esponenziali
relative.
Se invece
si prescinde
dalle
equazioni
esponenziali
(le
quali
imporrebbero
l'uso
di un elaboratore
anche
se
micro
o
di
un
hardware
dedicato)
e si misura
T utilizzando
solo
l'informazione
della
corrente
che fluisce
nel
termistore
o
della
tensione
ai
suoi
capi
ci si riconduce
all'uso
di un linearizzatore
che seppure
molto
piu'
semplice
peggiora
pero'
le precisioni
ottenibili
con
l'uso
diretto
dei modelli.
Per migliorare
in modo essenziale
la linearit~
di un circuito
linearizzatore
in un intervallo
esteso
di
temperatura
oltre
che
all'uso
di
un appropriato
modello
si dovrebbe
ricorrere
al circuito
di tig.C2
Doppio
..
in',GUi
il
termistori
'.
Tutti
»--n unico
.
--
termistore
identici
i termistori
contenitore
Fig.
C2
termistore
R(T)/N
può
essere
R(T)
o fabbricandolo
.R(T)
incluso.
a stretto
contat.to
?4
(Rif.6)
ottenuto
ad hoc.
devono
termico.
parallelando
essere
riuniti
N
in
La
Rl
viene
determinata
con
il
modello
(8) ..
La
R(T)
è
sostituita
da
vanno
ottenuti
con
altri
metodi
Una realizzazione
pratica
è
la
usuale
(10)
nel
caso
che
si
N ed
Rs
utilizzi
Realizzazione
tra
pratica
La deviazione
O
e
20.C
modello
(8)
e
dalla
t
del
(Rs+R(T)/N)IIR(T)
(Rif.6)
.
il
circuito
di
FIG.
circuito
linearità
0.22
tra
0
.
:.
25
C3
a doppio
di
tale
e 100.C
mentre
fig.C3
termistore
circuito
utilizzando
con
è
%
il
N-5
0.027.C
semplice
APPENDICE
D
Riprendendo
sostituendo
di
linearizzazione
(D1)
v
il
circuito
questa
locale
in
di
Rl
(10)
fig.2
in
cui
l'uscita
il
suo
valore
secondo
calcolata
per
T -Tm
1 + -_:
R(T~B-2Tm
-Va
(T)
ad
-Va
è
la
si
+
e
1
(B+2Tm)
~
R(T)
1
la
(2)
condizione
ha:
R(Tm)
(B-2Tm)
R(Tm) ~~;~costl
cost2+cost3
Nel
punto
T-
V(Tm)
Se
R(T)
V (T)
-Ae
-O.
Nel
obliquo.
Tm è
-Va
utilizziamo
B/T
punto
pertanto
ha
Tm
1
Tm
2
B
(
il
si
R(T)
)
modello
che
.
per
(8)
T~
poichè
l'andamento
per
+ m è
la
di
il
V(T)
H'
V(T)
+
0__-
TM~~
termistore
-cost.
O e
sarà
e
H" -O
quello
si
di
che
è
per
T
~
O
ha un
fig.Dl
f lesso
con
il
della
punto
fun-
v (T)
t
cost
:-r
r
Tipico
Il
medio
zione
punto
Tm
tra
Tmin
esponenziale
TH'.'
J
Fig.Dl
andamento
ad
I
S della
T
V(T)
considerato~~J~coincide
esattamente
e Tmax
~a
causa
dell'asimmetria
non col1\ciJe
con il pun to di z~ro.
26
.
e'
Per
tutti
i
casi
pratici
si
può
però
per
semplicità
assumere
Tm -To
Funzione
Si
ha:
6
-V
V (Tmax)
Fig.D2
o scostamento
differenza
(T)
-(aT+b)
dove
V (T)
dalla
è
-V(Tmin)
la
linearità
(Dl)
e
V (Tmax)
aT+b-
-V(Tmin)
T+(V(Tmin)
Tmax
Tmin)
-Tmin
Tmax
-Tmin
dA
Eseguendo
massimo
e
O possiamo
i
dT
loro
valori
trovare
.
27
i
punti
di
minimo
e
di
Si raggiungono
a
I
2"C
tra
termistore.
Le proprietà
metodo
(Rif.6
fig.2.
utilizzando
precisioni
e
70
0
delle
e
7)
tre
"C
di I 0.07
utilizzando
curve
di fig.Dl
per trovare
il
valori
di
R(T)
Tmin,
Tmax,
Tm.
Poichè
è, con
V (Tm) -V(Tmin)
Va
V(T)
i 10 e 30
il
modello
°C.
ci
suggeriscono
valore
di Rl del
Ae
ottima
approssimazione
= V(Tmax)
-V(Tm)
ma si
(8) per
un
circuito
si
altro
di
B/T
calcolati
ed
essendo
a
o misurati
per
la
(2)
ha:
+ Rl
1
1
1
1
da
si
R(Tm)
+
Rl
può
ricavare
va
il
Rl
=
R(T)
=
tra
R(Tmin)
+
Rl
R(Tmax)
Rl
28
+ Rl
cui
APPENDICE
e X
E
La
capacit~
è
Per
il
termica
calore
definizione
del
specifico.
è:
termistore
1
'X
L\Q
da
m
Poichè
ci
interessa
Joule
èAo
-12
C. 6. T
m è
la
massa
-
temporale
sarà:
!).Q
At
(T)'R(T)
.6T
C
cui
?ldove
~T
l'evoluzione
6.T
C Àt
Per
è C -m
, t
Pe(T)
-Pe(T)
.t
che
sostituita
dà:
.
~t
Se si
termistore
introduce
si ha.
dove
D
è
temperatura.
ambiente,
un
la dissipazione
assumendo
la
Pd -D
coefficiente
supposta
di
legge
calore
lineare
verso
l'esterno
di Newton.
(T-Ta)
di. dissipazione
termica
uniforme.
del
termistore
(W/.C)
e
Ta
del
.
T
quella
che
C
(El
ÀT
Pe(T)
-D(T-Ta)
~t
In
situazione
di
equilibrio
termico
bT
.,---
-O
e
T
-Te
-cost
Àt
pertanto
Te -Ta
(E2)
Per
i piccoli
Mediante
la
sensori
da
(El)
possiamo
del
termistore.
Affrontiamo
prima
fatto
lavorare
per
nella
(El)
Pe(Te)
D
mico
pot~nza.
E'
-
Pe(T)
noi
la situazione
un
tempo
usati
analizzare
D è dell'ordine
anche
il
di
raffreddamento
sufficiente
ad
-O
29
del
transiente
una
mW/.C
ter-
dopo
averlo
determinata
la
D
dT
---(T-Ta)
--
C
dt
da cui
uguale
dovendo
a Ta si
essere
ottiene:
in
T(t)
t
-o
uguale
Te
e T(t)
per
t
~
+CD
-t/'T
T
e T, la
T
-C/D
costante
ovvero
dissipazione,
Nella
fase
di
di
tempo,
si
la
capacità
dT
si
le
cui
incognite
facilmente
fratto
si
ha
dalla
che vale
la
costante
(El)
di
:
D
--~-
(T-Ta)
C
ha
V.2
(E4)
invece
R(T)
.-~-(R(T)+Rl);
V.2
dt
(E3)
riconosce
termica
riscaldamento
(E3)
Dalla
+ Ta
-(Te-Ta).-e.
all'equilibrio
R(Te)
R(Te)
termico
-D(
e Te
R(Te)
+Rl)
loro
2
(Te-Ta)
sono
tra
legate
(E4)
(E3)
per
la situazione
per
l'evoluzione
-O
dalla
B/Te
R(Te)
e
-Ae
L'equazione
a
maggior
risolte
con
esponenziale
ragione
la
metodi
numerici.
..
30
di
equilibrio
possono
essere
APPENDICE
...
F
Consideriamo
il
circuito
di
fig.Fl
in
cui
Rl
è data.
Fig.Fl
Il
teorema
della
massima
potenza
afferma
che
la
massima
potenza
viene
trasferita
dalla
sorgente
al carico
allorchè
la
resistenza
di carico
sia
uguale
a quella
della
sorgente.
Assimilando
R(T)
al carico
ed Rl alla
resistenza
della
sorgente
deve essere
R(T)
-Rl.
Il
teorema
può essere
dimostrato
nel
seguente
modo:
-R(T)*I2
P(T)
(T)
--(-~(T)
V.2*R(T)
+ Rl
2
dP(T)
dR(T)
Un estremo
si
ha
per
(R(T)+Rl)
ovvero
Allo
In
per
il
R(T)
-Rl.
stesso
risultato
tale
condizione
carico
R(T)
dalla
dP(T)/dR(T)
-O
-2R(T)
-O
si arriva
ponendo
dP(T)/dT
-o.
segue
che la massima
potenza
disponibile
sorgente
Va è:
V.2
P.m...
4Rl
V.2
che
sostituita
nella
(14)
eT1
Te-Ta
-P.m_H/D
dà
eT
1
4RlD
da
cui
segue
la
(15)
Va
Notiamo
di
i(...[4Rl*eT*D)
passaggio
l'analogia
della
..
-
31
(15)
con
la
formula
del
rumore
termico
di
un resistore
Ve!!
--f
V2
Rl
f
che
vale:
(4Rl*T*K*B)
ove
si
scelga
per
la
larghezza
di
banda
B-l.
E'
inoltre
K-costante
di Boltzmann,
KB ha dimensioni
W/K le stesse
di D, T è
la temperatura
del
resistore
mentre
eT -Te-Ta,
la Ve!!
è la tensione
di rumore
generata
dal
resistore
mentre
Va
è
la
tensione
applicata
al circuito
di !ig.Fl.
Riferendoci
ancora
alla
!ig.Fl
supponiamo
di poter
variare
la
Va da O ad un valore
arbitrario.
La corrente
che scorre
nel
circuito
finirà
per
provocare
un
autoriscaldamento
del
termistore
che contribuisce
a ridurre
la
resistenza
R(T)
del
termistore
il
che aumenta
ancora
di
piu
la
corrente
che
fluisce:
ciò
continua
in un processo
a valanga
che
distruggerebbe
il
termistore
se vi
fosse
sufficiente
potenza
disponibile
non limitata
da Rl.
L'andamento
del
fenomeno
è rappresentato
in !ig.F2
in scala
lineare.
\
I
CRE$c.eH1'1
,
"'-
","
t -q~
G
/
R.
1(,)
,
---
---
Curva
della
--ma
potenza
p abile
prima
breakdown
massidissidel
,
-~
-V(T)
Le
curve
sono
t:j~--.
Curva
date
Fig.
E-I
del
all'equilibrio
-E
F2
termistore
termico
Te-Ta-cost
Le ultime
considerazioni
mostrano
che
se
la
corrente
viene
forzata
nel
termistore
dall'aumento
di Va.
la tensione
ai capi
del
termistore
(ad una certa
temperatura
ambiente)
aumenta
fino
ad un certo
punto
e poi diminuisce
pur continuando
la corrente
ad
aumentare
esibendo
cosl
una
caratteristica
di
resistenza
negativa.
Le
curve
di
fig.F2
sono più
comunemente
presentate
in scala
log-log
come in fig.F3a.b
32
Dal
La
posta
parametri
corrente
dei
Fig.F3
termistori
Fenwal
curva
E-I
è la. stessa
curva
P-R
ruotata
di
45.e
sovrapad
un
diagramma
log-log
con
la
introduzione
di
altri
due
in
ascissa
e ordinata.
rispettivamente
I ed E che
sono
attraverso
il
termistore
e la tensione
ai
capi.
Per
siamo
E'
manuale
valutare
procedere
sempre:
le
nel
caratteristiche
modo
~2~: -R(T)
I (T)
All'equilibrio
delle
curve
in
si
-Ae
massimo
di
tensione
pos-
B/T
termico.
nella
quale
esame e' dato
si ha:
v (Te)
procedendo
del
seguente.
* I (Te)
-D*
condizione
(Te-Ta)
ottiene:
lnV(Te)-lnI(Te)-lnA
+
33
B
Te
ogni
punto
lnV(Te)+lnI(Te)-lnD
sommando
si
arriva
+
alla:
1
lnV(Te)
ln(A*D)
2
Questa
ln(Te-Ta)
equazione
ha
d
---lnV(T-
un
,
1
+ ---ln(Te-Ta)
2
estremo
allorche:
-0-
1
2 (T_-T.
--
B
+
2Te
B
2T.2
)
da
cui
dT.(.
T.2
-BT.
B.1:-f(B2-
+ BT.
4BTa)
-O
e quindi
1
B2
Tevmax-
B.1: -f(--2
2
1
---E
2
E
:t..[ (E (
T-
))
4
Da
dove
si vede che la temperatura
alla
dipende
direttamente
.da R(Tevniax)
ma solo
da
E' pur vero
che vi è una dipendenza
indiretta
diversi
termistori
alla
stessa
temperatura.
più
elevata
hanno
un B più
elevato.
La temperatura
Tevmax
a cui
la tensione
è
se è B ~ 4Ta il
che è sempre
vero
per tutti
i
Inoltre
dato
che B è compreso
tra
2000 e
meno fornisce
valori
fisici
per
la Tevmàx.
Con B -3600
K
e Ta -300
K
è:
Tevmax-
Poich~
330.3
K
-
-BTa)
4
57.1
.c
-D
(Te-Ta)
tensione
B e Ta.
in
quelli
V2 (Te)
alla
Tevmax
si
R(Te)
ha:
V(TeVmax)
-~(R(TeVmax)*D*(TeVmax
34
-Ta»
non
quanto
tra
a resistenza
massima
esiste
casi
pratici.
4000.
solo
il
è:
V(Te)*I(Te)
massima
solo
segno
APPENDICE
Gl.Per
choff
G
il
Li=O
circuito
ovvero:
di
Vs
fig.5
-Vb
possiamo
ne I
nodo
b
per
Kir-
Ri
Rl
l'approssimazione
Anche
nodo
+
R(T)
o
nel
-Vs-Vb
+
Per
scrivere
di
Il
Il
Vb
---+
V(T)
Ri
Rf
si
terra
ha
=
virtuale
Li
=
o
e'
inoltre
V-
=
v+
ovvero:
O
Ri
Dalla
Vb
(G2)
=
V(T)
che
sostituita
in
(Gl
Rf
fornisce
da
cui
ed
infine
R(T)
v (T)
H(T)
Vs
RlR(T)
Rf
R(T)
=
R(T)
che
è
La
1 a(
19)
condizione
-Rl
-Rl
Rl+R:i
Rf
+
Rl
+
Ri
Rf
(R(T)+Rl)
R:i
Rf
.
di
linearizzazione
per
ponendo
35
la
(G3)
SI
ottiene
im-
d2 H (T)
=
O.
d P
Rl+Ri
Per
eseguire
tale
derivazione
poniamo
-Rl
=a;
=
c
Rf
Rl*Ri
0
=
b
Rf
V(T)
H(T)
=
.R(T)
-
=
=
R
g.
Vs
si
ottiene
di
seguito:
R + a
cR+b
9
(R+a)
R'(l-cg)
R'-cgR'
(cR'
._-
R'
cR+b
(cR+b)2
-
g'=
cR+b
cR+b
H'I (l-cg)
9
Il
+H'
(-cg'
)
H'
cH+B
R Il ( l-cg)
(l-cg)
(cH'
)
(cH+b)2
-cR
I 9 I -cR
I 9 I
cR+g
Deve
essere
glI
R" (l-cg)
da
=
O pertanto
=
2cR'
gl
2cR'2
(l-cg)
cR+b
=
cui:
R"
=
2cR'2
cR+b
=
2R'2
R+b/c
e quindi
(G4)
La
tituisca
(G4)
la
b
---=
c
coincide
2R'2
R
R"
con
la
(7)
~h
in
cui
in
luogo
di
Rl
si
sos-
b
---=
C
Rl*Ri
Rl+Ri
1
=
1
1
---+
Ri
Segue
quindi
per
la
= RilIRl
---
Rl
(10)
B-2T
b
(G5)
---=
Ri//Rl
=
R(T)
B+2T
c
Ed
esplicitando
-11
Ri
---+
rispetto
a Ri
si
ha:
B + 2T
R(T) (B-2T)
Rl
---=
=
---
1
Ri
Ri
RlR(T)
=
(B-2T)
= -
Rl(B+2T)-R(T)
che è la
G2)
caso
RlR(T)
(B-2T)
B(Rl-R(T»+2T(Rl+R(T»
(B-2T)
(18).
SENSIBILITA'
DEI
LINEARIZZATORI
1
Per
la
semplice
maglia
dV(T)
dT
=
R'
=
di
fig.2
è:
RlR'(T)
(R(T)+Rl)2
-Va
B
ed
essendo
(T)
R(T)
si
T2
37
ottiene
infine
dV(T)
dT
Volendo
T-288K(l5.C)
Dovendo
B
T2
Va
esaminare
si ha Va-0,26
Rl soddisfare
R(T)//Rl
R(T)+Rl
la
sensibilità
V, R(l5.C)-2984Q
la condizione
di
a
metà
intervallo
, B-3400K.
linearità
(10)
sarà
7
~ ---R(T)
10
3400-2*288
Rl
-2984
(Rl
2ll9Q
3400+2*288
)
e infine:
3400
dV(T)
*
--0.26
dT
caso
0.13rnV/0.05.C
2984+2119
2
Per
il
circuito
di
~~~:~
dT
in
(288)2
lS.C
2984//2119
cui
utilizzando
Jackman
-Vs*R'
et
è
(Appendice
Gl)
cR(T)+b
il
modello
(8)
per
Rl+Ri
(T)
fig.5
l-cg
(T)
B
R'
al.
R(T)
.c
-
il
.9
termistore
R(T)+a
-
.a
--Rl.
cR(T)+b
Rf
1'2
e'
RlRi
Da
b-
Rf
cui
segue
dV(T)
2Ri+Rl
B
--Vs
---R(T)*Rl*Rt
~
(RlR(T)+RiR(T)+RlRi)2
dT
essendo
Rl
T-
i
-5700Q
288K
valori
,
si
Rf
è
componenti
per
Vs
-O,13V,
Ri -3373Q,
ottiene
dV(T~
-dT-115.c
Se
dei
dell'ordine
Rf
--26.33*10-.
di
10~Q
risulta
38
fig.7
B-
34OOK,
R(288)
-2984Q
mV/O.O5.C
una
sensibilità
rispetto
al
cuito
man
caso
Ciò
1 di
20 volte
maggiore.
non
deve
sorprendere
rispetto
a Vb (Vb che
è
et
al.
alla
V(T)
del
caso
v
(T)
=
-Rf
---
e
vale
in
quanto
confrontabile
1) è:
-29.6.
Ri
Vb
.'
~Q
l'amplificazione
nel
circuito
del
di
cirJack-
~PPENDICE
Per
H
il
caso
di
fig.Hl
R(T)
Vb
v
Rl
V2
Fig.Hl
sorgente
Doppia
possiamo
Vi
e
V2
scrivere:
Vl-Vb
V2-Vb
+
V-
-Vb
+
O
Rl
R(T)
Vb-V-
Ri
V(T)-V-
+
O
Q;
Rf
Rl
polche
v--a
è
Vb-
V(T)
Rf
Vb
R(T)
Vl
+
V2
Rl
Vb
Rl
Vb
Ri
R(T)
Ri
Vl
V(T)+
+
R(T)Rf
R(T)
Vi
V2
V(T)
+
R(T)
,
'Moltiplicando
V2
---+
Rl
Ri
RlRf
Ri
(
Rl
Rf
e
dividendo
v
(T)
V(T)
+
R(T)
per
Rf
Ri
0__-
+
1
)
Rl
Rf/Ri
'.
~-
40
si
ottiene:
(T)
~
Rf
V2
Vi
-(
I
+
R(T)
)
= -V(T)
Rl
Ri
Rf
R(T)
cui:
VlRl+V2R(T)
Rl
=
1
---+
1
---
Rl
Ri
forma
per
R(T)
segue
da
-Rf*
)
=
1
---+
cui
I
---)
Ri
V2
+
Ri
V(T)
(Hl
I
+ ---+
R(T)
Rl
Vl
---(
da
(
un'altra
utile
la
(H2)
Rf
Rf
Allorche
è V1=+Vs
e V2--Vs
si
riottiene
Nel
caso
più
generale
con
V1 e V2
forma
della
condizione
di
linearizzazione
Deve
essere
:
la
(19)
arbitrarie
locale.
.
verifichiamo
Rl+Ri
d2 V (T)
=
o.
Poniamo
-VlRl
=
a;
=
c;
Rf
dT2
Rl*Ri
= b;
V(T)
=
g;
R(T)
~
~
Rf
Si
-V2*R+a
cR+b
ha:
9
g'
=
-V2R'
cR +b
R"
g"
=
(-V2R+a)cR'
(cR+b)2
(-V2-Cg)
+R'
-V2R'-cgR'
cR+b
(-cg'
)
R'
(-V2Cg)
=
cR+b
H"
(-V2-Cg)
(cR+b)2
-2cH
' 9 I
cR+b
41
=
cR'
R' (-V2-Cg)
cR+b
la
Dovendo
essere
g"-O
si
ha :
H" (-V2-Cg)
da
cui
utilizzando
g'
si
-2cH'
9 I =O
ha:
R'
,-
---~~~~-b
+ ---
R
c
e infine:
b
2R'2
c
R"
R
(H3)
che
già
è identica
detta.
Ciò
significa
tica
alla
(10)
dipende
e
ciò
V2.
Verifichiamo
tiene
la stessa
Il
circuito
ponendo
V2-Q
alla
(G4)
e
che
anche
non dipende
pone
dei
che realmente
condizione
di
fig.H2
quindi
alla
(7)
la
condizione
dalle
sorgenti;
limiti
nell'effettiva
di
con
di
la
linearizzazione
idenl'uscita
V(T)
però
vi
scelta
delle
Vl
e
anche
nel
circuito
linearizzazione
di
si
deriva
dal
circuito
di
fig.H2
si
fig.Hl.
di
fig.Hl
v
Vl
Singola
Se V2-0
la
(H2)
Fig.H2
sorgente
diviene:
42
Vi
sostituzione
(T)
otim-
-acR"
g"=--
poiche
deve
essere
(b+cR)
2 +2 (b+cR)
(b+cR)4
gl'-O
-acRi'
=
è
-R'1 (b+cR)
da
R' cacR'
+2cR
12
= o
cui
2R'2
R"
b
+R
c
ovvero:
b
---=
c
2R'2
R
R'1
..
A.'"),
(b+cR)
(b+cR)~
+2ac2
Ri 2
Offset
Fig.H3
sull'ingresso
positivo
Rl
R1V1
v
+
(T)
Rl+Ri
+ --
R(T)
Rf
dalla
quale
(1
+
)V+
Rl+Ri
RlRi
R(T)
Rf
Rf
si
vede
che
RlRi
+
la
condizione
Rf
V(O"C)-O
parametri
della
funzione.
Pertanto
non
potendo
tali
parametri
essere
dipendente
per
soddisfare
la
condizione
locale,
la
lettura
diretta
a O"C e la
lettùra
scala
V(Tmax)-Tmax,
la
configurazione
di
praticabile.
..
44
coinvolge
tutti
scelti
in modo
indi
linearizzazione
diretta
a
fondo
Fig.H3
non
risulta
i
APPENDICE
a)
I
Circuito
non
lineare
T
-
-
Fig.Il
Vout(T)
=
Co
Vin(T)
In
--
dove
Co è un
dell'amplificatore
---
Vrefl
= I*R(T)
Vin(T)
B/T
= I*Ae
fattore
di
scala
logaritmico.
B/T
dove
-Cl*e
I*A-Cl
B/T
B
Cl*e
Vou(T)t
=
-=
Coln
Cc. (lnCl+
lnVrefl)
T
Vrefl
Vout(T)
-C2
C3
---dove
T
+
Vfin(T)
= :~~~:~:
Vd(T)
Vfin(T)
= :~_Vref2
C3
Volendo
una
lettura
C2-Co(lnCl-1nVrefl)
C3
T
= Vout(T)-C2
Vd(T)
C3-CoB;
dove
del
C4 è
divisore.
un
fattore
gradi
Kelvin
di
scala
T
diretta
in
si
pone
C4Vref2
---
C3
uguale
In
al.
gradi
centigradi
essendo
.t=T-273,16
deve
essere
oltre
C4Vref2
=
C3
l'aggiunta
1
di
anche
un
Vfin(T)=
secondo
Vfin(T)-
circuito
di
45
273,16
offset.
il
che
implica
che
h)
Uso
di
un
microcomputer.
L'utilizzazione
più
appropriata
di
un
microelaboratore
consiste
nel
memorizzare
modelli
di termistori
del
tipo
SteinhartHart
come descritto
in appendice
C o
più
complicati.
tutti
basati
comunque
su
calibrazioni
in
più
punti
dei
termistori
utilizzati;
calibrazioni
che si possono
eseguire
con
l'ausilio
dello
stesso
micro
utilizzando
bagni
termostatati
a temperatura
variabile.
Dalla
misura
di R(T)
o di
I*R(T)
come nella
(2)
si
PUò
calcolare
T.
Con
questo
metodo
è
possibile
ottenere
la
precisione
desiderata
che in definitiva
è però
funzione
di accurate
ed
estensive
calibrazioni
e anche
del
tipo
di digitalizzazione
usata.
.t1~
APPENDICE
L
Nell'Appendice
raffreddamento,
tempo
secondo
E
che
la
abbiamo
temperatura
calcolato,
T del
per
termistore
la
situazione
si
evolve
di
nel
la
-t/'T
T=
in
cui
la
costante
di
+Ta
(Te-Ta)*e
tempo
~ vale
Cth
(Ll)
'Tth
=
Dth
Dth
è
la
costante
di
dissipazione
termica
(W/"C)
e Cth la
capacita
termica
del
termistore.
Possiamo
ragionevolmente
supporre
che vi
sia
reciprocità
per
rtn
per cui
il
suo valore
è uguale
se calcolato
in condizioni
di
raffreddamento
o invece
di riscaldamento
rispetto
all'ambiente.
Dalle
caratteristiche
generali
fornite
dalla
FENWAL
in
tab.l
sappiamo
che
per
i tipi
di termistori
da noi
usati
ertn
-2sec.
Dth0.8*10-3
W/"C il
che implica
per
la (Ll)
Cth=1.6*10-3
J/"C
grandezza
che dipende
unicamente
dalla
massa del
termistore
e dal
suo calore
specifico.
I valori
summenzionati
si riferiscono
naturalmente
al
termistore
immerso
direttamente
nel
fluido.
Nella
nostra
particolare
applicazione
però.
il
termistore
è
incluso
in uno spesso
stampo
di poliuretano
per
protezione
meccanica
e
nel
contempo
per
metterlo
in
contatto
termico
con
l'ambiente.
In queste
condizioni
lo
scambio
termico
fra
termistore
e
fluido
e'
mediato
dal mezzo
interposto
e la costante
di tempo.
secondo
il
dato
AANDERAA fornitore
della
catena.
divienertn=150
secondi.
La situazione
e' schematizzata
in Fig.Ll
47
Pp(Tp)
Acqua
Ta
Acqua
Ta
(C'b= 00)
Schema
termici
I versi
situazione
All'equilibrio
D'altronde
del
Fig.Ll
intorno
al
cavo
tra
degli
i
di
termistore
mezzi.
scambi
termici
riscaldamento
termico
deve
Pe(Te)
-Pp(Tp)
~=~~=~
-Te
sono
tipici
del
termistore.
e
scambi
di
una
essere
e'
-T
p
Dth-p
~:~~:~
Dp-a
-T p -Ta
dove
Pe(Te)
e Pp(Tp)
sono
rispettivamente
al
termistore
e la potenza
scambiata
con
Le Dth-p
e Dp-a
sono
rispettivamente
sipazione
fra
termistore
(th)
e poliuretano
e
acqua
(a) .
Da cio'
segue,
usando
anche
Pe(Te)
(L2)
Dth-a
cui
si
puo'
scrivere
che
Te-Ta)
-Dth-a
dove
per
,
secondo
la potenza
l'acqua
dal
la
costante
(p)
e fra
Dth-p
*
Dth-p
+ Dp-a
la
dA
Dp-a
(Ll)
che
in
ingresso
poliuretano.
di
dispoliuretano
(L4)
dove.
nel
non
sono
Inoltre
Data
termico.
possibile
a
Cth-a
Dth-a
'Tt:.h--
nosro
caso.
rth-.
priori
note.
nessuna
delle
pero'
la
massa
dell'ordine
delle
calore
specifico
=
150
secondi
mentre
Cth-a
e
Dth-a
a
quantita'
in
(L3)
e'
nota.
dello
stampo
coinvolta
nello
decine
di
grammi.
e considerato
di
tale
gomma dovrebbe
essere
cal
x p
=
0,5
=
2,09
gOC
con D\::.~10g
si conclude
deve
essere
Dth
J
---
quindi
Cth-a
scambio
che
il
intorno
= ~*Xp~21J/.C
gOC
che per
la consistenza
del
dato
Dth-a
~ 140mW/Oc ovvero
circa
'Tt:.h-- =
175 volte
150
secondi
la originale
Questo
risultato
implicherebbe
secondo
la Va<~(4R(T)*eT*D)
la possibilita'
di
utilizzare
una
tensione
Va circa
13 volte
superiore
a quella
utilizzabile
se D fosse
uguale
a Dth
anziche'
a
Dth-a.
Nel
nostro
caso
pero'
non
avendo
necessita'
di
utilizzare
una
tensione
piu'
elevata
e non
essendo
sicuri
i dati.
in
particolare
XP.
su cui
si
basa
la deduzione
precedente.
abbiamo
preferito
a
priori.
per
celerita'
e sicurezza.
utilizzare
per
D l'originale
valore
Dth.
Infine
nel
circuito
di
Pig.7
la
R(T)
dissipa
la massima
potenza
allorche'
RT = R1//Ri
come
si
vede
trasformando
secondo
Thèvenin
dell'Appendice
il
circuito
P.
seguente
e
applicando
un
risultato
Rl//Ri
Riduzione
a singola
Fig.L2
maglia
49
con
Thevenin
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