Gli oggetti della matematica

Elio Motella
Gli oggetti della
matematica
DIZIONARIO PER RAGAZZI
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Premessa
L’uso della parola “oggetto” potrebbe destare subito qualche perplessità: i lettori
potrebbero aspettarsi invece “concetto “. In effetti i due termini sono sovrapponibili,
purché non si confonda l’oggetto con il suo simbolo: per inciso, non è la frazione tre
quarti, ma è solo una sua rappresentazione simbolica, indispensabile, per esempio, per
risolvere calcoli o espressioni che la contengono, così come questo
non è l’oggetto vettore, ma è solo una sua rappresentazione simbolica; è facile fare
questa confusione, perché il simbolo si può trasformare molto facilmente in
un’immagine mentale, tuttavia il simbolo è una cosa e il concetto (o l’oggetto che sia) è
un’altra. Per convincersi basti pensare al fatto che se alcuni matematici decidessero di
cambiare un simbolo per rappresentare un concetto, per assurdo sarebbero costretti a
cambiare l’oggetto; un esempio: supponiamo che da domani si decida che il simbolo di
radice quadrata sia rappresentato così ¥ (invece di √ , che tutti conoscono ),
cambierebbe anche il suo significato ?
Certo che no!
Su questi e altri problemi connessi potremmo disquisire all’infinito (tanto per usare un
linguaggio adeguato ….), molti i pensatori e gli scritti fin da Platone e Aristotele, per poi
passare attraverso i filosofi moderni: avremmo il vantaggio di capire perché
matematica e filosofia sono strettamente legate, ma lo svantaggio di disperderci, di
smarrire lo scopo di questo lavoro e di ………. perdere molti lettori.
Tornando a oggetto – concetto, si noti come il secondo vocabolo è più adatto quando
linguisticamente facciamo riferimento ad un’idea che non si può materializzare né
matematizzare: così potremmo parlare del concetto di esistenza, di adattamento, di
cultura etc. Ma le conclusioni non sarebbero così semplici, siamo costretti a
semplificare per non disperderci.
Un altro esempio: “ l’onda” è un oggetto? un concetto ? se ragioniamo sull’onda delle
emozioni, si tratta di un’idea sicuramente astratta, se facciamo windsurf nessuno può
negare che sia qualcosa di concreto: ma questo è un problema legato all’uso del
linguaggio; si noti che, in proposito, accade spesso che lo stesso concetto sia espresso
diversamente se si cambia lingua, che non si riesca a tradurre letteralmente un
termine matematico da una lingua all’altra (si pensi al cinese…).
La parola “oggetto ” si adatta meglio all’intenzione principale di chi scrive, cioè allo
scopo essenziale di questo lavoro: aiutare gli studenti (specialmente dalla seconda
media alla quinta superiore1) ad una revisione (costruzione, ricostruzione) del
modello mentale posseduto fin qui (fin lì…) e riguardante ciascuno degli oggetti
matematici fondamentali: le immagini che dovrebbero essere evocate nella mente e
servire per costruire il giusto modello, fanno pensare ad un oggetto, più che ad un
concetto. Per essere ancora più precisi e comprensibili, si può dire che, in matematica,
In realtà, certi argomenti che si studiano in quinta superiore, dove si fa molta matematica (come liceo
scientifico e istituto tecnico), non vengono qui trattati a fondo: lo scopo finale è un recupero, non certo una
trattazione completa.
1
2
l’acquisizione concettuale degli oggetti, avviene necessariamente attraverso i simboli.
Possedere il giusto modello mentale di postulato, equazione, espressione, addizione,
esponente, funzione etc., permette allo studente di comprendere meglio il linguaggio
dell’insegnante e del libro di testo; viceversa, quando si trascinano, spesso per anni, le
idee sbagliate di alcuni oggetti matematici, insorgono le difficoltà di cui molti alunni
soffrono, specialmente a partire dalla seconda media: in terza, ma anche negli anni
delle superiori, capita spesso allo studente di trascinarsi misconcezioni2 che questo
dizionario potrebbe, almeno in parte, riparare.
C’è un’altra cosa importante da sottolineare: alcuni termini matematici si riferiscono a
procedure, operazioni o aggettivi non riconoscibili come oggetti, possono essere
invece aggettivi, operazioni, procedure. Ecco alcune parole: aleatorio, cardinalità,
differenza, scomposizione in fattori; fanno parte del linguaggio della matematica, sarà
importante capire di cosa si tratta.
“(Le immagini mentali) …. le modifichiamo progressivamente, confrontandole con gli
elementi sempre nuovi con cui veniamo in contatto, fino a farle diventare dei veri e propri
modelli mentali degli oggetti matematici; sono l’elemento fondamentale per utilizzare
l’intuizione, senza la quale la matematica è un vuoto esercizio di regole. Il lavoro del
matematico, scienziato o studente che sia, non si svolge mai attraverso l’elaborazione di
cieche deduzioni a partire da definizioni e proprietà primitive piovute dal cielo.”
(Giorgio Bolondi )
“Chi scrive ha dinanzi a sé l'alunno nel quale tende a promuovere un'attiva
riflessione, guidandolo attraverso quei procedimenti per i quali lo spirito veramente
apprende, anziché mettergli innanzi senz'altro delle teorie perfettamente sistemate
ch'egli sia costretto a studiare più o meno passivamente” ( G. Furlani )
Se l’intuizione è scoraggiata, l’insegnante è condotto al fallimento
(Serena Simona Miceli)
“Che cos’è una buona definizione? Pel filosofo, o per lo scienziato, è una definizione
che si applica a tutti gli oggetti definiti e ad essi soli; è quella che soddisfa le regole
della logica. Nell’insegnamento però, non si tratta di questo: una buona definizione è
quella che vien compresa dagli scolari “. [Henri Poincaré ]
Come studiare una definizione:
 lettura lenta e attenta, pensando al significato di ciascuna
parola;
2
Concetto costruito, in parte o totalmente errato.
3
 costruzione personale dell’immagine mentale (vedi più
avanti);
 riflessione sull’immagine mentale;
 comprensione dell’oggetto matematico rileggendo la
definizione a sé stessi in parole più povere;
 memorizzazione , ripensando man mano ai significati;
Esempio 1
 Equazione:
“Uguaglianza tra due espressioni che contiene una o più incognite “
La prima parte della parola ( “equa”) deve far pensare ad una eguaglianza :
poi è sufficiente pensare ad una ; è bene chiarire subito a sé stessi la
differenza tra espressione ed equazione, onde evitare la possibile (e facile)
confusione: qualsiasi sequenza di numeri, lettere e simboli è un’espressione
(come può essere + + √ ); se invece si tratta di individuare, nell’ambito
di una uguaglianza, il valore dell’incognita, allora si tratta di un’equazione. La
confusione avviene perché, quando cerchiamo di semplificare un’espressione,
facciamo seguire il simbolo di = ; ad esempio
=
(
(
)
=
−
(in questo caso il simbolo = serve solo ad indicare che la prima espressione è
uguale alla seconda , questo mi permette di semplificarla, la seconda è uguale
alla terza etc.
A questo punto non resta che chiarire a sé stessi il significato di incognita
(vedi); l’immagine mentale di equazione, sforzandosi di capire cos’è, si
costruisce da sola dentro la vostra testa, senza forzature: più immagini
mentali dello stesso oggetto costituiranno poi un modello mentale definitivo
ed efficace. Studiare solo a memoria la definizione (quella data all’inizio), non
serve! La memorizzazione corretta serve dopo aver capito, per poter usare le
parole giuste.
Esempio 2
 Potenza : “ si chiama potenza di base a ed esponente n, il numero che si
ottiene moltiplicando n volte il numero a per sé stesso, in sintesi:
= (che
si legge a alla n = p) “ ; conviene partire da un esempio, come la base 10:
infatti, se si moltiplica 10 per 10 per 10 per 10 (4 volte per sé stesso), si
ottiene 10 che è una potenza del 10 e vale 10.000; il 4, in questo caso, è
l’esponente (esposto in alto a destra); poi si torna alla definizione generale e
ci si assicura di aver afferrato bene; si prova con un altro esempio: 2 quanto
fa? 2x2x2x2x2 = 32; qual’ è l’esponente? Qual è la base ?
Esempio 3
 Bisettrice: (si consiglia di provare a fare un disegno): è quella semiretta che
4
“biseca” (cioè divide a metà) l’angolo;
 Massimo comun divisore tra due o più numeri interi: fate una prova, si
prendano (come esempio) il 12 e il 42, si scrivano tutti i divisori dell’uno e
dell’altro (non solo i divisori primi, anche gli altri): qual è il massimo che
compare in entrambi i numeri? Il massimo, tra quelli in comune è 6. Facile da
trovare, negli altri casi si può applicare la regola … il prodotto di tutti i fattori
comuni, ciascuno col minimo esponente (qui ci si confonde perché si tratta
del…. massimo….. comun divisore…) ma proprio sull’esempio si vede perché il
3 ci può stare una volta in entrambe, il 9 ( ossia 3 ) no !
N. B. Un grave errore che lo studente commette è quello di
studiare subito e solo a memoria, anche senza aver capito: in
occasione di un’interrogazione, una prova scritta o comunque un
esercizio o un problema da risolvere, l’alunno fa leva sulla
definizione o la regola studiata a memoria, senza riuscire a
procedere.
Diceva Einstein: “Non hai veramente capito qualcosa fino a
quando non sei in grado di spiegarlo a tua nonna “: sostituite alla
nonna il compagno di banco e tenete conto, alla lettera, di questo
suggerimento!
Che cosa si intende per “immagine mentale “?
L’immagine mentale è il risultato figurale, proposizionale o misto prodotto da una
sollecitazione. L’immagine mentale è condizionata dall’esperienza personale, dalle
influenze culturali, dagli stili personali: in poche parole è un prodotto tipico
dell’individuo, ma con costanti e connotazioni comuni a individui diversi. Le
immagini mentali, rielaborate più e più volte, diventano modelli mentali.
(B. D’Amore: Rappresentazioni; da ITER, ed. Treccani, primo numero 2000).
Fin dalla preistoria l’uomo ha fatto ricorso all’uso di segni simbolici per trasmettere
un messaggio a distanza o renderlo duraturo, come dimostrano alcune incisioni
rupestri del Paleolitico. Le prime forme di scrittura sono disegni che rappresentano
simbolicamente oggetti ed eventi del mondo circostante (pittogrammi) oppure
concetti e idee (ideogrammi): gli stessi segni si sono poi stilizzati ed evoluti per
formare i segni con valore fonetico.
Le immagini mentali e i modelli mentali non sono altro che pittogrammi e
ideogrammi scritti nel cervello usando cellule nervose collegate tra loro, i neuroni,
con le loro ramificazioni (dendriti e assoni), che si evolvono continuamente nel
tempo in ciascuno di noi: nessuno riesce a tradurle fedelmente in immagini vere e
5
proprie anche se ciascuno può tentare di farlo con un disegno che, in qualche modo,
può renderne l’idea. Un cattivo modello mentale, fatto da diverse immagini mentali
ripetute nel tempo, può essere impreciso, distorto o completamente sbagliato: sarà
come avere un tarlo, che porterà inevitabili difficoltà di comprensione dell’oggetto
matematico e quindi di quanto ad esso collegato! Prendiamo questa definizione (che
studierete a memoria solo dopo aver capito bene che cosa vuol dire): “si chiama
potenza di base a ed esponente n, il numero che si ottiene moltiplicando n volte il
numero a per sé stesso, in sintesi:
= (che si legge a alla n = p) “ : ad esempio
5 = 5 × 5 × 5 = 125 → 5 è la base, 3 è l’esponente, 125 è la potenza. Nel caso
precedente e in generale era la base, n l’esponente e p la potenza, ovvero il
risultato. Dovete cercare di farvi un’immagine il più possibile adeguata (questa
procedura, se vi mettete a riflettere, sarà in buona parte naturale e spontanea):
l’importante è aver capito dove sta l’esponente (in alto a destra, si espone come un
balcone), che funzione ha la base (quella che sta in basso, da cui devo partire), la
potenza è il risultato che si ottiene, quindi per esempio 125 è una potenza di 5, 1000
è una potenza di 10, 128 è una potenza di 2 (per la cronaca è = 2 ).
In geometria le immagini mentali sono facilitate dalle figure, ma se sono imprecise il
danno può essere comunque rilevante.
L’immagine mentale (e quindi il modello) di un certo oggetto, quasi sicuramente
sarà diverso, in ognuno di noi, a 10, a 13, a 15, a 20 e a 50 anni: ammesso (ma non
concesso) che migliori con l’età, continuerà a cambiare specialmente se il soggetto
continua ad occuparsi di matematica.
Oggetto - concetto
Premesse importanti:
 I vocaboli relativi agli oggetti, in
matematica sono spesso concatenati
tra loro, vanno letti con attenzione
pensando al significato delle varie
parole che si utilizzano nella
definizione: ad esempio la potenza
non si capisce se non si parte dalla
moltiplicazione, che a sua volta è
un’addizione ripetuta.
 Evitate di studiare a memoria una
definizione se non l’ avete capita fino
in fondo.
 Non sempre la definizione data è
perfetta, non sono poche quelle che
sono state cambiate o perfezionate
6
In matematica, per chi è in difficoltà da
tanto tempo, il recupero non può
avvenire in modo seriale (secondo un
certo ordine, per esempio dalla a alla
z, dalle semplici operazioni alle
derivate) ; si può fare solo a ‘macchia
di leopardo’ (come del resto si sono
formate le lacune), cercando di
ricostruire le opportune immagini
mentali, nel momento in cui vi
accorgete di avere la lacuna.
Tuttavia, di tanto in tanto, provate a
leggere anche il testo dall’inizio (….o
dal fondo).
nel corso della storia della
matematica.
 Qualsiasi definizione, quando è data
con poche e semplici parole, ha il
vantaggio di poter essere compresa
da chi la legge, ma lo svantaggio di
essere incompleta, imprecisa e
spesso non rigorosa; al contrario
l’eccessivo rigore e la pretesa di
essere precisi ed esaurienti, porta
spesso all’incomprensione, alla
dispersione o peggio, alle
contraddizioni;
E’ naturale che argomenti e concetti
della matematica vengano insegnati e
appresi a partire da un certo livello
scolastico in poi: la moltiplicazione, ad
esempio, si impara in seconda
elementare e la si utilizza per tutti gli
anni scolastici a seguire (e per tutta la
vita), lo stesso può valere per alcune
proprietà del triangolo: altri oggetti
sono in programma nel triennio della
scuola media (come il teorema di
Pitagora), altri ancora si affrontano
solo nella scuola superiore, come ad
esempio le funzioni o le equazioni di
2° grado. Certe voci del dizionario
possono risultare strane o almeno
sorprendere gli studenti che non sono
ancora pervenuti a quel livello
scolastico; quindi, ovviamente, un
alunno di terza media non dovrà
preoccuparsi di cose che s’insegnano
alla scuola superiore: potrà perciò
ignorare la voce in questione. Al
contrario, chi frequenta la scuola
media dovrà preoccuparsi anche di
quanto svolto alle elementari, chi è
alla scuola superiore sarà tenuto a
7
ripassare tutte le voci ….. dove ha le
lacune.
Per essere agevolati in questa scelta,
potrete osservare la scaletta di
asterischi che indica a partire da quale
livello di scuola di solito si insegna
quell’oggetto o quell’argomento:
* dalla scuola elementare
** dalla scuola media
*** dalla scuola superiore
Suggerimenti per il recupero
delle immagini del modello,
Definizione stimolando la riflessione –
Disegni, grafici, esempi
8
A
Abaco3
*
Tavoletta molto simile
all’oggetto che tutti
conoscono come
pallottoliere, utilizzato
fin dai tempi antichi
per eseguire i calcoli:
tra alcuni popoli
orientali è stato in uso
fino a poco tempo fa,
soppiantato per forza
di cose dalla
calcolatrice elettronica.
Ogni colonna (o riga) di
palline rappresenta
una potenza di 10 ;
l’abaco cinese funziona
in modo molto simile,
utilizzando 5 + 2
palline per ogni asta.
Nel Medioevo la parola
abaco ha assunto il
significato di aritmetica
in senso generale: il
famoso ‘Liber abbaci ‘
di Leonardo Pisano (
detto Fibonacci), che fu
pubblicato nel 1202,
descriveva le cifre
arabe insieme al
simbolo 0 (zero) e le
regole elementari per
sommare, sottrarre,
moltiplicare e dividere,
oltre all’estrazione di
radice. Conteneva
anche problemi
relativi a transazioni
commerciali e
abaco scolastico
Questo abaco si comprenderebbe meglio se fosse messo con
le aste in verticale, ma naturalmente tutte le palline
cadrebbero verso il basso. Per capirlo di più, quindi, lo si
dovrebbe appoggiare sul banco.
abaco cinese
In questo caso (come per esempio nel caso della calcolatrice), si tratta effettivamente di un oggetto nel vero
senso della parola: quella che viene data è quindi una descrizione, più che una definizione.
3
9
cambiarie, usando un
complesso sistema di
frazioni con
numeratore 1 .
Ѽ
Ѽ
Ѽ
Ѽ
Ѽ
Ѽ Ѽ Ѽ
Ecco, qui sopra, un ‘finto abaco’ un modo per rappresentare,
ad esempio, il numero 413, con una tecnica praticamente
uguale a quella usata con l’abaco a dieci palline per asta:
basta spostare verso il basso le palline, considerando la
prima da destra la cifra delle unità, la seconda da destra la
cifra delle decine e così via… Quindi: 4 centinaia, 1 decina e 3
unità. Per fare i calcoli, i Greci e i romani usavano una
tecnica molto simile: dovete pensare ad una tavola ricoperta
di un sottile strato di sabbia, con dei fori (le caselline vuote)
e delle pietruzze (le caselline piene).
L’abaco Cinese usa una tecnica molto simile, ma permette di
avere un numero minore di palline su ogni asta, pensando il
10 come 2 volte 5.
Acutangolo
*
È un triangolo in cui
tutti e tre gli angoli
sono minori di un
angolo retto; in caso
contrario un triangolo
è rettangolo, oppure
ottusangolo (vedi);
Acuto (angolo)
*
Minore di 90°
Addendo
Un esempio:
*
7 + 12 = 19
7 e 12 sono addendi, 19 è la loro somma; in generale:
+ =
Ciascuno dei termini di
un’addizione.
,
, è
10
(
Addizione
*
Combinando due
insiemi di oggetti,
contenenti
rispettivamente a e b
oggetti dello stesso
tipo, si forma un nuovo
insieme che li contiene
tutti, ossia comprende
a + b oggetti:
l’operazione si chiama
addizione, il risultato si
chiama somma (vedi).
Albero
vedi ‘diagramma ad
albero ’.
Aleatorio
**
Si dice di un fenomeno
(o di una variabile) che
può avere di volta in
volta un’evoluzione
diversa (o assumere
diversi valori); il
calcolo delle
probabilità e la
statistica si basano
sullo studio di
fenomeni aleatori.
4)
L’evocazione potrebbe riferirsi ad un insieme A = “ bustina
contenente 5 figurine” ed un altro insieme B: “ bustina
contenente 3 figurine” . Il risultato dell’addizione è un nuovo
insieme C contenente “ 5 + 3 = 8 “ figurine.
Al risultato si può pervenire anche aggiungendo a 5 tre volte
l’unità, come quando si conta con le dita, da 5 fino a 8.
Il lancio di un dado è un fenomeno aleatorio, le variabili sono
i valori che stanno sulle 6 facce; il numero di abitanti di una
città tra 20 anni è aleatorio, si può farne una stima in base a
certi parametri, ma non si può sapere con certezza.
Questo è un primo semplice esempio di generalizzazione, di passaggio dall’aritmetica all’algebra: la necessità di
generalizzare nasce dal fatto che le regole generali si possono esprimere con una generica lettera ( o con
generiche lettere), per non ripetere esempi numerici; questo passaggio spesso però viene mal compreso (non
sempre per colpa loro) dagli alunni di scuola media, generando difficoltà e avversione nei confronti dell’algebra
in generale.
4
11
Algebra
La parola ‘ algebra’ deriva dall’arabo al-jabr
(=ricostruzione): indica l’operazione di trasporto di un
termine da un membro all’altro di una equazione; il termine
L’algebra classica è il
compare per la prima volta nel titolo dell’opera del
settore della
matematico arabo al- Khuwarizmi ( IX secolo).
matematica che
Al di là del suo significato etimologico, il termine
comprende lo studio
“ algebra “ rappresenta una sorta di spauracchio per i
del calcolo letterale e la ragazzi che hanno difficoltà in matematica o vivono in
soluzione delle
soggezione nei confronti della disciplina. Imparare l’algebra,
equazioni.
per molti, assume il significato di passaggio dal concreto
L’algebra moderna (o
(calcolo aritmetico) all’astratto (calcolo letterale).
astratta) si occupa di
studiare gli insiemi, nei
quali sono definite
operazioni che
verificano certe
proprietà, dando
origine ai concetti di
gruppo, anello, corpo,
campo. (vedi anche
‘calcolo letterale’).
Algebra di Boole
Tale algebra permette di definire gli operatori logici AND
(prodotto logico), OR (somma logica) e NOT (negazione ), la
cui combinazione permette di sviluppare qualsiasi funzione
booleana e consente di trattare in termini esclusivamente
E' un'algebra astratta
algebrici le operazioni insiemistiche dell'intersezione,
che opera
dell'unione e della negazione.
essenzialmente con i
soli valori 0 e 1. In una L'algebra di Boole è fondata su un insieme di teoremi e
regole che governano le operazioni logiche e che ne
formulazione più
consentono una rappresentazione matematica: su questa
generale, l'algebra
booleana si fonda su un algebra si basa l'elettronica digitale e il suo sviluppo.
insieme K che non
comprende solo i valori
0 e 1; tuttavia questa
struttura algebrica
nasce per elaborare
matematicamente
espressioni nell'ambito
della logica
proposizionale
**
***
12
Algebrico : vedi
“numero algebrico “.
Algoritmo
**
Procedimento di
calcolo costituito da
passi successivi ben
determinati
Allineati (punti)
Gli algoritmi vengono codificati per dare le istruzioni al
computer, che potrà eseguirli nel suo linguaggio; questa
procedura è la programmazione.
Allineare significa quindi sistemare su una stessa retta.
*
Tre (o più) punti sono
allineati quando stanno
sulla stessa retta, in
altre parole c’è una
retta che li contiene.
Altezza
Un triangolo ha 3 altezze, una per ogni lato: l’abitudine a
(di alcune forme
disegnare triangoli appoggiati sul lato più lungo, rende
geometriche)
difficile immaginare le altezze che cadono all’esterno del lato
opposto; anche le altre figure geometriche hanno un’altezza
relativa ad una base, sulla destra, in alto un
Distanza di un vertice
parallelogrammo, dove h è l’altezza;
dal lato opposto; si
tratta quindi del
segmento di
perpendicolare che va
dal vertice alla retta
che contiene il lato
opposto;
*
13
Altezza (di un solido)
*
In figura, una piramide a base quadrangolare : l’altezza è il
segmento di perpendicolare da V al piano di base.
Distanza di un vertice
dal piano della faccia
opposta.
Ammortamento
***
Estinzione di un debito
mediante rimborso
rateale
Analisi
***
L'analisi matematica (o
infinitesimale) è un
ramo della matematica
che si è sviluppato
sulla base dei concetti
del calcolo
infinitesimale.
Angolo
*
Si possono dare due
diverse definizioni di
angolo, la prima è di
tipo statico, la seconda
è di tipo dinamico:
Nel caso del cilindro, l’altezza è data dalla distanza dei piani
che contengono i due cerchi, inferiore e superiore.
Per alcune figure geometriche non ha molto senso parlare di
altezza (per esempio un pentadodecaedro).
In alcuni casi particolari, l’altezza va specificata e calcolata di
volta in volta.
In matematica finanziaria sono oggetto di studio i piani
d’ammortamento
L'analisi matematica introduce i concetti di infinito , di limite,
di derivata e di integrale.
All'invenzione dell'analisi infinitesimale sono
indissolubilmente uniti i nomi di Leibnitz e di Newton: è una
delle teorie matematiche che più ha arricchito la matematica
moderna e determinato il progresso della scienza.
I dubbi che può sollevare questa definizione, sono dati dal
fatto che se penso alla “parte di piano racchiusa tra due
semirette “ mi viene in mente un’area infinita,
indipendentemente dalla grandezza dell’angolo; oppure, in
un triangolo molto grande, gli angoli potrebbero sembrare
più grandi che in un triangolo più piccolo (questa immagine
mentale è sbagliata!); un esempio: i due triangoli qui sotto
14
1) la parte di piano
racchiusa tra due
semirette che hanno
un’origine in comune;
2) date due semirette
con un’origine P in
comune, l’angolo è la
rotazione che una
semiretta deve
compiere, attorno a P,
per portarsi sull’altra;
gli angoli si misurano
in gradi o in radianti .
hanno gli stessi angoli, a nessuno viene in mente (si spera….)
che il triangolo grande abbia gli angoli più grandi: tuttavia la
definizione può condurre in errore.
Anche l’antica definizione data da Euclide ("l'inclinazione
reciproca di due linee che non sono per diritto" ) non è
corretta (!).
No!
2) fissato il verso di rotazione (per convenzione antiorario,
come nella figura), le possibili rotazioni sono due, quella
della semiretta b per portarsi a coincidere con la a (in figura,
per capirci, di circa 30°), e quella della a per portarsi a
coincidere con la b (in figura di circa 330°): dei due diversi
angoli, il più piccolo si chiama convesso (non contiene il
prolungamento dei lati), il più grande si chiama concavo
(contiene il prolungamento dei lati).
Angolo al centro
*
Angolo il cui vertice
coincide con il centro
15
della circonferenza.
Angolo alla
circonferenza
*
Angolo che ha il vertice
sulla circonferenza:
uno dei due può anche
essere tangente alla
circonferenza
medesima.
Angolo diedro
**
Ognuna delle due parti
di spazio individuate
da due semipiani,
aventi una retta origine
in comune.
Angolo opposto al
vertice
Due angoli opposti al vertice sono uguali:
**
Due angoli sono
opposti al vertice
quando l’uno si ottiene
dai prolungamenti dei
lati dell’altro.
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Angoloide
***
Si chiama angoloide
convesso la figura
solida formata da una
superficie piramidale e
da tutti i suoi punti
interni.
Più brevemente si può
dire che un angoloide è
la parte di spazio
compresa tra due o più
diedri.
Annullamento del
prodotto
(legge di)
***
Il prodotto di due
fattori è uguale a zero,
se almeno uno dei due
fattori è nullo.
Antilogaritmo
***
Una volta fissata la
base dei logaritmi con
cui si vuol operare, (ad
esempio ), se a è il
logaritmo di n ( in base
e), ne deriva che n è
l’antilogaritmo di a.
Antinomia
***
È un tipo di paradosso
che indica la
compresenza di due
Anche se si chiama ‘legge’, è una proprietà del tutto intuitiva:
permette di risolvere molte delle equazioni di 2° grado (o di
grado superiore).
( − 1) = 0
Esempio 1:
=0 ;
=1
Se provate a sostituire lo 0 al posto della x, si ottiene (0); se
sostituite 1, si ottiene….
( − 5)(2 + ) = 0
Esempio 2)
Provate voi a cercare direttamente i due valori della x che
rendono nulla una parentesi o l’altra, senza andare ad
eseguire altre operazioni.
Qualche esempio in base 10:
Log 100 = 2 → l’antilogaritmo di 2 è 100;
Log (
) = -3 → l’antilogaritmo di -3 è
;
C’è una via d’uscita per entrambi ? Sì, concludere che le
affermazioni su cui poggiano sono prive di senso. Ma non è
stato così semplice, nemmeno per i più insigni matematici e
filosofi. Le antinomie hanno comunque fatto sorgere,
all’inizio del XIX° secolo, una crisi dei fondamenti della
Matematica che ha scosso il mondo matematico e filosofico,
determinando la nascita di diverse concezioni circa la natura
17
affermazioni
stessa della Matematica: nomi illustri sono stati Russel,
contraddittorie, ma che Frege, Cantor e altri.
possono essere
entrambe dimostrate .
Vedi anche paradosso :
mentre questo porta ad
una situazione
(appunto) paradossale,
l’antinomia porta a
dimostrare due
conclusioni
diametralmente
opposte.
Antiperiodo
ad esempio il numero periodico 1,53 corrispondente a
1,53333 … .. ha come antiperiodo 5, mentre la cifra che si
ripete è 3;
In un numero
il numero 0,6666… (corrispondente alla
periodico, è il gruppo di
frazione ), non ha antiperiodo;
cifre che compare tra la
virgola e il periodo;
non tutti i numeri
periodici hanno
l’antiperiodo;
Apotema
**
*
In un poligono
regolare, è il raggio del
cerchio inscritto nel
poligono medesimo.
Appartenenza
**
In insiemistica:
si dice che un elemento
“a” appartiene ad un
In geometria analitica, per stabilire se un punto appartiene
ad una retta, basta sostituire le coordinate del punto
nell’equazione della retta stessa: se l’uguaglianza è verificata,
allora il punto sta sulla retta; ad esempio il punto (1,3)
appartiene alla retta = + 2 : infatti quando = 1 segue
che = 1 + 2 da cui = 3;
18
insieme H, quando “a”
fa parte della collezione
indicata H: si scrive ∈
.
In geometria :
un punto appartiene ad
un segmento o ad una
retta, una retta
appartiene ad un piano
…. In questo caso, il
punto sta sulla retta, la
retta è distesa sul
piano.
Applicazione
Sinonimo di funzione
(vedi)
Approssimazione
Esempi: il numero periodico 1,3333…. Può essere
arrotondato alla cifra che si vuole, ad esempio può diventare
1,3333, senza più considerare la sua natura periodica; la
Procedimento
radice di 2, uguale a 1,414213562…, si arrotonda per difetto,
mediante il quale, al
se ad esempio viene tagliata alla quarta cifra decimale,
posto di un numero
diventando 1,4142; viene arrotondata per eccesso se viene
decimale, se ne
tagliata dopo la settima cifra, diventando 1,4142136.
sostituisce un altro con In realtà, il problema dell’approssimazione è stato ridotto al
un minor numero di
minimo con l’uso delle calcolatrici scientifiche e dei
cifre dopo la virgola,
calcolatori, dove l’approssimazione avviene
per rendere più spediti automaticamente dopo una serie notevole di cifre dopo la
i calcoli successivi; può virgola.
essere per difetto o per L’errore tipico che alcuni alunni commettono, è quello di
eccesso: nel primo caso farsi condizionare dal numero di cifre dopo la virgola per
si taglia il numero dopo
giudicarne la grandezza: ad esempio, √5 = 2,236068 è più
una certa cifra
piccolo di 2,3 anche se il primo ha tante cifre decimali (ciò
decimale , lasciando
che potrebbe trarre in inganno !).
quel che rimane così
com’è; nel secondo
caso l’ultima cifra
decimale viene
aumentata di uno, se
**
19
l’ultima cifra decimale
trascurata è superiore
a 5, senza variazione se
l’ultima cifra è inferiore
a 5.
L’approssimazione ha
un difetto: a volte può
portare ad una
propagazione
dell’errore.
Ara
Corrisponde a 100
: quindi la forma di un orto (o di un
frutteto) potrebbe essere un quadrato 10 × 10, oppure un
rettangolo 25 × 4 e così via.
Unità di misura
dell’area di una
superficie utilizzata in
agricoltura:
1 ara = 100
Arco
Conoscendo il valore dell’angolo al centro che sottende
l’arco, la lunghezza di quest’ultimo si ottiene dalla
proporzione
∶ 180 = ∶ , dove r è il raggio della
Il tratto di
circonferenza, l è la lunghezza dell’arco e l’ampiezza
circonferenza
dell’angolo sotteso;
compreso tra due punti
distinti.
*
*
Supponiamo che l’angolo α sia di 20° e il raggio della
circonferenza sia di 5 cm. Dalla proporzione scritta sopra
abbiamo =
∙ ∙
=
∙ ∙
= 1,75 cm (valore approssimato).
In questo caso si parla di arco rettificato (corrispondente ad
un segmento).
In altri casi risulta più utile (e semplice) dire che l’arco è di
20°.
20
Arcocoseno
***
Esempio: da cos 30° =
√
segue che
√
= 30° +
k360° e 150° + k360°;
la funzione si può indicare anche con
.
È la funzione inversa
del coseno di un
angolo: ad ogni numero
compreso tra -1 e 1,
corrisponde un angolo
il cui coseno è dato dal
numero stesso.
Arcocotangente
Attenzione: non si confonda la funzione inversa con la
funzione reciproca: la funzione inversa del coseno è
l’arcocoseno, l’inversa della cotangente è , appunto,
È la funzione inversa
l’arcocotangente, per cui, ad esempio, se
(30°) = √3 =
della cotangente (vedi)
0,57735.. , ne segue che
( 3 ) corrisponde a 30° +
di un angolo: ad ogni
180° ; la reciproca della cotangente è invece la tangente
numero reale,
( )=
(30°) = √3 = 1,73205…, questo
: se
corrisponde un angolo
( )
√
la cui cotangente è data
valore corrisponde al reciproco della tan(30°) =
=
=
√
dal numero stesso.
0,57735….
Arcoseno
È la funzione inversa della funzione seno; dal momento che
***
***
Funzione che permette
di associare un angolo
(o arco) ad ogni
numero compreso tra
−1 + 1.
Arcotangente
***
Funzione che permette
di associare un angolo
(o arco) ad ogni
numero reale;
Area
*
Misura dell’estensione
di una superficie.
sin 60° =
360°
√
, ne segue che arcsin
ℎ arcsin
√
√
= 60° +
= 120° + 360° .
È la funzione inversa della funzione tangente; dal momento
che, per esempio, tan 60° = √3, ne segue che arctan √3 =
60° + 180° .
I concetti di area e di superficie sono diversi, anche se è
difficile distinguerli. La superficie è la regione, mentre l’area
è la misura espressa mediante l’unità (di misura appunto),
come per esempio metri quadrati, ettari etc .
Buona parte degli studenti arriva alla scuola superiore, senza
21
sapere perché l’area di un rettangolo si calcola moltiplicando
la misura della base per l’altezza. Da qui si possono ricavare
tutte le altre formule. Per misurare la lunghezza di un
segmento utilizziamo un righello, guardando quanti
centimetri (o decimetri o metri) sono contenuti nel
segmento medesimo; analogamente, per misurare un’area,
guardiamo quanti quadretti da un
,
,
sono
contenuti nella superficie da misurare.
L’idea di base è quella per cui la superficie sia un pavimento,
che deve essere piastrellato con piastrelle quadrate.
In questo rettangolo, sono esattamente 6 le piastrelline che
ricoprono la superficie : se ciascun quadratino fosse di 1 cm ,
3 x 2 = 6 cm ; ecco perché si dice poi brevemente “ base ×
altezza” , perché si moltiplicano le righe per le colonne.
Aritmetica
*
Parte della matematica
che studia i numeri ( a
partire dai numeri
interi) e le proprietà
elementari delle
operazioni.
La parola deriva dal
greco
arithmòs → numero.
Ascissa
**
È la prima delle due
coordinate cartesiane
nel piano e si indica
con la lettera x; la y
indica l’ordinata (vedi).
Molte persone confondono (erroneamente) l’aritmetica con
l’intera matematica: la matematica(invece) comprende sia
l’aritmetica che la geometria, oltre ad altre aree secondo
classificazioni non tutte concordanti.
In un sistema di riferimento cartesiano, l’ascissa indica lo
spostamento di un punto rispetto all’asse y ;se la retta è una
sola, dotata di un’origine e di un’unità di misura, l’ascissa
corrisponde ad un numero, corrispondente alla distanza
dall’origine;
22
Asintoto
***
Retta a cui una curva si
avvicina
indefinitamente, senza
mai incontrarla.
La parola deriva dal
greco
a – sin – toto
La curva più semplice dove compaiono gli asintoti è
l’iperbole:
Iperbole equilatera riferita agli assi di equazione
=
In questo caso gli asintoti sono l’asse x e l’asse y ;
α privativa- senzacontatto
lim
→
=0
Infatti, quando x tende a diventare sempre più grande, y
tende a zero e la curva si avvicina indefinitamente all’asse x;
l’asse x è un asintoto orizzontale; nel caso particolare di
questa curva anche l’asse y è un asintoto verticale: quando y
tende a +∞, x tende a 0 da destra; quando y tende a
−∞, tende a 0 da sinistra;
Gli asintoti possono essere anche obliqui.
Asse di simmetria
**
Retta che divide una
figura geometrica in
due parti
specularmente
sovrapponibili
Nella prima figura, il triangolo A’B’C’ è simmetrico del
triangolo ABC rispetto alla retta r; nella seconda, la figura è
23
divisa dalla retta s in due parti tra loro simmetriche.
Asse di un segmento
**
Tutti i punti di questa retta s sono equidistanti dagli estremi
del segmento stesso.
Retta perpendicolare al
segmento e passante
per il suo punto medio.
Assioma
**
L’insieme dei concetti primitivi e degli assiomi costituiscono
il fondamento, il "punto di partenza", di ogni teoria deduttiva
che si presenti come sistema assiomatico.
In ambito geometrico un assioma viene chiamato postulato.
Proposizione che si
assume come vera,
senza bisogno di essere
dimostrata.
Assi cartesiani
Gli assi cartesiani sono le due rette orientate (vedi),
perpendicolari tra loro (potrebbero essere anche oblique),
che servono ad individuare la posizione di un punto nel
Vedi anche coordinate piano; le rette sono tre quando si tratta di un sistema di
cartesiane
coordinate cartesiane nello spazio;
**
il loro punto d’incontro si chiama origine e si indica con O.
Associativa (proprietà) Alcuni esempi:
(12 + 7) + 5 = 19 + 5 = 24 ; 12 + ( 7 + 5 ) = 12 + 12 = 24
(6 × 2 ) × 3 = 12 × 3 = 36
ℎ 6 × (2 × 3) = 6 × 6
E’ la proprietà di alcune
= 36
operazioni, come
Molti studenti, traditi dall’abitudine, finiscono per pensare
l’addizione e la
che la proprietà valga anche per la sottrazione o per la
moltiplicazione:
divisione; è facile vedere con un esempio che non è così.
permette di associare i
numeri in modo
*
24
diverso, lasciando
invariato il risultato;
Assoluto
Vedi ‘ valore assoluto ‘
Assurdo
(dimostrazione per )
**
Tecnica utilizzata nella dimostrazione di un teorema, già
nota agli antichi greci, Euclide compreso: dalla negazione
della tesi discende la negazione dell’ipotesi del teorema
medesimo, oppure della tesi di un altro teorema già
dimostrato, quindi ad una contraddizione.
Aurea
(vedi ‘sezione aurea’)
B
Baricentro
Il baricentro divide ogni mediana in due
parti, di cui una è il doppio dell’altra.
***
In un triangolo qualsiasi, è il punto
d’incontro delle 3 mediane.
In Fisica , il baricentro di un corpo è il
centro delle forze parallele le cui intensità
rappresentano il peso del corpo; in altre
parole è il punto in cui si pensa applicata
un’unica forza risultante delle singole forze
peso delle varie parti in cui può essere
suddiviso il corpo medesimo.
Base (di un sistema di numerazione - vedi
anche numerazione)
In Fisica si chiama anche ‘centro di
gravità’: per un corpo simmetrico (come
può essere una sfera), coincide con il suo
centro.
Una volta decisa la base, per esempio
cinque, si usano cinque simboli diversi
(cifre) per rappresentare tutti numeri; il
minimo numero di cifre che può avere un
Numero di cifre diverse che rappresentano sistema di numerazione è due: è il caso
un sistema di numerazione posizionale. Nel del sistema binario (vedi), che utilizza
sistema decimale, in uso in tutto il mondo, solo le cifre 0 e 1 .
sono dieci, corrispondenti a dieci simboli
diversi.
*
25
Base (di un poligono o di un solido)
In molti solidi non vi sono piani di
“appoggio”, ogni faccia può essere
considerata come “base”,
indipendentemente da come è disposta
nello spazio. La “base” può essere una
qualsiasi faccia sulla quale si presta
l’attenzione, così come nel piano, la
“base” può essere un qualsiasi lato,
comunque disposto rispetto ai margini
del foglio;
*
In un poligono è il lato su cui si immagina
appoggiata la figura, ogni lato può essere
considerato base, di conseguenza cambia
anche l’altezza; in un solido, è il poligono
sul quale lo si immagina appoggiato; nel
caso del cilindro, si tratta di una
circonferenza.
Base di un logaritmo
***
Se =
(vedi sopra), ne deriva che =
log
(si legge “logaritmo in base
;
il logaritmo è quindi l’operazione inversa
della potenza.
Base di una potenza
*
Indicando una potenza con
, il numero a
si chiama base , mentre x è l’esponente;
quest’ultimo indica quante volte deve
essere moltiplicata la base per sé stessa.
Binario
(sistema di numerazione)
Esempio di triangolo “appoggiato “ ogni
volta su un lato diverso.
Se 1000 = 10 ne deriva che
3 = Log (1000);
(la scrittura Log , con l maiuscola, indica
il logaritmo decimale);
Le basi dei logaritmi (vedi) più utilizzate
sono il 10 oppure .
Se ad esempio la base è 10, 10 = 10 ×
10 = 100,
10 = 10× 10 × 10 ×
);
10 × 10 × 10 = 1000000 (
se la base è 2 ; 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ×
2 × 2 = 128.
Nota: se non è chiarissimo il concetto di potenza
e di base, ci saranno problemi a capire il
logaritmo.
Le macchine elettroniche possono
contenere facilmente numeri ‘lunghi ‘,
ecco perché la miniaturizzazione ha reso
possibile il grande sviluppo dei
calcolatori;
E’ il sistema di numerazione in cui vengono la conta avviene in modo molto semplice:
utilizzate le sole due cifre 0 e 1 : ha lo
**
26
svantaggio per cui anche i numeri piccoli
richiedono una lunghezza notevole, ma il
vantaggio di poter contenere solo due
simboli.
uno = 01 = una unità
due = 10 = una duina5 e zero unità ;
tre = 11 = una duina e una unità ;
quattro = 100 = una quartina, zero duine
( o ambi) e zero unità ;
cinque = 101 =una quartina, 0 ambi e
una unità;
……
Si noti che in binario la conta avviene
come nel decimale: quando si
esauriscono le cifre, si passa a 10, 100 o
1000, dopo il 9, il 99, il 999: le cifre
vengono esaurite subito perché sono solo
due, quindi da 11 si passa a 100, da 111
si passa a 1000 etc ……
Binomio
Esempi:
−
+
3
2
−
Polinomio costituito dalla somma algebrica
4
di due soli monomi.
**
Bisettrice
(di un angolo)
*
Semiretta uscente dal vertice di un angolo ,
che divide lo stesso in due parti uguali;
in un triangolo si possono tracciare tre
bisettrici, una per ciascun vertice;
Non bisogna confonderla con la mediana
o con l’altezza, per questo l’esempio
proposto è quello di un triangolo scaleno,
che permette di metterle tutte e tre in
evidenza.
CH = altezza
CK = bisettrice
CM = mediana
In questo caso la bisettrice è CK; gli
angoli
e
sono uguali. In un
triangolo isoscele invece, per esempio, la
bisettrice coincide con la mediana e
con l’altezza.
5
Termine improprio per definire un ambo, ma meglio comprensibile perché fa rima con “decina”;
27
BIT
**
La più semplice unità d’informazione il cui
termine deriva dall’inglese binary digit
(cifra binaria), che convenzionalmente può
assumere lo stato di 1 o 0.
Biunivoca
**
Si chiama così una corrispondenza tra due
insiemi, quando è doppia, ossia ad ogni
elemento del primo insieme corrisponde
uno e uno solo del secondo, ad ogni
elemento del secondo insieme corrisponde
uno e uno solo del primo.
C
Calcolatore
*
Vedi computer
Calcolatrice tascabile
*
Dispositivo di piccole dimensioni, in grado
28
Il sistema binario è il linguaggio madre
degli elaboratori elettronici e dei
computer: gli stati "zero" oppure "uno"
possono essere realizzati mediante la
presenza o l'assenza di tensione elettrica
( impulso elettrico ) in un circuito.
Ad esempio, la corrispondenza tra
l’insieme delle regioni italiane e i
capoluoghi di provincia, è biunivoca,
perché ad ogni regione corrisponde un
solo capoluogo e ad un capoluogo
corrisponde una sola regione.
di eseguire calcoli anche complicati;
Le calcolatrici scientifiche hanno numerose
funzioni aggiuntive rispetto a quelle
comuni, di utilità in varie discipline
scientifiche e tecniche come matematica,
fisica, ingegneria, matematica finanziaria,
statistica, tramite particolari modalità
operative ;
Calotta sferica
**
L’intersezione con un piano dà luogo
sempre a due calotte; di ogni calotta si
possono calcolare sia l’area della
superficie che il volume.
Porzione di sfera generato
dall’intersezione della sfera stessa con un
piano; se il piano passa per il centro della
sfera la calotta si chiama emisfero.
Campione (statistico)
**
Sottoinsieme di una popolazione
(universo), scelto in modo da consentire,
con margini di errori contenuti, la stima di
determinati valori sull’intera popolazione.
Campo di esistenza (di una funzione)
***
Insieme di valori che possono essere
assunti dalla variabile indipendente , per
29
Se ad esempio si volesse calcolare, con
sufficiente approssimazione, la
percentuale di maggiorenni diplomati
nella vostra regione, non serve
controllare tutti gli abitanti, sarebbe un
lavoro enorme: potrebbe bastare un
campione di 1000 persone, purché siano
scelti in modo opportuno, devono cioè
essere molto eterogenei tra di loro, avere
età diverse, abitare in zone diverse, etc.
Si indica con C.E. In parole più povere è
l’insieme dei valori di x che hanno un
corrispondente valore di y; alcuni
esempi:
= 2 ; per questa funzione è possibile
ottenere i corrispondenti valori della
variabile dipendente .
assegnare qualsiasi valore alla x , si trova
il corrispondente della y; in questo caso il
campo di esistenza è − ∞ , + ∞ ;
nella funzione = , tutti i valore della x
sono validi, tranne lo zero (l’operazione
1:0 non si può fare);
il C.E. di y = log è formato dai valori
della x che sono maggiori di zero (non
esistono logaritmi di numeri negativi).
Capacità
L’unità di misura del Sistema
Internazionale è il litro (equivalente ad
un decimetro cubo).
Nei paesi anglosassoni si usa anche il
gallone (vedi).
*
Possibilità di un recipiente (bicchiere,
bottiglia, damigiana….) di contenere una
certa quantità di liquido.
Capitale
Nelle formule si indica con C : vedi anche
voce successiva.
***
Somma di denaro che può essere impiegata
per produrre un profitto;
Capitalizzazione
La capitalizzazione può essere semplice
oppure , più spesso, composta : nel primo
caso l’interesse maturato viene
addizionato al capitale iniziale, secondo
Operazione finanziaria con la quale i valori la formula
maturati (interessi ) su un capitale,
= +
= (1 + );
vengono sommati al capitale medesimo per nel secondo caso il calcolo del montante
formare un nuovo capitale chiamato
avviene ricalcolando ogni volta il
montante ;
montante a fine anno, per cui l’interesse
incide anche sulle somme capitalizzate
in precedenza;
= (1 + )(1 + )(1 + ) … .
= (1 + )
Con M si indica il montante, con C il
capitale, con t il numero di anni, con i il
tasso d’interesse; se ad esempio si vuol
calcolare quanto vale un capitale di 2
mila euro, dopo 2 anni, al tasso del 3,5%:
M = 2000 ( 1 + 0,035) = 2142,45 €.
Nel mondo, con le capitalizzazioni, si
muovono migliaia di miliardi di dollari
(di euro, di yen, etc …)
***
30
Cardinalità
La cardinalità dell’insieme dei giorni
della settimana è 7 .
**
E’ il numero di oggetti che appartengono
ad un insieme.
Cartesiano
**
Di solito connesso al sistema di riferimento
(vedi “coordinate cartesiane”), ma anche a
tutto ciò che fa riferimento a Cartesio
(termine italianizzato di Descartes, filosofo
e matematico francese del ‘600).
Cateto
Le coordinate cartesiane si chiamano
ascissa e ordinata e danno la posizione di
un punto su un piano.
L’altro lato, quello che sta opposto
all’angolo retto, si chiama ipotenusa
(vedi);
*
Ognuno dei due lati che, in un triangolo
rettangolo, è opposto ad un angolo acuto.
Centimetro cm
È importante rendersi conto della sua
entità guardando un righello.
*
Centesima parte del metro (= 10 mm)
Cerchio
È importante non fare confusione tra
circonferenza e cerchio: la circonferenza
è l’insieme dei punti equidistanti dal
centro, il cerchio invece è formato da
tutti i punti della circonferenza più quelli
ad essa interni.
*
Insieme dei punti delimitato da una
circonferenza.
31
Chilo
*
Può indicare il chilogrammo, oppure
essere usato come prefisso per tutte le
unità di misura (chilometro, chilogrammo,
chilolitro, etc.).
Chilogrammo (o kilogrammo)
*
Unità di misura del Sistema Internazionale
(una volta indicato MKSA - metro,
kilogrammo, metro, ampere ): corrisponde
al peso6 di un
di acqua distillata;
un campione “ ufficiale “ di un kg viene
conservato al Museo Internazionale delle
Misure presso Parigi.
A livello internazionale (ma spesso anche
in Italia) si scrive kilo (vedi), anche
perché abbinato a parole straniere
(kilohertz, kilobyte, kilowatt, etc.): sta ad
indicare 1000 volte l’unità medesima;
Costruite una scatola di cartoncino di
forma cubica, avente lo spigolo di un
decimetro: utilizzando la pellicola
trasparente e un adesivo, fate in modo di
rendere impermeabile (sia pure per poco
tempo) la parte interna della scatola;
riempitela di acqua fino all’orlo e
pesatela su una bilancia da cucina;
l’acqua (ricordatevi di togliere la tara),
dovrebbe pesare circa un chilo, la
differenza è dovuta ai vostri inevitabili
errori di costruzione, all’imprecisione
con cui avete riempito tutta la scatola e al
fatto che avete messo acqua di rubinetto
(quindi non distillata); riprovate a
svuotare e riempire di nuovo la scatola,
rifacendo la pesatura. Per rendervi
conto e memorizzare i sottomultipli del
kg, utilizzate un contagocce graduato o
una siringa: un millilitro di acqua
corrisponde al volume di un
e pesa
un grammo.
A proposito del peso: c’è un aneddoto in
cui si chiede a un ragazzino: “ Pesa di più
un chilo di piombo o un chilo di cotone ? “
Se non vi siete fatti un’idea esatta del
peso di un corpo e di quant’è,
pressappoco, un chilo (un chilo di
zucchero, un chilo di acqua, un chilo di
mercurio, un chilo di zucchero filato….),
potreste cascare nel tranello: un chilo è
sempre un chilo, se mai è il volume
occupato che, a parità di peso, cambia. Un
In realtà corrisponde alla massa della stessa quantità di acqua; la differenza tra i concetti di massa e peso si
studiano (in Fisica) nella scuola superiore: la massa è la quantità di materia che costituisce un corpo, il peso è la
forza (di gravità) con cui la terra lo attira; un mattone che ha la massa di un kilo, sulla terra viene attirato con la
forza di un kilo (che misuriamo con la bilancia); lo stesso mattone, sulla luna, avrebbe la stessa massa, ma
peserebbe molto meno.
6
32
chilo di mercurio (per esempio) può
essere contenuto in un piccolo bicchiere,
mentre sappiamo che un chilo di acqua
occupa come un litro.
Quindi, state molto attenti alle definizioni
e cercate di afferrarne, parola per parola,
il vero significato, anche in Fisica !
Chilometro (o kilometro)
Tutte le distanze geografiche sono
indicate in chilometri (km); una
passeggiata a piedi, della durata di 10 –
15 minuti, corrisponde alla distanza di
circa 1 km;
*
Lunghezza corrispondente a 1000 metri
(abbreviato km)
Cilindro
*
Figura solida delimitata da due cerchi
paralleli e dalla superficie che unisce le due
circonferenze.
Circocentro
Esso risulta equidistante dai tre vertici,
quindi è il centro della circonfereza (da
cui il nome) circoscritta al triangolo
medesimo;
**
Punto d’intersezione degli assi di un
triangolo.
Circonferenza
*
Insieme dei punti equidistanti da un punto
fisso chiamato centro.
Circoscritto
Circonferenza circoscritta
**
Con questo aggettivo ci si riferisce ad una
circonferenza e ad un poligono: quando la
circonferenza contiene tutti i vertici del
poligono, questa risulta circoscritta al
poligono; quando invece i lati del poligono
sono tangenti esternamente alla
circonferenza, il primo risulta circoscritto
33
ad un trapezio
Trapezio circoscritto ad una
circonferenza
(per cui la circonferenza risulta inscritta);
Non tutti i poligoni possono essere
inscritti o circoscritti ad una
circonferenza.
Ad esempio, nel monomio
, il
coefficiente è , può anche essere
numero o un parametro; l’accezione si
usa spesso anche in Fisica (coefficiente di
attrito, di dilatazione termica, etc ) o in
Chimica (coeff. stechiometrico).
Coefficiente
**
Parte reale di un monomio: può essere
indicato da un numero o da una lettera.
Coefficiente angolare
In inglese viene chiamato slope
( pendenza - vedi)
**
Parametro che individua l’inclinazione di
una retta; viene di solito indicato con la
lettera .
www.chihapauradellamatematica.org
Commensurabili
**
Due grandezze omogenee (vedi) si dicono
commensurabili, quando hanno un
34
Supponiamo di misurare due segmenti e
di confrontarli:
ipotizziamo per esempio che il primo sia
lungo 20 mm. E il secondo 1,6 mm. Qual è
un loro sottomultiplo comune ?
Risposta: un segmento lungo 0,8 mm.
sottomultiplo in comune : due segmenti
(per esempio) sono commensurabili
quando il loro rapporto è un numero
razionale ;
(vedi anche ‘incommensurabili ‘)
Infatti quest’ultimo segmento è
contenuto un numero esatto di volte sia
nel primo che nel secondo; inoltre, il
rapporto tra i due segmenti, è un numero
razionale ( in questo caso = 12,5); in
altre parole ancora avremmo potuto
utilizzare un segmento lungo 0,4 mm. ,
per misurare entrambi. In altre parole
sembrerebbe logico poter utilizzare un
segmento comune comunque piccolo.
Possiamo fare tanti altri esempi del
genere e dedurre, affrettatamente che sia
sempre così: ma invece non accade
sempre questo, persino i pitagorici
caddero nell’errore (vedi
incommensurabili ).
Commutativa (proprietà)
Molti ragazzi, a lungo andare, pensano
(erroneamente) che sia scontata, per
tutte le operazioni.
Bisogna pensarla con esempi concreti,
E’ la possibilità di cambiare di posto gli
presi dalla vita di tutti i giorni: quella
elementi di un’operazione, lasciando
dell’addizione è molto evidente e
invariato il risultato.
‘scontata’, forse anche questo fa sì che la
Vale per l’addizione (a + b = b + a) e la
si trasmetta anche alle altre operazioni:
moltiplicazione (a x b = b x a ) dove a, b
aggiungere un gregge di pecore ad un
possono essere numeri naturali, razionali, altro, è come aggiungere il primo al
irrazionali) : la proprietà commutativa
secondo, è come mettere tutte le pecore
non vale per la sottrazione e la divisione,
nello stesso recinto; es: 22 + 13 = 13 +
come è facile provare con qualche esempio. 22 = 35.
Per la moltiplicazione, si ricordi che
questa non è altro che un’addizione
ripetuta. Per giustificare e memorizzare,
con qualche esempio, la proprietà: 3 auto
con 5 persone a bordo, trasportano come
5 auto con 3 persone a bordo: sempre 15.
La proprietà commutativa non è valida
né per la sottrazione né per la divisione,
come è facile provare con un esempio.
*
Compasso
*
Strumento utilizzato fin dall’antichità per
35
disegnare una circonferenza.
Complementare (angolo)
in questo caso gli angoli ,
complementari.
sono
**
Due angoli si dicono complementari
quando la loro somma è uguale ad un
angolo retto .
Complesso (numero)
I numeri complessi sono usati in tutti i
campi della matematica, della fisica ,
nonché in ingegneria, (per esempio per
rappresentare onde elettromagnetiche e
E’ un numero formato da una parte reale e correnti elettriche): per risolvere alcune
una parte immaginaria: ogni complesso ha tipologie di problemi è possibile
la forma + dove a , b sono numeri reali ricorrere a delle tecniche di
e rappresenta la parte immaginaria ( = trasformazione con le quali si passa dal
−1 ).
campo dei numeri reali al campo
complesso. Questo si fa in molteplici
Quando differiscono soltanto per il segno
ambiti e con molteplici tecniche di
(tra la parte reale e quella immaginaria), i
trasformazione; il motivo è sempre lo
due numeri si dicono complessi coniugati : stesso: rendere più semplice la soluzione
la loro somma e il loro prodotto sono
di un problema.
numeri reali.
***
Computazionale
***
Aggettivo che si riferisce ad una disciplina
che utilizza, nell’indagine teorica,
l’elaboratore elettronico come strumento
36
di lavoro: per esempio la meccanica
computazionale.
Computer
A partire dalla seconda metà del XX
secolo il computer si è evoluto come
macchina in grado di eseguire le più
svariate elaborazioni: questo vuol dire
che, a fronte di istruzioni trasmesse
dall’esterno (input), esso restituisce una
certa quantità di dati e di messaggi
(output).
*
In italiano è detto anche calcolatore o
elaboratore (in francese ordinateur,
ma il termine inglese ormai prevale nella
dizione ) è una macchina automatizzata in
grado di eseguire calcoli matematici
complessi e di elaborare dati.
Congruente
*
Aggettivo che individua una figura
geometrica quando è sovrapponibile ad
un’altra: ad esempio due triangoli sono
congruenti quando si possono sovrapporre
con uno spostamento rigido (senza
cambiarne cioè la forma)
Concavo
Un sinonimo è “uguale “, in alcuni testi i
due termini vengono confusi; altrimenti
“congruente” significa “ uguale a parte la
posizione “ .
**
Una figura si dice concava, se è possibile
prendere due punti interni alla figura in
modo che il segmento che li congiunge non
sia tutto interno alla figura medesima;
altrimenti la figura si dice convessa;
Un poligono si dice perciò concavo se
contiene il prolungamento dei lati,
convesso nel caso contrario; lo studio della
geometria si è sviluppato sui poligoni
convessi;
Congruenza
In realtà c’è poca differenza tra
congruenza ed uguaglianza: quest’ultima
37
**
L’aggettivo si usa in geometria: due figure
si dicono congruenti quando, mediante uno
spostamento rigido, possono essere
portate una sull’altra in modo da
coincidere.
Cono
si riferisce a due figure che hanno anche
la stessa posizione nel piano;
*
Figura solida generata dalla rotazione di un
triangolo rettangolo attorno ad uno dei
suoi cateti.
Il cono ha quindi una base circolare, un
vertice ed una altezza;
Conta
Per gli approfondimenti si rimanda alla
letteratura specializzata, soprattutto nel
campo della psicologia.
*
Operazione del contare. I bambini iniziano
a contare verso i tre anni, ma all’inizio lo
fanno come se recitassero una filastrocca.
Dopo i tre anni riconoscono i simboli dei
primi numeri, tra i 4 e 5 anni sono in grado
anche di scrivere alcuni simboli.
Convesso
**
Vedi ‘concavo’
Coordinate cartesiane
**
Coppia di numeri reali (nello spazio è una
terna) che serve ad individuare la
posizione di un punto nel piano; date due
rette ortogonali (potrebbero essere anche
oblique) e fissata una unità di misura, ogni
punto del piano cartesiano si abbina ad
una coppia di numeri reali.
38
Corda
**
Segmento che unisce due punti di una
circonferenza; se passa per il centro si
chiama diametro .
Corollario
**
Enunciato che è una conseguenza
immediata di un teorema
precedentemente dimostrato.
Corona circolare
**
Parte di piano racchiusa tra due
circonferenze che hanno lo stesso centro.
.
La parte più chiara corrisponde ad una
corona circolare.
Corrispondenza
L’insieme dei laghi europei è in
corrispondenza con gli stati europei che
sono bagnati dal lago stesso bagna: non è
una corrispondenza one – one perché ad
Una corrispondenza è una relazione tra gli un lago possono corrispondere più stati
elementi di due insiemi: quello di partenza, ( ad esempio il Lago Maggiore si trova
detto dominio, e quello di arrivo, detto
parte in Italia e parte in Svizzera);
codominio; un insieme di collegamenti che inoltre, più laghi possono essere in una
possiamo pensare come delle frecce)
unica nazione).
uniscono gli elementi del dominio con
La corrispondenza che lega gli stati alle
quelli del codominio.
loro capitali è invece biunivoca (ad ogni
Quando ad ogni elemento del primo
stato corrispnde una e una sola capitale e
insieme corrisponde uno e uno solo
viceversa).
elemento del secondo, la corrispondenza è
chiamata biunivoca.
**
39
Cosecante
Ad esempo, se il seno di 30° vale , la
Cosecante di 30° vale 2; la cosecante di 0°
non è definita, dal momento che sin0°= 0
e non è definito.
***
La cosecante di un angolo è la funzione
inversa del seno del medesimo angolo:
1
csc =
sin
Coseno
***
In generale il coseno di un angolo si
definisce sulla circonferenza goniometrica
di raggio 1: quando una semiretta uscente
dall’origine forma un angolo con il
semiasse positivo delle ascisse, il coseno
dell'angolo è definito come l’ascissa del
punto di intersezione tra la semiretta e la
circonferenza . Ma il coseno di un angolo si
può definire anche in un triangolo
rettangolo: dato un triangolo rettangolo, il
coseno di uno dei due angoli interni
adiacenti all'ipotenusa è definito come il
rapporto tra le lunghezze del cateto
adiacente all'angolo e dell'ipotenusa.
N.B. Le due definizioni, come si può
facilmente osservare dopo un’approfondita
comprensione degli enunciati, si
equivalgono.
40
Cosinusoide
***
E’ la curva che rappresenta la funzione
=
Costante
***
Termine che ha un valore fissato, in
contrapposizione ad incognita .
Costo
*
Misura del capitale che deve essere speso
per acquistare un oggetto o una quantità di
prodotti ; può riferirsi anche alla spesa che
un’attività artigianale o un’industria
devono sostenere per produrre un certo
bene .
Cotangente
***
Considero il triangolo rettangolo OHP
inscritto in un quarto di circonferenza
come nella figura a fianco . Dalla relazione
1
cos
cot =
=
=
tan
sin
sostituendo ai lati il loro valore (l’ascissa e
l’ordinata di P) si ottiene il valore della
cotangente dell’angolo .
41
Nell’ambito di una equazione, di solito, le
prime lettere dell’alfabeto indicano delle
costanti, mentre x ,y, z, t indicano delle
variabili.
Cotangentoide
***
Curva che rappresenta, sul piano
cartesiano, l’andamento della funzione
cotangente.
Crescente
***
Una funzione = ( ) si dice crescente in
un intervallo , se, scelti due punti
qualsiasi di quell’intervallo e aventi ascisse
, ,
<
risulta ( ) < ( ) ;
in parole povere, in quell’intervallo, la
curva
sale .
Cubo
*
42
Un esempio: la curva di Gauss, da −∞ a 0
è crescente, poi è decrescente.
Il cubo è un poliedro regolare limitato da
sei facce quadrate; si chiama anche
esaedro.
Parallelepipedo rettangolo avente le tre
dimensioni uguali tra loro .
Cubo del binomio
Se per caso si è dimenticata la formula, si
può procedere a moltiplicare il quadrato
del binomio per il binomio stesso;
***
( + ) =
+ 3
+3
+
A parole: il cubo del primo termine, più il
triplo prodotto del quadrato del primo per
il secondo, più il triplo prodotto del primo
per il quadrato del secondo, più il cubo del
secondo termine.
Cubo del polinomio
***
( +
+ ) =( + ) ( + )
Curva
***
E’ sinonimo di linea, che rappresenta una
funzione sul piano cartesiano; anche la
retta è da intendersi come una particolare
curva.
Cuspide
***
Punto in cui una curva cambia
improvvisamente direzione: si hanno due
tangenti che tendono a coincidere. Nel
punto di cuspide, la funzione non è
derivabile.
43
Conviene eseguire il quadrato e poi
moltiplicare ancora per il polinomio
medesimo.
D
Decaedro
*
Solido con dieci facce .
Decagono
*
Poligono con dieci lati e dieci angoli
Decalitro (dal )
Corrisponde a 10 litri; il prefisso deca
indica (vedi anche sopra e sotto) il dieci.
*
Multiplo del litro, serve a misurare la
capacità.
Decametro (dam)
Corrisponde a 10 metri.
*
Multiplo del metro, serve a misurare le
lunghezze.
44
Decimetro (dm)
*
Decima parte del metro : corrisponde a 10
cm.
Deduzione
È importante rendersi conto della sua
entità guardando un righello; la spanna
di un uomo adulto, corrisponde a poco
più o poco meno di 2 decimetri,
ovviamente dipende dalla mano….
E’ il processo contrario alla induzione.
**
Ragionamento razionale o processo logico
che fa derivare una certa conclusione da
premesse più generali, dentro cui quella
conclusione è implicita .
Denominatore
L’etimologia del nome è “colui che
denomina ” ; spesso gli alunni
(erroneamente) lo chiamano
‘nominatore’ ;
indica in quante parti una frazione è stata
divisa (mentre il numeratore indica
quante se ne prendono: ad esempio, la
frazione
si legge cinque “dodicesimi “, l’unità è
stata divisa in 12 parti e se ne sono prese
5.
*
La parte inferiore di una frazione (può
essere un numero, un monomio, un
polinomio):
numeratore
denominatore
Derivata (di una funzione)
E un concetto molto importante
dell’analisi matematica, si studia alla fine
del triennio delle superiori, la sua
definizione precisa passa
necessariamente attraverso il concetto di
limite di una funzione.
***
E’ indice del comportamento di una
funzione in un punto: corrisponde
all’inclinazione della retta tangente alla
curva in quel punto; in altre parole
rappresenta la pendenza di
una curva in un punto .
45
Nel punto P la derivata della funzione
rappresentata sul grafico potrebbe
essere circa
(coefficiente angolare
della retta tangente in P ) , nel punto Q
invece potrebbe essere un numero
compreso tra 2 e 3 ) .
Diagonale
*
Segmento che congiunge due vertici non
consecutivi di un poligono.
Un pentagono convesso ha 5 diagonali.
Il rettangolo, il quadrato, il
parallelogramma e il trapezio hanno due
diagonali. Un poligono di n lati (n›2) ha
un numero di diagonali
(
)
=
Diagramma
**
Chiamato anche grafico ( vedi): è un modo
per rappresentare visivamente con un
disegno, in maniera pratica e diretta,
l’andamento di un fenomeno: si parla
spesso di diagramma di una funzione.
Un diagramma di Eulero – Venn invece è la
rappresentazione grafica di un insieme,
dove gli elementi sono racchiusi all’interno
di una linea chiusa.
Diagramma ad albero
Ne esistono di più tipi: i più usati sono il
diagramma a colonne, a torta e il
diagramma di flusso : quest’ultimo è un
modello per rappresentare un algoritmo,
associando alle istruzioni del programma
dei simboli grafici: i diagrammi di flusso
sono importanti per scrivere programmi
per un computer.
Esempio:
**
46
Strumento idoneo per fare la mappatura
degli aspetti fondamentali di un modello
organizzativo.
Diagramma di flusso (flow chart )
Esempio di flow chart per eseguire la
differenza di due numeri naturali:
***
Grafico mediante il quale viene evidenziata
una successione di operazioni, che possono
poi essere eseguite da un calcolatore. È una
serie di caselle di forma diversa, unite da
frecce, mediante la quale è possibile
evidenziare il processo logico che è alla
base della successione delle operazioni.
I diagrammi di flusso trovano larga
applicazione nella programmazione dei
computer.
Diametro
*
Segmento che passa per il centro di una
circonferenza e ne congiunge due punti:
corrisponde al doppio del raggio.
Diedro : vedi ‘ angolo diedro ‘ .
Differenza (tra due numeri)
La differenza tra 24 e 13 è 11, perché il
risultato della sottrazione 24 – 13 è 11.
*
47
Risultato della sottrazione tra due numeri.
Differenza (tra due insiemi)
Sia A l’insieme delle lettere della parola
“marea” e K l’insieme delle vocali
dell’alfabeto italiano: l’insieme − è
formato dalle consonanti { , } ; la stessa
Risultato che si ottiene sottraendo al primo operazione si può trovare scritta anche
insieme gli elementi del secondo;
così A \ K ; l’insieme − = { , , } :
come si vede, la differenza non gode della
proprietà commutativa.
Digitale
Tutto ciò che non è digitale è analogico:
ad esempio, tipico dispositivo digitale è
un computer, mentre un motore a
scoppio è analogico.
Dispositivo in cui i dati vengono elaborati
con i numeri: deriva dall’inglese ‘ digit ‘ =
cifra.
Dimensione
Un segmento ha una dimendsione, un
quadrato ne ha due, un cubo ne ha 3; e
quasi impossibile immaginare figure di 4
o piu dimensioni, che sono oggetto di
Ognuno dei gradi di libertà disponibili per studio nella matematica superioreuna figura geometrica o per il movimento
di un punto in uno spazio.
Discriminante
Indicando il discriminante con ∆:
 con ∆ > 0 avremo due soluzioni
reali e diverse tra loro;
 con ∆ = 0 due soluzioni
Nella formula che dà le soluzioni di
coincidenti;
un’equazione di 2° grado completa, è la
 con ∆ < 0 due soluzioni
quantità − 4 che decide (discrimina )
complesse coniugate.
quante e di che tipo sono le radici
Infatti nel 1° caso, il ± davanti al radicale
dell’equazione medesima.
darà luogo a due diverse soluzioni, quella
che si ottiene col + e quella che si ottiene
col - ; se invece il discriminante si
annulla, non ci sono più le due div erse
soluzioni, ma un solo valore che
corrisponde a − ; infine se ∆ < 0, i
valori immaginari del radicale,
porteranno a soluzioni complesse.
E’ importante far notare che, molto
spesso, lo studente, dopo aver imparato a
memoria la formula risolutiva di
un’equazione di 2° grado completa, tende
ad applicare sempre quella, anche
quando non è necessario, impiegando
48
**
***
*
***
Disequazione
***
Disuguaglianza verificata per alcuni valori
dell’incognita. Viene anche chiamata
inequazione.
Dispari
molto più tempo e correndo più rischi di
cadere nell’errore; esempio:
per risolvere l’equazione ( − 3)( +
2) = 0 , non occorre eseguire i calcoli e
togliere le parentesi: infatti per la legge
di annullamento del prodotto (…e si vede
subito), x1 = 3 , x2 = -2 ;
Mentre l’equazione ci fa pensare a uno (o
più valori se è di grado superiore al
primo) che rendono vera una certa
uguaglianza, la disequazione è verificata
per un intervallo di valori. Ad esempio,
data la disequazione:
− 3 < 2 si ottiene < 5
Vuol dire che la disuguaglianza è
verificata per tutti i valori di x minori di
5;
Le disequazioni hanno applicazione
pratica nello studio di funzione, in
particolare per i problemi di scelta.
1,3,5,7,9,11, ………
*
Si dice dispari un numero naturale che non
è divisibile per 2 .
Disuguaglianza
Le disuguaglianze vengono utilizzate
nella risoluzione delle disequazioni.
***
L’indicazione ≠ si legge x diverso da y
e denota che x può avere qualsiasi valore
tranne y; l’indicazione x > y sta ad
indicare che x deve essere maggiore di y (
si dice “in senso stretto”), mentre
l’indicazione < sta ad indicare che x
deve essere minore di y;
i simboli ≤
≥ stanno ad indicare
una disuguaglianza ‘in senso lato’ , x deve
essere minore o al massimo uguale
(maggiore o al massimo uguale) ad y .
Divisione
La divisione, a livello elementare, è di
gran lunga l’operazione più difficile da
capire, le misconcezioni
49
(fraintendimenti) lasciano strascichi
negativi pesanti; la si può anche spiegare
E’ l’operazione inversa rispetto alla
con la sottrazione ripetuta,
moltiplicazione, corrisponde ad una
analogamente, la moltiplicazione è
ripartizione; la maestra vuol dividere
un’addizione ripetuta; 8 soldati, in fila
equamente 21 caramelle tra 7 bambini:
per 3, si mettono su due file, col resto di
quante ne dà a ciascuno?
2:
In questo caso la divisione avviene tra i
8 − 3 = 5: ℎ
;
numeri naturali 21 ∶ 7 = 3 , mentre il 21 è 5 − 3 = 2, ℎ
, ma
il dividendo, il 7 il divisore: a ciascun
…… ne avanzano 2;
bambino toccano 3 caramelle ; se la
La divisione in colonna è l’operazione più
maestra avesse invece 22 caramelle, ci
difficile da capire per un alunno delle
sarebbe il resto di 1; in questo caso il 3 si
elementari, perché spesso questi non ha
chiama quoziente.
capito il meccanismo del sistema
Nell’ insieme dei numeri razionali (vedi), la decimale; chi, pur essendo già
divisione si definisce come l’operazione
adolescente o adulto e non avesse ancora
inversa della moltiplicazione: eseguire
ben compreso la divisione in colonna,
l’operazione ∶ significa trovare quel
deve prima rivedere e capire il sistema di
numero k, tale che ∙ = .
numerazione decimale e i numeri
In qualsiasi insieme, l’operazione ∶
decimali (quelli con la virgola); poi deve
0è
.
rivedere e capire bene la moltiplicazione
in colonna. Anche in questo caso capire
significa essere in grado di spiegare ad
altri.
*
Divisione in colonna
*
Procedimento mediante il quale è possibile
eseguire qualsiasi divisione tra due numeri
decimali: è quella che viene normalmente
insegnata nelle scuole elementari.
Esistono altri algoritmi per eseguire la
divisione in colonna (o in riga), simili a
quello descritto a lato.
50
Per capirla è indispensabile aver
compreso bene il funzionamento del
sistema decimale (vedi) e la
moltiplicazione (vedi) in colonna.
Un esempio (prendete carta e penna): si
voglia eseguire la divisione
725 ∶ 5 = ; si pongono dividendo e
divisore come in figura, poi si calcola
quante volte il 5 è contenuto nella cifra
delle centinaia, ovvero il 5 nel 7 ci sta 1
volta, scrivete 1 dopo l’uguale; ma 7 – 5 =
2 , avanzano due centinaia, (che poniamo
sotto il 7) a cui aggiungiamo 2 decine
(che aggiungiamo abbassando il 2, in
modo che sotto 1l 72 si scriva 22 ; il 5 nel
22 (decine) ci sta 5 volte, con l’avanzo di
2, a cui aggiungiamo le 5 unità: in altre
parole scriviamo un altro 2 sotto il 22 e
aggiungiamo le 5 unità che si trovano (in
colonna) sul numero 725 ; ora, per finire,
calcoliamo quante volte il 5 sta nel 25 e
scriviamo il risultato alla fine del
risultato della divisione (in alto a destra).
725: 5 = 145
22
25
Così si presenta lo schema finale: 145 è il
risultato dell’operazione.
Lo schema meccanico di questa
l’operazione in colonna ha la sua
giustificazione: nel 725 ci stanno, 1 volta
5 centinaia, 4 volte 5 decine e 5 volte 5
unità.
Divisione tra polinomi
Non c’è spazio qui per descrivere
l’algoritmo di divisione tra polinomi, per
la quale si rimanda ad altri trattati; fin
quando possibile, tuttavia, è preferibile
Dividere un polinomio A(x) di grado n per scomporre il polinomio in fattori,
un polinomio B(x), di grado m ( con
≤
eseguendo immediatamente la divisione
) ) significa trovare un polinomio C(x)
(in questo caso è una semplificazione)
tale che il prodotto ( ) ∙ ( ) sia uguale
quando uno di questi fattori corrisponde
ad ( ); quando la divisione non è esatta, è al divisore; questa operazione è molto
previsto un resto ( ).
usata per la semplificazione delle frazioni
algebriche, dove (ovviamente) il
numeratore corrisponde al dividendo e il
denominatore al divisore.
Dividendo
Se : = , ne deriva che = ∙ ;
a è il dividendo, b il divisore e k il
quoziente;
***
*
Letteralmente: “ il numero che deve essere
diviso “
Divisore
*
Letteralmente: “ il numero che divide “ ; in
una qualsiasi operazione di divisione
: , a si chiama dividendo e b divisore;
Il termine divisore si usa anche in
riferimento ai numeri naturali che sono
contenuti esattamente in un altro numero.
51
Un esempio riguardante il primo
significato
23,5: 3,2 = ……… ;
3,2 è il divisore, comunque sia il risultato;
un esempio riguardante il secondo
significato: il numero dodici ha come
divisori 1,2,3,4,6 e 12.
I divisori non sono da confondere con i
fattori primi che, in questo caso, sono
soltanto 1,2,3 .
Dodecaedro regolare
*
Solido con dodici facce pentagonali
Dodecagono
*
Poligono regolare formato da 12 lati e 12
angoli, ciascuno di 150°
Dominio
è un problema che si approfondisce alla
fine del triennio delle scuole superiori.
***
Si riferisce ad una funzione (vedi): è
l’insieme dei valori della x, in cui è definita
la funzione medesima;
E
Vi sono alcuni numeri particolari, come
, come (vedi) , chiamati trascendenti
(vedi), che non sono radici di alcuna
equazione algebrica a coefficienti
razionali.
e
***
Costante matematica che ha assunto
grande importanza: corrisponde a un
numero irrazionale trascendente, assunto
come base dei logaritmi (detti) naturali o
neperiani. E’ definito da
1
= lim 1 +
= 2,7182818 … ..
→
Eguaglianza
Il simbolo di = è uno dei più usati in
matematica ; a volte l’alunno non capisce
il diverso senso del suo uso nelle
espressioni e nelle equazioni.
*
52
Relazione tra due grandezze che hanno lo
stesso valore.
Quando si verifica che = è anche vero
che:
+ = +
E inoltre: × = ×
Elaboratore : vedi computer
Ellissoide
***
Superficie ottenuta ruotando un ellisse
attorno ad uno dei suoi assi.
Emisfero
Si ottiene sezionando una sfera con un
piano passante per il centro della sfera
stessa.
**
Semisfera = mezza sfera
Enunciato
Riferito di solito ad un teorema (vedi) o
ad una regola.
*
E’ una frase di senso compiuto alla quale è
possibile attribuire un valore di verità o
falsità .
Equazione
Per fissare le idee ( e quindi un modello
mentale) conviene partire da pochi e
semplici esempi, cominciando
naturalmente da quelle di primo grado.
+5=8
Aggiungendo 5 ad un certo numero, si
ottiene 8: qual ‘ è questo numero? Basta
un semplice ragionamento per ottenere x
= 3.
Pierino ha speso 22 euro per acquistare
due libri e si ritrova ad avere 5 euro in
**
Uguaglianza tra due espressioni che
contiene una o più incognite: tale
uguaglianza è vera per uno (o più valori)
da attribuire alla (o alle) incognita/e.
Le equazioni servono per dare una forma
risolvibile a moltissimi problemi.
Di equazioni ne esistono di vari tipi, le più
53
semplici (di cui serve sapere la natura e il
significato), sono le equazioni di 1° grado,
quelle in cui la x compare solo se è di 1°
grado: fondamentalmente occorre
ricordare le due proprietà descritte a lato.
tasca. Quanto aveva prima di entrare in
libreria ? L’incognita (così si chiama la x)
in questo caso corrisponde alla somma
posseduta prima di entrare in libreria:
− 22 = 5
Aggiungendo o togliendo lo stesso
numero da una parte e dall’altra dell’=
(le due parti si chiamano membri ), il
valore dell’incognita rimane invariato.
Questa proprietà ci permette di portare
un numero da una parte all’altra
dell’uguale, purché lo si cambi di segno:
= 5 + 22 ;
= 27
Si può facilmente verificare che la
proprietà del cambio di segno può essere
applicata anche all’equazione vista sopra.
Per riempire di acqua un recipiente da 53
litri devo svuotare 4 anfore (di cui non
conosco la capacità) e aggiungere 5 litri.
Indicando con x la capacità (in litri)
Di ognuna delle anfore, il problema si
può tradurre così : 4 + 5 = 53 da cui
4 = 48
E dividendo ambo i membri per 4 → =
12
La capacità di ciascuna anfora è di 12
litri.
N.B. I problemi di primo grado che
vengono assegnati a scuola o che si
trovano sui libri di testo sono quasi
sempre artificiosi, inesistenti nella realtà:
purtroppo è difficile inventare problemi
semplici che possano essere applicati alla
realtà medesima: i problemi reali
richiedono una matematica più
complessa di quella che lo studente può
capire a livello di scuola secondaria.
“ Tutto ciò che non si condensa in
un’equazione, non è scienza “
[ Albert Einstein ]
Equazione di 1° grado
L’incognita compare solo a grado uno;
(vedi anche riquadro precedente).
**
Ridotta a forma normale è del tipo
+ =0
Equazione di 2° grado
Conviene capire e memorizzare semplici
esempi, con la relativa soluzione:
54
***
Uguaglianza tra due espressioni che
contiene una o più incognite, vi figura
anche . Quando contiene anche un
termine con la x, si chiama incompleta
spuria ; se contiene anche (e solo) un
termine senza incognita si dice incompleta
pura ; negli altri casi l’equazione si dice
completa. Quest’ultima si presenta nella
forma:
+
+ = 0 (se tutti i termini si
portano a sinistra dell’uguale); la sua
formula risolutiva, che si può ricavare con
una dimostrazione abbastanza lunga ma
non difficile, è :
− ± √ −4
=
2
Le equazioni in due incognite, sia di primo
che di secondo grado, di solito descrivono
una funzione (vedi): assegnando un valore
arbitrario alla x, si trova il corrispondente
valore della y.
Equazioni di grado superiore: sono quelle
in cui l’incognita può comparire con il
grado 3, 4, etc.
Equazioni letterali: quelle in cui i
coefficienti sono letterali.
Equazioni goniometriche: quelle in cui
compaiono le funzioni sin( ),
cos( ) , ( ),
.
Equazioni di grado superiore (al secondo)
)
− 1=0 (
=1
=±1
Le due soluzioni sono: x1 = 1 e x2 = -1
− 25 = 0
= 25
= ±5
Quando invece + 25 = 0
=
√−25 non ci sono soluzioni reali.
L’equazione chiamata spuria, non
contiene il termine senza incognita
(termine noto), quindi si può raccogliere
la , applicando poi la legge di
annullamento del prodotto (vedi);
esempio:
( − 3)
− 3 =0
= 0
=0
=3
Un consiglio :
data l’equazione: ( − 2) + = 0 , i
valori della x che la soddisfano sono
3
=2, = −
5
Chi invece procede “ a testa bassa “, senza
ragionare, esegue i calcoli indicati
togliendo le parentesi, per poi applicare
alla fine la formula risolutiva: in questo
caso impiegherebbe almeno 10 minuti,
invece di pochi secondi !
Esempio:
***
Sono quelle in cui l’incognita ha grado 3, 4,
5, etc. Anche se hanno sempre un numero
di soluzioni (reali o complesse) pari al loro
grado, non esiste un metodo generale per
risolverle.
Equiangolo
**
55
4 −2 +
=0
In questo caso si raccoglie :
(4 − 2 + 1) = 0
Due soluzioni sono uguali a 0, le altre due
si trovano risolvendo l’equazione di 2°
grado tra parentesi.
Lo sono per esempio il triangolo
equilatero e tutti i poligoni regolari;
anche il rettangolo è equiangolo.
Si dice di un poligono che ha tutti gli angoli
uguali.
Equidistanti
**
Punti o rette che hanno la stessa distanza
da uno stesso punto.
Equilatero
*
Di solito è riferito al triangolo con tutti i
lati uguali; anche il quadrato e il rombo
sono però equilateri.
Equipollenti
***
Si dice di due vettori che hanno lo stesso
modulo, la stessa direzione e lo stesso
verso;
Equivalenti
Il rettangolo e il triangolo qui illustrati
sono equivalenti.
*
Due figure geometriche si dicono
equivalenti quando hanno la stessa area.
Equivalenze
*
Con questo termine (di solito usato al
plurale) si intende l’insieme delle
operazioni che permettono il passaggio da
un’unità di misura (vedi) ad un’altra,
oppure da un’unità di misura ai suoi
multipli e ai suoi sottomultipli.
Le equivalenze più comuni vengono fatte
sulla scala di misura dei metri, dei litri e
dei chili;
56
Le prime unità di misura vengono
insegnate alla scuola elementare, le
difficoltà sono molto diffuse fino alle
superiori (e anche oltre).
Per prima cosa bisogna cercare di vedere
e poi di immaginare ogni volta questa
unità in concreto: ad esempio guardare
quant’è un metro, quant’è un cm., un mm
etc. A seguire cercate di vedere sempre
quant’è grande un contenitore di un litro,
un secchio che contiene dieci litri etc ;
i multipli e sottomultipli non vanno
imparati a memoria tutti ( è impossibile !
) ma solo i principali (che si trovano nella
lista dei vocaboli di questo dizionario),
per un’eventuale necessità particolare si
può consultare wikipedia .
Equo
La roulette non è mai un gioco equo, chi
punta 1 € su un numero, riceve 36 € in
caso di vincita, ma i numeri sono 37, c’è
anche lo 0; ancor meno equo è il lotto,
peggio ancora le slot machine.
***
Un gioco equo è quello in cui i due
giocatori hanno la stessa speranza di
vincere o di perdere: il gioco stesso è
basato su eventi aleatori.
La scommessa su testa e croce con una
moneta, oppure sul pari e dispari in una
roulette priva dello zero, sono di per sé
giochi equi poiché i due giocatori ( una
persona e un ente pubblico o privato)
hanno la stessa probabilità di vincere o di
perdere.
Esaedro
*
Sinonimo di cubo (vedi)
Esponente
5 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125 l’esponente è 3;
= 4 questa è un’equazione di secondo
grado, l’esponente della x è 2, le soluzioni
sono ± 2 ;
**
Numero (o una lettera) che indica quante
volte il numero (o la lettera) che sta alla
base deve essere moltiplicato per sé stesso:
l’operazione si chiama potenza ; sta in alto
a destra rispetto alla base.
Espressione
Spesso lo studente confonde
l’espressione con l’equazione, anche per
l’assonanza dei termini: mentre in
un’equazione (in cui compare già il
È una scrittura che comprende numeri,
simbolo di =) bisogna trovare il valore
lettere o entrambi, legati tra loro da varie
dell’incognita, un’espressione viene
operazioni : risolvendo queste ultime
assegnata per essere semplificata, il
l’espressione può essere resa più semplice. segno di uguaglianza si mette in fondo ad
ogni passaggio per indicare che da una
certa scrittura si passa ad un’altra e poi
ad un’altra ancora: ecco un esempio di
espressione letterale:
4( + 2) − 3 − 8( + 1)
= 4 +8−3 −8 −8
= −8
In questo caso, come si vede, non è stato
***
57
cercato un valore particolare di qualche
incognita, ma si è resa più semplice, in
questo caso più corta, l’espressione.
Esempio: calcolare la √1340 :
comincio a provare con un numero
piccolo, per esempio 30;
30x30
900,
;
40 ∙ 40
1600,
, quindi la radice
quadrata è compresa tra questi due
numeri; provo a calcolare 35 che fa
1225, troppo poco;
ℎ 37 ∙
37
1369, è ancora troppo, ma mi sto
avvicinando; la radice di 1340 è
compresa tra i numeri interi 36 e 37;
provo a fare il quadrato di 36,5 che
corrisponde a 1332,25 mentre1339,56 è
il quadrato di 36,6 (siamo vicinissimi !),
quindi 36,7 è troppo; provo con il
numero decimale intermedio…..
Solo alcuni numeri (come 9 o 16 o 125)
sono quadrati perfetti, quindi hanno un a
radice quadrata intera; le altre radici
sono numeri irrazionali (vedi).
Estrazione di radice
(con avvicinamento per tentativi)
**
Si tratta di trovare quel numero che
moltiplicato per sé stesso è uguale al
numero dato, questo se si tratta della
radice quadrata; analogamente la radice
cubica sarà il numero che moltiplicato per
sé stesso tre volte, dà il numero stesso;
numerosi sono i metodi, tuttavia l’unico
che sembra andare secondo la
comprensione di chi la esegue è quello di
andare per tentativi, eseguendo solo facili
moltiplicazioni: in questo modo chi fa il
calcolo capisce senza fatica quello che sta
facendo; questo metodo permette di
trovare la radice di un numero anche
utilizzando (per le moltiplicazioni) una
semplice calcolatrice non scientifica.
Ettagono
**
Poligono di sette lati
Ettaro
Un campo quadrato, il cui lato è lungo
100 metri, ha l’area di un ettaro.
**
Unità di misura delle aree, usata in
agricoltura
F
Fascio
**
Di solito ‘fascio di rette’: insieme delle rette
(due o più) che passano per uno stesso
punto, che si chiama centro del fascio; un
insieme di rette parallele si chiama fascio
improprio.
58
Si parla anche (ma più raramente) di fascio Fascio di rette con centro C
di circonferenze o di parabole quando le
curve stesse passano per uno stesso punto.
Fattore
*
Ciascuno dei termini di una
moltiplicazione. Un fattore si dice primo se
non è ulteriormente divisibile. Vedi anche
‘scomposizione in fattori’.
La scomposizione in fattori dei polinomi è
spesso necessaria anche nel calcolo
letterale.
Fattore primo
Fascio di rette parallele
3 x 2 = 6 (3 e 2 sono i fattori, 6 è il loro
prodotto); 5 x 4 x 2 = 40 :
5,4,2 sono i fattori; si dice anche che il 40
si può scomporre nei suoi fattori primi 2,
4, 5.
*
Ciascuno dei termini, non ulteriormente
scomponibile, di una moltiplicazione.
Fattoriale
Esempi: 3 ! = 3·2·1 = 6
10 ! = 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 3628800
***
E’ il prodotto di un numero naturale per
tutti quelli che lo seguono, nell’ordine, fino
a 1 : il fattoriale di n si indica n!
Fattorizzare
*
Scomporre un numero in fattori primi
(vedi)
59
Finanziaria (matematica)
La matematica finanziaria è
l’applicazione di metodi matematici alla
soluzione di problemi legati all’economia
e alla finanza ; attinge dagli strumenti di
matematica applicata, informatica,
statistica ed economia.
Lo sviluppo di questa branca della
matematica ha assunto un’ importanza
pratica irrinunciabile per le banche, le
compagnie di assicurazioni, gli enti
previdenziali, gli investitori in genere e
quindi per tutta l’economia mondiale.
***
Settore della matematica applicata che si
occupa di operazioni economico –
finanziarie
Flesso
***
È un punto di una curva in cui la concavità
cambia: in quel punto la tangente
attraversa la curva stessa.
Esempio di flesso verticale: fino ad
la concavità della curva è rivolta verso il
basso, per > , invece, la concavità è
verso l’alto;
Flow chart : vedi ‘diagramma di flusso ‘
Frazione
*
Parte di un intero: si esprime con la
scrittura simbolica , dove a si chiama
numeratore e b denominatore.
Addizionando interi e frazioni si ottengono
frazioni più grandi dell’unità (improprie);
quelle più piccole di 1 si dicono proprie,
quelle multiple dell’unità si dicono
apparenti.
Esempi di frazioni proprie :
,
,
60
Anche in questo caso alcuni semplici
esempi servono a familiarizzare con
l’idea di frazione, che spesso si forma in
modo confuso nella mente degli studenti,
compromettendo lo studio successivo e
complessivo della matematica.
Se l’intero fosse, per esempio, l’area di
tutto il rettangolo……
la parte più scura corrisponderebbe
Esempi di frazioni improprie:
,
Esempi di frazioni apparenti:
, ,
ai .
,
Due frazioni si dicono equivalenti quando
possono essere trasformate l’una nell’altra
moltiplicando o dividendo numeratore e
denominatore per uno stesso numero.
Ad esempio, sono equivalenti le seguenti
coppie:
;
;
.
Ogni frazione può essere trasformata nel
corrispondente numero decimale, basta
dividere il numeratore per il
denominatore.
Frequenza
***
È una variabile statistica: la frequenza
assoluta è il numero di volte che si verifica
un evento, a prescindere dal numero totale
delle prove.
La frequenza relativa invece, è il rapporto
tra la frequenza assoluta e il numero di
prove eseguite; viene misurata con un
numero decimale compreso tra 0 e 1, o in
percentuale.
Funzione
**
Regola che esprime la variazione di una
grandezza rispetto a un’altra (quest’ultima
è, molto spesso, il trascorrere del tempo).
Le funzioni empiriche sono tratte dalla
realtà, non si possono valutare
esattamente i dati in uscita (ad esempio la
caduta della pioggia e il livello di un lago);
in caso contrario si dicono matematiche
(ad esempio quella che lega il lato di un
quadrato alla sua area).
61
La tavoletta di cioccolato qui sopra, per i
è al latte – cacao e per i è bianco.
Le frazioni erano note e utilizzate, per
esigenze commerciali, fin dall’antichità.
Dopo aver appreso i numeri naturali, il
percorso per comprendere gli altri
insiemi numerici dovrebbe essere il
seguente: naturali → frazioni → numeri
negativi → razionali → irrazionali
In un Liceo frequentato da 450 studenti,
75 partecipano alle Olimpiadi di
Matematica: la frequenza è 75 ; in questo
caso ha più senso però parlare di
frequenza relativa (75 : 450 ossia 0,166
che equivale al 16,6% ); poco più di 16
alunni ogni 100 vi partecipano…. un po’
pochi….)
Come immagine realistica può servire
quella di una macchinetta con una sola
entrata (se è di una sola variabile) e una
sola uscita . All’ingresso di un dato su un
ticket immaginario (su cui si pensa
scritta, per esempio, l’ora esatta del
giorno), potrebbe corrispondere l’uscita
di un altro dato (per esempio l’altezza del
sole, su un altro ticket). Un altro esempio
potrebbe essere quello della variazione
per prezzo della benzina in funzione dei
giorni.
In una funzione matematica, in
corrispondenza ad un certo valore in
entrata, si può prevedere il valore in
uscita: ad esempio, nella funzione = 2 ,
quando la x assume valore 3, y vale 6, se
x = 10, y = 20 etc.
Il concetto di funzione non va identificato
(spesso si tende a fare ciò….) con la sua
rappresentazione grafica.
Il fuoco è sempre interno alla conica
stessa. Il nome deriva dalla proprietà
fisica (Archimede la usò contro le navi
romane che assediavano la città di
Siracusa) degli specchi parabolici.
Fuoco
(di una conica)
***
Oltre che come intersezione di un cono a
due falde con un piano, le coniche possono
essere costruite nel modo seguente: sia
data una retta ed un punto non
appartenente alla retta . Ciascuna conica
può essere descritta come il luogo dei
punti tali che il rapporto tra la distanza
di da con la distanza di da sia
costante. Ovvero detto D il punto di
intersezione tra la retta e la
perpendicolare ad passante per il punto
si ha: = dove la costante viene
detta eccentricità, fuoco e direttrice
della conica.
Se
, la conica risultante è
un´ellisse, se
una parabola, se
si tratta di un´iperbole.
G
Gallone
Non esiste un solo tipo di gallone….
**
Unità di misura della capacità, utilizzato
nei paesi anglosassoni.
62
Geometria
*
Il significato etimologico della parola
equivale a “ misura della terra “; è la parte
della matematica dedicata allo studio delle
figure del piano e dello spazio, e ha il
compito di rappresentarle, misurarle e
ricavarne le proprietà. Per capire il vero
significato e il valore, oltre che l’utilità
pratica, della geometria bisogna però
conoscere un po’ di storia. Nell’antichità lo
studio delle figure geometriche nacque da
un’esigenza pratica di misura dei terreni,
come già testimoniato dagli antichi egizi,
dai babilonesi e dalle civiltà orientali; si
può dire che la geometria si è sviluppata
presto presso le civiltà più avanzate, anche
per le conoscenze di astronomia. Solo
presso i greci ha avuto, quasi interamente
per opera di Euclide, una sistemazione che
dipende da un certo numero di concetti
primitivi e di assiomi (in geometria più
spesso chiamati postulati);
Geometria analitica
***
È quella geometria che utilizza gli
strumenti dell'algebra per rappresentare e
studiare le proprietà delle figure
geometriche. Introducendo un sistema di
coordinate cartesiane nel piano (suggerito
per la prima volta da Cartesio) o nello
spazio, consente di associare a ogni oggetto
geometrico una coppia di coordinate o una
terna di coordinate o un’equazione, in due
incognite se si tratta del piano, in tre
incognite se si vogliono rappresentare
curve o superfici nello spazio.
La risposta a questa voce potrebbe
comportare un’opera enciclopedica; le
confusioni che avvengono da parte degli
alunni, dipendono dai programmi, di tutti
gli ordini di scuola: alle elementari la
geometria dovrebbe applicarsi al
semplice studio e misura delle figure più
comuni, perimetri, aree, semplici
proprietà, etc; questo studio dovrebbe
essere approfondito alla scuola media,
ma senza far riferimento ai postulati; lo
studio astratto può essere intrapreso alla
scuola superiore, ma cercando di far
capire ai discenti che cosa sono e perché
sono utilizzati gli assiomi; al biennio
dovrebbe avere una certa parte anche la
storia della geometria dell’antichità; nel
triennio, lo studio della geometria
analitica (vedi) dovrebbe essere visto
come una sorta di “coronamento” :
l’algebra viene applicata alla geometria.
Nel piano: facendo riferimento a due assi
(rette orientate), di solito perpendicolari,
si deve immaginate il piano
“quadrettato”.
La retta obliqua in figura può essere
rappresentata dall’equazione
63
=
Goniometria
La parola si confonde spesso con
‘ trigonometria ’ che significa invece
misura e studio dei triangoli a partire
dagli angoli .
***
Settore della matematica che si occupa
dello studio e della misura degli angoli: più
specificatamente comprende la definizione
delle funzioni seno, coseno, tangente, etc.
chiamate appunto funzioni goniometriche.
Goniometro
*
Strumento per misurare gli angoli: di solito
formato da un semicerchio in metallo o in
plastica, a volte è un cerchio intero; in
prossimità della circonferenza esterna
sono riportati i gradi sessagesimali, alcuni
riportano anche i gradi centesimali.
Grado
(unità di misura degli angoli)
Il numero 360 è stato scelto perché ha
molti divisori, ma anche perché è
presente nella tradizione; il sistema
sessagesimale era in uso presso i
Babilonesi, che consideravano il 360
Unità di misura degli angoli: il grado
come uno dei numeri magici; non solo, il
sessagesimale è la trecentosessantesima
giro completo del sole attorno alla terra
parte dell’angolo giro, cioè di una rotazione (allora… l’anno era così considerato)
completa. Anche il sistema si chiama
corrispondeva (e corrisponde, ma è la
sessagesimale. Mezzo giro corrisponde
terra che gira attorno al sole) a circa 360
quindi a 180° e un quarto di giro ad un
giorni; sulla calcolatrice scientifica il
angolo retto (a 90° ).
simbolo è DEG (dall’inglese degree )
*
Vedi anche radiante.
64
Grado centesimale
Sulla calcolatrice scientifica trovate
anche questo, anche se è poco usato.
Simbolo GRAD; per evitare errori
grossolani, è importante controllare
Un angolo retto corrisponde a cento gradi e sempre l’impostazione sulla calcolatrice
quindi un giro a 400°;
medesima.
i gradi centesimali sono usati dai geometri
in topografia.
Grado di un monomio
Esempio: 7
Questo monomio è di grado 6 (2+1+3).
***
***
E’ la somma dei gradi delle lettere che vi
compaiono
Grado di un polinomio
Esempio:
+
−
Questo polinomio è di 5° grado.
***
Tra tutti i monomi che lo compongono, il
grado massimo.
Grado di un’equazione
Esempi:
+ 5 − 7 = 0 equazione di 3° grado
+3
− 7 = 0 eq. di 4° grado
***
Se l’equazione contiene una sola incognita
è il massimo grado con cui compare
l’incognita;
se l’equazione contiene più incognite è il
grado massimo tra quelli dei monomi che
la formano.
Grado di un sistema
− 5 =0
− 27 + = 0
***
questo sistema è di 6° grado;
Si calcola moltiplicando i gradi delle
singole equazioni che lo compongono
65
Grafico
V E NDIT E
**
Disegno che riproduce l’andamento di una
o più grandezze nel tempo, oppure di due
grandezze in dipendenza tra loro ; può
essere un istogramma, un diagramma a
torta, a linee ; in altri casi, se è la y al
variare della x, si tratta del grafico di una
funzione (sugli assi cartesiani).
Sulla destra è rappresentato un diagramma
a torta, relativo alle vendite di un prodotto
nei trimestri dell’anno.
1° trim.
2° trim.
3° trim.
4° trim.
9%
10%
23%
58%
Grafico (diagramma a torta), che
descrive le
Vendite di un prodotto nei trimestri
dell’anno.
A SINISTRA
In un biennio di una scuola superiore, gli
alunni (48 in totale)si iscrivono a
praticare uno sport durante le ore
pomeridiane, avendo a disposizione una
sola scelta.
Il diagramma a colonne ne descrive la
distribuzione.
←
Calcio
Danza
Tennis
Basket
Pallavolo
Altri
Titolo del grafico
14
12
10
8
6
4
2
0
1
Calcio
Danza
Tennis
Basket
Pallavolo
Altri
Grandezza
In matematica: la lunghezza, l’area,
l’ampiezza di un angolo, etc.
In fisica : la velocità, l’intensità di
corrente, lo splendore di una stell …
ovviamente alla fisica servono anche
tutte le grandezze della matematica.
G=R–S
G = guadagno
R = ricavo
S = spesa
**
Entità che può essere misurata.
Guadagno
*
In termini molto semplici, in una attività
66
commerciale, è la differenza tra il ricavo (la
somma incassata) e la spesa (la somma
versata per l’acquisto). In realtà, anche i
piccoli commercianti, devono calcolare il
guadagno tenendo conto di diversi fattori,
come le tasse, l’affitto del negozio e le
spese varie; ancora più complicato è
calcolare il guadagno per una azienda, che
deve sostenere spese di vario tipo, a
partire dagli stipendi dei dipendenti,
l’acquisto dei macchinari, la manutenzione
etc.
I
Icosaedro
*
È un poliedro con venti facce.
Di solito, con il termine icosaedro si intende
però generalmente l'icosaedro regolare, le cui
facce sono triangoli equilateri; esso è quindi
anche un solido platonico .
Identità
**
Uguaglianza sempre vera, ossia verificata per
tutti i valori assegnati alle variabili che vi
compaiono.
Da non confondere con equazione :
mentre in questa si tratta di trovare
il valore o i valori che rendono vera
l’uguaglianza, nel caso dell’identità,
possiamo verificare l’uguaglianza
sempre; ad esempio:
( + ) − 2 =
+
È vera per tutti i valori assegnati ad
67
aeab.
Immaginario (numero)
***
Si può definire come un numero complesso
(vedi), in cui la parte reale sia uguale a zero
Infatti, se il numero complesso è
dato nella forma + in cui
rappresenta la parte reale, è la
parte immaginaria, in cui = √−1;
Il nome ‘ immaginari ‘ fu assegnato
per la prima volta da Cartesio.
Tuttavia, contrariamente a quanto
si può pensare senza conoscere le
applicazioni dei numeri complessi,
questi numeri non sono del tutto
“immaginari “ .
Immagine
***
Quando è definita una funzione tra due insiemi,
ad ogni elemento del primo insieme corrisponde
uno e uno solo elemento del secondo: ciascuno
di questi ultimi si chiama immagine.
Implicazione
***
Operazione logica
→ ( se A … allora B ) :
è falsa solo nel caso in cui A sia vera e B falsa .
68
A partire da due proposizioni A e B ,
si forma una nuova proposizione
chiamata A implica B , la quale è
vera se e solo se è verificata la
condizione in cui A è falso, oppure è
vero A , ma è vero anche B ;
Esempio: A = “ è dato un numero n
divisibile per 4 “ –
B = “ è dato un numero n pari ” :
se A è vero e B è vero,
l’implicazione è confermata, perché
se un numero è divisibile per 4, è
per forza pari;
se A è falso e B è vero, potrebbe
trattarsi per esempio del numero
10, che non è divisibile per 4 ma è
pari; se scegliamo il numero 15,
questo non è né divisibile per 4 né
tantomeno per due (corrisponde
alle due proposizioni false, quindi
l’implicazione è falsa); solo nel caso
in cui si afferma che n è divisibile
per 4 ma non per due c’è una
contraddizione, alias una
conclusione falsa;
l’implicazione è quindi vera in tre
casi su quattro.
Impossibile
***
Aggettivo usato per designare un’equazione o un
sistema che non ha soluzioni; si usa anche nel
calcolo delle probabilità: un evento impossibile
ha probabilità zero di verificarsi.
Incentro
**
Punto d’incontro delle bisettrici di un triangolo:
è il centro della circonferenza inscritta nel
triangolo stesso.
Incognita
Il concetto di incognita è legato a
quello di equazione (vedi), la
soluzione della quale porta a
trovare il valore stesso
Quantità provvisoriamente non conosciuta, di
dell’incognita; quando in
solito indicata con x (oppure y, z, t… se più di
un’equazione il variare di
una); la lettera che viene indicata come
un’incognita è legato al variare
incognita, serve per impostare simbolicamente il dell’altra, quest’ultima si chiama
problema.
variabile (vedi).
Incommensurabili (vedi anche commensurabili ) Supponiamo di voler misurare due
asticelle, per esempio in centimetri;
se uno o entrambi non misurano
esattamente un certo numero di cm
, utilizzeremo i millimetri, poi i
Letteralmente si dice di due grandezze (due
decimillimetri e così via: dal punto
segmenti, due aree, …) che non hanno una
misura comune: in altre parole un sottomultiplo di vista pratico, pur continuando
nella precisione (utilizzando per
dell’una non può essere usato per misurare
esempio un microscopio), ad un
l’altra.
certo punto ci fermeremmo
( Si noti che nel linguaggio comune
‘incommensurabile’ significa invece ‘smisurato’, accontentandoci di arrivare alla
precisione che ci occorre
diversamente dal linguaggio matematico).
(approssimazione); analogamente
potremmo pensare di regolarci con
i segmenti, che sono entità astratte,
utilizzando, per quanto possibile,
anche numerose le cifre dopo la
virgola: prima o poi il
**
***
69
procedimento avrà una fine; né
dovremmo farci condizionare da
eventuali numeri periodici, che si
possono trasformare in frazione
(per esempio se un segmento
misurasse 0,3333 …
potremmo
“tradurre” 0,333. .
e trovare il
segmentino comune anche all’altro
segmento).
Saremmo quindi portati a pensare
che il segmentino comune a due o
più segmenti, per quanto piccolo, si
possa sempre trovare e che il loro
rapporto sia sempre un numero
razionale. Invece non è così: per
esempio sono incommensurabili il
lato di un quadrato e la sua
diagonale (il loro rapporto è un
numero irrazionale, vale a dire se il
lato vale 1, la diagonale è lunga √2
= 1,414213 …., (con infinite cifre
dopo la virgola), il loro rapporto è
un numero irrazionale.
Furono proprio i pitagorici ad
accorgersi di questa ‘lacuna’, dopo
aver sostenuto la loro matematica
come una religione: la scuola
pitagorica presentava infatti anche
connotazioni filosofiche e mistiche.
Tutta la filosofia della setta era
fondata sui numeri naturali e sui
loro quozienti, i numeri razionali.
Questa comunità diede importanti
contributi alla geometria, primo fra
tutti la dimostrazione del Teorema
di Pitagora
(già trovato empiricamente da
egiziani, babilonesi e cinesi) e alla
teoria dei numeri, come la
classificazione e lo studio dei
numeri figurati. Paradossalmente,
la scoperta più importante della
comunità fu forse la dimostrazione
che il rapporto tra il lato e la
diagonale di un quadrato non è
70
esprimibile come rapporto di due
interi. Questa scoperta, che prova
l'esistenza dei numeri irrazionali,
andava contro a tutta la filosofia
della setta. L’esistenza di
grandezze incommensurabili e
conseguentemente dei numeri
irrazionali contraddiceva non solo
le convinzioni filosofiche dei
pitagorici, ma metteva anche in
crisi il concetto di infinito della
filosofia greca.
Altre due “ famose “ grandezze
incommensurabili sono la
circonferenza e il suo diametro (
vedi ).
Incrementale (rapporto)
La derivata di una funzione in un
punto si calcola tramite il rapporto
incrementale; un esempio tipico è
quello della velocità di un oggetto:
Quando si studia una funzione = ( ), dato un se al numeratore della frazione sta
punto di ascissa , si chiama rapporto
l’incremento (aumento) dello
incrementale di f(x) relativo al punto , la
spazio, rispetto al tempo ( che sta
(
) ( )
invece al denominatore della
frazione
, dove h è l’incremento
frazione), più il rapporto è grande,
della variabile indipendente; in altre parole è il
più la velocità è elevata; se h è
rapporto tra l’incremento della y e quello della x; infinitamente piccolo, la frazione
corrisponde alla derivata.
Questo concetto (qui spiegato in
poche considerazione) si studia
all’ultimo (o penultimo) anno delle
superiori: è uno dei più importanti
della matematica.
Infinitesimale (vedi analisi infinitesimale )
***
***
Che concerne gli infinitesimi.
Infinitesimo
Ad esempio la funzione = ln( ) è
un infinitesimo per → 1, poiché è
lim ln( ) = 0
***
→
Concetto matematico che esprime una
grandezza che tende all’infinitamente piccolo, al
variare di un’altra grandezza.
Si dice che ( ) è infinitesima o che è un
71
infinitesimo per
→
se lim ( ) = 0
→
Un infinitesimo, quindi è una variabile che tende
a zero.
Infinito
***
Concetto matematico che indica una grandezza
che può essere fatta crescere a piacere,
diventando quindi illimitatamente grande.
L’insieme dei numeri naturali è infinito, contiene
cioè un numero infinitamente grande di
elementi : esso può essere messo in
corrispondenza biunivoca con un suo
sottoinsieme proprio (ad esempio l’insieme dei
numeri pari), anche in questo senso gli insiemi
infiniti si distinguono dagli altri.
«L’infinito! Nessun altro
problema ha mai
scosso così profondamente lo
spirito umano; nessuna altra
idea ha stimolato così
profondamente il suo intelletto;
e tuttavia nessun altro concetto
ha maggior bisogno di
chiarificazione che quello di
infinito».
[David Hilbert, matematico
tedesco]
L’insieme dei punti di un segmento
è infinito ; dati due segmenti, AB e
A’B’, proiettando i punti di AB a
partire dal punto P, ad ogni punto
del primo segmento si può far
corrispondere un punto del
secondo, anche se A’B’ è più lungo
di AB.
Si crea un paradosso (vedi):
l’insieme dei punti del segmento AB
può essere messo in
corrispondenza biunivoca con
l’insieme dei punti del segmento
A’B’, più piccolo e quindi
(apparentemente) con un numero
minore di punti: questo succede
72
solo per gli insieme di infiniti
elementi.
Informatica
**
Scienza che riguarda il trattamento automatico
dell’informazione (vedi), mediante l’elaboratore
(sistema elettronico automatizzato); rispetto
alla matematica, l’informatica è andata
assumendo negli ultimi anni un suo ruolo
specifico, ma le due scienze sono strettamente
legate e l’una si è sviluppata e si sviluppa anche
mediante l’altra.
Informazione
**
Tutto ciò che un calcolatore memorizza ed
elabora: può essere numero, testo, immagine,
suono ; occorre rappresentare tale informazione
in formato facilmente manipolabile
dall’elaboratore
(vedi anche informatica ).
Insieme
*
Concetto primitivo (quindi non derivabile da
altri oggetti) : indica una collezione di (insieme
di animali, di persone, di lettere dell’alfabeto, di
numeri, di punti, etc) .
Un insieme è definito quando è possibile
stabilire la proprietà che individua i suoi
elementi; si può rappresentare in tre modi
diversi: per elencazione, per proprietà
caratteristica o graficamente, mediante un
73
Dalla sua nascita, questa scienza ha
modificato il suo ruolo e persino il
suo significato; la computer science
(in inglese, non esiste una
traduzione letterale del termine
informatica ) ha determinato,
parallelamente, l’enorme sviluppo
di altre discipline di carattere
scientifico. Anche se le sue origini
sono antiche, la nascita dei primi
elaboratori elettronici di una certa
potenza si possono datare agli
ultimi anni della seconda guerra
mondiale.
Oggi l’informatica si occupa della
creazione, la raccolta,
l’elaborazione, l’immagazzinamento
e la diffusione dell’informazione
con l’aiuto dei computer e delle
tecnologie connesse.
La parola è qui intesa nel suo
significato più specifico legato
all’informatica; lo stesso vocabolo
viene utilizzato per indicare le
notizie utili che vengono
comunicate nell’ambito della
società.
L’insieme dei numeri compresi tra
1 e 10 (compresi gli estremi) si
rappresenterebbe così:
Per elencazione:
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10}
Per caratteristica:
A = { / è naturale e 1≤ x ≤ 10};
Con un diagramma di Venn.
diagramma di Eulero – Venn; nel primo caso di
indica la proprietà che individua tutti gli
elementi dell’insieme, nel secondo si elencano
tutti gli elementi ; la rappresentazione grafica
prevede una linea chiusa, di solito a forma di
ellisse, dentro alla quale si segnano gli elementi.
Integrale
***
L'integrale definito è il concetto iniziale di
operazione finalizzata al calcolo dell’area
compresa tra una curva e l’asse x :
a
f(x) = S
b
Che si legge "INTEGRALE DEFINITO di f(x) tra a
e b uguale S .
Interesse
***
L’interesse, che si indica con I è il compenso che
spetta a chi presta un certo capitale C per un
tempo t , ad un certo tasso di interesse .
Intersezione
***
Può essere intesa come l’operazione che
permette di individuare la parte comune a due
insiemi, oppure come il punto d’incontro di due
rette (oppure ancora come i punti d’incontro tra
una retta e una curva).
Nel primo caso, l’intersezione di due insiemi A e
B (che si indica con A ∩ B ), è l’insieme degli
elementi che appartengono sia ad A che a B.
74
Trattandosi di argomento del
programma finale del Liceo
Scientifico e dell’ Istituto tecnico,
finalizzato allo studio dell’analisi
matematica, spesso affrontato e
approfondito dagli studenti a
livello universitario, trascuriamo
qui di andare oltre: il concetto
richiederebbe infatti ben altra e
approfondita spiegazione, ciò che
esula dallo scopo del nostro lavoro.
L’argomento viene trattato in
matematica finanziaria. L’interesse
I non va confuso con il tasso
d’interesse : quest’ultimo è
l’interesse unitario, ossia espresso
in percentuale : ad esempio il tasso
del 2% esprime l’interesse di 2 €
ogni 100 €.
L’interesse I è dato dalla differenza
M – C , tra il montante e il capitale
(vedi anche capitalizzazione ).
Sia A l’insieme delle lettere che
formano la parola “ linea “ e B
l’insieme delle vocali dell’alfabeto :
si ha che ∩ = { , , }
Anche nel secondo caso, il singolo punto in
comune , può essere interpretato come
appartenente ad un insieme formato da un
singolo punto, quello in comune a tutti i punti
della retta a con quelli della retta b.
Intervallo
***
E’ un sottoinsieme dei numeri reali.
Si definisce intervallo sulla retta R l'insieme di
tutti i punti che stanno fra due valori dati,
compresi gli estremi: ad esempio l'intervallo
[2,5] sarà l'insieme di tutti i punti (a cui
corrispondono altrettanti numeri) compresi fra
2 e 5. Se i punti estremi fanno parte
dell'intervallo l'intervallo si dice chiuso; se i
punti estremi non appartengono all'intervallo
allora l'intervallo si dice aperto.
Intorno
***
Insieme di punti vicini al punto dato.
Iperbole
***
E una sezione conica o semplicemente conica,
che si ottiene intersecando un cono circolare
retto indefinito a due falde con un piano che
incontri entrambe le falde.
L'iperbole si può definire come il luogo
geometrico dei punti del piano per cui è costante Rappresentando l’iperbole sul
la differenza delle distanze da due punti fissi
75
detti fuochi : questo vuol dire che per tutti i
punti P della figura avremo che
PF2 - PF1 = costante.
piano cartesiano, la sua equazione è
−
=1
L'iperbole ha una proprietà che la
distingue dalle altre coniche;
possiede due asintoti, ovvero
esistono due rette a cui la curva si
avvicina indefinitamente, senza
mai toccarli; tali asintoti sono due
rette passanti per l'origine, di
equazione:
= ±
Anche l’iperbole si studia nel
triennio del triennio delle superiori.
Ipotenusa
*
In un triangolo rettangolo è il lato più lungo, che
sta opposto all’angolo retto.
Ipotesi
Vedi anche ‘ teorema ‘
**
In un teorema è quello che già conosciamo, tutto
ciò che possiamo supporre come vero.
76
Irrazionale ( vedi ‘numero irrazionale’ )
Isoscele
*
L’aggettivo individua un triangolo o un trapezio
con due lati uguali .
Istogramma
200
150
**
Tipo di grafico utilizzato in statistica formato da
rettangoli che hanno una stessa base ma altezza
diversa ;
(vedi anche ‘diagramma’).
100
50
0
1
2
3
4
5
6
7
K
Kilo (Vedi anche chilo)
Ad esempio 1 kilometro = 1000
metri ;una kilocaloria = 1000
calorie ; usato da solo indica 1000
grammi.
*
Prefisso usato per indicare 1000 unità.
Kilogrammo (vedi chilogrammo)
Kilometro (vedi chilometro)
L
Letterale (calcolo)
**
Detto anche calcolo algebrico : è quello in cui si
utilizzano anche le lettere.
77
Le lettere assumono una valenza
più generale rispetto ai numeri, (ad
esempio la proprietà commutativa
dell’addizione si può rappresentare
scrivendo a + b = b + a ; in
geometria le formule, (con le
lettere), possono rappresentare
perimetri, aree , proprietà etc.
Anche se agli alunni spesso non
appare evidente, l’uso del calcolo
letterale serve a semplificare quello
numerico. Si pensi ad esempio alla
formula risolutiva delle equazioni
di 2° grado complete: come si
potrebbero rappresentare
altrimenti le soluzioni ?
Limite
Anche in questo caso, trattandosi di
argomento del programma finale
del Liceo Scientifico e dell’ Ist.
Tecnico, finalizzato allo studio
dell’analisi matematica, spesso
affrontato a livello universitario,
trascuriamo qui la spiegazione: il
concetto richiederebbe infatti una
estesa e approfondita spiegazione,
ciò che esula dallo scopo del nostro
lavoro.
***
Di una successione o di una funzione ;
Linea
*
Successione di punti che può rappresentare una
retta, una curva o parti di esse.
Si può pensare come la traiettoria
seguita da un corpo in movimento
(come quella che segue la punta
della penna su un foglio); una linea
può essere chiusa o aperta, a
seconda che, percorrendola, si torni
al punto di partenza oppure no.
Lineare
***
L’aggettivo sta ad indicare un’equazione o un
sistema di 1° grado.
Linguaggio
***
78
Anche in questo caso si potrebbero
scrivere libri sull’argomento, oltre a
quelli già scritti.
La storia dei linguaggi artificiali o
Insieme di segni e di regole che servono per
comunicare: ne esistono di vari tipi, a seconda
del mezzo, degli strumenti, di chi lo interpreta,
animale, uomo o macchina. Una prima grossa
distinzione si ha tra linguaggi naturali e
linguaggi formali: questi ultimi sono stati
inventati per superare l’ambiguità in cui si cade
talvolta utilizzando i linguaggi naturali.
Anche la matematica ha un suo linguaggio
(formale), quello di renderlo più comprensibile
è proprio lo scopo principale di questo lavoro. Si
parla più specificatamente di linguaggio
artificiale quando ci si riferisce all’insieme dei
segni, dei simboli e delle regole sintattiche che
servono per comunicare con la macchina. Un
linguaggio di programmazione è quindi un
traduttore di formule e di istruzioni in algoritmi
(vedi) computazionali (vedi).
di programmazione ha inizio con i
primi computer (seconda guerra
mondiale).
Essi consentono di formalizzare gli
algoritmi in maniera non ambigua e
permettono di scrivere i
programmi, i quali possono essere
eseguiti da un computer, ma
devono anche poter essere letti,
compresi e modificati da esseri
umani: programmi usato per molto
tempo sono stati, per esempio, il
FORTRAN e il C++. Ogni
programma descrive le strutture
dati su cui operare, le operazioni da
eseguire, i dati in ingresso e in
uscita.
I linguaggi di programmazione si
distinguono dal linguaggio
macchina (le istruzioni sono
rappresentate da codici numerici
espressi in sistema binario) perché,
mentre i primi possono essere
compresi da molti, il linguaggio
macchina è quello che fa eseguire le
istruzioni al calcolatore, solo
“La lingua comune ed il
linguaggio della Matematica
entrano duramente in
opposizione tra loro, in
Didattica, costituendo un vero e
proprio ostacolo sia alla
comprensione sia ad un uso il
più possibile “naturale” e
spontaneo del linguaggio
matematico atteso
dall’insegnante.” [Bruno
D’Amore]
pochissimi addetti ai lavori lo sanno
applicare: c’è quindi un ulteriore
passaggio da uno all’altro. Il
linguaggio macchina è molto vicino
all’hardware del computer o dei
microchip che vengono oggi
79
utilizzati nelle apparecchiature
elettroniche di tutti i tipi.
Litro
*
Unità di misura della capacità e del volume nel
sistema metrico decimale, compatibile con le
altre unità di misura del SI.
Un
di acqua distillata (alla temperatura di 4
°C ) o, che fa lo stesso, un litro, pesa un kg.
Questa uguaglianza è importantissima per le
equivalenze.
Logaritmo
***
Il logaritmo di un numero è l’esponente che
bisogna dare ad una determinata base per
80
Per verificare la doppia uguaglianza
1
=1
=1
(di acqua), provate a costruire un
cubo di cartoncino, avente lo
spigolo di un dm; rivestitelo
internamente di una pellicola
leggera in modo che possa
contenere, per poco tempo, acqua;
riempitelo, utilizzando una bottiglia
da un litro, poi pesatelo: ci sarà
qualche piccolo errore dovuto al
riempimento e al fatto che l’acqua
non è distillata, ma lo vedete che è
un chilo ? Ora avete fatto un grosso
passo avanti per capire le
equivalenze…. e due passi per
capire il peso specifico….
L’avvento delle calcolatrici
scientifiche ha reso inutili le tavole
logaritmiche, usate fino a qualche
decennio fa.
I logaritmi rendono possibile
trasformare prodotti in somme,
ottenere il numero stesso : le basi utilizzate sono
soprattutto il 10 oppure (numero di Eulero,
vedi).
In altre parole è l’operazione inversa
dell’elevamento a potenza.
Si ha ad esempio che 10 = 1000 da cui
log 1000 = 3 .
quozienti in differenze, elevamenti
a potenza in prodotti e calcoli di
radici in quozienti. Le operazioni
vengono molto semplificate.
I nostri sensi sono "logaritmici":
- se ascoltiamo un suono e ne
sentiamo poi un altro che ci appare
di intensità doppia, misurandolo
(di solito si scrive Log 1000 = 3, per
successivamente ci accorgeremo
convenzione Log vuol dire “in base 10)
che ha intensità quattro volte
superiore
- analogamente, se vediamo una
luce e poi un'altra che ci sembra 3
volte più forte, misurando ci
accorgeremo che lo è 9 volte di più
I logaritmi sono utilizzati nella vita
di tutti i giorni. Ad esempio il
gommista: misura la pressione di
una gomma sul suo strumento con
una scala non lineare, ma
logaritmica.
Logica
Al di sopra di ogni disciplina,
Aristotele insegnava la logica, l'arte
del ragionare in modo corretto per
scoprire la verità delle cose. Non
La parte della filosofia che studia quali sono le
esistendo (all’epoca ) la possibilità
leggi del pensare, che assicurano validità
di fare esperimenti (come avviene
conoscitiva .
oggi in Fisica), la verità si deduceva
Si chiama logica formale lo studio ‘in abstracto ‘ attraverso il modo corretto di
dei procedimenti.
ragionare.
Logica proposizionale
La logica matematica studia le
proposizioni, cioè le espressioni
linguistiche per cui abbia senso dire
se siano vere o false.
La logica proposizionale è un linguaggio formale Lo studio della logica, nato
con una semplice sintassi (vedi) , basata
nell'antica Grecia con Aristotele,
fondamentalmente su proposizioni elementari e Euclide e gli stoici, ha conosciuto un
su connettivi logici ( AND, OR, NOT) , che
grande sviluppo a partire dalla fine
restituiscono il valore di verità di una
del secolo scorso, soprattutto come
proposizione in base al valore di verità delle
studio del tipo di ragionamento
proposizioni componenti.
normalmente condotto nel
dimostrare teoremi matematici ;
per rappresentare proposizioni e
ragionamenti, è stato definito un
linguaggio formale che, attraverso
una serie di evoluzioni, ha
81
***
***
raggiunto una forma standard
ormai universalmente accettata.
Complessa è la vicenda dei rapporti
tra logica e studio del linguaggio
naturale: il linguaggio formale è
stato inventato per evitare i
fraintendimenti a cui può dar luogo
quello naturale.
A partire dalla logica delle
proposizioni , si è sviluppata
l’algebra di Boole (vedi) e quindi
l’elettronica digitale .
Lunghezza
Il valore numerico di una lunghezza
si può stabilire solo se è fissata una
certa unità di misura.
*
Grandezza misurabile caratteristica di un
segmento o di un tratto di curva; una delle tre
dimensioni di un solido (le altre due sono
larghezza e altezza), secondo cui più si sviluppa
un oggetto su un piano orizzontale.
Luogo geometrico
**
Insieme di punti che hanno una stessa proprietà.
I più classici esempi di luoghi
geometrici sono la circonferenza e
l’asse di un segmento: la prima è
l’insieme dei punti che hanno la
stessa distanza dal centro; il
secondo è l’insieme dei punti che
hanno la stessa distanza dagli
estremi del segmento stesso:
Tutti i punti della retta s sono
equidistanti da A e da B : s è quindi
l’asse del segmento AB
82
M
Massimo assoluto (di una funzione)
***
La funzione = ( ) ha un punto di massimo
assoluto, se il valore che essa assume in quel
punto è massimo nel suo intervallo di
definizione ; analogamente per il minimo
assoluto.
M
N
Massimo relativo
(di una funzione)
Vedi anche ‘massimo assoluto ‘
***
Una funzione = ( ) ha un punto di minimo
relativo nel punto di ascissa , se si può
scegliere un intorno di , tale che ( ) ≤ ( )
in ogni punto dell’intorno; analogamente ( )
ha un massimo relativo nel punto di ascissa ,
se si può scegliere un intorno di , tale che
( ) ≥ ( ) in ogni punto dell’intorno (vedi
figura sopra).
Massimo Comun Divisore MCD
**
Fra tutti i divisori comuni a due o più numeri
interi, è il più grande: serve quando dobbiamo (e
83
Nella figura sopra : nel punto M c’è
un massimo assoluto, in N un
minimo assoluto; gli estremi prima
dell’origine sono, rispettivamente,
un massimo relativo e un minimo
relativo.
Esempio:
; i divisori comuni a
numeratore e denominatore sono 2,
3, 6; il più grande è 6, dividendo
numeratore e denominatore per 6
possiamo) semplificare una frazione.
otteniamo , che è una frazione
Matematica
*
Lo studio dei numeri, delle quantità, delle figure
che usano regole e simboli.
La parola deriva termine greco màthema che
significa “conoscenza” o “apprendimento”.
Tutto quello che oggi è possibile, dalla vita di
tutti i giorni all’uso di uno smartphone , dalle
ricerche mediche a quelle spaziali, dalle
previsioni finanziarie a quelle meteorologiche,
dipende in gran parte dalla matematica e dai
suoi progressi.
Media aritmetica
Tutti avete imparato a fare la media
dei vostri voti in matematica? La
necessità aguzza l’ingegno!
L’operazione di calcolo della media
è spesso necessaria in statistica.
**
La media si calcola sommando i numeri e
dividendo per quanti sono.
Media armonica
***
È il reciproco della media aritmetica dei
reciproci dei numeri dati; se ad esempio sono
dati tre numeri, che indichiamo con a, b, c , la
media armonica sarà :
=
1 1
( +
3
1
1
+
1
=
)
1
+
3
1
+
molto più semplice, equivalente a
quella iniziale; più che la regola
mnemonica, serve tenere a mente
qualche esempio e, di tanto in tanto,
ripeterlo per iscritto.
Non si deve confondere la
matematica tutta con qualche sua
parte: ad esempio l’aritmetica
(ovvero il calcolo) è una parte della
matematica, così come lo è
l’algebra, ma né una né l’altra vanno
identificate con la matematica.
La storia della matematica, come la
storia, comincia dalla preistoria.
Ovviamente, data la vastità
dell’argomento, ci basti dire che
tutto il contenuto di questo
dizionario riguarda la matematica.
Se i tre numeri fossero, per
esempio, 5, 6, 10 (la cui media
aritmetica è 7), la loro media
armonica sarebbe:
3
3
60
=
=3 ∙
≅ 6,43
1 1
1
28
28
+ +
5 6 10
60
1
Media geometrica
Dati i tre numeri visti sopra (5, 6,
10 ) la loro media geometrica è data
da : √5 ∙ 6 ∙ 10 = √300 ≅ 6,7
***
Dati n numeri, la loro media geometrica è la
radice n – esima del loro prodotto.
84
Mediana
(in geometria)
*
Segmento che unisce un vertice di un triangolo
con il punto medio del lato opposto.
Non si deve confondere con l’altezza (vedi), né
con la bisettrice (vedi): solo nel triangolo
equilatero coincidono.
Metro
*
Unità di misura lineare (delle lunghezze),
inizialmente definita come la
quarantamilionesima parte del meridiano
terrestre (fine Settecento); è stata ridefinita nel
1889 dalla Prima Conferenza Internazionale di
Pesi e Misure come la lunghezza di una sbarra di
platino-iridio costruita come prototipo e che
viene conservata alla temperatura costante di
0°C nel Museo Internationale dei Pesi e delle
Misure a Sèvres, (vicino a Parigi). Su questo
metro campione sono stati tarati tutti gli altri
campioni utilizzati nel mondo. Questo è rimasto
il campione di riferimento.
Dopo che si è scoperto un errore commesso
inizialmente nella valutazione del meridiano
terrestre, la definizione rigorosa è stata rivista
così:
la distanza percorsa dalla luce in una frazione di
secondo corrispondente a
; una
frazione che è pressoché impossibile da
pronunciare (arrotondando, si può dire un
trecento milionesimo di secondo).
In Fisica, per semplificare, diciamo che la luce
percorre 300 mila km al secondo, che
corrispondono a 299….. ossia, arrotondando,
300 milioni di metri al secondo.
85
E’ importantissimo avere l’idea
approssimativa di un metro:
provate a guardare un metro
utilizzando il metro da muratore,
oppure da commerciante di stoffe,
oppure almeno provate a fare un
passo piuttosto lungo (se siete
piccoli) e normale (in caso
contrario).
Così pure occorre avere, prima
ancora di studiare a memoria, l’idea
dei suoi multipli e sottomultipli.
Man mano che li memorizzate,
guardate o pensate a quanto
corrispondono: quelle
corrisponderanno poi alle vostre
immagini mentali. Ad esempio: per
il decimetro, il centimetro, e il
millimetro, guardate un righello:
per i multipli, fatevi un’idea del
chilometro, ad esempio
controllando due scatti successivi,
da un km ciascuno, sul
contachilometri del motorino, della
bici o dell’auto: ripercorrete poi a
piedi quello stesso percorso per
rendervi meglio conto,
impiegherete pochi minuti. Le
parole decametro (dieci metri) ed
ettometro (cento metri), sono
molto poco usate : è molto utile
invece valutare a occhio a quanto
corrispondono, per esempio per i
100 metri basta abbinarli alla
distanza della corrispondente corsa
in pista.
Una volta che si sanno valutare a
occhio le misure lineari, bisogna
fare la stessa valutazione anche per
quelle che servono a misurare le
aree (
,
, etc. ), e poi i volumi
(
,
, etc. )
È importante rendersi conto della
sua entità guardando un qualsiasi
righello.
Millimetro mm
*
Millesima parte del metro
Minimo assoluto (di una funzione)
Vedi massimo assoluto
Minimo Comune Denominatore delle frazioni
**
E’ il minimo comune multiplo (vedi) dei
denominatori: date due o più frazioni, tra tutti i
numeri che sono multipli dei loro denominatori,
è il più piccolo. Serve per fare l’addizione di due
o più frazioni.
Minimo Comune multiplo
Si fa confusione perché, pur
chiamandosi piccolo, spesso non è
affatto piccolo ed è un multiplo; non
è nemmeno il numero che si ottiene
moltiplicando i denominatori:
bisogna quindi pensare che per
sommare due frazioni, abbiamo
bisogno di trasformarle in modo
che abbiano lo stesso
denominatore.
Esempi:
1 2 3 4
7
+ = + =
2 3 6 6
6
Il procedimento diventa meccanico,
quando si procede così :
denominatore comune 6 per cui
(6 diviso 2 = 3, per uno 3; 6 diviso
3 = 2, per 2 = 4); questo procedere
troppo meccanicamente, fa perdere
la padronanza della regola e le
ragioni per cui.
L’altra possibile causa di confusione
è l’esistenza del massimo comun
divisore ( vedi).
Un esempio: trovare il minimo
comune multiplo di 2,7,21 : essendo
21 già multiplo di 7, mi basta
86
**
Tra i multipli comuni a due o più numeri interi, è
il più piccolo. Si indica con MCM.
Minimo relativo (di una funzione)
Vedi massimo relativo
Minuendo
*
Nella sottrazione − , è il primo dei due
termini ; l’altro si chiama sottraendo (vedi ).
Misura
*
È un numero che esprime quante volte una certa
unità (di misura ) è contenuta nella grandezza
considerata ;
Moda
***
Con il termine moda, (o norma ) si indica in
statistica la modalità più frequente fra quelle
osservate in un data distribuzione di frequenze.
Moltiplicazione
(tra due numeri naturali)
*
Dati due numeri, eseguirne la moltiplicazione
significa trovare quel numero naturale (che si
chiama prodotto) che si ottiene addizionando
tante volte un numero quante ne indica l’altro:
ad esempio 7 x 5 = 7+ 7 + 7 + 7 + 7 (5 volte) =
35; ma anche 5+ 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 (7 volte)
= 35; quest’ultima si chiama proprietà
commutativa.
87
trovare il più piccolo multiplo
comune tra 2 e 21; dal momento
che 21 è dispari, il primo multiplo
comune è 42.
Spesso ci si confonde ; per
distinguerli meglio, si possono
pensare in ordine alfabetico :
se devo eseguire la sottrazione −
) viene prima di
, (
(
).
Si usano unità di misura standard in
riferimento a lunghezza, area,
massa, peso, volume, capacità,
tempo, temperatura; con la parola
‘misura’, si intende sia il numero
(ad esempio l’altezza di quella casa
è di 28 metri) sia il procedimento
per trovarla.
Un esempio: un concessionario ha
venduto, il mese scorso, 12 auto di
marca italiana, 11 francesi, 5
tedesche, 14 giapponesi e 3 di altre
marche: la moda, in questo caso, è
14.
Con la riflessione, ciascuno
dovrebbe evocare (richiamare alla
mente) un’immagine della
moltiplicazione (utilizzando anche
la propria immaginazione) che
possa rappresentare la definizione.
Ad esempio, se si immagina di
portare in tavola 4 volte 6 bicchieri,
mettendone in tutto 24, allo stesso
risultato si potrebbe pervenire
portandone 6 volte 4. Non si pensi
che la proprietà commutativa sia
banale e valga per tutte le
operazioni: è facile provare che per
la sottrazione e la divisione non
vale affatto.
Non confondete la moltiplicazione
con il prodotto: la prima è
l’operazione qui descritta, il
prodotto è il risultato.
In modo più generale e rigoroso si
può dire (se abbiamo a che fare con
i numeri naturali) che la
moltiplicazione è l’operazione che
associa due numeri ad un terzo
(esso stesso naturale, chiamato
prodotto). 3 auto che portano 5
passeggeri ciascuno, in tutto
portano 15 persone, tante quante
ne trasporterebbero 5 auto che
avessero a bordo solo 3 persone
ciascuno.
La moltiplicazione gode della
proprietà commutativa.
Quante bandierine ci sono qui
sopra ?
Le conti una per una?
Quando arrivi in fondo alla riga vai
a capo? Oppure fai 6 + 6 + 6 + 6 ?
Oppure pensi a 6 righe per 4
colonne e ottieni (dalla tavola
pitagorica) 24 ?
Quindi 6 x 4 = 24;
analogamente, 8+8+8 + 8 …. 5
volte dà come risultato 40.
Moltiplicazione in colonna .
Moltiplicazione in riga e calcolo mentale.
Prima di tutto va spiegato come
“funziona “ il sistema decimale
(vedi); poi si provano alcune
semplici moltiplicazioni a due cifre,
ma non in colonna, impegnando un
*
88
Si insegna da più di cent’anni nella scuola
elementare, ma non è il solo modo di trovare il
risultato. Molte incomprensioni, a partire dalla
seconda elementare, che si trascinano per tanti
anni, dipendono dal modo (troppo mnemonico)
con cui vi è stata insegnata.
po’ di meno i meccanismi e un po’
di più il calcolo mentale:
es. 1. 12 x 8 = (10 x 8) + ( 2 x 8 ) =
80 + 16 = 96;
es.2. 12 x 11 = (12 x 10) + (12 x 1)
= 120 + 12 = 132;
es. 3. 130 x 22 = (130 x 20) + (130
x 2) =
(130 x 10 x 2) + (130 x 2) = 2600
+ 260 =
2600 + 200 + 60 = 2860;
provate ora a fare queste tre
operazioni in colonna, capirete
perché in colonna si fa così: la
lineetta che si mette sotto l’ultima
cifra serve ad incolonnare le unità
con le unità, le decine con le decine,
etc. Si noti che, in questo caso, le
parentesi usate non sono
necessarie: servono solo a facilitare
la lettura delle operazioni.
Provate altre operazioni dello
stesso tipo.
Un suggerimento importante !
Quando dovete eseguire la
moltiplicazioni con numeri
decimali, oppure con numeri
grandi, usate pure la calcolatrice;
quando invece si tratta di numeri
interi e abbastanza piccoli (come
qui sopra), utilizzate il calcolo
mentale, con una tecnica simile a
quanto visto qui sopra.
Monomio
Esempi:
5
è un monomio di grado 3,
avente come coefficiente 5.
La lettera a ha grado 1, la lettera b
grado 2.
**
Espressione letterale in cui compaiono soltanto
operazioni di moltiplicazione ed elevamento a
89
potenza.
Il grado complessivo di un monomio è dato dalla
somma dei gradi delle singole lettere.
Multiplo
*
I multipli dei numeri naturali si ottengono
contando per quel numero: ad esempio, i
multipli di 3 sono 3,6,9,12,15 … … ; i multipli di 5
sono 5,10,15,20,25 … ..
è un monomio di grado 7,
avente come coefficiente ;
Imparare i multipli dei numeri
naturali (fino a dieci), significa
comprendere e memorizzare la
tavola pitagorica!
N
Naturale
Vedi ‘numero naturale ‘
Negativo (numero)
*
Minore di zero
Negazione
La negazione di A si indica con ̅ :
data la proposizione
A = “ Oggi è stata una bella giornata
“ , si ha che ̅ = “ Oggi non è stata
una bella giornata “ ;
***
Operazione fondamentale della logica
proposizionale (vedi ).
Normale
***
Sinonimo di perpendicolare
Notazione esponenziale (o scientifica)
***
Rappresentazione di un numero nella forma =
∙ 10 , dove k è un intero positivo ; per
convenzione, il numero si esprime con una
sola cifra prima della virgola , con 1 ≤ < 10 .
Numerazione (sistema di)
Ad esempio il numero 12735,449
può essere scritto 1,2735449 ∙ 10 ;
il numero 55000 può essere scritto
0,55 ∙ 10 ; il numero 0,000032 può
essere scritto 3,2 ∙ 10
;
Si usa molto in Fisica ; (vedi anche
ordine di grandezza )
Non si tratta di un solo concetto, ma
di un insieme di regole ; il nostro
sistema in base 10 si è affermato
90
***
Insieme di regole per combinare le cifre in modo
da poter scrivere qualsiasi numero con pochi
simboli: un sistema di numerazione può essere
posizionale (come il decimale o il binario) o
additivo (come quello in uso presso i Romani).
Esistono anche sistemi misti.
Numero
*
Oggetto matematico utilizzato per contare.
Numero algebrico
***
Viene chiamato algebrico ogni numero reale o
complesso che possa essere soluzione di una
equazione algebrica , cioè di una equazione
riconducibile alla forma P(x) = 0 dove P(x) è un
91
perché abbiamo 10 dita, quelle che
si usano inizialmente per contare;
in molti popoli è rimasto l’uso di un
sistema in base 5 (….una sola
mano), o in base 20 (….anche le dita
dei piedi).
In ogni popolazione si è diffuso un
proprio sistema
di numerazione, parlato e scritto,
nel corso della storia,
molti furono i sistemi che si
affermarono e poi scomparvero.
Non è un caso che le popolazioni
antiche più sviluppate, avessero
anche un sistema di numerazione
più avanzato delle altre. Ancora
oggi permangono diversi sistemi,
ma il più diffuso nel mondo è il
sistema decimale .
A cominciare dai Sumeri (terzo
millennio a. C.) fino a pochi secoli fa
(invenzione dello zero) e poi
ancora fino ai giorni nostri
(invenzione e uso del sistema
binario), sulla storia della
numerazione si potrebbero
scrivere interi trattati.
Le difficoltà degli studenti sono
legate alla mancata comprensione
dell’uso di unità, decine e centinaia
(vedi abaco, comprenderne il
funzionamento è fondamentale),
ma anche alla totale ignoranza sulla
storia della numerazione.
L’uso dei numeri risale alla
comparsa dei primi uomini.
Si vedano poi le varie voci naturale,
razionale, irrazionale etc
Per esempio √5 è un numero
algebrico in quanto è soluzione
dell’equazione algebrica
−5=
0 ; − è un numero algebrico in
quanto è soluzione dell’equazione
algebrica 5 + 3 = 0 .
polinomio di grado n con coefficienti interi primi I numeri non algebrici si dicono
fra di loro.
trascendenti (vedi).
Numero complesso (vedi complesso)
Numero decimale
(finito o periodico)
Il numero decimale è generato dalla
divisione tra due numeri o, che fa lo
stesso, da una frazione; vediamo
qualche esempio:
**
Un numero si chiama decimale quando ha una
parte decimale dopo la virgola: nel caso in cui la
parte decimale sia finita, il numero si chiama
appunto decimale finito; se invece tra le cifre
decimali vi è un gruppo di esse che si ripete
indefinitamente, allora si tratta di un numero
decimale infinito periodico: ciò non significa che
si tratta di un numero infinito, ma che le cifre
decimali si ripetono all’infinito dopo la virgola.
si può esprimere nel
corrispondente numero decimale ,
eseguendo la divisione 1: 4 = 0,25 ;
invece
1
= 0,3333 … . = 0, 3
3
La parte che si ripete
indefinitamente si chiama periodo ;
= 7: 6 = 1,16666 …. la parte
decimale compresa tra la virgola e il
periodo, quella rappresentata dall’1
si chiama antiperiodo, mentre il
periodo è 6 ; per trasformare,
all’opposto, un numero decimale
nella frazione corrispondente:
A) Se si tratta di un numero
decimale finito, si scrive la frazione
corrispondente in decimi,
centesimi, millesimi a seconda dei
decimali che compaiono, poi, se è
possibile, si semplifica: ad esempio
0,325 =
risulta
che semplificato
; se si tratta invece di un
numero periodico, la regola è
questa:
per costruire la frazione generatrice
di un numero decimale periodico si
scrive: al numeratore, il numero
dato senza la virgola e senza il
segno di periodo, meno il numero
formato da tutto ciò che sta prima
del periodo; al denominatore, tanti
9 quante sono le cifre del periodo,
seguiti da tanti 0 quante sono le
92
cifre dell’antiperiodo.
Esempio: 1,367 =
=
Conviene sempre verificare
l’esattezza del risultato, eseguendo
di nuovo la divisione tra
numeratore e denominatore
1354: 990
dà
proprio 1,3676767 ….
Numero immaginario Vedi ‘immaginario ‘
Numero intero
ecco alcuni esempi di numeri
interi:
−3, −2, −1,0, +1, +2, +3, +4
*
Si può definire come un multiplo esatto
dell’unità : l’insieme dei numeri interi è dato dai
naturali a cui aggiungiamo i corrispondenti
negativi.
Numero irrazionale
***
Numero che non si può mettere sotto forma di
frazione ; gli altri, quelli che si possono scrivere
sotto forma di frazione, si chiamano razionali
(vedi);
93
La storia dei numeri irrazionali è
iniziata con la scoperta da parte dei
pitagorici greci delle grandezze
incommensurabili (vedi), ossia
prive di un sottomultiplo comune.
La loro espressine algebrica non ha
mai termine e non è nemmeno un
periodico (ad es. √2 =
1,414213562 … oppure √5 ) =
2,236067…
L'espressione "numerus
irrationalis" è stata introdotta da
Gerardo da Cremona (1114–1187);
altri contributi nel lento progredire
della teoria relativa agli irrazionali
si hanno da parte di Luca Pacioli
(secolo XV ), Cardano e Stevin
(XVI). La sistemazione rigorosa è
dovuta a Weierstrass, Dedekind e
Peano in pubblicazioni più o meno
contemporanee . Nel linguaggio
comune la parola irrazionale fa
pensare a qualcosa “oltre la
ragione” .
Numero naturale
*
Ogni numero intero senza segno.
Sulla costruzione del concetto di numero
naturale poggia gran parte della matematica.
I numeri naturali sono infiniti, in altre parole la
conta può continuare quanto si vuole.
Tra i naturali si comprende anche lo zero (vedi):
la sua storia è diversa dagli altri numeri, il suo
simbolo è stato inventato molto più tardi.
Numero razionale
**
Numero che si può mettere sotto forma di
frazione ; ad ogni numero razionale corrisponde
sempre una frazione, che può essere trasformata
nel corrispondente decimale.
Numero reale
***
Aggiungendo i numeri irrazionali ai razionali,
otteniamo l’insieme dei numeri reali; in altre
parole un numero reale è un intero, oppure un
decimale finito, oppure ancora un decimale
periodico, infine può essere un numero illimitato
non periodico.
94
Pensato come “ordinale”, il numero
naturale è la traduzione della conta
in sequenza (le pecore, i passi, le
dita…); come “cardinale” esso
esprime invece la numerosità di un
insieme: quanti animali ci sono
nella stalla, quante figurine nella
bustina, quanti giorni nel mese di
febbraio, etc….
In realtà si tratta dello stesso
concetto, le dita di una mano mi
permettono di contare fino a 5 e
sono cinque !
Se conto i passi che faccio per
attraversare la strada, e sono 7, la
sequenza sarà 1,2,….7, ma poi i
passi saranno in tutto 7. La
sequenza dei numeri viene
acquisita dai bambini prima come
semplice filastrocca: solo verso i
sette anni essi si rendono conto
dell’ ordine , poi della cardinalità.
L’immagine che ciascuno ha dei
numeri naturali, va lasciata il più
possibile alla propria spontaneità.
L’aggettivo razionale deriva dal
latino ratio che significa rapporto.
Numero relativo
**
I numeri relativi sono stati inventati per
permettere l’operazione − quando
< ; se , ad esempio,
=5
= 7, sarà − = − 2 ;
i numeri col segno meno davanti si chiamano
negativi, i positivi + i negativi + lo 0,
costituiscono l’insieme Z dei numeri relativi.
Indipendentemente dal segno, i
numeri relativi sono interi.
O
Omogeneo
***
Aggettivo usato per indicare oggetti della stessa
specie ; esso assume, di volta in volta, connotati
diversi:
 grandezze omogenee : lo sono due
grandezze che si possono confrontare
ovvero se possono essere espresse
utilizzando una stessa unità di misura ;
 polinomio omogeneo : polinomio i cui
monomi hanno tutti lo stesso grado
complessivo ;
 sistema omogeneo : sistema di due
equazioni di 2° grado, in due incognite,
dove non compaiono termini di 1° ;
Operazione
*
Premesso che un’operazione avviene all’interno
di un unico insieme, si può definire come una
procedura che associa ad una coppia di elementi
dell’insieme un terzo elemento che appartiene
all’insieme medesimo.
95
Esempi:
 grandezze omogenee : i
segmenti (tra di loro), le aree
…
 polinomio omogeneo : +
+
+
 sistema omogeneo :
+
= 10
−
= −8
Ad esempio, all’interno di N ,
l’addizione è un’operazione che
associa al 3 e al 12 il numero 19,
che è la somma dei due numeri dati
; scegliendo la stessa coppia di
numeri, l’operazione di
moltiplicazione farebbe
corrispondere invece il numero 36 .
Le quattro operazioni che si
imparano nella scuola elementare
Opposto
**
Dato un numero (per esempio appartenente ai
numeri reali), il suo opposto è il numero che,
addizionato ad , da come risultato zero.
L'opposto di un numero positivo è negativo
mentre l'opposto di un numero negativo è
positivo. Il numero zero è l'opposto di sé stesso.
Ordinale (numero)
**
Un numero naturale può essere usato per due
scopi: per descrivere la grandezza (quantità) di
un insieme (uno, due , tre, sette...etc ), o per
descrivere la posizione (ordine) di un elemento
in una successione ( primo, secondo, terzo….
settimo …etc.
Mentre per gli insiemi finiti questi due concetti
coincidono, quando si ha a che fare con insiemi
infiniti è necessario distinguerli.
Ordinata
**
È la seconda delle due coordinate cartesiane nel
piano e si indica con la lettera y ; la x indica l’
ascissa (vedi).
Ordine di grandezza
sono l’addizione, la sottrazione, la
moltiplicazione e la divisione .
Per esempio, l’opposto di 5 è −5 ,
l’opposto di 0,38 è
−0,38 e così via.
Il nome deriva dal fatto che, nella
rappresentazione dei due numeri
sulla retta dei numeri reali, due
numeri opposti tra loro sono
disposti, rispetto allo 0, in modo
simmetrico, uno apposto all’altro.
Un’ampia trattazione dei numeri
ordinali si deve (fine ‘800) al
matematico tedesco G. Cantor,
considerato padre della moderna
teoria degli insiemi.
In un sistema di riferimento
cartesiano, l’ordinata indica lo
spostamento di un punto rispetto
all’asse x ; ad esempio, il punto di
ascissa 4 e ordinata 2 (vedi figura)
si trova spostato verso destra di 4
unità , e verso l’alto di due unità ;
Per fissare l’ordine di grandezza di
un numero basta, scriverlo in
notazione esponenziale (vedi ),
L’ordine di grandezza di un numero positivo è la ossia come ∙ 10 con
potenza del 10 più vicina al numero considerato; intero relativo e 1 ≤ < 10 ;
Per esempio:
96
***
si usa per paragonare tra loro numeri molto
grandi o molto piccoli; ecco
alcuni esempi di ordini di grandezza (calcolati in
metri):
raggio della terra → 10
distanza terra - sole → 10
raggio dell’atomo → 10
altezza dell’uomo → 10
Orientato
**
Aggettivo attribuito ad una retta, ad una
semiretta o ad un segmento per stabilire un
verso di percorrenza, per decidere, tra due
punti, quale precede e quale segue.
Origine
L’ordine di grandezza di 724 è 10
“
311 è 10
“
4,15 è 10
“
0,0006 è
10 (
ℎè
0,6 ∙ 10 );
Le rette orientate tipiche sono
quelle che formano gli assi
cartesiani; i vettori sono segmenti
orientati.
**
Con questo termine ci si riferisce, di solito, al
punto d’intersezione tra l’asse x e l’asse y ,
considerato il punto di partenza per definire la
posizione di qualsiasi punto sul piano cartesiano
Orizzontale
*
Parallelo all’orizzonte
Ortocentro
Si può dimostrare che le tre altezze
del triangolo passano tutte per uno
stesso punto.
**
In un triangolo, l’ortocentro è il punto d’incontro
delle tre altezze.
L’ortocentro può anche essere esterno al
triangolo stesso.
Ortogonale
**
97
Sinonimo di perpendicolare (vedi)
Ortonormale
***
Due vettori si dicono ortonormali quando sono
perpendicolari tra loro e hanno modulo unitario.
Ottaedro
**
Poliedro che ha 8 facce triangolari, 6 vertici e 12
spigoli : l’ottaedro regolare ( le cui facce sono
triangoli equilateri) è uno dei cinque solidi
chiamati platonici .
Ottagono
Ottagono regolare
*
Poligono con 8 lati: è regolare quando tutti i lati
e gli angoli sono uguali.
Ottagono irregolare concavo
Ottale
***
Sistema di numerazione in base 8 : le sue cifre
sono 0,1,2,3,4,5,6,7.
98
Ottante
***
Metà di un quadrante : in un sistema di
riferimento cartesiano ci sono 4 quadranti e 8
ottanti, ordinati in senso antiorario .
Con l'espressione 'riduzione al primo ottante'
s'intende la possibilità di calcolo di una funzione
goniometrica di un angolo qualunque a partire
dal valore di una opportuna funzione
goniometrica di un angolo compreso tra 0e 45
: ad esempio, sin 135° = sin 45° ;
Ma il sostantivo si usa anche in un sistema di
assi cartesiani a 3 dimensioni, per indicare
ognuna delle otto regioni divise dai piani che
contengono due assi ciascuna .
Ottimizzazione
Vedi anche ‘programmazione
lineare’ ;
***
Procedimento di calcolo mediante il quale,
utilizzando i principali strumenti matematici
necessari, si individuano le soluzioni ottimali
relative a tipici problemi (quelli in cui occorre
individuare le scelte operative allo scopo di
massimizzare (o minimizzare) un certo
risultato, in presenza di possibili vincoli.
Ottusangolo (triangolo)
*
Si chiama così un triangolo che ha un angolo
maggiore di un angolo retto.
Ottuso
*
Detto di angolo maggiore di un angolo retto.
99
Ovale
***
Un ovale è una curva piana chiusa la cui forma
ricorda quella di un uovo disegnato su un foglio.
Non esiste una definizione univoca di questo
concetto: generalmente un ovale delimita una
regione chiusa, avente almeno un asse di
simmetria (e spesso due).
L'ellisse (vedi) è un esempio di ovale. La forma
di uno stadio o la sezione di un pallone da rugby
sono altri esempi.
ellisse
ovale
P
Parabola
***
È la curva più importante che si studia in
geometria analitica : può essere definita come
luogo geometrico dei punti che hanno la stessa
distanza da un punto fisso detto fuoco e da una
retta chiamata direttrice, ma è anche una
sezione conica (vedi) , come l’ellisse e l’iperbole;
la parabola ha numerose applicazioni in Fisica e
in Ingegneria ;
la sua equazione generica è
=
+
+
( se il suo asse è parallelo all’asse y) ;
quando il vertice (il punto d’incontro con il suo
asse) coincide con l’origine degli assi,
l’equazione si riduce a =
.
Quando > 0 la concavità è rivolta verso l’alto ;
verso il basso in caso contrario ;
100
N.B. La concavità di una parabola è rivolta verso
l’alto quando la curva sta sopra alle sue tangenti,
verso il basso in caso contrario.
Anche la parabola gode di una
proprietà notevole per quanto
riguarda la riflessione : un raggio
che viaggi parallelamente all’asse di
simmetria della parabola, quando
impatta sulla curva, viene riflesso
nel fuoco.
Questo fatto ha un’applicazione
notevole nella tecnica: le antenne
paraboliche sono infatti
caratterizzate da una forma a
paraboloide di rotazione; le onde
elettromagnetiche provenienti da
lontano vengono concentrate nel
fuoco, dove è collocato il dispositivo
di ricezione.
Paraboloide
Si ottiene ruotando una parabola
attorno al proprio asse.
Molte antenne vengono costruite
Superficie simmetrica le cui sezioni con piani
passanti per l'asse di simmetria o a esso paralleli usando come modello un
sono parabole, mentre le sezioni con piani
paraboloide.
perpendicolari all'asse di simmetria possono
essere cerchi (paraboloide rotondo), ellissi
(paraboloide ellittico) o iperboli (paraboloide
iperbolico).
Paradosso
Un altro esempio. In un paese, dove
c’è un solo barbiere, gli uomini che
vi abitano sono tutti ben sbarbati e
***
***
101
Sinonimo di antinomia contraddizione,
affermazione che dà luogo a due conclusioni
opposte; il più famoso è quello del mentitore: vi
dico che sono un mentitore: se vi dico la verità
vuol dire che sto mentendo quindi non vi dico la
verità; se non vi dico la verità vuol dire che non
sto mentendo quindi è vero che sto mentendo e vi
dico la verità.
Parallelepipedo
si dividono esattamente in due
parti, coloro che sanno radersi da
soli e coloro che non sanno farlo (e
quindi vanno dal barbiere, per farsi
radere da lui): a quale dei due
sottoinsiemi appartiene
il barbiere ?
Risposta 1: il barbiere è capace di
radere, quindi si fa la barba da solo;
fa parte di coloro che sanno radersi;
Risposta 2: se il barbiere rade sé
stesso, va considerato nel gruppo di
abitanti che si fanno radere da lui,
quindi insieme a quelli che non
sanno radersi: i due ragionamenti,
entrambi validi, danno luogo a due
conclusioni contrapposte.
Parallelepipedo rettangolo
*
Prisma che ha come basi due parallelogrammi;
se si tratta di rettangoli, allora il parallelepipedo
è rettangolo .
Parallelo
*
In geometria si parla spesso di rette parallele :
due rette si dicono parallele quando giacciono
sullo stesso piano e non hanno nessun punto in
comune.
102
Il problema dell’esistenza di una
sola parallela passante per un
punto esterno ad una retta data, ha
generato, dopo Euclide, problemi
secolari riguardanti i fondamenti
della matematica; sono nate le
geometrie cosiddette “ non euclidee
“. Il postulato delle parallele (V°
postulato) afferma sia l’esistenza
che l’unicità della parallela ad una
retta data passante per un punto
esterno. Il problema generò, a
partire dalla seconda metà dell’800
la creazione delle geometrie non
euclidee.
Parallelogramma
*
Quadrilatero con i lati opposti paralleli ; i lati
opposti sono uguali, gli angoli opposti sono
uguali, gli angoli adiacenti sono supplementari.
Se solo due lati opposti sono paralleli, allora si
tratta di un trapezio (vedi). Questi lati si
chiamano basi (maggiore e minore), la loro
distanza altezza.
Parametro
***
Valore o insieme di valori entro il quale possono
variare determinati coefficienti o soluzioni;
Parentesi
**
Simboli utilizzati, all’interno delle espressioni,
per determinare le priorità tra le operazioni ;
Parentesi tonde ( )
Parentesi quadre [ ]
Parentesi graffe { }
103
Le equazioni parametriche sono un
modo per descrivere le connessioni
tra le variabili mediante altre
variabili (vedi);
L’uso di questo termine si è andato
codificando specialmente
nell’ambito dell’analisi matematica,
oggetto di studio universitario o
dell’ultimo anno di alcuni indirizzi
di scuola superiore.
Il primo simbolo di ogni coppia si
chiama parentesi aperta, il secondo
parentesi chiusa. Le operazioni
racchiuse tra le tonde, hanno la
precedenza rispetto alle quadre,
che a loro volta hanno la
precedenza rispetto alle graffe :
esempio:
7 − { 5 − [ 1 − ( 6 − 4)]} = 7 −
{5 − [1 − 2]} = 7 − {5 + 1} = 7 −
6=1
Per calcolare il valore di
un’espressione, prima si tolgono le
tonde (cioè si calcola il valore
dell’espressione all’interno delle
due tonde), poi le quadre, poi le
graffe…..
Pari
*
Un numero naturale è pari quando è divisibile
per 2 ; lo 0 è considerato pari.
Pendenza
**
Di una strada, il rapporto tra il dislivello
esistente tra due punti del suo asse longitudinale
e la loro distanza in proiezione orizzontale: è
espressa in percentuale.
Un dislivello di 10 metri, ogni cento
metri, significa una pendenza del
10%. Il 4 % significa, in pratica,
che un pendio sale di 4 cm ogni
metro; una p. del 100%,
corrispondente a un’inclinazione di
45°. In geometria analitica, la
pendenza di una retta nel piano
cartesiano, si esprime con un
numero, il coefficiente angolare
(vedi), che corrisponde alla
tangente trigonometrica dell’angolo
che la retta forma con la direzione
positiva dell’asse delle x; i due
concetti ( pendenza – coefficiente
angolare ) sono equivalenti, perché
entrambi corrispondono al
rapporto tra la l’ordinata e l’ascissa.
104
Pentadecagono
**
Poligono di quindici lati
Pentadecagono regolare:
ogni angolo è di 156°
Pentaedro
**
Poliedro con cinque facce.
Pentagono
*
Poligono con 5 lati: quando i lati sono uguali, il
pentagono è regolare
Percentuale
**
Numero equivalente ad una frazione il cui
denominatore equivale a 100 : si esprime con il
simbolo % .
Tutte le frazioni si possono
trasformare in percentuale e
viceversa, tutte le percentuali si
possono trasformare in frazione
ridotta ai minimi termini.
Esempi :
6% =
Perimetro
*
Con questo termine si suole indicare sia il
contorno di una figura che la misura, ossia della
somma dei suoi lati ;
Periodica (funzione)
***
105
=
= 40%
=
La misura del perimetro si indica
spesso con 2P , a significare che P è
il semiperimetro; ad esempio la
misura del perimetro di un esagono
regolare che ha lato 5 cm, vale 30
cm.
Sono tipicamente periodiche le
funzioni goniometriche seno,
coseno, tangente e cotangente ; ad
Si chiamano così le funzioni che, ciclicamente,
assumono gli stessi valori nello stesso ordine.
esempio sin 30° = sin(30° +
360°) = sin(390°); tan =
tan
+
;
Periodico Vedi numero decimale periodico
Periodo
**
Nel caso del numero decimale, il periodo è
rappresentato dalla cifra o dal gruppo di cifre
che si ripetono all’infinito ; nel caso delle
funzioni periodiche, il periodo è l’intervallo
minimo dopo il quale la funzione riprende lo
stesso ciclo di valori .
Permutazioni
***
Si dicono permutazioni semplici di n elementi
(diversi fra loro), tutti i possibili gruppi che si
possono formare prendendo tutti gli n elementi
dati, in modo tale che ogni gruppo differisca
dagli altri per l'ordine in cui gli elementi sono
disposti.
Ad esempio, avendo a disposizione
l’insieme delle tre lettere X, Y e Z sono
permutazioni le sequenze XYZ, XZY, YXZ,YZX,
ZXY,ZYX.
Le permutazione con ripetizioni sono quelle in
cui gli elementi non sono tutti diversi tra loro.
Perpendicolare
**
Due rette sono tra loro perpendicolari quando,
incontrandosi, formano 4 angoli retti .
106
Esempi: il numero decimale
periodico 1,212121 … =
1, 21 ℎ
21;
Le funzioni seno e coseno hanno
come periodo 2 ; le funzioni
tangente e cotangente hanno come
periodo ;
Lo studio delle permutazioni fa
parte del calcolo combinatorio.
Per contare quante sono le
permutazioni di n oggetti, si osservi
che il primo oggetto può essere
scelto n volte, il secondo (n-1),
volte, il terzo (n-2) volte : quindi
per calcolarne il numero si esegue
n! (n fattoriale – vedi);
Esempi:
 quante foto diverse possono
fare 3 amici, disponendosi su
una stessa panchina ?
Risposta: 3∙ 2 = 6
 quanti anagrammi, anche
senza senso, si possono
formare con MARE ?
 Risposta : 4! = 4·3·2·1 = 24
(a voi il compito di trovare,
tra queste 24, quelle di senso
compiuto….).
Due piani, analogamente, possono
essere perpendicolari quando,
incontrandosi, formano 4 angoli
diedri retti ; anche una retta può
essere perpendicolare ad un piano
N.B. Anche ortogonale è sinonimo di
perpendicolare
quando è perpendicolare a tutte le
rette che giacciono sul piano e
passano per il punto d’intersezione
tra la retta a e il piano stesso ;
Piani perpendicolari
Piano
**
Si tratta di un concetto primitivo, che quindi non
ha una definizione, come il punto e la retta.
Piede
**
L’idea di un oggetto come quello di
un piano può essere espressa da
uno specchio d’acqua
perfettamente calma : tuttavia, se si
pensa a un quasiasi specchio
d’acqua come ad un lago o ad un
tratto di mare, questo seguirà
inevitabilmente la curvatura della
superficie terrestre …….
1 piede (foot), corrisponde a
0,3048 metri e quindi a 30,48 cm.
1 piede è diviso in 12 pollici ;
Unità di misura usato nei paesi anglosassoni
(vedi): si usa specialmente per indicare le quote;
Piede della perpendicolare
**
Se una retta s è perpendicolare ad un segmento
AB, il piede P è il punto d’incontro di s con AB.
Pi greco
**
107
π è conosciuto anche come la
costante di Archimede (da non
confondere con i numeri di
Il Pi greco è una costante matematica indicata
con π , utilizzata in matematica e fisica.
Nella geometria piana, π viene definito come il
rapporto tra la lunghezza circonferenza e il
diametro di un cerchio, o anche come l'area di
un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di
analisi matematica definiscono π usando le
funzioni trigonometriche, per esempio come il
più piccolo numero strettamente positivo per cui
sin = 0 , oppure il più piccolo numero che
diviso per 2 annulla cos ( infatti cos = 0).
Tutte le definizioni sono equivalenti.
Archimede), o numero di Ludolph :
non è una costante fisica o
naturale, ma una costante
matematica definita in modo
astratto, indipendente dalle misure
di carattere fisico.
Ecco le prime 100 cifre decimali di
π
Piramide
In figura: una piramide a base
quadrata. Le famose piramidi di
Cheope, Chefren e Micerino hanno
questa forma.
*
La piramide è un poliedro che ha come base un
poligono qualsiasi, mentre la superficie laterale
è formata da tanti triangoli quanti sono i lati di
questo poligono, aventi tutti un vertice in
comune.
3,14159 26535 89793 23846
26433 83279 50288 41971
69399 37510 58209 74944
59230 78164 06286
2089986280 34825 34211
Pitagora (vedi teorema di )
Pitagorica (terna)
**
Tre numeri , , formano una terna pitagorica,
quando il quadrato del maggiore è uguale alla
somma dei quadrati degli altri due :
=
+
108
Tre numeri formano una terna
pitagorica quando sono altrettante
misure dei lati di un triangolo
rettangolo. Naturalmente il numero
più grande rappresenta la misura
dell’ipotenusa.
3,4,5 è la più piccola terna ; tutte
quelle ottenute moltiplicando i tre
numeri per uno stesso numero,
sono altrettante terne ;
altri due esempi:
5 – 12 – 13
20 - 21 - 29
Pitagorica (tavola)
Prima di impararla a memoria,
allenatevi a costruirla da soli
*
Tabellina della moltiplicazione in base 10 .
Poliedro
*
Solido limitato da 4 o più facce che si incontrano
a due a due lungo gli spigoli: solo 5 di essi sono
regolari e si chiamano solidi platonici (vedi).
Poligonale
Per capire meglio i poliedri, si
possono vedere i singoli e i loro
disegni, alle rispettive voci:
tetraedro, dodecaedro, icosaedro
etc.
**
Successione di due o più segmenti, aventi, a due
a due, un estremo in comune ; può essere chiusa
o aperta, a seconda che il secondo estremo
dell’ultimo segmento sia o meno congiunto con il
primo estremo del primo segmento.
Poligono
*
Figura formata dalla parte di piano racchiusa da
una poligonale chiusa: può essere concavo o
convesso, nel primo caso i prolungamenti di
alcuni dei suoi lati attraversano la figura, nel
secondo no; un poligono si dice regolare se tutti i
lati e tutti gli angoli sono uguali tra loro.
Polinomio
Se i monomi sono due si chiama
binomio, se sono tre si chiama
trinomio, se sono quattro si chiama
Espressione formata dalla somma algebrica di
quadrinomio ; per un numero più
due o più monomi.
alto di monomi, si chiama
comunque polinomio;
**
109
Positivo
**
Riferito ad un numero maggiore di zero ; nelle
rotazioni è considerato positivo il verso
antiorario.
Posizionale ( sistema di numerazione )
**
Si chiama posizionale un sistema di
numerazione dove il valore del numero è
determinato dalla posizione delle cifre ;
Postulato
**
Sinonimo di assioma, ossia proposizione che si
assume come vera, senza bisogno di essere
dimostrata .
Potenza
**
si chiama potenza di base a ed esponente n, il
numero che si ottiene moltiplicando n volte il
numero a per sé stesso, in sintesi:
= (che si
legge a alla n = p) “ : ad esempio 5 = 5 × 5 ×
5 = 125;
spesso la parola potenza indica l’operazione ;
il numero in alto a destra si chiama esponente,
indica quante volte la base deve essere
moltiplicata per sé stessa;
qualsiasi numero elevato alla 0 vale 1;
infatti si dimostra facilmente che
110
Il nostro sistema decimale è
tipicamente posizionale : il numero
372 significa 3 centinaia + 7 decine
+ 2 unità ; il numero 1806
(milleottocentosei) indica la
somma di un migliaio, 8 centinaia, 0
decine e 2 unità; anche i sistemi in
base 2 (binario), in base 8 (ottale),
in base 12 sono posizionali. Il
sistema romano è additivo, anche
se in qualche caso la posizione di un
simbolo rispetto ad un altro indica
numeri diversi (ad esempio IX = 9
= 10 – 1 ; XI = 11 = 10 + 1 ).
In realtà, dal punto di vista storico,
non sono la stessa cosa. Mentre gli
assiomi sono verità evidenti di per
sé, a livello generale, i postulati
sono proposizioni assunte come
vere, specialmente in ambito
geometrico .
Accanto a questa definizione (le
potenze sono importantissime per
studiare i sistemi di numerazione, a
partire dal sistema decimale) si
provi qualche operazione di
moltiplicazione e di divisione,
utilizzando la stessa base:
Esempio a → 10 : 10 = 10
=
10 = 100
Esempio b → 2 ∶ 2 =
2
∙ ∙
∙ ∙
=2 =1
Esempio c → 2 : 2 = 2
=
=
:
è
1
è
….
,
…
perché corrisponde ad
Primo (numero)
*
Numero che non ha divisori, a parte sé stesso e
l’unità.
Sono primi i numeri 1,2, 3,5, 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29…….
Si può dimostrare che i numeri
primi sono infiniti: la prima
dimostrazione si deve ad Euclide.
Prisma
**
È un poliedro con due basi formate da due
poligono uguali e paralleli e da tante facce
quante sono i lati delle basi : tali facce sono
parallelogrammi. I prismi possono essere retti
oppure obliqui.
Prisma
retto a base pentagonale
prisma obliquo
Probabilità
Nel lancio di una moneta, la
**
probabilità che venga testa è ; nel
Valore che indica quale possibilità
(o aspettativa) ha un certo evento di verificarsi :
si esprime con una frazione oppure in
percentuale.
La frazione è formata dal rapporto tra i casi
favorevoli (al verificarsi dell’evento) e i casi
possibili.
lancio di un dado, la probabilità di
111
fare 6 è = 16,66 % ; in un mazzo
di 40 carte, la probabilità di
estrarre un picche è ; le
scommesse legate ai giochi sono
legate al calcolo delle probabilità ;
anche la statistica è legata al calcolo
delle probabilità, insieme si sono
affermate per migliorare le
previsioni , diventando una branca
importantissima della matematica
applicata .
Proporzionalità Vedi proporzionale
Proporzionale
Alcuni esempi potrebbero essere
tratti dalla fisica: l’allungamento di
una molla è proporzionale al peso
Due grandezze si dicono proporzionali quando
che si applica (entro certi limiti, se
l’aumento dell’una produce un identico aumento il peso è troppo elevato, la molla si
dell’altra: ad esempio se la prima raddoppia,
deforma definitivamente….); nel
raddoppia anche la seconda, se la prima triplica, moto uniforme, lo spazio percorso è
la stessa cosa avviene per la seconda, se la prima proporzionale al tempo che
si riduce del 10%, lo stesso capita alla seconda;
trascorre;
in questo caso e in altri analoghi si dice anche
altri esempi: la spesa è
che le due grandezze sono direttamente
proporzionale (o direttamente
proporzionali;
proporzionale) al peso di prosciutto
due grandezze si dicono invece inversamente
acquistato: se il prezzo all’etto è di
proporzionali quando raddoppiando la prima, la 2,3 €, due etti costano il doppio, 4,6,
seconda dimezza, triplicando la prima la
3 tre etti costano il triplo, etc.
seconda diventa un terzo: un esempio può
ogni spesa è proporzionale al
essere dato dai due lati di un rettangolo, a parità numero di oggetti uguali acquistati
di area: infatti per disegnare un rettangolo che
(a meno di sconti sulla quantità….).
abbia l’area di 24 quadretti, si può fare in modo
Come esempio per trovare il quarto
che uno di essi abbia la base di 12 e l’altezza di 2, proporzionale si può vedere alla
la base di 6 e l’altezza di 4, la base di 8 e l’altezza voce “arco”.
di 3….etc.
Se tre delle grandezze sono note, si
si chiama proporzione la relazione che lega 4
può ricavare il valore della quarta:
grandezze:
un medio è uguale al prodotto dei
∶ = ∶
due estremi, diviso per il medio
Che può anche essere scritta
conosciuto; un estremo è uguale al
=
prodotto dei medi diviso per
l’estremo conosciuto(a, d si chiamano estremi, b, c si chiamano medi
della proporzione)
Problema
Non si deve confondere (come
spesso fanno gli studenti) la
risoluzione di un problema con
quella di un esercizio: il secondo
Questione che richiede un procedimento
consiste nel ripetere, con dati
risolutivo che, partendo da elementi noti,
diversi, quanto insegnato (e non
consente di trovare uno o più risultati;
sempre compreso) il giorno prima
o la settimana precedente: ad
*
*
112
Prodotto
*
Risultato dell’operazione di moltiplicazione tra
due numeri.
Prodotto cartesiano
**
Il "prodotto cartesiano" di due insiemi A e B, è
l'insieme
formato da tutte le coppie
ordinate
aventi come primo elemento un elemento di A, e
come secondo elemento un elemento di B.
113
esempio, una volta imparate le
operazioni con le frazioni, si
risolvono e si semplificano altre
espressioni che contengono le
operazioni medesime.
La risoluzione di un problema
richiede invece, oltre
all’applicazione di procedure
operative, anche uno o più
ragionamenti, attraverso i quali è
possibile arrivare ad una
conclusione; per risolvere un
problema occorre farsene
un’immagine mentale; esempio:
quattro amici decidono di
raccogliere esattamente 12 euro a
testa, per acquistare 3 DVD, da
vedere insieme la sera: quanto
costa ciascun Dvd ? Non c’è una
procedura scritta da qualche parte:
bisogna immaginare i 4 amici che si
trovano davanti al negozio e
raccolgono 12 euro a testa (in tutto
ne avranno 48), dopodiché vanno
ad acquistarli: se i DVD sono 3,
hanno previsto un costo di 16 euro
per ogni disco. Se invece si tenta di
applicare meccanicamente le
operazioni, senza riflettere
abbastanza, si possono fare errori
grossolani.
Ad esempio, la moltiplicazione tra il
7 e il 5, dà come risultato 35 :
quest’ultimo numero è il prodotto.
Esempio: Se l’insieme A è formato
dagli elementi { , , , } e l’insieme
B è formato dagli elementi {1,2, },
l’insieme prodotto cartesiano sarà
formato dalle coppie :
(x,1), (x,2),(y,1),(y,2),(z,1),(z,2).
Programmazione
La storia della programmazione è
strettamente legata a quella dei
linguaggi di programmazione
Di solito è un termine che si usa in informatica : (vedi). L’insieme dei programmi
è l’insieme delle attività e tecniche che una o più per gestire il funzionamento di un
computer è chiamato ‘software’,
persone specializzate, ( dette programmatori o
con un termine che è entrato a far
sviluppatori) svolgono per creare un
programma, ossia un software da far eseguire ad parte del vocabolario italiano.
La funzione di programmazione, nel
un computer, in un certo linguaggio detto
senso più generale del termine,
appunto di programmazione.
assume un ruolo centrale nel
processo di direzione
di un’azienda perché si propone di
regolare, sulla base
dell’organizzazione creata, il corso
futuro della gestione. In questo
caso, programmare significa
predeterminare gli obiettivi, le
politiche e le attività da compiere
entro un determinato periodo di
tempo.
Programmazione lineare
Ottimizzare significa risolvere
problemi di massimo e di minimo,
come ad esempio, in qualsiasi
La programmazione lineare (PL oppure LP) è
azienda, la ricerca del massimo
quella branca della ricerca operativa (vedi) che
guadagno e/o della minima spesa.
si occupa di studiare algoritmi di risoluzione per
problemi di ottimizzazione lineari.
Un problema è detto lineare se sia la funzione
obiettivo sia i vincoli sono funzioni lineari (di 1°
grado).
** *
** *
Progressione aritmetica
Ad esempio la successione
5,10,15,20,25,30 ….. è una
progressione aritmetica di ragione
5 (sono i multipli di 5).
** *
È una successione di valori in cui ogni termine si
ottiene dal precedente aggiungendo un numero;
in altre parole è costante la differenza tra un
termine e il precedente: tale differenza si chiama
ragione .
Progressione armonica
Tale è, per es., la successione degli
inversi dei numeri naturali:
** *
Sequenza di numeri a 1 , a 2 , …, an, … (tutti diversi
da zero), i cui inversi costituiscono una
114
1,
, , …. ; non
necessariamente la serie è infinita.
progressione aritmetica.
Progressione geometrica
La successione 10, 100, 1000,
10000….. è una progressione
geometrica di ragione 10.
** *
È una successione di valori in cui ogni termine si
ottiene dal precedente moltiplicandolo per un
numero : anche questa costante è chiamata
ragione .
Proposizione
vedi anche ‘logica’ .
** *
Sinonimo di ‘frase’, ‘enunciato verbale’ per il
quale sia possibile verificare la verità o falsità .
Prostaferesi
** *
Le formule di prostaferesi si usano in
trigonometria: permettono di trasformare una
somma di due funzioni goniometriche in un
prodotto.
Prova
*
È una sorta di test per verificare se
un’operazione è stata eseguita in modo corretto.
Punto
**
È un concetto primitivo, quindi un oggetto
(insieme alla retta e al piano) di cui non si dà
una definizione.
Pura (Vedi equazione di 2° grado)
Q
115
Le prove (come ad esempio la
prova del 9) sono un controllo in
più, ma non sono sicure al 100 % :
se uno sbaglia a fare qualche calcolo
durante la prova, crede di aver fatto
l’errore precedentemente anche
quando ha eseguito la giusta
procedura durante l’operazione
stessa.
In un riferimento cartesiano è
individuato da una coppia di
numeri reali.
Quadrante
** *
Ciascuna delle quattro parti in cui il piano è
diviso, in un sistema di riferimento cartesiano
ortogonale: sono numerati dal I° al IV° in senso
antiorario.
Quadrato (in geometria)
*
Le due diagonali formano, a loro
volta, 4 angoli retti.
È un quadrilatero regolare, cioè un poligono con
quattro lati e quattro angoli uguali, tutti retti.
Può essere considerato un caso particolare di
rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati uguali)
e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli
uguali): è anche un caso particolare di
parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due
paralleli).
Quadrato (esponente)
Il quadrato si indica mettendo il 2
all’esponente.
Esempi:
Il quadrato di un numero reale è quello che si
5 = 25
ottiene moltiplicando il numero per sé stesso. Un 8 =64
quadrato è sempre positivo.
(−11) = 121
Quadrato magico
8
1
6
**
*
Tabella di numeri interi tali che la somma dei
numeri in riga, in colonna e in diagonale sia
sempre costante : questa somma è chiamata
costante magica del quadrato.
L’ordine n di un quadrato magico è il numero di
righe (e quindi di colonne ) : il più piccolo
quadrato magico è di ordine 3.
116
3
5
7
4
9
2
Quadrato magico di ordine tre, la
cui costante vale 15 ; i numeri
vanno dall’1 al 9 = (3 ) , senza
ripetizione .
16
2
3
13
5
11 10
8
9
7
12
6
4
14 15
1
Quadrato magico di ordine 4, il
numero magico in questo caso è 34
(verificate !!)
Quadratura
** *
La quadratura di una figura geometrica, consiste
nel trovare un quadrato di area uguale alla
figura stessa.
Il problema più famoso di questo tipo è quello
della quadratura del cerchio, che ha tenuto
occupati i matematici per secoli.
Il problema risale alle origini della
geometria, e ha tenuto occupati i
matematici a partire dai greci. Fu
solo nel 1882 che l'impossibilità
venne provata rigorosamente,
anche se i geometri dell'antichità
avevano afferrato molto bene, sia
intuitivamente che in pratica, la sua
intrattabilità. L'espressione “
quadratura del cerchio” è diventata
sinonimo di un'impresa vana e
senza speranza di riuscita.
Il problema consiste nel costruire
con riga e compasso (cioè con
costruzioni geometriche che
utilizzino solo rette e
circonferenze) un quadrato che
abbia la stessa area di un cerchio
oppure – in maniera equivalente –
un quadrato il cui perimetro abbia
la stessa lunghezza della
circonferenza. La sua risoluzione è
impossibile. Il matematico
Lindemann, nel 1882 ha dimostrato
algebricamente il problema non è
risolvibile. Dal punto di vista
algebrico infatti, il problema della
quadratura del cerchio si può
rappresentare con un’equazione
che uguaglia l’area del cerchio (di
lato r) a quella del quadrato (di lato
):
=
da cui =
Lindemann dimostrò che pi greco è
un numero trascendente e quindi
non può essere rappresentato come
il rapporto dei due numeri interi.
117
Non è quindi possibile realizzare
con riga e compasso segmenti
lunghi pi greco (come del resto
accade per tutti i numeri
irrazionali).
Quadrilatero
*
Poligono di 4 lati; particolari quadrilateri sono :
il trapezio, il quadrato, il rettangolo e il rombo.
Quoto
*
Dati due numeri interi e , (con ≥ )il
risultato della divisione (di solito chiamato
quoziente, indichiamolo con ) può avere resto
0 oppure ≠ 0 ; quando il resto (appunto) è zero,
tale risultato viene chiamato talvolta
(specialmente alla scuola elementare) con il
termine quoto .
Quoziente
*
Risultato della divisione tra due numeri; se i due
numeri sono interi (con
> ) si parla anche
di resto.
Si tratta di una di quei termini che
sarebbe bene abbandonare, per
evitare di far imparare troppi nomi
( e inutilmente) agli alunni; è più
giusto parlare di quoziente (vedi)
con resto zero, oppure di risultato
esatto.
Il termine può essere usato anche
nella divisione tra numeri reali, tra
radicali, tra polinomi.
R
Raccoglimento (a fattor comune)
Nella forma più semplice possibile :
+
= ( + );
**
un altro esempio:
=
(
)
=
(prima è stata
Operazione utilizzata nel calcolo letterale : è un
raccolta la a al numeratore, poi,
tipo di fattorizzazione che consiste nell’applicare
dividendo numeratore e
al contrario la proprietà distributiva della
denominatore per il binomio +
118
moltiplicazione rispetto all’addizione .
, la frazione algebrica è stata
notevolmente semplificata.
Radiante (simbolo rad )
***
Unità di misura degli angoli : corrisponde ad un
angolo che, rettificato, è lungo come il raggio di
una circonferenza ; dal momento che nella
lunghezza di una circonferenza ci stanno
2
, un angolo giro (360°) equivale a 2 ;
il radiante si usa molto in Fisica e quindi nel
sistema internazionale : nel moto circolare
uniforme, la velocità angolare si misura in
radianti al secondo:
= e quindi anche
=
dove è il periodo, ossia il tempo per un giro
completo.
Se R =1 , la grandezza di un angolo
si misura come lunghezza dell'arco
corrispondente. Ciò è
rappresentato in figura; invece di
misurare l'angolo α in gradi, si usa
la lunghezza l dell'arco AB come
misura per la sua grandezza.
L'angolo giro, in radianti, è dato
dalla circonferenza del cerchio di
raggio 1, cioè da 2π .
Un esempio: un angolo di 60° (cioè
un sesto dell'angolo giro) in
radianti è pari a , cioè circa 1,0472
rad. Gli svantaggi della misura in
radianti sono dati dal fatto che
angoli "rotondi" come 30°, 45°, 60°,
90°, 180° e 360° vengono
rappresentati da numeri irrazionali
La trasformazione da gradi in
radianti e viceversa è semplice: se α
è un angolo dato in gradi, il suo
valore in radianti è 2
∙
°
.
Viceversa un valore in radianti
°
va moltiplicato per
per ottenere
l'angolo in gradi.
Radicale
I radicali, con tutte le regole
previste, rappresentano un capitolo
**
119
È l’espressione del tipo √ , con n intero
positivo, che si chiama indice del radicale : al
posto di a (che si chiama radicando) , può
esserci qualsiasi espressione.
Radicando
***
Numero o espressione
che compare sotto radice .
Radice
**
È l’operazione inversa rispetto all’elevamento a
potenza; per la precisione, bisognerebbe
distinguere tra radice n –esima aritmetica e
radice algebrica: la prima è quel numero reale
positivo che, elevato alla n , mi dà ancora il
numero stesso ; quando la radice si chiama
algebrica, allora il numero può anche essere
negativo.
Raggio (di una circonferenza)
*
Distanza tra il centro e un qualsiasi punto della
circonferenza .
Ragione
***
Termine usato nelle progressioni : in una
progressione aritmetica, è la differenza tra un
termine e il precedente ; in una progressione
geometrica è il rapporto tra un termine e il
precedente.
Rapporto
**
120
piuttosto impegnativo della
matematica delle superiori; alle
medie, di solito, si parla solo di
radici numeriche .
Un esempio: √ +
tutta
l’espressione è un radicale, di cui
+ è il radicando;
La radice quadrata di un numero è
la ricerca di quel numero che,
elevato alla seconda, dà il numero
stesso; la radice cubica è la ricerca
di quel numero che, elevato al cubo,
fa ottenere il numero dato;
esempi:
√25
=5(
+5 −5
),
√8 = 2
√−8 = −2
In questi casi c’è una radice reale
soltanto.
Per calcolare la lunghezza di una
circonferenza si moltiplica il raggio
per 2 : per calcolare l’area del
cerchio si moltiplica il quadrato del
raggio per : ( ≅ 3,14 )
Esempi:
1, 5, 9,13, 17, 21 ….. progressione
aritmetica avente come primo
termine 1 e ragione 4 ;
4, 16, 64, 256 ….. progressione
geometrica con primo termine 4 e
ragione 4 : in altre parole, è la
progressione delle potenze di 4 ;
Esempi : se mescoliamo due liquidi
in rapporto 3 a 1, intendiamo che
Valore comparativo tra due grandezze o tra due
numeri : se i due numeri sono a e b , può essere
espresso nella forma
:
ogni 3 litri del primo mettiamo 1
litro del secondo; il volume di un
solido è in rapporto 5 a 2 con un
altro, significa che il secondo è i
del primo ; il rapporto tra due
numeri si esprime mediante una
frazione , che a sua volta si può
trasformare in numero decimale.
Razionale Vedi ‘numero razionale’
Razionalizzare
***
Rendere razionale il denominatore di una
frazione .
Quando al denominatore di una
frazione (numerica o letterale)
compaiono uno o più radicali, si
moltiplica numeratore e
denominatore per uno stesso
fattore in modo da rendere
razionale il denominatore .
Esempio 1:
2
2 √5 2√5
=
∙
=
5
√5 √5 √5
Esempio 2 :
√
√
=
∙
=
= √
√
√ √
Reale Vedi ‘numero reale ‘
Reciproco
Si chiama anche inverso ; il
**
reciproco di
Il reciproco di un numero a è quel numero b che
, moltiplicato per a , dà come risultato 1.
Regolo
reciproco ;
**
Strumento di calcolo somigliante ad un righello,
con una parte scorrevole: si basa sul calcolo con
i logaritmi.
121
è
; lo 0 non ha
Il regolo è andato in disuso con
l’avvento delle calcolatrici tascabili
Relazione
**
Nel linguaggio di tutti i giorni, la parola è usata
spesso, in contesti molto diversi.
Tuttavia, il suo significato è sempre quello di
"legame, collegamento".
In Matematica, il concetto viene impiegato per
indicare un "collegamento fra due insiemi".
La relazione fra due insiemi A e B è un
sottoinsieme del prodotto cartesiano (vedi) ×
.
Una relazione può godere, tra le altre, delle
proprietà:
 riflessiva
 simmetrica
 transitiva
Consideriamo ad esempio la
relazione “essere capitale di” tra gli
stati europei e le loro capitali, che
potremmo rappresentare così :
Altro esempio: il primo insieme sia
quello di alcune città d’Italia,
distribuite in varie regioni; il
secondo insieme sia quello delle
regioni d’Italia. La relazione
“appartenere a “ non è una
corrispondenza uno a uno, ma molti
a uno: infatti, molte città importanti
d’Italia, potranno appartenere (o
meno) ad una certa regione.
Quando la relazione è univoca,
allora è definita una funzione (vedi)
Rendita
***
In matematica finanziaria, la rendita è una
successione di importi, chiamate rate, da
riscuotere (o da pagare)
Resto (della divisione aritmetica)
Il numero intero che rimane, dopo aver eseguito
122
Il vocabolo, in termini economici,
può assumere significati diversi e
lunghi da descrivere.
Esempi: 13: 4 = 3 (
(infatti 3 × 4 = 12 + 1 = 13;
1) ;
la divisione : (con a,b interi e
> ;
44: 6 = 7(
2) (infatti
6 × 7 = 42 + 2 = 44);
Resto (nella divisione tra polinomi)
Vedi “divisione tra polinomi”
Resto (teorema del)
***
In algebra, il teorema del resto consente di
trovare il resto di un polinomio intero P(x) nella
divisione per un binomio della forma (x - a)
senza dover eseguire la divisione ; il resto di tale
divisione è uguale al valore che il polinomio
assume per x = a.
Dividendo un polinomio P(x) per un polinomio
D(x), si ha una
relazione del tipo:
Retta
**
Nella geometria razionale è un concetto
primitivo (insieme a quelli di punto e piano),
quindi non ha una definizione: si può pensare ad
una linea che mantiene sempre la stessa
direzione, senza limitazione nei due sensi;
quando è limitata ad un estremo, si chiama
semiretta.
In geometria analitica, la retta è descritta
dall’equazione
=
+ (forma esplicita)
dove m (coefficiente angolare) determina la sua
inclinazione e q il punto in cui la stessa retta
incontra l’asse y.
In forma implicita l’equazione di una retta si
scrive invece nella forma
+
+ =0
L’equazione dell’asse x è = 0
L’equazione della y è = 0
123
Facciamo un esempio, che
invitiamo a seguire attentamente
per capire l’enunciato del teorema.
Si può facilmente verificare che
( + − 3)( + 2)
=
+3 −6
à
ℎ
( + 3 − − 6) : ( + 2) =
+
−3
Se sostituite -2, al posto della x, nel
polinomio dividendo, il valore che
tale polinomio assume è 0, che
coincide appunto con il resto.
Un sottile raggio laser nello spazio
notturno può far pensare ad una
retta: dal momento che proviene da
un apparecchio (e quindi ha un
inizio), è più appropriato
paragonarlo ad una semiretta; un
raggio luminoso tuttavia,
qualunque esso sia, ha uno spessore
che la retta non ha.
Anche in geometria analitica, la
retta è un insieme di punti, il suo
grafico si ottiene rappresentando
proprio alcuni dei punti: una volta
assegnato un valore a piacere alla x,
si ottiene il corrispondente valore
della y. Le più semplici equazioni di
retta sono y = x e y = 2 x : per
capire le rappresentazioni grafiche
conviene disegnare queste due
rette, notando come, per ciascun
punto della prima, il rapporto tra y
e x è 1, mentre nella seconda è 2 ;
analogamente per altre rette; poi si
disegnano, per esempio, y = x + 3 e
y = 2 x + 3, notando come queste
ultime hanno, rispettivamente, la
stessa inclinazione delle prime due,
ma sono spostate in su di 3 unità.
Rettangolo
*
Quadrilatero con quattro angoli retti; le due
diagonali sono uguali.
Retta orientata
***
Quando su una retta viene scelto uno dei due
possibili versi di percorrenza, la retta si dice
orientata. Di solito si fissa anche un’origine ed
un’unità di misura: ciò permette di individuare
la
posizione precisa di un punto sulla retta
medesima. Gli assi cartesiani sono rette
orientate, permettono di individuare la
posizione di un punto su un piano.
Retto (angolo)
*
E’ la quarta parte di un angolo giro, la sua misura
è di 90° .
Ricavo
Al ricavo, per conoscere il guadagno
(vedi) che può ottenere un
commerciante, va sempre sottratta
la spesa (che può essere composta
In termini elementari (ma, per dirlo con un gioco da diverse voci, oltre al prezzo
di parole, anche di scuola elementare), il ricavo, d’acquisto presso il grossista o la
fabbrica. Se, ad esempio, un
per la vendita di un prodotto, è quello che un
negoziante riesce a vendere 10 paia
commerciante riesce a incassare,
indipendentemente dalle spese; in altre parole è di scarpe al prezzo di 45 euro, ha un
ricavo di 450 euro; a questo
il prezzo di vendita della merce, quello che
incasso, tuttavia, dovrà sottrarre il
incassa dai clienti.
prezzo di acquisto delle scarpe
presso la fabbrica e le altre spese
(spesso non indifferenti) sostenute
per l’attività: se ad esempio, il
negoziante ha acquistato le scarpe
124
*
al prezzo di 25 euro al paio, il suo
guadagno non sarà dato
semplicemente da 200 euro, ma
dovrà calcolare le altre spese
eventualmente sostenute
(trasporto della merce, affitto del
negozio, tasse, etc).
Ricerca operativa
***
La ricerca operativa, è il settore della
matematica applicata in cui problemi decisionali
complessi vengono analizzati e risolti mediante
modelli matematici . L'obiettivo è quello di
fornire un supporto alla presa di decisioni.
Riflessiva (proprietà)
**
Una relazione gode della proprietà riflessiva,
quando è tale per cui “si riflette anche su sé
stessa”.
Rombo
*
Parallelogrammo con tutti i lati uguali. Il
quadrato è un caso particolare di rombo.
125
La ricerca operativa fornisce
strumenti matematici di supporto
alle attività decisionali in cui
occorre gestire e coordinare attività
e risorse al fine di massimizzare o
minimizzare una funzione obiettivo.
La ricerca operativa si occupa di
formalizzare un problema in un
modello matematico e calcolare una
soluzione ottimale; molte sono le
applicazioni commerciali
soprattutto in ambito economico,
logistico, militare. Nel caso
particolare di problemi di carattere
economico, la funzione da
massimizzare può coincidere con il
massimo profitto ottenibile o con il
minor costo da sostenere.
Esempi: Nell’insieme dei numeri
naturali, “essere divisore di” è
riflessiva, perché un numero è
divisore anche di sé stesso ; “ essere
il triplo di “ invece, logicamente,
non è riflessiva;
Rotazione
**
È una trasformazione geometrica, che fa
corrispondere ad una certa figura, una seconda
figura ruotata di un angolo α rispetto alla prima.
Nella rotazione viene anche definito un centro O
di rotazione, un punto cioè rispetto al quale essa
avviene.
Ruffini (regola di )
***
Così è chiamato quel metodo (scoperto dal
medico - matematico Paolo Ruffini all’inizio
dell’800) che permette di ottenere il risultato
della divisione di un polinomio (e l’eventuale
resto) per un binomio della forma ( + ), senza
bisogno di eseguire tutto il procedimento.
Riportiamo qui un esempio:
supponiamo di dover eseguire la
divisione
( − 9 + 27 − 28): ( − 4)
Sulla prima riga di uno schema
come in figura, si riportano i
coefficienti del dividendo:
Abbasso, dalla prima alla terza riga,
l’1 : lo moltiplico per il coefficiente
del dividendo che ho messo
nell’angolo in basso a sinistra :
metto il risultato (4) in colonna
sotto il secondo coefficiente ;
sommo in colonna e ottengo – 5 ;
moltiplico -5 per 4 e pongo il
risultato in terza colonna, sommo
(come prima) in colonna e ottengo
7 ; ancora … 7x4 =28 , che riporto
in ultima colonna ; sommando
ancora in colonna ottengo 0 che, in
questo caso è il resto ; in altri casi
posso ottenere un resto diverso da
0. In questo esempio, il risultato
della divisione del polinomio per il
binomio si legge sull’ultima riga
126
dello schema: è un polinomio
ordinato secondo le potenze
decrescenti di x, partendo da
. Si può facilmente verificare
eseguendo di nuovo la
moltiplicazione.
S
Scaleno
Lo stesso aggettivo (sia pure
raramente) si usa , in generale,
anche per un poligono di 4 o più
lati, con lo stesso significato .
*
Un triangolo si dice scaleno quando i suoi lati
sono diversi tra loro.
Scomposizione in fattori (di un numero)
**
Procedimento di calcolo per trovare tutti i fattori
primi che compongono un numero intero
Divido per 2 e riporto a capo il risultato
Divido per 2 e riporto a capo
Ripeto la stessa operazione, ottengo 175
Nel 175 il 2 non ci sta, nemmeno il 3, divido
per 5, ottengo 35 che riporto a capo;
Divido il 35 ancora per 5 e ottengo 7,
127
Il procedimento semplice e sicuro si
svolge dividendo il numero per 2 ;
se è possibile si continua a dividere
per 2 fino a quando ci si riduce ad
un numero dispari ; si prova a
dividere per 3 il risultato, se si può,
il 3 viene considerato un fattore, poi
ancora per 3….. se non è divisibile si
prova per 5, poi ancora per 5 …. ; si
continua a provare a dividere per
fattori primi sempre più grandi,
finché il risultato sarà un numero
primo; alla fine la scomposizione
sarà data dal prodotto dei vari
divisori, presi tante volte quante è
stato possibile usarli come divisori.
Esempio: proviamo a scomporre in
fattori 1400 :
In conclusione la scomposizione di
1400 sarà 2 ∙ 5 ∙ 7
Scomposizione un fattori (di un polinomio)
Per imparare la scomposizione, è
necessario conoscere bene tutti i
casi e i tipi di moltiplicazioni e altre
operazioni (come l’elevamento al
La scomposizione di un polinomio ha come
quadrato o al cubo); in altre parole
le operazioni dirette che hanno
scopo quello di trovare due o più polinomi che,
portato al polinomio che si vuol
moltiplicati tra di loro, danno il risultato di
scomporre ; bisogna quindi
partenza : l’utilità è quella di poter semplificare
conoscere i tipi di scomposizione
le frazioni algebriche, dopo aver trovato i fattori
che potremmo, in quel caso,
comuni a numeratore e denominatore.
applicare; ecco i principali:
 raccoglimento totale o
parziale
 differenza di due quadrati
 somma o differenza di due
cubi
 quadrato di un binomio o di
un trinomio
La scomposizione in fattori è un osso duro per gli
 trinomio notevole
studenti del biennio delle superiori: si consiglia
 regola di Ruffini
vivamente di imparare, prima, molto bene, le
 cubo di un binomio
operazioni dirette (come la moltiplicazione, i
prodotti notevoli, l’elevamento al quadrato e al
cubo etc).
***
Secante (retta)
nei casi in cui una retta non è
secante, allora è tangente oppure
esterna ;
***
Una retta è detta secante quando incontra una
curva in due o più punti; il termine deriva dal
latino secare (tagliare).
128
Secante (funzione)
Siccome cos 90° = 0, la secante di
90° non è definita ( e non è definita
nemmeno la sec(90° + ) .
***
In trigonometria, la funzione secante o
semplicemente la secante di un angolo è il
reciproco del coseno del medesimo angolo:
1
sec( ) =
cos( )
Secondo
corrisponde alla sessantesima parte
del minuto e alla
tremilaseicentesima parte dell’ora.
**
Unità di tempo nel sistema internazionale.
Segmento
*
Parte di retta limitata da due punti detti estremi;
Semiretta
**
Ognuna delle due parti in cui un punto può
dividere una retta.
Segno
**
Simbolo che si premette ad un numero reale per
indicare se è positivo (+) negativo (−) : nel
primo caso significa più, aggiungi, positivo, nel
129
Il punto N in questo caso
delimita le due semirette
In senso più generale può
intendersi qualsiasi simbolo in uso
in matematica ( =, <,÷, √ , ∀,∪,∩
… .. ) con il suo significato ;
secondo caso significa meno, sottrai, negativo ;
Seno (di un angolo)
***
Preso un punto P sulla circonferenza
goniometrica (con raggio = 1), congiunto P con
O (origine geli assi cartesiani), sia l’angolo
formato dalla retta OP con il semiasse positivo
delle ascisse: il seno di ,
, è l’ordinata del
punto P.
In altre parole, sin( ) è il rapporto tra l’ordinata
di un punto sulla circonferenza e il raggio della
circonferenza.
Serie
***
È la somma degli elementi di una successione: si
tratta di una generalizzazione dell'operazione di
addizione, che può essere in tal modo estesa al
caso di infiniti termini.
Sessagesimale
Per capire bene il concetto di seno
di un angolo, si consiglia di
disegnare un triangolo rettangolo
(non isoscele), misurare i cateti e
l’ipotenusa (che si può ottenere
anche con il teorema di Pitagora) e
verificare la definizione con la
calcolatrice. Ripetere con altri
triangoli, per esempio verificare che
sin 30° = .
Si noti che con la trigonometria si
trovano le relazioni tra i lati e gli
angoli di un triangolo.
Ma il seno di un angolo si può
definire anche in un triangolo
rettangolo qualsiasi: dato un
triangolo rettangolo, il seno di uno
dei due angoli interni adiacenti
all'ipotenusa è definito come il
rapporto tra le lunghezze del cateto
opposto all’angolo e dell'ipotenusa.
La serie è quindi la formalizzazione
matematica, nell’ambito del calcolo
infinitesimale (introdotto solo alla
fine del ’600 da Newton e Leibnitz),
dell’idea di “somma di infiniti
termini”.
Trattandosi di argomento
universitario, rimandiamo gli
approfondimenti ai testi specifici.
Un’ora è divisa in sessanta minuti
primi, un primo è diviso in sessanta
secondi ; successivamente i secondi
130
***
Sistema di numerazione in cui ogni unità è divisa
in 60 parti di ordine inferiore: oggi si usa ancora
per misurare il tempo.
Settore circolare
si suddividono in decimi, centesimi
etc seguendo ancora il sistema
decimale.
Il sistema sessagesimale era molto
usato nell’Antica Mesopotamia.
**
Parte di cerchio delimitato da due raggi e
dall’arco da essi individuato.
Sezione
***
Parte di piano individuata dall’intersezione di un
solido con il piano medesimo.
Sezione aurea
Primo esempio: la sezione di un
piano con una sfera , dà luogo ad un
cerchio; secondo esempio: la
sezione di un piano con un cilindro,
dà luogo ad una superficie ellittica.
Il problema della ricerca della parte
aurea di un segmento era già noto
agli antichi greci.
***
Parte di un segmento media proporzionale tra il
segmento stesso e la parte rimanente.
Dato un segmento AB, il problema è
quello di trovare il punto K, in
modo tale che risulti verificata la
proporzione:
:
=
:
Se il segmento fosse 1, indicando la
lunghezza di AK con x, si avrebbe
(per definizione) 1: = : (1 − )
da cui
= 1 − ; si può verificare
facilmente che x risulta uguale a
√
- = 0,618 : la parte aurea risulta
così circa uguale al 61,8% del
segmento.
Della sezione aurea di un segmento
esiste anche una costruzione
131
geometrica con riga e compasso.
Sezione conica
***
In geometria analitica si chiama sezione conica, o
semplicemente conica, una curva piana che si
ottiene dall’intersezione di un cono circolare
retto con un piano.
Intersecando con un piano qualsiasi si ottiene un
ellisse (in alto), intersecando con un piano
parallelo ad una delle generatrici del cono si
ottiene una parabola (in basso), intersecando
con un piano parallelo all’asse del cono si ottiene
un’iperbole.
Sfera
*
Parte di spazio ottenuta dalla rotazione di un
semicerchio attorno al suo diametro.
Non si deve confondere la sfera con
la superficie sferica: quest’ultima è
la parte esterna, mentre la sfera ha
un proprio volume. Quest’ultimo si
132
calcola mediante la formula
=
, dove r è il raggio della sfera.
Similitudine
**
Due poligoni sono simili quando hanno gli angoli
corrispondenti uguali e i lati corrispondenti in
proporzione; in parole più semplici quando
hanno la stessa forma, ma non le stesse
dimensioni; in particolare, sono importanti i 3
criteri di similitudine dei triangoli: essi servono a
limitare i lati e gli angoli da controllare, per
verificarne la similitudine;
Simmetria
**
È una delle più importanti trasformazioni
geometriche (insieme a traslazione e rotazione):
si può eseguire una simmetria rispetto ad una
retta (assiale), oppure rispetto ad un punto
(centrale);
Sistema di equazioni
***
Risolvere un’equazione, significa trovare il
valore dell’incognita che renda vera
l’uguaglianza ; quando le incognite sono due, un
problema si risolve avendo a disposizione due
condizioni e quindi due eguaglianze,
133
Esempio:
La somma di due numeri naturali è
18, mentre la differenza tra il
maggiore e il minore è 4 : quali
sono i due numeri ?
Indicando con x il maggiore dei due
numeri e con y il minore :
+ = 18
− =4
contestualmente verificate.
Un sistema è quindi l’insieme di due equazioni in
due incognite, di tre equazioni in tre
incognite……
sommando in colonna si ha:
2 = 22
Da cui = 11,
=7
In questo caso abbiamo applicato il
metodo di riduzione, il più veloce e
brillante; vi sono altri metodi per
risolvere un sistema:
 di sostituzione (il più
elementare, di solito si
impara per primo )
 di confronto (poco usato)
 di Cramer (meccanico e
riferito ad uno schema da
ricordare a memoria)
Sistema di misura anglosassone
Riportiamo le principali unità di
misura ancora in uso:
 Inch (pollice, misura la
Nei paesi di lingua inglese sono ancora usate
lunghezza) equivale a 2,54
unità di misura che non appartengono al
mm
“nostro” sistema metrico decimale. Sono indicate
 Foot (piede) = 12 inch
con il nome di unità di misura anglosassoni.
(pollici) =30,48 cm.
I metodi di calcolo sono complessi, essendo il
sistema dei multipli e dei sottomultipli non
 Gallon (gallone, misura la
decimale.
capacità) equivale a 4,546
litri
 Pound (libbra, misura la
massa), equivale a 0,4535 kg
**
Sistema di numerazione decimale
**
Modo di contare che deriva dall’uso delle dita
delle mani (dieci appunto), avente origini
antiche.
Anche il sistema romano ha un che di decimale (
il simbolo V deriva da una mano, di cinque dita,
stilizzato; il simbolo X deriva da due avambracci
incrociati 5 + 5 ), ma è un metodo di tipo
additivo.
Il nostro sistema, di tipo posizionale, prevede
che, a partire da destra, la prima cifra si riferisca
134
Il vero sistema decimale è di tipo
posizionale, ovvero le cifre hanno
valore diverso a seconda della
posizione. La conta avviene con un
simbolo diverso dall’uno al nove,
poi “si mette da parte “ una decina e
si procede con due decine, tre
decine etc.
Ad esempio, il numero 2017
esprime 2 migliaia, 0 centinaia, una
decina e 7 unità.
I segni che usiamo per le cifre
alle unità 10 , la seconda cifra alle decine (10 ),
la terza alle centinaia (10 ) e così via…..
derivano da antichi simboli indiani,
poi modificati dagli arabi: solo nel
medioevo furono introdotti in
Europa (attraverso al -Khwarismi )
dal vescovo Gerbert d’Aurillac e poi
diffusi, tre secoli più tardi, da
Fibonacci.
Sistema Internazionale SI
Le grandezze, e quindi le loro unità
di misura, sono moltissime: le
principali sono metro (per le
lunghezze), kilogrammo (per la
massa), secondo (per il tempo),
ampere (per la corrente); non
molto tempo fa era chiamato infatti
MKSA.
***
In Fisica, quindi anche per matematica e chimica,
per rendere universale un insieme di grandezze
con le loro unità di misura, cioè per far sì che in
tutto il mondo si usi lo stesso sistema di
riferimento, a partire dal 1978 è entrato in
vigore il Sistema Internazionale di misura (SI).
Solidi platonici
**
Sono 5, sono i soli solidi regolari e si chiamano
anche poliedri convessi regolari: le facce sono
poligoni regolari congruenti.
Furono oggetto di studio da parte di Platone e
Pitagora.
Solido
I cinque solidi sono: tetraedro, cubo
(o esaedro), ottaedro, dodecaedro,
icosaedro: (vedi a ciascuna voce).
*
Figura geometrica che occupa una parte di
spazio.
Soluzione (di un’equazione)
**
Valore dell’incognita che rende vera
un’uguaglianza.
Soluzione di un problema
*
Trovare la soluzione significa arrivare ai valori
che rispondono alle domande poste nel
problema medesimo.
Somma
135
Nel caso di un sistema di equazioni,
di solito si tratta di trovare due o
più soluzioni;
Partendo da alcuni dati iniziali, si
tratta di applicare uno o più
procedimenti per arrivare a
rispondere alle domande e quindi
alla soluzione;
Conviene pensare a qualche
esempio: la somma di 7 e 3 è 10, la
somma di 12 e 2 è 14 etc.
*
Risultato dell’operazione di addizione (vedi)
Sottoinsieme
*
Un insieme B si chiama sottoinsieme di A, se tutti
gli elementi di B appartengono anche ad A. Si
parla di sottoinsieme proprio se almeno un
elemento di A non è compreso nell'insieme B ; se
B coincide con A, allora B prende il nome di
sottoinsieme proprio.
Sottrazione
Esempi: 14 − 11 = 3 (si verifica che
11 + 3 = 14 ; nell’insieme dei
numeri reali : 16,5 − 8,3 = 8,2 ; nel
Operazione aritmetica mediante la quale, dati
caso in cui sia < la sottrazione
due numeri e , (con > ), è possibile
segue le leggi dell’algebra, con le
trovare un terzo numero , tale che + =
regole sui segni;
;
−.
*
Spazio
*
È l’ambiente in cui si studia la geometria, quello
in cui si analizzano le figure solide.
Lo spazio indica anche l’ambiente in cui siamo
collocati noi stessi e gli oggetti che ci circondano,
che è anche quello in cui ci muoviamo.
Spezzata
*
Successione di segmenti , come la poligonale
(vedi) .
Squadra
*
Strumento a forma di triangolo rettangolo per
eseguire disegni geometrici.
136
Potremmo affermare quindi che lo
spazio è un concetto concreto astratto, che noi riusciamo a
percepire e capire, grazie a delle
semplici regole: infatti, per
rapportarci con lo spazio, la
geometria euclidea ha "inventato"
le tre dimensioni: l' altezza, la
larghezza e la profondità.
Storia della matematica
Si può affermare che i primi
rudimenti di matematica sono nati
con la storia (o meglio con la
Nell’ambito della matematica, la sua storia viene preistoria) : tuttavia è giusto dire
troppo spesso sottovalutata e trascurata, in tutti
che la matematica, come disciplina
i livelli di scuola, dalle elementari all’università;
organizzata e indipendente non
questo è uno dei motivi per cui gli studenti
esisteva prima dei Greci del periodo
perdono presto l’interesse per la materia, a
classico (dal 600 al 300 a.c.). Per
maggior ragione se trovano difficoltà tecniche.
Per molti secoli, la storia della matematica si è
fare qualche esempio oggi possiamo
sviluppata indipendentemente in culture
studiare alcuni reperti della civiltà
completamente differenti che sono poi arrivate
cinese o egizia, ma tra loro e al loro
agli stessi risultati. Spesso un contatto o una
interno non c’erano possibilità di
reciproca influenza tra popoli differenti ha
comunicazione.
portato all'introduzione di nuove idee e a un
Data la vastità dell’argomento ( la
avanzamento delle conoscenze matematiche. In
tempi moderni, la matematica ha invece potuto
storia della matematica è lunga
avvalersi dei contributi di persone di tutti i paesi. tanto quanto la storia dell’uomo),
rimandiamo la consultazione di
argomenti di storia della
matematica ai numerosi riferimenti
bibliografici (o ai siti web) in
proposito.
Particolarmente interessanti
possono risultare la storia della
numerazione, della logica, della
geometria, la crisi dei fondamenti,
l’informatica.
Successione
Le successioni sono utilizzate nel
calcolo infinitesimale, che fa ampio
uso del concetto di limite di una
Una successione o sequenza infinita, può essere
successione. Esse hanno un ruolo
definita come un elenco ordinato costituito da
fondamentale nella definizione
una infinità numerabile di oggetti, detti termini
dell'insieme dei numeri reali e in
della successione, tra i quali sia possibile
tutta l'analisi matematica, in quanto
distinguere un primo, un secondo, un terzo e in
rappresentano una base dello
generale un n-esimo termine per ogni numero
naturale n.
studio delle funzioni .
*
***
137
Superficie
*
Con questo termine ci si può riferire ad una
generica parte di piano, oppure al contorno di un
solido.
È un oggetto geometrico ideale senza spessore,
avente due dimensioni. Alcuni oggetti reali si
avvicinano a questa idea astratta come, ad
esempio, una lamina molto sottile.
Non si deve confondere la
superficie con l’area: la seconda è
l’estensione, ovvero la misura della
prima.
T
Tangente (retta)
***
La retta tangente ad una curva in un punto è la
retta limite parallela alle secanti in due punti che
man mano si avvicinano. In altre parole, la
tangente tocca la curva in due punti coincidenti.
Le prime tre rette hanno due punti
in comune con la curva c ; la quarta
(quella più a destra) ha un solo
punto in comune o, se vogliamo,
due punti coincidenti ; per trovare
l’equazione della retta tangente ad
una conica, dopo aver imposto il
sistema tra le equazioni di retta e
conica , si pone il discriminante
uguale a zero.
Tangente (goniometrica)
***
Data la circonferenza goniometrica (di raggio
unitario, avente centro nell’origine degli assi), la
tangente di un angolo α è l'ordinata del punto A
di intersezione tra la retta che contiene il lato
libero dell'angolo e la retta tangente alla
circonferenza nel punto P di coordinate (1;0).
138
La tangente dell’angolo α che OP
forma con il semiasse positivo delle
x è data, in questo caso, dalla
lunghezza del segmento AP ; se , ad
esempio AP fosse 0,4 questo
sarebbe il valore della tangente di
, corrispondente ad un angolo di
21,8° ;
dal momento che la tangente è il
rapporto tra Ap e OA, è quindi
anche il rapporto tra l’ordinata e
l’ascissa di H e quindi tra il seno e il
coseno dello stesso angolo;
Tasso d’interesse
Impiegare un capitale C al tasso
d’interesse del 2,5% annuo,
significa che l’impiego di 100 euro
mi frutteranno 2,5 euro.
***
Il tasso, indicato di solito con rappresenta
l’interesse (vedi) relativo ad un capitale unitario
(una lira, un euro, un dollaro…) ; esso
corrisponde quindi ad una percentuale.
Teorema
**
È una proposizione in cui, a partire da
condizioni iniziali stabilite, si perviene a delle
conclusioni, dandone una dimostrazione. I
teoremi svolgono un'importantissima funzione
nella matematica;
139
Un teorema si compone di tre parti :
ipotesi, tesi e dimostrazione; l’
ipotesi è l’insieme delle condizioni
iniziali su cui si vuole ragionare; la
tesi è quello che si vuole
dimostrare, in altre parole è
l’affermazione da dimostrare; una
dimostrazione ( una teorema può
averne più di una) è l’ insieme dei
ragionamenti, delle costruzioni e
delle implicazioni logiche che
possano assicurare che le ipotesi
implichino la tesi.
Un esempio classico è il teorema di
Pitagora:
Ipotesi: è dato un triangolo
rettangolo
Tesi: La somma delle aree dei
quadrati costruiti sui cateti è
equivalente al quadrato costruito
sull’ipotenusa;
Dimostrazione: ne esistono
centinaia…. Ognuna si fonda su una
certa costruzione grafica;
Teorema di Pitagora
**
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito
sull’ipotenusa è equivalente ai due quadrati
costruiti sui cateti.
In altre parole, il valore dell’area del quadrato
costruito sull’ipotenusa coincide con quello della
somma delle aree dei quadrati dei due cateti.
Eccone una tra le più semplici e immediate:
E’ il teorema più famoso di tutta la
matematica: viene spesso imparato
(e insegnato) male. Fino ad ora ne
sono state pubblicate poco meno di
400 diverse dimostrazioni. Il modo
più semplice e veloce per ‘credere’
nel teorema di Pitagora e quindi
comprenderlo pienamente è di
disegnare un triangolo rettangolo,
misurare i lati in mm, calcolare i
quadrati dei medesimi, eseguire la
somma dei valori dei quadrati dei
cateti e verificare che questa e
uguale al quadrato della misura
dell’ipotenusa. Eventuali piccole
differenze saranno dovute ad errori
di misura: ripetere operazione per
altri triangoli rettangoli.
Il caso più semplice e
comprensibile, è quello di un
triangolo rettangolo avente i cateti
lunghi 4 e 3 (quadretti, centimetri,
metri, etc) : come si vede bene
anche in figura, l’ipotenusa è lunga
5. Contando i quadretti, si verifica
facilmente il teorema. D’altra parte,
3 + 4 = 9 + 16 = 25 = 5
In questo caso (il più semplice) i tre
numeri si corrispondono in una
terna che si chiama pitagorica
(vedi).
Un caso più generale: sommando le
aree dei due quadrati più piccoli, si
ottiene l’area di quello più grande,
costruito sull’ipotenusa.
140
Terna pitagorica Vedi ‘pitagorica’ (terna)
Tesi
**
E’ la conclusione di un
teorema, quello che si vuole
dimostrare .
Tetraedro
Un teorema è formato da tre parti : ipotesi, tesi,
dimostrazione;
Il più semplice dei poliedri, che ha 4 vertici, 6
spigoli, 4 facce triangolari e può essere pensato
come una piramide a base triangolare.
Topologia
Una circonferenza, un quadrato e un ottagono, sono
tre figure ben distinte in geometria, così come un
poliedro e una sfera (tra loro), ma sono equivalenti
Letteralmente significa “studio topologicamente.
delle forme” , ossia delle
Non sono topologicamente equivalenti (per esempio)
proprietà geometriche delle
figure che non dipendono dalla il toro e il nastro di Mobius.
misura, ma sono legate a
problemi di deformazione
delle figure stesse.
Oggi è un capitolo
fondamentale della
matematica, in origine si
limitava allo studio di aspetti
Esempio di toro
geometrici qualitativi.
***
141
Esempio di nastro di Mobius
Toro
Per la figura vedi sopra (voce precedente);
***
Superficie generata dalla
rotazione di una circonferenza
attorno ad una retta;
Trapezio
*
È un quadrilatero che ha due
lati paralleli. Questi lati si
chiamano basi (maggiore e
minore), la loro distanza
altezza. Se uno degli angoli
d'un trapezio è retto (quindi
anche quello adiacente), allora
si tratta di un trapezio
rettangolo. Se i due lati non
paralleli sono uguali, il
trapezio si dice isoscele ed ha
gli angoli uguali a due a due.
Trascendente
***
Si tratta di un numero reale o
complesso che non è radice di
un’equazione algebrica;
I numeri trascendenti sono
soluzioni di equazioni non
algebriche , cioè di equazioni
che non possono assumere la
forma ( ) = 0. I numeri
trascendenti sono (anche)
irrazionali .
I numeri trascendenti più noti sono
ed (vedi le
singole voci); la comprensione approfondita richiede
conoscenze di matematica superiore; i numeri
trascendenti debbono il loro nome al grande
matematico Eulero che , riferendosi ad essi , disse :
“questi numeri trascendono il potere dei metodi
algebrici “.
142
Trasformazione geometrica
***
Una trasformazione
geometrica T tra i punti di un
piano è una corrispondenza
biunivoca
che ad ogni punto P del piano
associa uno e un solo punto P'
appartenente al piano stesso e
viceversa.
Traslazione
***
Movimento rigido applicato ad
una figura geometrica, senza
rotazione. Appartiene al
gruppo delle trasformazioni
(vedi).
Tre semplice (problema del)
*
Si chiamano problemi del tre
semplice (specialmente alla
scuola elementare), con una
terminologia non proprio
appropriata ma ormai invalsa
nell’uso da tanto tempo, quei
problemi di proporzionalità
diretta o inversa che
comportano, noti tre valori, di
In parole povere si tratta di spostare una figura
geometrica, verificando le proprietà esistenti tra i
punti della figura di partenza e quella di arrivo. Le
principali trasformazioni sono: traslazione,
rotazione, simmetria assiale, simmetria centrale,
proiezione .
Esempio di trasformazione : traslazione di un
triangolo:
Per individuare una traslazione occorre sapere la
lunghezza (o modulo), la direzione ed il verso della
stessa, si usa perciò un vettore. Ecco, ad esempio, il
vettore della traslazione qui raffigurata.
Esempio 1: Un treno ad alta velocità percorre, un
certo tratto di ferrovia in 2 minuti e 15’’ ; quanto
impiegherà a percorrere un tratto triplo, viaggiando
sempre alla stessa velocità ?
Anche in questo caso (come in molti altri), non
conviene imparare mnemonicamente regole e
applicarle automaticamente, ma farsi un’immagine
mentale del treno (ad alta velocità?), pensando di
essere sul treno mentre scorrono 2 primi e 15
secondi : ci vuole poco a dedurre che un tratto triplo
verrà percorso in un tempo triplo, ossia 6 minuti e
45’’.
143
trovarne un quarto con lo
stesso metodo che si adotta
per le proporzioni.
Esempo2 : Marta e Francesca comprano della stoffa
dello stesso tipo. Marta ne acquista 6 metri
spendendo 96 euro. Francesca spende invece 192
euro. Quanta stoffa ha comprato Francesca?
La spesa sostenuta da Marta ci dice che la stoffa costa
16 € al metro : con la divisione 192:16 troviamo che
Francesca ha comprato 12 metri di stoffa.
Lo stesso problema poteva essere impostato con la
∙
proporzione 96: 6 = 192: da cui =
= 12
Tre composto (problema del )
Esempio: 30 operai, lavorando ciascuno 4 ore,
riescono a produrre in una fabbrica 1500 pezzi.
Quante ore dovrebbero lavorare 20 operai per una
produzione di 2500 pezzi ?
Il problema si risolve, ragionando, in due ‘passi’ :
nelle 4 ore, un solo operaio produce
= 50
;
nelle 4 ore, 20 operai produrrebbero allora 1000
pezzi ;
per sapere quante ore dovrebbero lavorare questi 20
operai per produrre 2500 pezzi, dobbiamo impostare
la proporzione:
*
Nei problemi del “tre
composto” si hanno 3 o più
grandezze in gioco, quindi
prese due qualsiasi di tali
grandezze, fra esse si riscontra
sempre una proporzionalità,
diretta o inversa.
2500 ∙ 4
= 10
1000
Per produrre 2500 pezzi, 20 operai dovrebbero
lavorare per 10 ore.
2500: 1000 = : 4
=
Triangolo
*
Figura geometrica formata da
3 lati e tre angoli
Triedro
**
È una figura solida,
corrispondente alla parte
(illimitata) di spazio racchiusa
dai tre angoli individuati da tre
semirette (non complanari)
Gli angoli individuati dalle tre semirette si dicono
facce del triedro, le semirette sono invece gli spigoli,
il loro punto di incontro vertice.
144
uscenti da un punto.
Si può pensare alla punta di una piramide a base
triangolare, togliendo la base medesima.
Trigonometria
***
Parte della matematica che si
occupa dello studio dei
triangoli; rientra nella
trigonometria anche lo studio
delle funzioni trigonometriche
seno, coseno, tangente…..
Trinomio
Nella geometria elementare,che si studia alle
elementari e alle medie, nei triangoli si studiano le
relazioni tra lato e lato, tra angolo e angolo, ma non
tra lati e angoli : quest’ultimo è lo scopo principale
della trigonometria. Di un triangolo si possono
conoscere tutti e sei gli elementi nel caso in cui se ne
conoscano almeno tre, di cui almeno uno sia un lato.
**
Polinomio formato da tre
monomi
Tronco (di cono, di
piramide….)
**
Un tronco di cono è un cono a
cui è stata tagliata la punta
(con un piano parallelo alla
base); analogamente per il
tronco di piramide.
tronco di cono
U
Uguaglianza
**
Un’ uguaglianza è una
relazione tra due enti, che
Il termine di uguaglianza può esprimere concetti
leggermente diversi nei vari settori della matematica.
Ad esempio, in geometria si parla di congruenza e/o
di isometria per esprimere lo stesso significato. Si
dice talvolta che due triangoli sono isometrici
145
indica il possesso delle
medesime proprietà. Ciò che
sta a sinistra del simbolo =
coincide con quello che sta alla
destra ( ad esempio + =
+ )
(aventi le stesse misure) oppure congruenti (quando
sono sovrapponibili, anche se non coincidono),
riservando la parola uguali alla situazione nella quale
i due triangoli sono coincidenti.
In realtà sull’uso di questi diversi aggettivi in
geometria ci sono state, in passato, anche polemiche
tra gli stessi matematici (e non c’è perfetto accordo
anche sugli attuali libri di testo).
Ad esempio, questi due triangoli: direste che sono
uguali ? congruenti ? o isometrici ?
Unione
**
Dati due più insiemi, è
l’operazione che consente di
ottenere un altro insieme
contenente tutti gli elementi,
senza ripetizioni; si
rappresenta con il simbolo ∪ .
Unità
*
L’unità è la base di qualsiasi
modo di contare e sistema di
numerazione. In termini molto
più tecnici, si può dire che
l’unità è l’elemento neutro
della moltiplicazione.
Unità di misura
(vedi anche : equivalenze,
unità di misura anglosassoni,
sistema internazionale)
*
Grandezza, campione di
A∪ ={ , , , , , , , , }
Dove A è l’insieme delle lettere della parola “mare” e
B quello delle lettere della parola “scuola”.
Un neonato di pochi mesi distingue uno da due da
molte (persone o cose).
Anche gli uomini primitivi distinguevano una pecora,
da due pecore, da tre etc. Anche il simbolo dell’unità
deriva da una tacca tracciata su un pezzo di legno o
da una incisione su una roccia.
In matematica la più usata è il metro (con tutti i
multipli e sottomultipli), con esso il metro quadrato
(per misurare le aree) e il metro cubo per misurare i
volumi). Per misurare gli angoli si usano (vedi) il
grado e il radiante.
In Fisica, oltre a quelle che si usano in matematica, vi
sono moltissime unità di misura corrispondenti ad
altrettante grandezze, spesso molto diverse tra loro.
Anche la moneta (euro, dollaro, yen …) è un’unità di
146
riferimento, per misurare una
grandezza della stessa specie.
misura del valore di un oggetto o di una prestazione.
V
Variabile
**
Grandezza indeterminata,
suscettibile cioè di assumere
valori diversi; è in
contrapposizione a costante;
è tipico l’utilizzo di variabili in
geometria analitica, la si
chiama variabile indipendente
e la variabile dipendente:
assegnando determinati valori,
anche arbitrari, alla x, si
ottengono, in dipendenza,
determinati valori della y .
Verità (tavole)
***
In matematica si usano molto, in vari contesti, spesso
senza darne la dovuta spiegazione, i termini di
incognita , variabile, parametro: facilmente si
possono confondere i significati tra di loro ; per la
definizione di ciascuna delle tre si rimanda alle
singole voci, per chiarire maggiormente può servire
gli esempi qui di seguito:
1) Problema: Sottraendo 5 al doppio di un numero si
ottiene 11: qual è il numero?
Impostazione dell’equazione 2 − 5 = 11 ( si
verifica facilmente che x (il numero) vale 8; in questo
caso la , che provvisoriamente indica una
determinata quantità provvisoriamente sconosciuta,
si chiama incognita.
Nell’equazione = 2 , che rappresenta un retta
passante per l’origine, di coefficiente angolare 2, x e y
sono le due variabili;
un’equazione del tipo =
rappresenta invece
tutte le rette passanti per l’origine degli assi, è il
variare di m , in questo caso il parametro, che
caratterizza ciascuna retta nell’ambito di tutte quelle
che passano dall’origine;
Fanno parte della logica proposizionale e stanno alla
base dell’algebra di Boole (vedi).
Le tavole di verità sono elenchi
di valori di verità attribuiti alle
proposizioni che la
compongono, per decidere se
147
una determinata proposizione
è vera o falsa.
Le tavole di verità vengono
utilizzate per descrivere i
possibili valori di verità di una
proposizione, in
corrispondenza ad una
determinata operazione logica.
Verso
***
Data una retta, è uno dei due
possibili sensi in cui si può
immaginare di percorrerla.
Vertice
**
Si tratta di un punto, usato in
vari contesti, simili tra loro.
Vettore (in matematica)
**
Elemento di uno spazio
vettoriale
Vettore (in fisica)
***
Segmento orientato che
possiede un’intensità, una
direzione e un verso; in fisica si
usa per rappresentare forze,
spostamenti, intensità del
campo elettrico.
I vettori (vedi), hanno un modulo, una direzione e un
verso.
 Di un angolo: il punto d’incontro delle due
semirette che lo delimitano;
 Di un poligono: punto d’incontro di due lati;
 Di un poliedro: punto d’incontro di tre facce;
 Di una parabola: punto d’intersezione con il
suo asse;
I vettori si rappresentano allo stesso modo, sia in
matematica che in fisica; mentre però gli spazi
vettoriali si possono studiare dalla quinta superiore
in su, (quindi si rimanda ad altri testi
l’approfondimento specifico), è facile capire come
essi possano invece rappresentare (in Fisica)
grandezze come le forze o gli spostamenti, che hanno
una direzione e un verso;
Simbolo per rappresentarlo: la lunghezza
rappresenta l’intensità, la direzione è la retta su cui è
poggiato il vettore, il verso è uno dei due possibili
orientamenti della freccia.
148
Volume
*
Misura dell’estensione dello
spazio occupato da un solido .
Vuoto (insieme)
**
Insieme privo di elementi; si
indica con il simbolo ∅
Sono esempi di insiemi vuoti: l’insieme dei numeri
negativi maggiori di 10, l’insieme degli asini con le ali,
l’insieme degli esseri umani più alti di 3 metri,
l’insieme delle lettere comuni alla parola “lago” e alla
parola “tipi”.
Z
Zero
Per capire l’importanza dell’uso dello zero è bene
conoscerne un po’ della sua storia. La prima
comparsa dello zero risale all’epoca dei Sumeri (circa
3000 anni fa ). Era un simbolo della scrittura
Per i matematici, lo zero è il
cuneiforme, formato da due incavi inclinati che
numero di elementi di un
indicava l’assenza di un numero. Un simbolo simile
insieme vuoto, l’insieme che
era utilizzato anche dagli Egizi. Le antiche civiltà
non ha elementi.
cinesi non hanno uno zero vero e proprio, ma l’uso
Può essere definito anche
dell’abaco, il precursore della calcolatrice, fa
come il numero
contemporaneamente
supporre che comunque ne fosse noto il concetto. I
maggiore di tutti e reali
Maya, al contrario, avevano un simbolo, ma non lo
negativi e minore di tutti i reali utilizzavano nei calcoli. Lo sviluppo dello zero in
positivi.
senso moderno va fatto risalire alla cultura Hindu,
anche se il padre dello zero è considerato il
matematico arabo al Khwarizmi (800 dopo Cristo)
che lo introdusse tra i numeri oggi noti come arabi.
L’uso dello zero rese subito i calcoli più rapidi e
precisi, permettendo l’introduzione di regole di
calcolo che consentivano di eseguire sulla carta
operazioni prima possibili solo con l’ausilio
dell’abaco (vedi). Il termine “zero”, che deriva
dall’arabo sifr (“nulla”), fu usato per la prima volta in
Occidente da Fibonacci nel 1200.
*
149
Curiosità
Se gli studenti conoscessero anche la minima parte della storia, delle vicissitudini, delle
curiosità, delle contraddizioni, delle difficoltà incontrate (anche dai grandi
matematici); se agli alunni si facesse notare il perché dei numeri e delle figure, le loro
origini, se potessero avere la minima percezione, una vaga idea, di che cos’è la
matematica oggi…. bè… allora, una gran numero di loro cambierebbe idea e,
probabilmente, affronterebbe l’apprendimento della matematica in modo diverso,
evitando di trovarsi invischiati nelle difficoltà che invece tutti, troppi hanno.
La matematica deve essere una scoperta continua, ma ci vuole anche la curiosità di
conoscere le scoperte del passato. La matematica del presente, ai più, non è conosciuta:
la scuola media (inferiore e superiore) dovrebbe essere una piccola palestra in cui si
apre la mente a questa, a quella del passato e ci si prepara ad imparare una
matematica di livello superiore: ma ciò, spesso, purtroppo non avviene.
(Vedi i libri dello stesso autore – www.mateditutti)
…. ma torniamo alle curiosità.
 La parola… nel mondo : La parola matematica è più o meno la stessa in tutte le
lingue occidentali ( mathematics , matematique etc ): deriva dal greco μάθημα
(máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o apprendimento
della scienza ; in Cina , la storia della matematica ha avuto uno sviluppo del tutto
indipendente, solo dopo il 1600 ci sono stati i primi contatti tra la cultura
orientale e quella occidentale. In cinese matematica si dice 数学 → shù xuè , che
significa (etimologicamente) “ scienza del calcolo “.

Il simbolo = di uguaglianza, il più usato della matematica, è un’invenzione
del ‘500: si tratta di due brevi segmenti della stessa lunghezza, uguali appunto….
);
 Provate ad eseguire 11 × 11 (
111 ×
);
111(
1111 × 1111 ;
? perché ?
 Il teorema di Pitagora non è stato scoperto, per la prima volta, da Pitagora, ma
era conosciuto almeno 1000 anni prima di lui nella civiltà mesopotamica, poi in
quelle cinese e indiana. Possiamo presumere che fosse conosciuto anche dagli
Egizi, anche se non abbiamo reperti storici al riguardo.
150
 Il rigore e la crisi dei fondamenti: tutte le certezze possono crollare, anche
la matematica, in un recente passato, è entrata in crisi. È un argomento
che richiederebbe, da solo, un trattato ( e ve ne sono parecchi già scritti) :
basti sapere che anche alcune certezze matematiche sono andate in crisi
proprio quando gli studiosi credevano di aver sistemato definizioni,
postulati, assiomi e teoremi: questo è accaduto in tempi abbastanza
recenti. Con l'espressione crisi dei fondamenti della matematica ci si riferisce al
fallimento del tentativo di dare una rigorosa giustificazione formale all'insieme
di definizioni e deduzioni della matematica nella sua interezza, il quale fu
seguito all'inizio del Novecento da una radicale revisione dei concetti
fondamentali della disciplina. Dopo il lavoro , dell'Ottocento , di matematici
come George Boole, Giuseppe Peano e Richard Dedekind, tra la fine del XIX e
l'inizio del XX secolo un gruppo di studiosi si impegnò nel tentativo di dare una
rigorosa rifondazione logica ai contenuti delle proposizioni matematiche, con
l'obiettivo di produrre una giustificazione assoluta della loro validità ;
l'insorgenza di difficoltà inaspettate (in particolare una serie di paradossi ), finì
per dimostrare l'incompletezza di tutta la matematica. È in generale
riconosciuto il ruolo che la crisi dei fondamenti della matematica rivestì nella
più ampia crisi che, all'inizio del Novecento, investì anche la fisica, la psicologia e
la filosofia, provocando una perdita di certezze nel campo della filosofia della
scienza.
Lo studio di questi problemi richiederebbe comunque un impegno e una
preparazione già consolidata sia in matematica che in filosofia.
Matematica e magia (…..persino stregoneria) dall’antichità ai giorni nostri
Cominciamo dai quadrati magici (vedi nelle voci): questi hanno la proprietà di dare lo
stesso numero (costante di magia) sommando in riga, in colonna o in diagonale. Ma vi
sono altri quadrati, come quello qui sopra, dotati di proprietà straordinarie, e per
questo denominato "ultramagici, per cui la somma magica si può ottenere in 86 modi
diversi, aggiungendo altri 70 modi “studiati”". Dicono che talvolta la magia, portata
151
all'estremo e volta al lato oscuro, degenera in magia nera, stregoneria, o culto del
demonio. Ecco che i matematici definiscono i quadrati ultramagici come quello di
Nasik come "diabolici" .
Un'altra particolarità dei quadrati diabolici, descritta da Martin Gardner (matematico,
divulgatore scientifico, illusionista statunitense), chiama in causa gli ipercubi (forme
geometriche regolari immerse in uno spazio di quattro dimensioni. Cosa c'entrano i
quadrati ultramagici con gli ipercubi? Se mettiamo in corrispondenza le 16 caselle di
un quadrato diabolico con i 16 vertici di un ipercubo a quattro dimensioni, si ottiene
una distribuzione di numeri tale per cui la somma dei quattro vertici di ogni faccia è
pari a 34.
 Il papiro di Rhind , detto anche papiro di Ahmes, (il primo è il nome
dell’egittologo –scopritore, il secondo il nome dello scriba che lo aveva
trascritto), è il più antico esempio di libro di testo di matematica; risalente al
1650 a.C. Contiene, tra l’altro, il concetto di frazione. Vi sono anche diversi
problemi aritmetici e algebrici, con la relativa soluzione.
 Lo ZERO : sembra una magia, un gioco voluto e ricercato ; per spiegane l’origine
(presunta, una delle tante), torniamo dalla Z alla A, alla prima voce del nostro
dizionario, l’abaco. Anticamente i primi abachi erano scritti sulla sabbia, anche i
Romani usavano una tecnica simile. Supponiamo di dover eseguire la
sottrazione 16 – 5, su un abaco disegnato per terra. Se facciamo un X per
intendere dieci, possiamo rappresentare (per terra) la sottrazione 16 – 5 così:
nella terza colonna, sono stati cancellati 5 segni, corrispondenti al numero da
sottrarre; nella quarta colonna, pur avendo eseguito la sottrazione, sono stati
lasciati o disegnati apposta 5 cerchietti vuoti, che ricordano il 5 che è stato
sottratto; nel secondo caso (quarta colonna), rimane la memoria dell’operazione
eseguita: li vedete gli zeri ??
152
X
X
X
 Curiosamente …… la prima parola del nostro dizionario è abaco e l’ultima
è zero .
153
BIBLIOGRAFIA
 Bruno D’Amore: ……”La Matematica e la sua didattica “ (2000 )
 Sebastiano Nicosia – “Le parole della matematica “ – ed. CEDAM
 Centro Ricerche Didattiche - Dipartimento di Matematica - Università di Roma
"La Sapienza”
FIGURE GEOMETRICHE E DEFINIZIONI - UN ITINERARIO GUIDATO PER L'INIZIO
DELLA SCUOLA SECONDARIA
 Freudenthal H., 1994 (traduzione italiana), Ripensando l’educazione
matematica, Editrice – ed. La Scuola
 Vinicio Villani, Cominciamo dal punto, Pitagora 2006, n. 12:
 La Scienza – La biblioteca di Repubblica (vol. 14): Numeri, figure, logica e
intelligenza artificiale – Istituto Geografico De Agostini ;
 Stella Baruk – Dizionario di matematica – Zanichelli
 Robert Kaplan – Zero: storia di una cifra – ed- Rizzoli
 Morris Kline – Storia del pensiero matematico – Biblioteca Einaudi
 Lucangeli – Mammarella : Psicologia della cognizione numerica – Ed- Franco
Angeli
Relativamente al problema della definizione degli oggetti matematici, si può vedere,
sul versante epistemologico:
- G. Peano, La definizione in matematica, Periodico di Matematiche,
IV , I, 1921, 175-189
- C. Bernardi, "La logica nella didattica: le definizioni", Nuova Secondaria,
V, 1 1987, 26-27.
Sul versante didattico:
- F. Furinghetti (a cura di) Definire, argomentare, dimostrare nel biennio e nel triennio,
Progetto Strategico CNR, Quaderno n. 13, 1992
- J. D. Godino, C. Batanero, Significato istituzionale e personale degli oggetti matematici,
Pitagora, Bologna, 1999
- C. Marchini, Le definizioni e le notazioni: un problema didattico, Quaderni
Dipartimento di Matematica, Università di Lecce, n. 1, 1992
- D. Paola, Le definizioni: dalla parte degli studenti, L’insegnamento della Matematica e
154
delle scienze integrate, 23 A-B, 6, 562-600
SITOGRAFIA
 A math dictionary for kids by Jenny Eather
 www.mathematicsdictionary.com
 www.mathisfun.com
 www.amathdictionaryforkids.com
 Mathematics Dictionary & Glossary for Students – www.itseducation.asia
 Paquito.amposta.free.fr - Dictionnaire de mathématiques
 www.chihapauradellamatematica.org
 http://macosa.unige/om/

155
INDICE
Premessa
2
Come studiare una definizione
3
Che cosa si intende per “immagine mentale “
5
Oggetto -Concetto
6
Definizioni e suggerimenti epr il recupero delle immagini del
modello
Dizionario A, B, C…….
8
Curiosità
150
Bibliografia
154
156
9