Principesse e sillogismi di Anna Cerasoli

APPROFONDIAMO IL TEMA
Principesse e sillogismi
leggere
scrivere
di
L’APPARENZA
INGANNA
Anna Cerasoli
Un esempio di ragionamento logico è il sillogismo. Nel testo che qui
proponiamo, un nonno saggio e paziente, insegnante ormai in
pensione, con parole il più possibile semplici e con l’aiuto degli insiemi
matematici, spiega al nipotino Filo come funzionano i sillogismi.
parlare
TESTO NARRATIVO
livello di difficoltà
Anna Cerasoli
Dopo aver insegnato per trent’anni, si è dedicata alla scrittura di libri per ragazzi (ricordiamo, per esempio, I magnifici
dieci del 2001), in cui la matematica è presentata con continui riferimenti alla realtà.
ANDREA BARABINO NICOLETTA MARINI, Le pietre bianche © SEI, 2010
Insiemi
La teoria insiemistica consiste nello svolgere operazioni
matematiche senza numeri,
ma utilizzando lettere, che
rappresentano appunto degli
insiemi, ovvero gruppi di elementi che hanno qualcosa
in comune. Per esempio, se
voglio raffigurare gli insiemi
dei maschi e delle femmine
presenti in una classe, posso
utilizzare due cerchi, all’interno dei quali è racchiuso, rispettivamente, il gruppo dei
maschi e il gruppo delle femmine, contrassegnando ciascuno di essi con una lettera
maiuscola dell’alfabeto.
ll’ora della merenda, non c’è gioco che tenga: Filo e il nonno si
preparano gustosi spuntini “antichi”. Così li chiama il nonno,
per distinguerli dagli snack1 moderni “pieni di coloranti, conservanti e altre diavolerie chimiche”. Qualche volta, sperimentano
persino il forno, con teglie2 di focacce al rosmarino o biscotti di farina
integrale.
Oggi, dopo una sfida accanita3 al gioco dell’ubriaco, non avevano
molto tempo per sbizzarrirsi in leccornie4 fantasiose, perciò hanno approntato qualcosina di frugale5: su un bel vassoio c’erano quattro fette
di pane un po’ raffermo6, inumidite e condite con erbe aromatiche,
sale e abbondante olio extravergine di oliva.
A vederli mangiare sembravano due contadini medievali, dopo dieci
ore di fatica nei campi. Ma ad ascoltarli facevano venire in mente due
filosofi greci7, sotto un porticato corinzio8, con il mare di fronte, al
calar del sole: disquisivano9, infatti, nientemeno che di sillogismi.
– Nonno, ma allora gli insiemi e i sottoinsiemi sono importanti! –
stava dicendo Filo, col musetto unto, quando sono entrata in cucina.
– Alla fine, servono a tutto: pure a giocare!
– Hai ragione. Gli insiemi sono facili come un gioco, ma, lo dici anche
tu, sono importantissimi. Ci permettono di generalizzare le nostre conoscenze!
Ricordi quando ti parlai di come, col passare del tempo e la scoperta di nuovi problemi, i matematici si son trovati costretti a inventare sempre nuovi tipi di numeri? I naturali, i frazionari, gli irrazionali, i relativi… e poi, per generalizzare, hanno inventato l’uso
delle lettere, cioè l’algebra. Ebbene, con gli insiemi, il livello di generalizzazione cresce ancora di più. Tant’è che, quando si usano gli
insiemi, non si prendono in considerazione singoli numeri ma, appunto, insiemi di numeri o, addirittura, insiemi di elementi non numerici.
Ecco perché le regole che governano le operazioni tra insiemi vengono chiamate algebra astratta.
A
1 snack: in inglese “merenda”, “spuntino”.
2 teglie: recipienti da cucina con bordi bassi per cuocere in forno.
3 accanita: feroce.
4 leccornie: squisitezze.
5 frugale: semplice, modesto.
6 raffermo: duro, vecchio.
7 due filosofi greci: fanno venire in mente i filosofi mentre ragionano insieme nell’antica Grecia, dove la filosofia è nata.
8 porticato corinzio: quello corizio è un particolare stile architettonico caratterizzato da colonne la cui estremità superiore (capitello) è decorata con foglie di acanto, una pianta con foglie appuntite e spinose.
9 disquisivano: discutevano.
il pensiero logico
Filo seguiva il nonno con lo sguardo e, intanto, rosicchiava una crosta
di pane, rimasta più duretta del dovuto.
– Ascoltami bene, figliolo, voglio mostrarti un bell’esemplare di uso
degli insiemi – ha proseguito il nonno e nel mentre tamponava col tovagliolo l’unto sparso su buona parte del viso di Filo.
– Dobbiamo andare indietro nel tempo fino al 1770 e c’è di mezzo
niente di meno che una principessa10, a cui consegnarono una lettera,
inviatale da un certo Eulero11, insigne matematico. La lettera cominciava così: “Se Vostra Altezza vuol prestare un po’ d’attenzione a tutte
le forme di sillogismi che ho avuto l’onore di porgere innanzi ai Suoi
pregiatissimi occhi…”
– Alt! Piano, nonno, con calma, cosa diavolo sono questi sillogismi?
– Eh sì, è una parola molto strana! Beh, il sillogismo vien presto definito: è uno schema di ragionamento.
Ti faccio subito un esempio famoso, così capisci. Ah, un momento!
Innanzi tutto, devo premettere che Socrate era un filosofo, come Aristotele12, anche lui filosofo e primo studioso dei sillogismi.
Ascolta bene, e dimmi se sei d’accordo. Dunque:
“Tutti gli uomini sono mortali”
“Socrate è un uomo”
perciò “Socrate è mortale”
10 principessa: si tratta della principessa Johanna Charlotte di Anhalt-Dessau, nipote di Federico II il Grande, re
di Prussia.
11 Eulero: Leonhard Euler,
noto in Italia come Eulero, celebre matematico e fisico svizzero vissuto nel Settecento.
12 Socrate … Aristotele: filosofi greci rispettivamente
del V e del IV secolo a.C.
“Tutti i topi sono grigi”
“Il mio gatto non è un topo”
perciò “Il mio gatto non è grigio”
– Aspetta, aspetta, nonno, dammi il tempo di riflettere! Noi non abbiamo un gatto, però, se ce l’avessimo potrebbe benissimo esser grigio, pure se topo non è! Secondo me, questo… come si chiama… sì,
questo sillogismo, non funziona per niente!
– Giustissimo, Filo: non tutti i ragionamenti sono corretti.
Ecco perché il matematico Eulero ricevette l’incarico di chiarire alla
principessa quali fossero gli schemi di ragionamento corretti e quali
no… tutti abbiamo il dovere di ragionare bene ma, se ragionasse male
una principessa, sarebbe ancor più grave!
Così, Eulero le scrisse la famosa lettera e, nel tentativo di essere il più
chiaro possibile, pensò di usare il concetto di insieme. Non c’è molto
ANDREA BARABINO NICOLETTA MARINI, Le pietre bianche © SEI, 2010
Algebra
Il termine algebra, che indica il ramo della matematica
che studia il calcolo letterale e le equazioni algebriche,
deriva dall’arabo al-gabr, che
significa “riduzione”. Il termine “algebra”, insieme all’uso dei numeri cosiddetti
“arabi” (che, in realtà, sono
di origine indiana), venne
introdotto in Occidente nel
XIII secolo.
– Certo che sono d’accordo, nonno, per forza che è così!
– Hai detto proprio bene, caro: per forza. Infatti, c’è una forza interna
a questo ragionamento. Vedi, è come se le prime due proposizioni,
dette premesse, contenessero già nel loro interno l’ultima proposizione,
la conclusione, appunto. Perciò, il fatto che “Socrate è mortale” salta
fuori con la forza della verità.
Ora, dimmi se quest’altro schema di ragionamento ti convince:
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L’APPARENZA
INGANNA
da dire su questo concetto, perché tutti noi l’abbiamo già ben chiaro
nella testa. Aggiungo solo che, quando si parla di un insieme, non devono esserci dubbi su quali sono i suoi elementi.
Per rappresentare un insieme, Eulero pensò poi di racchiudere tutti i
suoi elementi in una circonferenza.
– Nonno, ma a noi, per rappresentare gli insiemi, Grazia13 ci fa usare
dei circoletti, pure un po’ storti, per giunta!
– Sì, sì, fa bene, caro mio. Infatti, molti anni dopo Eulero, un altro
matematico, l’inglese Venn14, utilizzò, per circondare gli elementi di
un insieme, linee chiuse di qualsiasi forma, proprio perché più comode. In ogni caso, oggi, le figure usate per rappresentare gli insiemi,
vengono chiamate diagrammi di Eulero-Venn, in onore di entrambi.
Ma torniamo ai sillogismi, Filo, e guarda come diventano chiari,
quando a spiegarli ci sono gli insiemi. Dammi la nostra lavagnetta.
MORTALI
UOMIN
I
•SOCRATE
“Tutti gli uomini sono mortali”
“Socrate è un uomo”
perciò “Socrate è mortale”
13 Grazia: la maestra di Filo.
14 Venn: John Venn, matematico inglese vissuto tra Ottocento e Novecento.
G
RIN
TO E
NT
E
SI
ARINI
LI M
MA CEI
MAMMIFERI
AN
I
CETA
ANDREA BARABINO NICOLETTA MARINI, Le pietre bianche © SEI, 2010
IANI
ITAL PIEMO
“Tutti i torinesi sono piemontesi”
“Tutti i piemontesi sono italiani”
perciò “Tutti i torinesi sono italiani”
“Alcuni mammiferi sono cetacei”
“Tutti i cetacei sono
animali marini”
perciò “Alcuni mammiferi sono
animali marini”
CANI
DALMA
I
ATT
TA
“Nessun cane è gatto”
“Tutti i dalmata sono cani”
perciò “Nessun dalmata è gatto”
Che ne pensi? Questi sono soltanto alcuni dei 19 sillogismi corretti.
Ti sembrano chiari, illustrati con gli insiemi?
– Nonno, hai proprio ragione, basta guardare le figure e si capisce
tutto. Ma pensa un po’ che bravo, questo Eulero! Forse li aveva già
15 repentino: improvviso.
16 con buona lena: con impegno.
17 Einstein: Albert Einstein,
Premio Nobel per la fisica nel
1921, citato spesso come esempio di genio.
18 scarni e miseri: malnutriti
e poveri.
spiegati ai suoi nipotini i
sillogismi, prima di
scrivere alla principessa, ecco perché
era tutto così chiaro!
Tu fai bene a spiegarle a me le cose,
nonno, così diventi
sempre più bravo e,
magari, prima o poi,
qualcuno ti chiede di spiegare la matematica alla figlia del presidente della
Repubblica… perché noi
italiani una principessa non
ce l’abbiamo, vero? – si è
chiesto Filo, colto da un dubbio repentino15; poi, correndo
dietro a nuovi pensieri, ha proseguito: – Nonno, certo che sarebbe
bello, se noi fossimo come i computer: per aggiornarne uno, basta inserire
un disco e trasferisci tutto il sapere da un
computer all’altro. Noi umani, invece, e
pure le principesse, abbiamo bisogno di un sacco di
tempo per imparare… e se ci bocciano a scuola, ce ne
vuole ancora di più!
– Hai ragione, Filo, imparare è una grande impresa… e a nessuno
viene risparmiata, perché il sapere, a differenza di altre ricchezze, non
può essere lasciato in eredità: anche una principessa deve mettersi a
studiare con buona lena16… ti dirò di più, persino la figlia di Einstein17! – ha concluso il nonno, con un sospirone.
– C’è da dire un’altra cosa, però – ha subito ripreso pieno di ottimismo. – È vero, la cultura nessuno può dartela in eredità, senza che tu
ti sforzi per apprendere, ma è anche vero che nessuno può togliertela,
una volta che ce l’hai. La cultura te la porti sempre dietro, ovunque tu
sia. Pensa ai poveri immigrati che arrivano, scarni e miseri18, da altri
Paesi; chi fra loro è colto, prima o poi, riuscirà a farsi valere e a trovare
un buon lavoro.
E poi, sai cos’ha di speciale il sapere? Succede che, a differenza di altre
ricchezze, anche se lo dividi con gli altri non diminuisce, anzi, aumenta! Quando insegni a qualcuno e lui prende un po’ della tua “ricchezza”, puoi star sicuro che qualcosina in cambio la ricevi sempre
anche tu, perché insegnando si impara… sapessi quante cose ho imparato dai miei allievi!
Eccolo qua, c’era da aspettarselo! Un pensiero ai suoi allievi non poteva mancare!
da A. Cerasoli, La sorpresa dei numeri, Sperling & Kupfer
ANDREA BARABINO NICOLETTA MARINI, Le pietre bianche © SEI, 2010
il pensiero logico
APPROFONDIAMO IL TEMA
L’APPARENZA
INGANNA
attività
ANDREA BARABINO NICOLETTA MARINI, Le pietre bianche © SEI, 2010
LEGGO E COMPRENDO
1 A che cosa servono, secondo Filo, gli insiemi e
i sottoinsiemi?
A fare qualunque gioco
A tutto, anche a giocare
A cucinare
A niente
2 Come spiega il nonno l’importanza che hanno gli
insiemi?
Permettono di ragionare più rapidamente
Permettono di fare più ragionamenti contemporaneamente
Permettono di conoscere cose generali
Permettono di generalizzare le nostre conoscenze
3 Che cosa differenzia l’algebra dall’aritmetica?
L’algebra utilizza le lettere
L’algebra è più difficile
L’algebra è relativa
L’algebra è stata inventata prima
4 Perché le regole che governano le operazioni tra
gli insiemi vengono chiamate algebra astratta ?
5 Come viene definito dal nonno il sillogismo?
6 In un sillogismo, quante sono le premesse e
quante le conclusioni?
COMPRENDO E ANALIZZO
7 Quando il nonno dice che c’è una “forze interna ” nel sillogismo, che cosa intende dire?
8 Se il sillogismo è impostato bene, com’è la conclusione?
Possibile, ma non sicura
Probabile, ma non necessaria
Necessaria e automatica
Incerta e casuale
9 Che consiglio dà il nonno a Filo, per controllare la correttezza dell’impostazione di un sillogismo?
10 Perché il sillogismo che riguarda i topi grigi non
funziona?
ORA SCRIVO IO
11 Analizza i “ragionamenti” seguenti e, completandoli opportunamente, indica quali sono
corretti e rappresentano davvero dei sillogismi.
A Tutti gli allievi della mia classe sono biondi. Marco è un allievo della mia classe. Perciò Marco ...........................................................................
B Tutti i miei amici maschi giocano a calcio.
Martina è una mia amica. Perciò .........................
C Tutti i marinai amano navigare. Roberto è
un marinaio. Perciò Roberto ..........................................
D Molti animali dormono di notte. Il barbagianni
è un animale. Perciò il barbagianni ...........................
E Chi dorme non piglia pesci. Io ho dormito.
Perciò io .......................................................................................
LESSICO LESSICO LESSICO LESSICO LESSICO LESSICO
Un mondo di parole
12 Spiega il significato delle seguenti espressioni.
• Non c’è gioco che tenga .................................................
• Pieni di altre [...] diavolerie chimiche ....................
.............................................................................................................
• Si son trovati costretti a inventare sempre nuovi tipi di numeri ................................................................
• Crosta di pane rimasta più duretta del dovuto ......................................................................................................
• Cosa diavolo sono questi sillogismi .....................
..............................................................................................................
13 Individua nel testo il punto in cui si dice che il non-
no “tamponava col tovagliolo l’unto sparso su buona parte del viso di Filo”.
• Che cosa significa qui il verbo “tamponare”?
• Che cosa significa, invece, “tamponare un’auto”?
Ad alta voce
14 Nella parte conclusiva del testo, il nonno spiega per-
ché è importante studiare. Esponi quali sono le sue
considerazioni e poi qual è la tua opinione in proposito.