Teoria Inform e Segnali

TELECOMUNICAZIONI (TLC)
Tele (lontano)
Comunicare (inviare informazioni)
Comunicare a distanza
CENNI DI TEORIA (MATEMATICA) DELL’INFORMAZIONE
La Teoria (matematica) dell’informazione è stata sviluppata da Claude Shannon (e altri) verso
il 1940 ed è applicabile alle comunicazioni numeriche. Vediamo alcune definizioni:
Informazione = è ciò che elimina incertezza
Messaggio = supporto dell’informazione. Ad es. questa pagina è un (lungo) messaggio in cui vi
sono informazioni su argomenti che dovrete studiare. Anche una fotografia o un filmato o un
brano audio sono messaggi, in quanto in essi si trova informazione!! E gli esempi possono
continuare.
Viene trasmessa tanta più informazione quanto più l'utilizzatore è "sorpreso" dal messaggio
che è stato trasmesso. Dunque, la trasmissione dell'informazione implica un certo grado di
incertezza da parte di chi riceve; chi trasmette invece non ha incertezze, se no, che cosa
trasmetterebbe?
L’informazione contenuta in un messaggio è dunque tanto maggiore quanto più piccola è la
probabilità dell’evento descritto in quel messaggio.
Ad es. se il messaggio è: “Il 22 Agosto ci sarà il sole” la quantità di informazione contenuta è
piccola perché è molto probabile che il 22 di Agosto splenda il sole!!!
Invece il messaggio: “Una bomba termonucleare ha prosciugato l’Oceano Pacifico” contiene
molta informazione perché la probabilità che questo capiti è estremamente piccola… PER
FORTUNA!!!
Dunque la quantità di Informazione si può misurare- L’unità di misura più usata è il “bit” (ma
vi è anche il “nat” e l’”hartley” che NON useremo però) .
BIT = Quantità di Informazione contenuta nel verificarsi di un
evento tra 2 possibili ed ugualmente probabili.
Attenzione: il bit di informazione è un’altra cosa rispetto al “bit” usato in elettronica digitale,
anche se c’è un legame tra i due. In particolare il “bit” di informazione è in genere un numero
reale (con la virgola cioè) mentre il “bit digitale” è un numero intero.
1
Ad es. il messaggio: “ho lanciato una moneta ed è uscito Testa” contiene 1 bit di informazione
(gli eventi sono 2: o esce Testa o Croce.. e suppongo la moneta NON truccata! (Se invece è
truccata, la quantità di informazione è più piccola o più grande di 1 bit ??)
P= probabilità che si verifichi l’ evento di cui vogliamo misurare la quantità di informazione. E’
un numero compreso SEMPRE tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo)
Una definizione di “probabilità” è la seguente: (-> Approfondire in Matematica)
P
ncasi _ in _ cui _ si _ verifica _ l _ evento P = 0; evento impossibile
ncasi _ tot _ che _ possono _ avvenire P = 1; evento certo
Non è l’unica e nemmeno la migliore; nella pratica infatti NON sappiamo quanti sono i “casi”
finché non abbiamo fatto degli esperimenti e determinato la “frequenza statistica” (vedi
dopo) ma per quel poco che facciamo ci va più che bene.
Definizione di Quantità di informazione I
I  log 2
P = 0; evento impossibile I = ∞
P = 1; evento certo
I=0
1
  log 2 P
P
log2 X = logaritmo in base 2 di X. Poiché sulla calcolatrice NON c’è il tasto log 2 ma c’è quello
di log10 (spesso indicato con Log) allora:
log2 X = 3,32 log10 X (circa)
Il perché chiederlo al prof. di matematica !!!
Esempi:
Calcolare la quantità di informazione del messaggio: “lancio una monete ed esce T”
EVENTO = lancio di una moneta
T = testa
C = croce
Esce T? P = 1/2 = 0.5 = 50%
I = lg2 (1/0,5) = lg2 2 = 3,32 log10 2 = 1 bit
Calcolare la quantità di informazione del messaggio: “lancio due monete ed esce TT”.
Conviene (quando si può) disegnare l’insieme di tutti i casi possibili, chiamato in statistica
Universo. Quindi contare i casi favorevoli (1, cioè TT) e quelli totali, che sono 4
UNIVERSO
I = log2(1/0,25) = lg2 4 = 3,32 log10 4 = 2 bit
1° Moneta
2°
Moneta
TT
CT
TC
CC
Provare a calcolare I per “lancio 2 monete ed esce T C o C T”
Provare a calcolare I per “lancio n monete ed escono tutti T ” per n = 3, 4, 5
2
ESERCIZI da fare a casa
1) Lancio 1 dado, qual è I che esca il numero 4?
2) Lancio 2 dadi, I che la somma dei numeri sia ≥ 7 ( maggiore o uguale a 7)
3) Lancio 2 dadi, I che la somma dei numeri sia ≤ 6 (minore o uguale a 6)
4) Lancio una moneta truccata per cui la probabilità che esca T è doppia di quella che esca C.
Qual è I nel caso esca T? E che esca C?
Suggerimento: PT, PC = probabilità che esca T o C è l’evento certo, la cui probabilità = 1, quindi
PT + PC = 1; PT = 2PC dunque 3PC = 1 e quindi PC = 1/3 e PT = 1 - PC = 2/3
5) Lancio 2 dadi, qual è l’I che esca un numero ≥ 8? ( maggiore o uguale a 8)
1° dado
UNIVERSO
2° dado
P
ncasi _ Favorevoli
ncasi _ Possibili
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Continuare ora da soli….
Per il momento ci fermiamo qui visto che NON siamo ingegneri e NON progettiamo …
Torneremo alla Teoria quando vedremo la codifica ed entreremo più nei dettagli delle
Trasmissioni Digitali.
3
CENNI DI TEORIA SEI SEGNALI
Nelle telecomunicazioni l’Informazione, contenuta nel messaggio, deve poi essere trasportata
a distanza. Questo lo si fa tramite un segnale.
Segnale = grandezza fisica (tensione, corrente, onda elettromagnetica, ma anche impulso
luminoso o pressione acustica ecc.) nelle cui variazioni rispetto al tempo è “impressa”
l’informazione. Il messaggio deve quindi essere convertito in un segnale per trasportare a
distanza l’informazione. Possiamo dunque dire che un segnale trasporta l’informazione
Attenzione: affinché una grandezza sia un segnale deve variare al variare del tempo (perché
l’informazione prevede una variazione), ma una grandezza che varia NON è detto che sia un
segnale !!
Ad Es. La tensione fornita dall’ENEL è sinusoidale e quindi varia MA NON E’ un segnale (…
potrebbe però esserlo in due casi.. Quali sono ?)
Il segnale che giunge all'utilizzatore è di fatto sconosciuto finché non viene completamente
ricevuto; se così non fosse, non ci sarebbe bisogno del sistema di comunicazione, e non si
avrebbe scambio di informazione!
Poiché ci interessiamo di comunicazioni elettriche il segnale:
Una tensione
Per noi è
Una corrente
Una Intensità di Campo (onda elettromagnetica /luce)
Segnali determinati e indeterminati (o probabilistici o stocastici)
Vediamo di seguito due grandezze fisiche che variano. Sulle ascisse (variabile indipendente)
mettiamo il tempo, sulle ordinate (variabile dipendente) mettiamo le ampiezze (tensione,
corrente, ecc.). Un tale grafico in elettronica si chiama forma d’onda (spesso abbreviato con
“onda” ma NON è un’onda!) o fdo e lo strumento che lo visualizza e consente di misurare è
l’Oscilloscopio.
Il primo ha un andamento casuale… E’ imprevedibile e dunque chi riceve NON può conoscerlo
prima di averlo ricevuto. Dunque può davvero trasportare informazione.
Tali segnali li chiamiamo Segnali indeterminati, o probabilistici, o stocastici.
Li possiamo conoscere solo a livello statistico (-> Approfondire in Matematica).
Due tra le molte grandezze statistiche sono il valore medio
(che in elettronica chiamiamo valore efficace)
μ
e la deviazione standard
σ
4
15
10
Ampiezze
5
0
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47
tempo
-5
-10
-15
μ = Valore Medio (AV) = 0,660
σ = Valore Efficace (RMS) =
Il secondo, qui sotto, ha
generato dalla formula
“costruire” quando vuole,
se lo chiameremo segnale
6,888
invece un andamento molto regolare.. troppo regolare! Ed infatti è
10*sen(2*π*0,1 + 1). Ma se c’è una formula chi riceve lo può
e dunque è inutile trasmetterlo, pertanto NON è un segnale, anche
deterministico. Per questi NON serve la statistica!
15
10
Ampiezze
5
tempo
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47
-5
-10
-15
Valore Medio (AV) = 0,0
Valore Efficace (RMS) = 7,071
Periodo T = 10 Frequenza = 0,1
Vediamo che il grafico si ripete ogni 10 s. Il tempo di ripetizione si chiama Periodo T [s].
Dunque è un segnale Periodico.
In TLC siamo però più interessati alla frequenza f:
frequenza = 1/periodo ; f = 1/ T misurata in [hertz] o [Hz]
5
In generale la frequenza ci dice quante “cose” (nel nostro caso i “periodi”) avvengono in 1
secondo.
Un’altra grandezza utile quando si hanno segnali periodici sinusoidali (sen, cos) è la pulsazione
ω = 2 * π * f = 2 * π / T misurata in [radianti / secondi] = [rad/s]
Gli ingegneri delle Telecomunicazioni hanno le conoscenze matematiche per trattare i segnali
indeterministici, noi NO! Dunque nello studio useremo solo quelli deterministici che sono
“l’ombra” di quelli “veri”. Ma meglio un’ombra che niente!!!
Come sono stati ottenuti i due grafici qui sopra? Tramite il foglio di calcolo “segnali.xls” che
trovate nel sito.
1) Per il segnale deterministico ho usato la formula 10*sen(2*π*0,1*t + 1) che è quella
generale che esprime un “segnale” sinusoidale: A*sen(ω*t + φo). Per confronto si ricava:



A = ampiezza o valore massimo o valore di picco = 10 [volt o ampere o…]
ω = 2*π*f = pulsazione. Da cui ricaviamo che ω =0,628 rad/s; f =0,1 Hz; T =10 s
φo = fase iniziale = 1 rad (nella formula gli angoli devono essere in radianti)
Per chi non lo sapesse in un angolo giro (360°) ci stanno 2π radianti, per cui 1 rad = 57°
(circa). Per passare da gradi a rad e viceversa si usano le formulette:
rad = (π/180) * gradi
e
gradi = (180/π) * radianti
(rifare a casa questi calcoli e verificare se tornano -> Poi Approfondire in Matematica).
Le sinusoidi sono importantissime in elettronica e in TLC perché hanno delle proprietà uniche
e che “scopriremo” nel prosieguo del corso… dunque vanno comprese e studiate bene!!!
2) Per il segnale indeterministico ho usato la formula -20*CASUALE() +10 che genera un
numero casuale tra -10 e 10. In generale casuale() da un numero tra 0 e 1. Per far generare
numeri casuali tra “min” e “max” si deve usare la formula
- (max – min) * casuale() + max.
Attenzione che benché si usi una formula, il segnale è indeterministico, in quanto ogni volta la
formula da un numero diverso e (quasi) imprevedibile. Il valore medio μ = 0,660 dovrebbe
essere = 0. Infatti se i numeri sono a caso tanti ce ne sono di positivi quanti di negativi e la
media dovrebbe essere = 0. (Perché NON lo è?).
Provare a effettuare molte ripetizioni (premere il tasto F9) e vedere come cambiano il
grafico, μ e σ
Un ultima osservazione: Nel calcolo del valore efficace per la sinusoide si usa la formuletta
(che vedremo meglio più avanti): valore efficace = A / √2 = 10/√2= 7,071. Ma è possibile,
con buona approssimazione, usare anche la statistica, in questo caso la deviazione standard σ
6
= DEV.ST(C3:C50) = 7,265, con un errore del solo 2% nell’esempio. Stessa cosa sul valore
medio statistico μ = MEDIA(C3:C54) che ci da
-0,02 e che in teoria dev’essere = 0. Bene a sapersi, magari per qualche esercizio?,
ESERCIZI da fare a casa
1) Dato un angolo di 60°, 45°, 30° 10°, 1° calcolare l’equivalente in rad
2) Dato un angolo di π, (2/3)*π, (1/2)*π, (1/3)*π radianti, calcolare l’equivalente in gradi
3) Realizzare un foglio di calcolo di una sinusoide di ampiezza A = 5, Periodo T=2 e fase
iniziale -2 rad. Si vogliono visualizzare N° 3 periodi con 10 valori a periodo. Calcolare la
frequenza f. Scrivere l’espressione matematica e Valutare il valor medio ed efficace
4) Realizzare un foglio di calcolo di una sinusoide di ampiezza A = 10, frequenza f=3 e fase
iniziale 30°. Si vogliono visualizzare N° 2 periodi con 20 valori a periodo. Calcolare il
periodo T. Scrivere l’espressione matematica e Valutare il valor medio ed efficace
5) Dato 15*sen(t + 12) Indicare quanto valgono A; f; T; ω; φo (in gradi e rad)
6) Realizzare un foglio di calcolo di un segnale indeterministico (usare 60 valori). Effettuare
il grafico e provare la simulazione per un valore minimo del valor medio statistico μ.
Quanto vale in corrispondenza il valor efficace “statistico” σ ?
Segnali Analogici (Continui in matem) e Numerici (Discreti in matem)
NELLE AMPIEZZE
Un segnale è Analogico se può assumere infiniti valori tutti significativi. Le ampiezze fanno
cioè parte dei numeri reali R. Se anche uno solo di quei valori cambia, cambia pure
l’informazione trasportata. In altre parole se la forma cambia, cambia anche l’informazione, e
poiché è virtualmente impossibile mantenere la stessa fdo nella trasmissione, si capisce che vi
sarà sempre qualche modifica non voluta di informazione.
Un Segnale è Numerico (o Digitale o Quantizzato) se i valori significativi che assume in
opportuni istanti è un numero finito (2; 3; 4; 5; ….). Le ampiezze sono in corrispondenza coi
numeri naturali N. L’informazione si trova solo in quei valori, e quindi segnali diversi, ma
coincidenti in quei particolari valori, sono equivalenti per quanto riguarda l’informazione
trasportata. In altre parole la forma del segnale NON ha importanza, purché assuma i valori
“giusti” in certi particolari istanti di tempo (istanti di osservazione o di lettura). Quindi è
possibile trasmettere l’informazione senza alterazioni (almeno in teoria).
Per motivi tecnologici è bene che il passaggio da un livello all’altro avvenga “quasi”
istantaneamente, e quindi la fdo risulti “squadrata”, proprio come si trova nei libri, anche se
nella realtà le cose sono un po’ diverse.
7
Nell’Es. che segue (foglio: Segnali.xls) i valori significativi sono 0; 2; 4; 6 (4 livelli) e gli istanti
di osservazione sono 2; 5; 8; 11; 14 ecc. In tali istanti il valore dei due segnali è lo stesso e
quindi, pur avendo fdo diverse, questi sono equivalenti.
Segnali Numerici Equivalenti
7
6
5
Ampiezze
4
3
2
1
0
2
1
4
3
6
5
8
7
9
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
tempo
Riconoscere molti livelli è una operazione difficile da parte del RX, quindi molto spesso i livelli
sono solo due: H (ampiezza maggiore) ed L (ampiezza minore). Se il numero di valori è 2 il
segnale è detto Binario.
Vediamo un esempio di un segnale Binario ideale e reale Poiché il RX legge i valori al centro di
ciascun bit, questi sono equivalenti.
H
Segnale Binario Ideale
Segnale Binario Reale
L
Istanti di lettura
Segnali Analogici Discreti nei TEMPI (Campionati)
Prendete un segnale Analogico e supponete di essere al buio. Ogni tanto si accende un flash,
come nelle discoteche quando viene attivata la luce stroboscopica. Cosa vedete? Vedete dei
8
“pezzi” (si dice… dei “campioni”) del segnale. Abbiamo reso il tempo discreto, ossia il tempo
varia ora a “scatti”… Vediamo un esempio:
In color rosso il segnale analogico, in nero il segnale campionato (discreto nei tempi).
L’operazione di campionamento è l’importantissima prima operazione da fare quando si vuole
convertire un segnale analogico in uno digitale secondo quanto stabilisce il:
Teorema del Campionamento o Teorema di Shannon sul campionamento
e la vedremo in seguito. Da notare che il segnale campionato è ancora Analogico.
Segnali Analogici Discreti nei TEMPI e nelle Ampiezze (Campionati e Quantizzati)
Dopo il campionamento segue la quantizzazione, che rende il segnale numerico.. E’ alla base
della moderna Telefonia e di tutte le applicazioni delle comunicazioni moderne.. Compresa la
TV digitale, CD musicali, gli MP3 ecc… Avremo modo di sviluppare l’argomento in seguito. Vale
l’esempio sotto (file segnale.xls)
Segnale Discreto nei Tempi e nelle
Ampiezze
8
6
Ampiezza 4
2
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
Tempo
SEGNALI MATEMATICI (sono Segnali che si NON si trovano nella Realtà)
9
Sono inventati di sana pianta dai fisici matematici. Benché non esistano, sono molto utili nelle
operazioni matematiche (tanto per cambiare…).
Il più folle di tutti è la “delta (δ)di Dirac”. Non è nemmeno una funzione, bensì una
“distribuzione” !! Vediamo la figura:
10
Delta di Dirac: δ(t)
6
Tutti gli impulsi
hanno
y1
AREA = 1
y2
5
y3
4
y4
3
y5
2
y6
9
A
m
p
i
e
z
z
a
8
7
1
y7
-6
-4,7
-4,2
-3,7
-3,2
-2,7
-2,2
-1,7
-1,2
-0,7
-0,2
0,3
0,8
1,3
1,8
2,3
2,8
3,3
3,8
4,3
4,8
0
tempo
Prendiamo un impulso rettangolare y1(t) che si estende (ha “supporto”) da t=-5 a t=5 ed ha
ampiezza di 1/10. La sua area = base x altezza = (5 – (-5)) x 1/10 = 10 x 1/10 = 1. Ora
riduciamo il suo “supporto” da – 4 a 4 (8 in totale) ma aumentiamo la sua ampiezza a 1/8.
Otteniamo y2(t). La sua area vale 8 x 1/ 8 = 1. Procediamo così con y3; y4; ecc. fino a che il
supporto tende a 0… Per avere Area = 1 la sua ampiezza deve tendere a ∞. Abbiamo ottenuto
la δ; ossia un impulso che dura nulla, che ha ampiezza ∞ ma AREA=1.
Se chiamo Δt la “base e y(t) = 1 / Δt la funzione si ha:
Il bello è che si trova lo stesso risultato anche se al posto degli impulsi si usano funzioni
diverse, purché mantengano la stessa area quando il supporto diminuisce!
Un tale “segnale” non ha senso fisico, ma ha alcune proprietà divertenti:
 f(t) δ(t) = f(0) δ(t)
 ∫δ(t) dt = 1
 ∫f(t) δ(t) dt = f(0)
Poiché NON si può tracciare il suo grafico, la si rappresenta con una
 con a fianco il valore
dell’area. Ad Es. 10  significa una δ con area 10
La troveremo quando si studierà il “campionamento”. Per approfondimenti vedi ad es:
http://www.ilmondodelletelecomunicazioni.it/argomento.php?id_lezione=30&id_capitolo=352
Altri segnali sono il “gradino” U (t) e l’impulso rettangolare di durata T ed altri…
10
Gradino U(t) e Impulso
1,2
1
0,8
0,6
Gradino
0,4
Impulso
0,2
0
-6 -3 0
3
6
9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
tempo
Il gradino (conosciuto anche come funzione di Heaviside, dal nome di chi l’ha introdotto) è
sempre nullo fino a t=0 e poi vale sempre 1. Cioè:
In t=0 vi è una discontinuità (un “salto” cioè), in quanto un segnale reale NON può essere
contemporaneamente a 0 e ad 1. La natura NON fa “tratti” verticali e nemmeno spigoli come
a volte si vede nei libri: per questo è un segnale “matematico” !! A volte invece si definisce
U(t=0) = ½ che il valore a cui “tende” la serie di Fourier
L’impulso poi è la differenza tra il gradino e un altro gradino ritardato di un tempo T. Valgono
anche per lui le considerazioni fatte per U(t).
Segnali che si trovano nella Realtà: FINALMENTE !!!
 Segnale Audio Analogico: ad es. all’ uscita da un microfono, da una radiolina, dalle
cuffiette di un lettore MP3 ecc..
 Segnale Video Analogico: ad es. all’uscita di una videocamera di qualche anno fa (ora
forniscono un segnale numerico in formato, ad es. MP4, WebM, FLV, 3GP, H264 ecc.)
 Segnale Dati: ad es. all’uscita di una macchina numerica (calcolatore, Bancomat ecc.)
Segnale Video Analogico (fdo)
11
Segnale Audio Analogico
(fdo) della parola “Prova”
ripetuta, registrato con
Audacity
Costellazione (sopra) e Spettro di
Ampiezza (sotto) di un segnale
Video Digitale da Satellite (o DVBS) modulato 8PSK
Vedremo in seguito che cosa sono
questi concetti
Oggigiorno però si va verso l’integrazione dei dati con i servizi o ISD (Integrated Service and
Data), in cui il segnale dati trasporta anche servizi Audio, Radio, Telefonici e TV.
Vantaggi del Segnale (e quindi dei sistemi) Digitali Binari
 possibilità di usare circuiteria digitale a basso costo;
 possibilità di cifratura dei messaggi per preservare privatezza o segretezza;
 possibilità di trasmettere segnali con grande dinamica (rapporto tra il valore massimo e
minimo del segnale stesso)
12
 unificazione del formato di dati, voce e video che vengono trasmessi attraverso un
unico sistema di trasmissione comune. Ad es. si può telefonare via Internet tramite
Skype e non solo (tecnologia VoIP = Voice over IP)
 assenza dell'effetto di accumulo del rumore in comunicazioni su lunghe distanze
con ripetitori intermedi;
 immunità ai disturbi nella rilevazione dei dati trasmessi;
 possibilità di diminuire gli errori di trasmissione dovuti ai disturbi con l'uso di
opportune codifiche.
D'altro canto, le comunicazioni digitali hanno anche i seguenti svantaggi:
 in generale, maggiore richiesta di banda (vediamo dopo cosa significa);
 necessità della sincronizzazione dei segnali (per arrivare “giusti” negli istanti di
lettura).
Naturalmente, i vantaggi sono così importanti da più che controbilanciare gli svantaggi, e
ciò giustifica la massiccia adozione delle tecniche digitali nella trasmissione
dell'informazione cui si è assistito negli ultimi anni.
TRASFORMATA DI FOURIER
Supponiamo di guardare l’edificio della nostra scuola dalla porta principale: vedremo le
bandiere, una porta e il nome dell’Istituto. Ora spostiamoci verso l’ingresso delle auto;
vedremo un cancello metallico ed un cortile. Vediamo immagini diverse, ma sappiamo che la
scuola è sempre la stessa. Abbiamo solo cambiato prospettiva.
Perché lo facciamo? Perché a seconda della prospettiva si vedono meglio certi dettagli, si
scoprono cose che altrimenti resterebbero sconosciute, perché ci fa comodo…
Lo stesso lo possiamo fare con i segnali. Li possiamo vedere nel dominio del tempo, ma
cambiando prospettiva (i matematici direbbero.. cambiando “base” o dominio) li possiamo
vedere nel dominio della frequenza. Il segnale invece NON cambia!!! Ricordare che il “dominio”
è la variabile indipendente; quella che si mette sull’asse orizzontale!!!
Per fare questo cambiamento usiamo una operazione matematica chiamata “trasformazione
integrale” che da come risultato la “trasformata”.
Di trasformazioni ve ne sono parecchie: di Laplace, di Hilbert, Z, Coseno, Fourier ecc. Ognuna
ha particolari vantaggi e svantaggi, ma per le TLC quella che va meglio è quella di Fourier. Di
fatto è una estensione del Teorema di Fourier, valida sia per segnali periodici che NON
periodici, dove il teorema NON ci è più utile.
Ora “sparo” un po’ di matematica. Non fatevi spaventare da queste “formule”: NON le
useremo, ma vedremo solo alcuni (pochi) risultati trovati da altri.
Il segno ∫ che compare si chiama “integrale” e lo studierete (si spera fervidamente!!!) nel 2°
Quadrimestre in matematica… (Numeri reali e complessi ripassateli con l’insegnante di
Matematica !!!!)
13
DEFINIZIONI
Chiamiamo, ad es., x(t) il nostro segnale. F[ ] la trasformazione di Fourier e X(f) il segnale
trasformato (o trasformata). La definizione è la seguente:
Matematicamente la Trasformata di Fourier fa passare da t a f (entrambi numeri reali R). Il
segnale x a sua volta passa da reale (R) a X numero complesso (C).
E se si vuole “tornare indietro”, ossia ri-passare da “f” a “t” ? Basta effettuare la
trasformazione inversa, detta anche “anti trasformata” ed indicata con F-1[ ]
NB: F e F-1 NON sempre si possono calcolare, cioè non sempre esistono. Per quanto ci
riguarda però, nei casi pratici, esistono di sicuro… Per la vostra felicità !!!
Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali, che possiamo scrivere come parte
reale e parte immaginaria: X = RE[X] + j IM[X] , ma anche, e sarà quella usata da noi, come
Modulo e Fase (o argomento): X = |X| arg(X).
arg(X) è un angolo, misurato in gradi o radianti. Se arg(X) = 0 allora X = |X| è un numero reale
positivo. Se invece arg(X) = (+/-) 180° allora X = - |X| è un numero reale negativo. (Se arg(X)
= (+/-) 90° che tipo di numero viene fuori per |X| ??)
Come per il Teorema di Fourier, si può tracciare il grafico di |X| rispetto alla frequenza. Tale
grafico si chiama Spettro delle Ampiezze; mentre quello di arg(X) si chiama Spettro delle
Fasi.
Benché utile, lo spettro delle Fasi è poco usato. Invece quello delle Ampiezze è di estrema
importanza nelle TLC. Vi è anche un (costosissimo e complicato) strumento per visualizzarlo e
misuralo: L’ANALIZZATORE DI SPETTRO.
La F[ ] di suo da lo spettro bilatero (f positive e negative), mentre col Teorema di Fourier di
norma calcoliamo lo spettro unilatero (f solo positive e nulle). Benché le f<0 non abbiano
significato fisico, lo spettro bilatero semplifica i calcoli e quindi è molto usato.
Come si passa da uno all’altro? Tramite una proprietà della F[] che ci dice: se x(t) è un numero
reale (come in realtà è), allora:
 il modulo ha simmetria “pari” rispetto alla frequenza: X(-f) = X(f). Cioè lo spettro
bilatero si ottiene da quello unilatero ribaltandolo a sinistra usando come “cerniera”
l’asse a f=0, e dimezzando le ampiezze (in tal modo la potenza NON cambia).
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 La fase ha invece a simmetria “dispari” rispetto a f: arg (X(-f))=-arg(X(f)). Cioè lo
spettro bilatero si ottiene da quello unilatero prima ribaltandolo a sinistra usando come
“cerniera” l’asse a f=0, e poi ribaltandolo ancora ma usando come “cerniera” l’asse
orizzontale.
Un esempio val più di mille parole:
10
9
A
m
p
i
e
z
z
a
8
Spettro Bilatero
7
Spettro Unilatero
6
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
frequenza
4
5
50
40
Spettro Bilatero
30
Spettro Unilatero
20
F 10
a
0
s
e -10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-20
-30
-40
-50
frequenza
Molto spesso lo spettro delle fasi non viene indicato, sia perché l’Analizz. Di Spettro NON lo
fornisce e sia perché energia e potenza del segnale dipendono solo da quello delle ampiezze
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ALCUNE PROPRIETA
x(t)
X(f)
Linearità: k1 x1(t) + k2 x2(t)
k1 X1(f) + k2 X2(f)
Pari [ad es. cos(x)]
Dispari [ad es. sen(x)]
Periodico
A Righe / Campionato nel tempo
Limitato nel tempo (a supporto limitato)
Non limitato nel tempo
Variazioni brusche nel tempo
Area di x(t) = ∫x(t) dt --> valore AV
x(t=0)
Puramente Reale
Puramente Immaginaria
A Righe / Campionato nelle frequenze
Periodico
Non limitato nella frequenza
Limitato in frequenza (a supporto limitato)
Componenti ad alta frequenza
X(f=0)
Area di X(f) = ∫X(f) df
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Generico sistema di telecomunicazione (TLC)
Segnale non
elettrico
Sorgente di
informazione
Segnale elettrico
TRASMESSO sx(t)
Condizionamento:
(filtraggio, Amplific.
modulazione)
Trasduttore
DISTURBI
Ricevitore
(RX)
Condizionamento:
Amplific. Filtraggio,
De-modulazione
Trasmettitore
(TX)
Canale
Attuatore
Segnale elettrico
RICEVUTO sY(t)
Destinatario
dell’informazione
Segnale non
elettrico
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