ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a1,1x1

ESERCIZI SULLE MATRICI
Consideriamo il sistema lineare

a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1


 a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2
..

.


am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm
di m equazioni in n incognite che ha

a1,1
..

A=
.
...
..
.
am,1 . . .

a1,n
.. 
.
am,n
(matrice m × n) come matrice di coefficienti e
 
b1
~b =  ... 
bm
come vettore dei termini noti.
Per compattezza tale sistema si indica a volte come A~x = ~b dove
 
x1
.. 

~x =
.
xn
sono le incognite.
Se si pensa ad un sistema di una equazione in una incognita a1,1 x1 = b1 allora
A = a1,1 è un numero. Ci sono tre possibilità:
1. Se a1,1 6= 0 c’è sempre una ed una sola soluzione x1 = a1,1 /b1 .
2. Se a1,1 = 0 e b1 6= 0 non ci sono soluzioni.
3. Se a1,1 = 0 e b1 = 0 ci sono infinite soluzioni.
Nel caso di sistemi m × n si possono verificare di nuovo queste tre possibilità. Per
discuterle diamo alcune definizioni:
Definizione 1 (Sottomatrici). Da una matrice A si possono ottenere matrici piú piccole eliminando alcune righe e colonne. Per esempio si indica con Mi,j la matrice
ottenuta cancellando l’i’ma riga e la j’ma colonna.
Definizione 2 (Determinante). Per le matrici quadrate, cioè con n = m, si definisce
ricorsivamente il determinante.
1. Per una matrice 1 × 1, A = a1,1 , si pone det(A) = a1,1 .
1
2
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2. Per una matrice A n × n si sceglie una qualsiasi riga , supponiamo che sia la
i’ma:
det(A) = (−1)i+1 ai,1 det(Mi,1 )−ai,2 det(Mi,2 )+ai,3 det(Mi,3 )−· · ·+(−1)n−1 ai,n det(Mi,n )
Dove Mi,j è la matrice che si ottiene da A cancellando la i’ma riga e la j’ma colonna.
Si noti che la somma è a segni alterni e parte con il + se i + 1 è pari cioè se i è
dispari (se i è pari la somma parte con il meno).
Lo stesso risultato si ottiene scegliendo una qualsiasi colonna, supponiamo che sia la
j’ma:
j+1
n−1
det(A) = (−1)
a1,j det(M1,j )−a2,j det(M2,j )+a3,j det(M3,j )−· · ·+(−1) an,j det(Mn,j )
Per una matrice 2 × 2 si ha:
a1,1 a1,2
A=
,
a2,1 a2,2
det(A) = a1,1 a2,2 − a1,2 a2,1 .
Per esempio data la matrice 3 × 3


1 2 −1
A =  2 −1 3 
0 1
2
si ha usando la prima riga
2 −1
2 3
−1 3
+ (−1) · det
− 2 · det
det(A) = 1 · det
0 1
0 2
1 2
si ottiene lo stesso risultato usando la seconda colonna:
2 3
1 −1
1 −1
det(A) = −2 · det
+ (−1) · det
− 1 · det
0 2
0 2
2 3
Definizione 3 (rango). Data una matrice m × n consideriamone le sottomatrici quadrate ottenute cancellando alcune righe e colonne. Si dice che A ha rango r se sono
verificate le seguenti due condizioni:
1. esiste una sottomatrice r × r il cui determinante è diverso da zero.
2. tutte le sottomatrici r + 1 × r + 1 hanno determinante uguale a zero.
Puo’ essere utile il seguente Teorema degli orlati
Teorema 1. Data una matrice A tale che:
1. esiste una sottomatrice r × r il cui determinante è diverso da zero.
2. le sottomatrici r + 1 × r + 1 ottenute aggiungendo una riga ed una colonna alla
matrice r × r del punto 1. hanno tutte determinante uguale a zero.
Allora A ha rango r.
Notare che il teorema permette di calcolare meno determinanti r + 1 × r + 1.
Il rango è anche legato al concetto di vettori linearmente indipendenti.
Un vettore colonna di dimensione n è una lista di n numeri (le sue componenti)
messi in colonna. Lo stesso vale per un vettore riga di dimensione n. Per esempio i
punti nel piano cartesiano sono rappresentati come vettori riga di dimensione 2.
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I vettori colonna della stessa dimensione si possono sommare tra di loro sommandone
le componenti:

v1
 v2 

~v = 
 ...  ,


w1
 w2 

w
~ =
 ...  ,

vm
allo stesso modo i vettori colonna si

v1
 v2
~v = 
 ...

v1 + w1
 v2 + w2 

~v + w
~ =
..


.

vm + wm
wm
possono moltiplicare per un numero α ∈ R:



αv1

 αv 
 , α~v =  . 2  .

 .. 
vm
αvm
Naturalmente la stessa cosa si puo’ fare con le righe.
Una somma di vettori
α1~v1 + α2~v2 + . . . αn~vn ,
dove almeno uno degli αi è diverso da zero, si dice una combinazione lineare dei vettori.
Definizione 4 (indipendenza lineare). I vettori ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn si dicono linearmente
indipendenti se non esiste nessuna loro combinazione lineare che dia il vettore nullo.
Teorema 2. Data una matrice A, consideriamo i vettori colonna dati dalle colonne
di A. Il rango di A è pari al massimo numero di colonne linearmente indipendenti. Equivalentemente il rango di A è pari al massimo numero di righe linearmente
indipendenti.
notare che questo puo’ servire anche per capire se dei vettori sono linearmente indipendenti: si considera la matrice che ha come colonne i vettori e se ne calcola il
rango.
Per esempio i tre vettori:

 
 

1
0
0
~v1 =  0  ~v2 =  1  ~v3 =  1 
0
1
−1
sono indipendenti dato che la matrice


1 0 0
 0 1 1 
0 1 −1
ha determinante pari a −2 6= 0 e quindi rango
Reciprocamente la matrice

1 1
 0 1
A=
 2 1
0 −2
3.

−1
1 

−3 
−2
4
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ha rango 2 infatti la terza e quarta riga si esprimono come combinazione lineare della
prima e seconda riga:
0 −2 −2 = −2 · 0 1 1 ,
2 1 −3 = 2 1 1 −1 − 0 1 1 .
D’altro canto la prima e la seconda riga sono fra loro indipendenti visto che la sottomatrice 2 × 2
1 1
0 1
ha determinante diverso da zero.
Si noti che per dimostrare che il rango di A è due col teorema degli orlati bisogna
calcolare i determinanti delle due seguenti matrici 3 × 3:




1 1 −1
1 1 −1
1 
A1 =  0 1 1  , A2 =  0 1
2 1 −3
0 −2 −2
Metodi di risoluzione dei sistemi lineari
A. Per risolvere sistemi lineari di n equazioni in n incognite in cui la matrice dei
coefficienti A ha determinante diverso da zero si può usare il metodo di Kramer. Sia
~b is vettore dei termini noti; esiste una ed una sola soluzione del sistema lineare ed
essa è data da:
det(Bj )
xj =
det(A)
dove la matrice Bj si ottiene sostituendo alla j’ma colonna di A la colonna dei termini
noti ~b.
Esempio Si consideri il sistema dato da:


1 2 −1
A =  2 −1 3  ,
0 1
2

0
~b ==  1  .
−1

Si ha che det(A) = −15 e quindi applicando la formula di Kramer:




0
2 −1
1 0 −1
3 
det  1 −1 3 
det  2 1
−1 1
2
0 −1 2
10
7
x1 =
=
, x2 =
=− ,
det(A)
15
det(A)
15


1 2
0

det 2 −1 1 
0 1 −1
4
=−
x3 =
det(A)
15
B. In generale se la matrice dei coefficienti non è quadrata o è quadrata ma con
determinante nullo, si può seguire il metodo di Rouché Capelli che consiste in due
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passi. Si consideri is sistema lineare con matrice di coefficienti A e vettore di termini
noti ~b, supponiamo che A sia m × n.
1. Calcolare il rango di A ed il rango della matrice (indicata con B) ottenuta
aggiungendo ad A la colonna dei termini noti ~b. Se i due ranghi non coincidono (cioè
se rango(A) < rango(B)) allora il sistema lineare non ha nessuna soluzione. Se
rango(A) = rango(B) = r ci sono infinite soluzioni( piú precisamente ∞n−r soluzioni
cioè ci sono infinite soluzioni parametrizzate da n- rango(A) parametri indipendenti).
Per determinare le soluzioni si va al passo 2.
2. Dato che rango(A) = r esiste una matrice r × r con determinante diverso da zero.
Se ne scelga una, chiamiamola Ar . Ora si lavora sul sistema di equazioni:
2.1. Eliminare dal sistema tutte le equazioni le cui righe non fanno parte della
matrice r × r scelta. Infatti queste equazioni si possono ottenere come combinazione
lineare delle equazioni che compaiono in Ar .
2.2. Passare al secondo membro nelle equazioni tutte le incognite le cui colonne non
fanno parte di Ar .
A questo punto si ottiene un sistema lineare con matrice dei coefficienti Ar e con
un vettore dei termini noti– chiamiamolo ~br – che ha dimensione r e dipende da n − r
incognite (tutte quelle che abbiamo passato a secondo membro).
2.3. Risolvere il sistema descritto sopra con il metodo di Kramer– per ipotesi
det(Ar ) 6= 0.
Si consideri il sistema dato da:




0
1 2 −1


 2 −1 3 
~  5 

A=
 0 1 −1  , b =  −1  .
−1
1 3 −2
Il rango della matrice A è r = 2 infatti la sottomatrice A2 ottenuta cancellando
la terza colonna e la terza e quarta riga è invertibile; inoltre la terza colonna di A si
ottiene dalle prime due colonne per combinazione lineare. Esplicitamente

   

1
2
−1
 3   2   −1 
1 2

   
A2 =
, 
 −1  =  0  −  1  .
2 −1
3
−2
1
La matrice B è:


1 2 −1 0
 2 −1 3
5 


 0 1 −1 −1 
1 3 −2 −1
ed ha rango due anch’essa dato che



0



~b =  5  = 2 
 −1 

−1
 
1
2


2   −1
−
0   1
1
3


.

6
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Quindi il sistema ha infinite soluzioni (∞1 ). Scriviamo esplicitamente il sistema:

x + 2x2 − x3 = 0


 1
2x1 − x2 + 3x3 = 5
x
 2 − x3 = −1

 x + 3x − 2x = −1
1
2
3
A2 l’abbiamo ottenuta da A cancellando la terza e quarta riga e la terza colonna,
quindi nel sistema cancelliamo la terza e quarta riga (che non entrano in A2 ) e portiamo
a secondo membro x3 (la terza colonna non entra in A2 ):
x1 + 2x2 = x3
2x1 − x2 = 5 − 3x3
A questo punto abbiamo un sistema di due equazioni in due incognite con matrice dei
coefficienti pari ad A2 e con vettore dei termini noti dipendente dal parametero x3 :
1 2
x3
A2 =
,
.
2 −1
5 − 3x3
Risolviamo con Kramer:
x3
2
det
5 − 3x3 −1
x1 =
= 2 − x3 ,
1 2
det
2 −1
1
x3
det
2 5 − 3x3
x2 =
1 2
det
2 −1
= x3 − 1.