Circuiti con diodi

ESERCIZIO 1: La tensione vIN(t) in ingresso al circuito in figura 1 è costituita da un’onda
triangolare periodica con valore di picco VP=24V, offset 12V e frequenza 1 KHz. Sapendo che
EO = 12V, si tracci l’andamento temporale della tensione d’uscita vO(t) e la transcaratteristica
vO = ƒ(Vin) indicando, inoltre, per ciascuno dei suoi tratti, la condizione di funzionamento dei
diodi, supposti ideali.
Si tratta di un circuito con due diodi D1 e D2, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione a
forma d’onda triangolare unidirezionale con un
valore medio VM = offset = VP/2 = 12 V. Per i
R/2 D1
due diodi verrà utilizzato il modello lineare a
tratti fra loro perpendicolari intersecantesi
R/2
nell’origine
degli assi delle coordinate VAK, ID.
R
In sostanza si considera nulla sia la tensione di
D2
Vin(t)
VO(t)
soglia Vγγ, sia la tensione di conduzione VDON
dei due diodi D1 e D2.
EO +
Una delle strategie iniziali di analisi del circuito
−
è quella di ritenere, contemporaneamente, i due
diodi interdetti e verificare se la rete circuitale
(figura - 1)
che ne deriva sia elettricamente compatibile e
coerente con i valori che nel tempo assume il segnale di ingresso. L’ipotesi relativa ai diodi D1 e
D2 entrambi interdetti conduce a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della
rete di seguito riportata come figura 1a, in cui i due diodi sono modellati con due interruttori
aperti e si considera inizialmente VIN(t) = 0.
In tali ipotesi, per ispezione diretta della rete, si
evince che: VA2 = EO ; VK2 = 0, cioè VAK2 > 0 e
A1 K1
questo costituisce una stridente contraddizione
R/2
con l’aver supposto D2 interdetto.
R/2
Dunque, per VIN(t) = 0 il diodo D1 è interdetto,
R
K2
cioè è OFF, mentre D2 conduce, cioè è ON. Ne
Vin(t)
VO(t)
consegue che:
A2
EO
+
−
∀t : 0 ≤ vin (t ) <
2
Eo = 8V
3
D1 è OFF mentre D2 è ON. Il circuito che deve
essere
esaminato è quella mostrata in figura 1b
(figura - 1a)
D
in cui 1 è modellato con un circuito aperto e
D2 con un corto circuito. La tensione di uscita vO(t) è determinata dalla ripartizione della tensione
del generatore indipendente EO operata dal partitore
resistivo costituito dalle due resistenze R/2 ed R; si
A K
R/2 1 1
ottiene la relazione di seguito riportata:
vo ( t ) =
R ⋅ Eo
R ⋅ Eo 2
= Eo = 8V
=
R + ( R 2) ( 3 R 2 ) 3
R/2
Vin(t)
K2
R
VO(t)
A2
In conclusione si osserva che fino a che la tensione
di ingresso non raggiunge il valore di VIN = 2·EO/3
EO +
=8V il diodo D1 è interdetto e D2 conduce.
−
Quando VIN = 2·EO/3 =8V, il diodo D1 si porta nello
stato di conduzione in quanto risulta VA1 = VIN = 8V
(figura - 1b)
e VK1 = VO = 8V. Poiché VAK1 È NON negativa, D1
si porta anch’esso in conduzione; tale stato è garantito dall’aumentare del segnale di ingresso VIN.
In tali ipotesi, per ispezione diretta della rete di figura 1c, si evince che:
∀t :
A
R/2 1 K1
2
3
Eo ≤ vin (t ) < Eo = 18V
3
2
D1 è ON e pure D2 è ON. Il circuito che deve
essere
esaminato è quella mostrata in figura 1c
R
K2
in cui D1 e D2 sono entrambi modellizzati con
Vin(t)
A2
VO(t)
un corto circuito. Si tratta di una rete classica
+
due nodi la cui tensione comune di nodo
a
EO
−
vO(t) è determinabile con il noto principio dei
“potenziali di nodo” che nel contesto è dato
come principio di Millman. Si ricava poi, per
(figura - 1c)
la tensione comune a tutti i lati posti fra loro in
parallelo, con riferimento alla rete di figura 1c, la relazione seguente:
R/2
vin (t ) E o
+
R2
R 2 2 [vin (t ) + Eo ] 2 R
vo ( t ) =
= ⋅
= ⋅ ⋅ [vin (t ) + Eo ] =
2 2 1
R
(
5
R
)
R 5
+ +
R R R
2
2
= vin (t ) + Eo
5
5
Il legame ottenuto caratterizza una retta con coefficiente angolare m= tagα
α = 2/5. Osserviamo che
per vIN(t) = 8V viene riconfermato il valore vO = (2EO/3) = 8V. Pertanto, la tensione di uscita risulta
una funzione continua e tale sarà anche la transcaratteristica vO = ƒ(VIN).
Resta ora da chiedersi fino a quali valori del segnale d’ingresso vIN(t) la rete di figura 1c resta
elettricamente compatibile con le ipotesi fatte.
Il diodo D1, all’aumentare di vIN(t) resterà sicuramente in conduzione mentre il diodo D2 si interdirà
allorché il potenziale del catodo K2 tenderà a superare quello dell’anodo A2. La rete di figura 1d, in
cui D2 viene modellato con un circuito aperto,
A1 K1
mostra chiaramente che l’interdizione di D2 inizia
R/2
e si mantiene quando il segnale di ingresso vIN
R/2
ha raggiunto e superato il valore necessario a far
R
si che la tensione del catodo VK2 uguagli e superi
K2
Vin(t)
A2
VO(t) la tensione dell’anodo VA2 = EO. Ciò si verifica
per il particolare valore v*IN(t) della tensione
+
d’ingresso
per cui risulta soddisfatta la relazione
EO
−
seguente:
2 *
2
vo (t ) = Eo = vin
(t ) + Eo
5
5
(figura - 1d)
da cui si ricava la scrittura di seguito riportata:
Eo −
2
2 *
E o = vin
(t )
5
5
⇒
3
2 *
Eo = vin
(t )
5
5
*
⇒ vin
(t ) =
3
E o = 18V
2
Quanto premesso, l’ispezione diretta della rete di figura 2d consente di esplicitare che:
∀t :
3
E o ≤ vin (t ) ≤ VP
2
con VP
= 24V
⇒ D1 è ON mentre D2 è OFF
Dal circuito mostrata in figura 1d, in cui D1 è ancora modellato con un corto circuito mentre D2,
come già detto, viene ora modellato da un circuito aperto, si evince che la tensione di uscita è data
dalla ripartizione della tensione vIN(t) di ingresso fra le due resistenze R/2 ed R; si ottiene, pertanto,
la relazione di seguito riportata:
vo ( t ) =
R
R
2
⋅ vin ( t ) =
⋅ vin (t ) = vin (t )
R + ( R 2)
( 3R 2)
3
Il legame ottenuto caratterizza una retta con coefficiente angolare m= tagβ
β = 2/3. Osserviamo che
per vIN(t) = (3·EO)/2 = 18V viene riconfermato il valore vO = (2/3)·(3EO/2) = EO = 12V. Pertanto, la
tensione di uscita risulta una funzione continua e tale sarà anche la transcaratteristica vO = ƒ(VIN).
VIN
D1 OFF
D2 ON
D1 ON
D2 ON
D1 ON
D2 OFF
(figura 1e)
16 V
β
12 V
α
2EO/3
2EO/3
Vi(t)
3EO/2
VP =24V
VO
VO(t)
(figura - 1f)
24 V
16 V
12 V
8V
t
La transcaratteristica
vO = ƒ(VIN) è mostrata
in figura 1e nella quale
sono evidenziati per
ciascuno dei tratti della
spezzata, che definisce
la curva in oggetto, lo
stato di conduzione dei
diodi, e la pendenza di
ciascun tratto.
Nella figura 1f, invece,
sono evidenziati i due
andamenti temporali
del segnale d’ingresso
Vi(t) e del segnale di
uscita VO(t). La forma
d’onda triangolare allo
ingresso subisce sia
una deformazione sia
un’attenuazione frutto
dei tratti con pendenza
diversa fra loro nonché
di valore diverso da un
angolo di 45°.
ESERCIZIO 2: La tensione vIN(t) in ingresso al circuito in figura 2 è un’onda triangolare
periodica con valore di picco VP = 150 V, offset 75 V e frequenza 1 KHz. Sapendo che E1 = 25 V,
E2 = 100V, R1 = 100 KΩ
Ω , R2 = 200 KΩ
Ω si determini la transcaratteristica VO = ƒ(VIN) indicando,
per ciascuno intervallo, la condizione di funzionamento dei diodi supposti ideali e si tracci il
grafico accurato della tensione vO(t).
Si tratta di un circuito con due diodi D1 e D2, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione a
forma d’onda triangolare unidirezionale con un
D1
D2
valore medio VM = offset = VP/2 = 75 V. Per i
due diodi verrà utilizzato il modello lineare a
tratti fra loro perpendicolari ed intersecantesi
R1
R2
nell’origine degli assi delle coordinate VAK, ID.
Vin(t)
VO(t) In sostanza si considera nulla sia la tensione di
+
+
soglia Vγγ, sia la tensione di conduzione VDON
− E1
− E2
dei due diodi D1 e D2.
Una delle strategie iniziali di analisi del circuito
(figura - 2)
è quella di ritenere, contemporaneamente, i due
diodi D1 e D2 interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva è elettricamente compatibile
e coerente con i valori che nel tempo assume il segnale di ingresso. L’ipotesi relativa ai diodi D1 e
D2 entrambi interdetti conduce a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della
rete di seguito riportata come figura 2a, in cui i due diodi sono modellati da due interruttori
aperti e si considera inizialmente VIN(t) = 0. In tale contesto si deduce che:
♦ VA1 = Vin = 0V, mentre VK1 = E1 = 25 V, per
A1
K2
K1
A2
cui risulta VAK1 = VA1 − VK1 = −25V, ovvero
si conferma che D1 è interdetto cioè OFF;
♦ VK2 = VK1 = 25V, mentre VA2 = E2 = 100 V,
R1
R2
per cui risulta VAK2 = VA2 − VK2 = 75 V > 0,
Vin(t)
VO(t)
il che, contraddicendo l’ipotesi che il diodo
+
+
D2 sia interdetto, sancisce in realtà che D2 si
− E1
− E2
trova in conduzione, cioè ON.
Il circuito da esaminare è mostrato in figura
(figura - 2a)
2b, in cui il diodo D1 viene modellato da un
circuito aperto, ed il diodo D2 è modellato da
un corto circuito. La tensione di uscita vO(t)
A1
K
K1
A2
2
resta determinata dall’applicazione alla rete
binodale del noto principio di Millman che
R1
R2
consente di relazionare così come segue:
Vin(t)
( E1 R1 ) + ( E 2 R2 )
VO(t)
+
+
v
(
t
)
=
, ovvero:
o
− E1
− E2
(1 R1 ) + (1 R2 )
(figura - 2b)
vo ( t ) =
E1 R2 + E2 R1
( R1 + R2 )
Sostituendo i dati forniti dalla traccia ed effettuati i relativi calcoli si giunge alle seguenti scritture:
vo ( t ) =
E1 R2 + E2 R1 25 ⋅ 200 + 100 ⋅ 100 100 ⋅ (25 ⋅ 2 + 100) 150
=
= 50V
=
=
( R1 + R2 )
(100 + 200)
300
3
Dalla rete di figura 2b, per ispezione diretta, si evince che VK1 = VK2 = VA2 = vO(t); pertanto il diodo
D1 è OFF ed il diodo D2 è ON finché il segnale di ingresso non raggiunge il valore vin(t) = 50 V; si
conclude, pertanto che:
∀t : 0 ≤ vin (t ) ≤ 50V ⇒ D1 è OFF, D2 è ON ⇒ vO(t) = 50V
Quando il segnale d’ingresso vin(t) supera il valore di 50V anche il diodo D1 si porta in conduzione:
la rete da esaminare è mostrata in figura 2c, in
A1
K2
K1
A2
cui anche il diodo D1 viene modellato con un
corto circuito. Per ispezione diretta si evince
R1
che la tensione d’uscita vO(t) costituisce la
R2
trasparenza della tensione d’ingresso vin(t),
Vin(t)
VO(t)
+
+
di rimando vale la relazione che di seguito si
− E1
− E2
riporta:
vo (t ) = vin (t )
(figura - 2c)
Al crescere di vin(t) la situazione non cambia
finché la tensione di ingresso, che coincide con la tensione VK2 del catodo del diodo D2, non riesce
a superare il valore E2 = 100 V, valore che porta il diodo D2 all’interdizione. Si conclude, così, che:
∀t : 50 ≤ vin (t ) ≤ ( E 2 = 100V ) ⇒ D1 è ON, D2 è ON ⇒ vO(t) = vin(t)
Quando la tensione di ingresso vin(t) supera il valore della tensione del generatore E2 il diodo D2 si
porta in interdizione e la rete da esaminare è mostrata in figura 2d in cui il diodo D2 viene modellato
A1
K1
K2
A2
R1
Vin(t)
+
−
R2
+
−
E1
E2
VO(t)
con un circuito aperto. Per ispezione diretta
si evince che l’apertura del diodo D2 fa si che
la tensione di uscita vO(t) coincida col valore
della tensione del generatore E2; si perviene,
pertanto, alla relazione di seguito esplicitata:
∀t : ( E2 = 100V ) ≤ vin (t ) ≤ 150V
D1 è ON, D2 è OFF ⇒ vO(t) = E2
La transcaratteristica, con evidenziate le varie
condizioni di conduzione dei diodi D1 e D2, è
mostrata in figura 2e. Nella figura 2f vengono evidenziate le forme d’onda sia della tensione di
ingresso vin(t), sia della tensione di uscita vO(t). Si evince che il circuito in esame costituisce un
limitatore a doppio livello, con livello inferiore LF = 50 V e livello superiore pari a LS = 100 V.
(figura - 2d)
VO
D1 OFF
D2 ON
D1 ON
D2 ON
D1 ON
D2 OFF
E2
m = tag α = 1
α = 45°
vO(t) = vin(t)
α
50 V
50 V
E2
VP=150 V
Vin
(figura - 2e)
Vin VO
VP
E2
50 V
t
T = 1 ms
(figura - 2f)
ESERCIZIO 3: La tensione vIN(t) in ingresso al circuito in figura 3 è un’onda triangolare
periodica con valore di picco VP = 150 V, offset 75 V e frequenza 1 KHz. Sapendo che E2 = 25 V,
E1 = 100 V, R1 = 100 KΩ
Ω , R2 = 200 KΩ
Ω si vuole determinare la transcaratteristica VO = f(VIN),
indicando, per ciascuno intervallo, la condizione di funzionamento dei diodi supposti ideali e
si tracci il grafico accurato della tensione vO(t).
Si tratta di un circuito con due diodi D1 e D2, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione a
forma d’onda triangolare unidirezionale con un valore medio VM = offset = VP/2 = 75 V. Per i due
diodi verrà utilizzato il modello lineare di
prima specie, a tratti fra loro perpendicolari
D2
R1
che si intersecano proprio all’origine degli assi
R
2
D1
coordinati VAK, ID.
In
sostanza si considera nulla sia la tensione di
v0(t)
vin(t)
soglia
Vγγ, sia la tensione di conduzione VDON
+
+
dei due diodi D1 e D2.
E1
E2
−
−
Una delle strategie iniziali di analisi del circuito
è quella di ritenere contemporaneamente i due
(figura - 3)
diodi D1 e D2 interdetti e verificare se la rete
circuitale che ne deriva è elettricamente compatibile e coerente con i valori che nel tempo assume
il segnale d’ingresso. L’ipotesi relativa ai diodi D1 e D2 entrambi interdetti conduce a verificare, per
ispezione diretta, la validità elettrica o meno
della rete, di seguito riportata come figura 3a,
A 2 K2
in cui i due diodi vengono modellati come due
R1
A1
R2
interruttori aperti e si considera inizialmente
VIN(t) = 0. In tale contesto si deduce che
K1
v0(t)
vin(t)
♦ VA1 = Vin = 0V, mentre VK1 = E1 = 100 V, per
+
+
cui risulta VAK1 = VA1 − VK1 = −100V, cioè
E
E2
1
−
−
si conferma che D1 è interdetto. cioè OFF;
♦ VK2 = 25V, mentre VA2 = VA1 = Vin = 0 V, per
(figura - 3a)
cui risulta: VAK2 = VA2 − VK2 = −75 V < 0, il
che, conferma l’ipotesi che anche il diodo D2 sia interdetto, cioè OFF.
Il diodo D2 uscirà dallo stato di interdizione ed entrerà in conduzione allorché il potenziale del
suo anodo raggiungerà il valore della tensione fornita dal generatore E2 = 25 V. Consegue la
seguente posizione:
∀t : 0 ≤ vin (t ) ≤ ( E 2 = 25V ) D1 è OFF, D2 è OFF ⇒ vO(t) = E2 = 25 V
All’aumentare del segnale d’ingresso vIN(t), per tensioni superiori a E2 = 25 V, il diodo D2 si porta
nello stato di conduzione, mentre il diodo D1 persiste nello stato d’interdizione finché il potenziale
dell’anodo A1 non raggiunge il valore dato da
VA1 = VK1 = E1 = 100 V. La rete da esaminare
A 2 K2
R1
viene mostrata in figura 3b, in cui il diodo D2
A1
R2
è modellato con un corto circuito ed il diodo
K1
D2 conserva la rappresentazione equivalente
v
(t)
0
vin(t)
data
dal circuito aperto. In questo contesto, la
+
+
tensione di uscita vO(t) è determinata dalla
E1
E2
−
−
applicazione del principio di Millman alla rete
binodale di figura 3b; è così lecito relazionare
(figura - 3b)
nella forma che di seguito si riporta:
vo ( t ) =
(vin (t ) R1 ) + ( E 2 R2 ) vin (t ) R2 + E 2 R2 R2 ⋅ vin (t )
RE
=
=
+ 1 2
(1 R1 ) + (1 R2 )
( R1 + R2 )
R1 + R2
R1 + R2
Sostituendo i dati forniti dalla traccia ed operando i dovuti calcoli, si perviene alle seguenti scritture:
vo ( t ) =
R2 ⋅ vin (t )
RE
200 ⋅ vin ( t )
100 ⋅ 25
2
25
+ 1 2 =
+
= ⋅ vin (t ) +
R1 + R2
R1 + R2 100 + 200 100 + 200 3
3
Dalla relazione appena ricavata si può verificare che per vin(t) = 25 V viene confermato il valore,
già precedentemente calcolato, di vO(t) = 25 V; il che esplicita che la transcaratteristica è una
funzione continua. Si può concludere affermando quanto segue:
*
∀t : ( E 2 = 25V ) < vin (t ) ≤ vin
(t ) ⇒ D1 è OFF, D2 è ON
2
25
⇒ vo ( t ) = ⋅ vin ( t ) +
3
3
La rete di figura 3b risulta essere coerente con i valori del segnale di ingresso vin(t) finché questi si
mantiene ad un valore inferiore al valore v*in(t) che porta il potenziale dell’anodo di A1 ad assumere
il valore vA1 = E1 = 100 V; in tale circostanza, infatti, il diodo D1 esce dallo stato di interdizione ed
inizia a condurre. Il diodo D2, invece, a maggior ragione, al crescere di vin(t) persiste nello stato di
conduzione. La rete da esaminare è mostrata nella figura 3c in cui il diodo D1 viene modellato da un
corto circuito. Il valore del segnale d’ingresso da
ricercare è quel particolare valore v*IN(t) della
A2 K2
R1
tensione d’ingresso per cui, nella rete di figura
A1
R2
3b, risulta soddisfatta la relazione seguente:
K1
2 *
25
v0(t)
vin(t)
v
(
t
)
=
E
=
v
(
t
)
+
o
1
in
+
+
E1
−
−
3
E2
da cui si ricava la scrittura di seguito riportata:
*
3E1 = 2 ⋅ vin
(t ) + 25
ovvero:
(figura - 3c)
*
vin
(t ) =
3
3E1 − 25 3 ⋅ 100 − 25 275
=
=
= 137 ,5V
2
2
2
Con riferimento alla figura 3b, si completa l’analisi asserendo quanto segue:
*
∀t : ( E 2 = 25V ) < vin (t ) ≤ (vin
(t ) = 137,5V ) ⇒ D1 è OFF, D2 è ON
⇒
vo ( t ) =
2
25
⋅ vin (t ) +
3
3
Con riferimento alla figura 3c vale la seguente posizione:
*
∀t : (vin
(t ) = 137,5V ) < vin (t ) ≤ (VP = 150V ) ⇒ D1 è ON, D2 è ON
⇒ vo ( t ) = E1 = 100V
La transcaratteristica vO = ƒ(vin), con evidenziate le varie condizioni di conduzione dei diodi D1 e
D2, viene mostrata in figura 2d. Nella figura 2e sono evidenziate le forme d’onda sia della tensione
di ingresso vin(t), sia della tensione di uscita vO(t). Si evince che il circuito in esame costituisce un
limitatore a doppio livello, con livello inferiore LF = 25 V e livello superiore pari a LS = 100 V.
VO
D1 OFF
D2 ON
D1 OFF
D2 OFF
D1 ON
D2 ON
E1
25 V
m = tag α = 2/3
α = arctag (2/3) = 33,69°
vO(t) = (2/3)·vin(t) + (25/3)
α
E2 = 25 V
(figura - 3d)
137,5 V
VP=150 V
Vin
Vin VO
v*in(t)
VP
137,5 V
E1
25 V
t
T = 1 ms
(figura - 2e)
ESERCIZIO 4: La tensione vIN(t) in ingresso al circuito di figura 4 è un’onda triangolare
periodica con valore massimo VM = 16 V, minimo Vm = 0 V e frequenza ƒs = 1 KHz. Sapendo che
i diodi sono ideali e che EO = 12 V si tracci il grafico accurato della tensione vO(t) (6 punti). Si
indichi, inoltre, per ciascun tratto della trascaratteristica vO = ƒ(vIN) la condizione dello stato
di funzionamento dei diodi (3 punti). (Prima Prova in Itinere - 23 novembre 2007)
Si tratta di un circuito con due diodi D1 e D2,
supposti ideali, alimentato da un segnale in
tensione ad onda triangolare unidirezionale
con un valore medio o di offset VP/2 = 8 V.
+
Per entrambe i diodi sarà utilizzato il modello
EO
−
lineare a tratti di prima specie, formato da
R
tratti fra loro perpendicolari che, appunto, si
v0(t)
vin(t)
D2
R
intersecano nell’origine degli assi coordinati
VAK, ID. In sostanza si considera nulla sia la
tensione di soglia Vγγ, sia la tensione VDON di
R/2
D1
conduzione dei due diodi D1 e D2. Una delle
strategie iniziali d’analisi del circuito consiste
nel considerare che entrambe i diodi D1 e D2
siano contemporaneamente interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva è compatibile
e coerente elettricamente con i valori che assume nel tempo il segnale d’ingresso.
L’ipotesi attinente ai due diodi D1 e D2 entrambi
(figura - 4a) ε
R/2
interdetti
porta a verificare, per ispezione diretta,
α
la validità elettrica o meno della rete, riportata di
seguito come figura 4a, in cui i due diodi vengono
+
modellati come due interruttori aperti nonché si
EO
−
R
considera inizialmente VIN(t) = 0V. In tale contesto,
K2
NON circolando corrente in alcuna delle resistenze
VA2K2
v0(t)
R
si ha vO = 0 V; consegue che la legge di Kirchhoff
A2
β
delle tensioni applicata alla maglia (αεδβα)
consente di scrivere:
R/2
A1
K1
Eo − vo − VA2 K 2 = 0 , da cui segue:
R/2
(figura - 4)
δ
E o − V A2 K2 = 0 ⇒ E o = V A2 K2 > 0
Poiché la tensione fra l’anodo A2 ed il catodo K2del diodo D2 risulta maggiore di zero, si deve
concludere che la rete di figura 4a smentisce l’ipotesi del diodo D2 nello stato di interdizione, ma
stabilisce, invero, che il diodo D2 è certamente in conduzione.
Pertanto, sempre nella condizione di segnale d’ingresso vIN = 0 V, la rete da esaminare è mostrata in
figura 4b in cui D2 viene modellato da un corto circuito mentre per D1 si ipotizza ancora lo stato
di interdizione. L’ispezione diretta della rete evince che la tensione vO è positiva cioè Vαδ =VA1K1> 0
e ciò contraddice assolutamente l’ipotesi che con
R/2
α (figura - 4b) ε
VIN = 0 V il diodo D1 sia nello stato d’interdizione.
Il calcolo della tensione di uscita vO(t) è fornito
dalla legge del partitore resistivo di tensione che
+
E
di
seguito si riporta:
O
−
R
R ⋅ Eo
R ⋅ Eo 2 Eo
v
(
t
)
=
=
=
K2
o
v0(t)
R
R + (R 2 ) (3R 2 )
3
A2
β
A1
vo ( t ) =
R/2
K1
2 ⋅ 12
= 8V
3
Si termina l’analisi affermando che per vIN = 0 V i
VA1K1
due diodi sono entrambe in conduzione e la rete
da esaminare è mostrata in figura 4c in cui i diodi sono modellati dagli equivalenti corto circuiti.
δ
R/2
α
(figura - 4c)
+
−
EO
R
K2
A2
A1
β
K1
R/2
ε
R
v0(t)
+
−
R/2
vIN
α
(figura - 4d)
+
−
EO
R
K2
A2
A1
K1
v0(t)
R
β
R/2
ε
I
IR
IG δ
La rete di figura 4c, che ammette l’equivalente configurazione esplicitata in figura 4c bis, consente
di calcolare la tensione in uscita vO(t) con la regola
(figura - 4c bis)
del partitore resistivo di tensione che consente, così,
di relazionare come segue:
δ
+
−
EO
R
β
R/2
R
δ
R/2 v0(t)
(R R 2 )
⋅ Eo , ovvero:
(R 2 ) + (R R 2 )
( R 3) ⋅ E o
2 Eo
R 6E
vo ( t ) =
= ⋅ o =
( R 2) + ( R 3) 3 5R
5
vo ( t ) =
Con i valori assegnati dalla traccia si ha: vO(t) = 4,8 V.
Si è, ora, nella possibilità di valutare l’evoluzione del segnale di uscita vO(t) al variare del segnale
d’ingresso vIN(t). Dall’analisi precedentemente sviluppata si può asserire che:
*
∀t : 0 ≤ vin (t ) < vin
(t ) ⇒ D1 è ON, D2 è ON
La rete da esaminare è mostrata in figura 4d che evidenzia la presenza del generatore di segnale vIN
e i due diodi modellati dal bipolo corto circuito. L’applicazione del “principio dei potenziali di
nodo”, considerando come riferimento il nodo δ, consente di relazionare come segue:
IG =
vo ( t ) − vin ( t )
v ( t ) − Eo
v (t )
; I= o
; IR = o ;
( R 2)
( R 2)
R
L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo δ consente di esplicitare quanto segue:
vo ( t ) − vin ( t ) vo ( t ) − E o vo ( t )
+
+
=0
( R 2)
( R 2)
R
IG + I + I R = 0 ⇒
Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le necessarie semplificazioni si giunge alle seguenti scritture:
2vo (t ) 2vin (t ) 2vo (t ) 2 E o vo (t )
−
+
−
+
=0
R
R
R
R
R
5vo (t ) 2vin (t ) 2 E o
2
2
−
−
= 0 ⇒ vo (t ) = ⋅ vin (t ) + E o
R
R
R
5
5
Utilizziamo la relazione ora ricavata quale conferma dei risultati già conseguiti e verifichiamo che
per vIN(t) = 0 V si ribadisce quanto dedotto dall’analisi della rete di figura 4c e figura 4c bis; si ottiene:
2 
2
2
2
24
2
vo (t ) t = 0 =  ⋅ vin (t ) + Eo 
= ⋅ vin (0) + Eo = E o =
= 4,8V
5
5  t =0 5
5
5
5
Al variare del segnale di ingresso vIN(t) il diodo D1 persisterà nello stato di conduzione finché la
tensione fra anodo e catodo sarà non negativa; se D1 cessa di condurre allora è certamente IG = 0 A,
come del resto è suggerito dalla figura 4d. Ne consegue che, indicato con v*IN(t) il particolare
valore della tensione di ingresso per il quale il diodo D1 cessa di condurre ed inizia ad interdirsi,
si dovrà verificare quanto segue:
vo (t ) − vin* (t )
IG =
=0
vo (t ) − vin* (t ) = 0 ⇒ vo (t ) = vin* (t )
( R 2)
Imponendo tale condizione nella relazione che fornisce il legame fra la tensione di uscita vO(t) e
la tensione di ingresso vIN(t) si ottiene la scrittura che di seguito si esplicita:
*
vin
(t ) =
2 *
2
⋅ vin (t ) + E o
5
5
⇒
3 *
2
vin (t ) = E o
5
5
*
⇒ vin
(t ) =
2
E o = 8V
3
Atteso quanto premesso, è assolutamente dimostrato l’asserto che segue:
2
2
*
∀t : 0 ≤ vin (t ) < vin
(t ) = 8V ⇒ D1 e D2 sono ON ⇒ vo (t ) = vin (t ) + E o
5
5
*
∀t : [vin (t ) = 8V ] < vin (t ) ≤ (V M = 16V ) ⇒ D1 è OFF e D2 è ON
(figura - 4e)
R/2
+
−
EO
+
v (t)
− IN
K2
β
A2
A1
R
K1
R/2
R
v0(t)
La rete da esaminare è mostrata nella figura 4e
che, per quanto attiene il calcolo della tensione
di uscita vO(t), è da ritenersi sostanzialmente del
tutto equivalente alla rete riportata in figura 4b e
già ampiamente esaminata. Per questo motivo
si riportano le risultanze in precedenza espresse:
R ⋅ Eo
R ⋅ Eo 2 Eo
=
=
R + (R 2 ) (3R 2 )
3
2 ⋅ 12
vo ( t ) =
= 8V
3
vo ( t ) =
La tensione d’uscita vO(t) assume, pertanto, un valore costante. La transcaratteristica è costituita
da due tratti come mostrato in figura 4f e del primo tratto viene anche indicata la pendenza fornita
tramite l’angolo α e la condizione dello stato di funzionamento dei diodi D1 e D2 nei
corrispondenti intervalli dei valori del segnale di ingresso oggetto di analisi. L’evoluzione
temporale del segnale di uscita vO(t) relativo alla transcaratteristica espressa in figura 4f, viene
mostrato nella figura 4g.
VO
8V
4,8 V
D1 OFF
D2 ON
D1 ON
D2 ON
m = tag α = 2/5
α = arctag (2/5) = 21,80°
vO(t) = (2/5)·vin(t) + (24/5)
α
V*IN = 8 V
VM=16 V
Vin
(figura - 4f)
Vin VO
VM
v*in(t)
8V
4,8 V
t
T = 1 ms
(figura – 4g)