Successioni ricorsive

Capitolo
1
Successioni ricorsive
Un modo spesso usato per assegnare una successione è quello ricorsivo
che consiste nell’assegnare alcuni termini iniziali (il primo, oppure i primi
due, oppure i primi ... ) e una formula che permette di ottenere ogni
termine successivo mediante quello che lo precede (oppure quelli che lo
precedono).
1.0.1
Successioni aritmetiche
Definizione 1.1. Si dice successione (o progressione) aritmetica di
termine iniziale a0 e ragione d (con a0 , d ∈ R) la funzione a : N → R cosı̀
definita:
a(n) = an = a0 + nd.
Esplicitando le immagini in sequenza, si scrive:
a0 = a0 ,
a1 = a0 + d,
a2 = a0 + 2d,
a3 = a0 + 3d,
...
La successione aritmetica an = a0 + nd si esprime in forma ricorsiva
assegnando il termine iniziale a0 e, per ogni n ≥ 1, la formula:
an = an−1 + d.
Abbiamo quindi un modo semplice di caratterizzare le successioni aritmetiche:
Una successione an è aritmetica se e solo se la differenza tra due termini
consecutivi è costante ossia an − an−1 = d.
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Successioni ricorsive
Esempio 1.2.
1. La successione dei numeri pari
0, 2, 4, 6, . . .
è la successione aritmetica di termine iniziale 0 e ragione 2, definita
dalla legge an = 2n. In forma ricorsiva possiamo assegnare questa
successione come an = an−1 + 2, (n ≥ 1), specificando che il termine
iniziale a0 vale 0.
2. La successione an = n2 dei quadrati dei numeri naturali non è una
successione aritmetica poiché, ad esempio, a4 − a3 = 16 − 9 = 7
mentre a2 − a1 = 4 − 1 = 3 6= 7.
Se sappiamo che una certa successione an è aritmetica, allora la conoscenza di due qualsiasi dei suoi termini permette di determinare l’intera
successione. Per ogni coppia di numeri naturali distinti h e k si ha infatti:
ah − ak = (a0 + hd) − (a0 + kd) = (h − k)d
e quindi
d=
ah − ak
h−k
e a0 = ah − hd
Esempio 1.3. La successione aritmetica an tale che a3 = 5 e a7 = 21
= 4 e quindi a0 = a3 − 3d = −7 ossia è data da
ha ragione d = 21−5
7−3
an = −7 + 4n.
Può essere utile ricordare la formula che dà la somma dei primi n + 1
termini di una successione aritmetica:
a0 + a1 + · · · + an = (n + 1)a0 +
n(n + 1)
d
2
oppure, iniziando da n = 1:
a1 + · · · + an = (n)a0 +
n(n + 1)
d
2
In particolare, se a0 = 0 e d = 1, si ottiene
a1 + · · · + an = 1 + 2 + · · · n =
n(n + 1)
2
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che fornisce la formula della somma dei primi n numeri naturali. Una
storia curiosa racconta che Carl Friedrich Gauss trovò questa formula
in terza elementare quando l’insegnante, per farli stare buoni, chiese agli
alunni di sommare i numeri da 1 a 100. Gauss, dopo solo un minuto, andò
dall’insegnante con la risposta. L’idea del piccolo Gauss fu la seguente:
se invece di sommare tutti i numeri uno dietro l’altro sommiamo prima
il primo con l’ultimo, cioè 1 + 100, otteniamo 101; allo stesso modo se
sommiamo 2 al penultimo, cioè 2 + 99, otteniamo sempre 101. Questo
procedimento si può iterare sino a 50 + 51 e quindi per 50 volte; si ottiene
infine
1 + 2 + 3 + · · · 100 = 50 · 101 = 5050.
1.0.2
Successioni geometriche
Definizione 1.4. Si dice successione (o progressione) geometrica di
termine iniziale a0 e ragione q (q ∈ R) la funzione a : N → R cosı̀ definita:
a(n) = an = a0 q n .
Esplicitando le immagini in sequenza, si scrive:
a0 ,
a1 = a0 q,
a2 = a0 q 2 ,
a3 = a0 q 3 ,
...
La successione geometrica an = a0 q n si esprime in forma ricorsiva ponendo
an = an−1 q,
n ≥ 1,
e assegnando a0 come termine iniziale. Abbiamo quindi un modo semplice
di caratterizzare le successioni geometriche:
Una successione an è geometrica se e solo se il rapporto tra due termini
consecutivi è costante ossia
an
= q.
an−1
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). Matematico, astronomo e
fisico tedesco, diede contributi determinanti all’analisi matematica,
teoria dei numeri, calcolo numerico, geometria differenziale, geodesia, magnetismo e ottica. Talvolta descritto come il più grande
matematico della modernità e il principe della matematica, Gauss è
ricordato tra i più importanti matematici della storia, avendo contribuito in modo decisivo all’evoluzione delle scienze matematiche,
fisiche e naturali.
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Successioni ricorsive
Esempio 1.5. La successione delle potenze di 2, ossia 1, 2, 4, 8, 16, . . . è
la successione geometrica di termine iniziale 1 e ragione 2, definita dalla
legge a(n) = 2n . In forma ricorsiva possiamo scrivere an = 2an−1 , (n ≥ 1),
specificando che il termine iniziale a0 vale 1.
Se sappiamo che una certa successione an è geometrica, allora la conoscenza di due qualsiasi dei suoi termini permette di determinare l’intera
successione. Per ogni coppia di numeri naturali distinti h e k si ha infatti:
a0 q h
ah
=
= q h−k
ak
a0 q k
e quindi
q=
r
h−k
ah
ak
e a0 =
ah
qh
Esempio 1.6.
geometrica an tale che a3 = 8 e a7 = 32 ha
q La successione
√
√
√
4
a
ragione q = 4 a73 = 4 = 2 e quindi a0 = aq33 = √8 3 = 2 2 ossia è data
2
da
√ √
√
an = 2 2( 2)n = ( 2)n+3 .
La formula che dà la somma dei primi n + 1 termini di una successione
geometrica (di ragione q 6= 1) è:
1 − q n+1
a0 + a1 + · · · + an = a0
1−q
1.0.3
Applicazioni delle successioni
Le successioni aritmetiche e geometriche intervengono nello studio di numerosi problemi di tipo economico, biologico, medico.
Esempio 1.7. Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipendio S(n) = Sn di un lavoratore dopo n anni, dato il valore iniziale S0 e
l’aumento annuale pari al 2% di S0 . Procedendo ricorsivamente, abbiamo:
stip. iniziale:
stip. dopo 1 anno:
stip. dopo 2 anni:
···
stip. dopo n anni:
S(0) = S0
2
S0
S(1) = S0 + 100
2
2
2
2
S0 = (S0 + 100
S0 ) + 100
S0 = S0 + 2 100
S0
S(2) = S(1) + 100
···
2
2
S(n) = S(n − 1) + 100
S0 = S0 + n 100
S0
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Il problema è descritto dà una successione aritmetica di termine iniziale
0
S0 e ragione 2S
: in tal caso si dice anche che lo stipendio cresce in modo
100
lineare.
Esempio 1.8. Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipendio Q(n) = Qn di un lavoratore dopo n anni, dato il valore iniziale
S0 e l’aumento annuale pari al 2% dello stipendio dell’anno precedente.
Procedendo ricorsivamente, abbiamo:
stip. iniziale:
stip. dopo 1 anno:
stip. dopo 2 anni:
···
stip. dopo n anni:
Q(0) = S0
2
S0 = 102
Q(1) = S0 + 100
100 S0
2
102
2
Q(2) = Q(1) + 100
Q(1) = 100
Q(1) = ( 102
100 ) S0
···
2
102
n
Q(n) = Q(n − 1) + 100
Q(n − 1) = 100
Q(n − 1) = ( 102
100 ) S0
Il problema è descritto da una successione geometrica di termine iniziale
S0 e ragione q = 102
. In tal caso si dice anche che lo stipendio cresce in
100
modo esponenziale.
Esempio 1.9. Si vuole schematizzare in modo ricorsivo il processo di
decadimento radioattivo. Alcune sostanze decadono nel tempo, trasformandosi in altre sostanze; si dice tempo di dimezzamento il periodo T
in cui decade la metà degli atomi. Assumendo come unità di misura dei
tempi il periodo T e indicando con N0 il numero degli atomi presenti
inizialmente si ha:
numero iniziale:
dopo 1 periodo:
dopo 2 periodi:
···
dopo n periodi:
N(0) = N0
N(1) = 21 N0
N(2) = 21 N(1) = 12 ( 12 N0 ) = 41 N0
···
N(n) = 21 N(n − 1) = ( 21 )n N0
Otteniamo una successione geometrica di termine iniziale N0 e ragione 21 .
Esempio 1.10. In condizioni ideali la crescita di una popolazione di batteri ha un andamento di tipo esponenziale. Se rileviamo il numero di
batteri presenti in quella popolazione e ripetiamo il conteggio a distanza
regolare di tempo, i numeri ottenuti formano una successione geometrica
an = Bq n
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Successioni ricorsive
dove a0 = B è il numero di batteri inizialmente presenti, mentre q dipende dal tipo di batteri e dalle condizioni ambientali. Il tempo T necessario
perché il numero di batteri di quella popolazione raddoppi si dice appunto tempo di raddoppio. Assumendo come intervallo di tempo tra una
rilevazione e l’altra proprio T , la successione assume la forma
an = B2n
dove an è il numero di batteri presenti dopo un periodo nT pari a n
tempi di raddoppio. Più in generale, se l’intervallo tra due rilevazioni è un
qualsiasi tempo t, allora la successione an che fornisce il numero di batteri
presenti dopo n rilevazioni, ossia dopo un tempo nt è
an = q n B
t
dove la ragione è q = 2 T .
Si osservi che
• Se q è minore di 1, la popolazione diminuisce al passare del tempo.
• Se q è maggiore di 1, la popolazione tende all’infinito.
Esempio 1.11. Esprimere un rapporto tra due grandezze omogenee in
forma percentuale significa scegliere per il rapporto la frazione con denominatore 100. Se, per esempio, analizzando una soluzione, su 75 grammi
di sostanza misuriamo 9 grammi di un dato sale, diciamo che quel sale
9
; esprimere questo rapporto in
ha nella soluzione una concentrazione di 75
forma percentuale significa trasformare la frazione in quella equivalente di
denominatore 100, cioè
9
12
=
75
100
Diciamo allora che la concentrazione del sale è pari al 12%. Per fare il
passaggio alla forma percentuale basta risolvere una proporzione, cioè una
uguaglianza di rapporti. Nell’esempio precedente:
9 : 75 = x : 100
da cui x = 12. Cosı̀, calcolare un ventesimo di una grandezza significa
5
1
= 100
.
calcolarne il 5% perché 20
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6.4
. Quest’ultima si denota
Percentuali del tipo 6.4% sono il rapporto 100
anche con 640/00 e si legge 64 per mille.
Naturalmente per i rapporti espressi in forma percentuale valgono le solite regole sulle frazioni; per non sbagliare è opportuno, negli esercizi,
trasformare le percentuali nelle corrispondenti frazioni.
Vediamo un esempio. Un certo capitale iniziale C0 , che possiamo considerare pari a 1, è investito al tasso di interesse del 100% annuo; inoltre gli
interessi vengono pagati a intervalli regolari di tempo più volte l’anno; tali
interessi vengono aggiunti al capitale e su di essi vengono quindi pagati
gli interessi per i periodi successivi. Se indichiamo con Cn il capitale che
si ottiene a fine anno, nel caso in cui gli interessi siano pagati n volte
all’anno, otteniamo la seguente successione:
C1
2
1
1
1
1
= 1, C2 = 1 +
+
1+
= 1+
,
2
2
2
2
n
1
. . . , Cn = 1 +
n
1.0.4
C3 =
1
1+
3
3
La successioni di Fibonacci
Leonardo Pisano propose nel tredicesimo secolo il seguente problema:
Immaginiamo di chiudere una coppia di conigli in un recinto. Sapendo
che per ogni coppia di conigli valgono le seguenti condizioni
• inizia a generare dal secondo mese di età;
• genera una nuova coppia ogni mese;
• non muore mai;
quante coppie di conigli ci saranno nel recinto dopo un anno?
Leonardo da Pisa (1170 - 1250). Matematico italiano, figlio di Guglielmo Bonacci da cui il soprannome di Fibonacci (fillius Bonacci).
Assieme ad altri matematici del tempo, contribuı̀ alla rinascita delle
scienze esatte dopo la decadenza dell’ultima parte dell’età classica
e del primo Medioevo. Con la sua opera più importante, il Liber
abaci, introduce in Europa occidentale la numerazione indo-arabica
tuttora in uso.
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,
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Successioni ricorsive
Figura 1.1: La crescita dei conigli.
Osservando la Figura 1.1 si deduce immediatamente che, denotato con fn
il numero delle coppie di conigli dopo n mesi, si ottiene la successione,
chiamata successione di Fibonacci, i cui primi termini sono:
f0 = 1,
f1 = 1,
f2 = 2,
f3 = 3,
f4 = 5,
...
Una osservazione attenta mostra che la successione di Fibonacci può essere
definita in modo ricorsivo dalla formula:
fn = fn−1 + fn−2
In altre parole la successione di Fibonacci è definita assegnando i primi
due valori, 1, 1, e richiedendo che il generico elemento fn , n > 2, della
successione sia dato dalla somma dei due che lo precedono. A questo
punto possiamo dare la risposta al quesito di Fibonacci, infatti il numero
delle coppie di conigli dopo un anno è f12 = 144.
Oltre che alla crescita dei conigli la successione di Fibonacci e legata ad
un numero sorprendente di fenomeni della natura. Per una descrizione
dettagliata di questi legami vi suggerisco di visitare il sito:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
In questo testo mi limiterò ad illustrarvi il numero di fibonacci nelle pigne.
Nella Figura 1.2 si può osservare che il numero delle spirali che ruotano in
senso orario sono 8 mentre quelle che ruotano in senso antiorario sono 13. I
numeri 8 e 13 sono due termini consecutivi della successione di Fibonacci.
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Figura 1.2: Le spirali delle pigne.
b
a
Figura 1.3: Il rettangolo aureo.
1.0.5
La sezione Aurea
La successione di Fibonacci ha un particolare legame con il numero Aureo. Per dare la definizione del numero aureo si consideri un rettangolo
(si veda la Figura 1.3) di base a e altezza b e si ponga φ = a/b.
Un rettangolo si dice aureo (φ = a/b aureo) se i lati a e b soddisfano alla
proporzione
a
a+b
=
.
b
a
Segue che φ = a/b è soluzione dell’equazione
√
φ2 − φ − 1 = 0
le cui radici sono φ = 1±2 5 . Essendo a e b positivi (lunghezze di segmenti)
si avrà che il numero aureo è
√
1+ 5
.
φ=
2
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Successioni ricorsive
C
b
D
A
M
B
H
a
Figura 1.4: Costruzione del rettangolo aureo.
√
Si noti che 1−2 5 = − φ1 .
Il numero Aureo è un numero irrazionale la cui rappresentazione decimale
inizia cosı̀:
φ = 1.61803398874989484820458683437
Complemento 1.12. Esiste una costruzione geometrica piuttosto semplice del rettangolo
aureo come mostra la Figura 1.4.
Si costruisce per primo un quadrato di vertici A, B, C, D e di lato b. Sulla base del
quadrato si traccia il punto medio M e si considera la circonferenza centrata in M e
raggio M C. La circonferenza interseca il prolungamento della base del quadrato in
un punto H. Mostriamo che a = AH e b sono in rapporto aureo. Per costruzione
a = AM + M H = b/2 + M C. Per calcolare M C applichiamo il Teorema di Pitagora
al triangolo rettangolo M BC. Si ottiene
r
r
b√
5b2
b 2
=
5.
M C = ( ) + b2 =
2
4
2
√
Segue che a = b( 1+2 5 ) da cui, dividendo per b, si ottiene
√
1+ 5
a
=
= φ.
b
2
Il legame tra la successione di fibonacci e la sezione aurea è il seguente.
Consideriamo la successione rn = fn /fn−1 ottenuta dividendo ogni numero della successione di Fibonacci per il precedente. I primi quattordici
elementi di rn sono
1, 2, 1.5, 1.66667, 1.6,
1.61765, 1.61818, 1.61798,
1.625, 1.61538, 1.61905,
1.61806, 1.61803, 1.61804.
Se adesso confrontiamo questi numeri con la rappresentazione decimale di
φ ci accorgiamo che rn si avvicina sempre di più a φ man mano che cresce
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1.1 Esercizi sulle successioni ricorsive
11
n. Si può infatti dimostrare che la successione rn tende a φ per n molto
grande.
Osservazione 1.13. Tramite il numero aureo è anche possibile descrivere
il generico elemento fn della successione di Fibonacci. Denotiamo, per
comodità,
√
√
1− 5
1+ 5
; β=
.
α=
2
2
Si può verificare che la successione
fn =
αn − β n
α−β
descrive tutti i numeri della successione di Fibonacci (provate!).
1.1
Esercizi sulle successioni ricorsive
1. Dimostrare che la successione an = 2n−1 è geometrica e determinare
la ragione ed il termine iniziale.
2. Dire se la successione an = log(2n+1 ) è aritmetica o geometrica.
3. Dire se la successione an = 3(1 + n) è aritmetica o geometrica.
4. Determinare la successione aritmetica sapendo che a2 = −7 e a5 =
−16.
5. Determinare la successione geometrica sapendo che a2 = 1/2 e a4 =
2.
6. Il tempo di dimezzamento del
14
C è di circa 5730 anni.
(a) Determinare l’età approssimativa di un reperto fossile nel quale
la concentrazione di 14 C risulta il 25% di quella dell’analogo
organismo vivente.
(b) Determinare l’età approssimativa di un reperto fossile nel quale
la concentrazione di 14 C risulta il 12.5% di quella dell’analogo
organismo vivente.
(b) Determinare la concentrazione di
circa 23000 anni.
14
C in un reperto fossile di
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12
Successioni ricorsive
7. In una coltura batterica ci sono inizialmente N0 batteri, che raddoppiano ogni 160′ (′ sta per minuti).
(a) Quanti batteri ci saranno dopo 22h?
(b) Dopo quanti minuti ci sono nella coltura il 25% del numero
finale di batteri trovato al punto (a)?
8. Il tempo di dimezzamento dell’ossigeno
15
O è 124′′ .
(a) Indicata con Q0 la concentrazione iniziale, trovare quella che si
ha dopo 9′ .
(b) Dire dopo quanti secondi si ha il 25% di Q.
9. Calcolare il 3% del 10% di una quantità a.
10. Determinare il termine generale della successione an nei seguenti
casi:
−1
−2
−3
a1 = 0, a2 =
, a3 =
, a4 =
4
6
8
a1 = −1, a2 = 0, a3 = 3, a4 = 8, a5 = 15
4
9
16
1
a1 = , a2 = , a3 = , a4 =
2
3
4
5
11. Dimostrare che se fn è la successione di Fibonacci allora
lim
n→∞
fn
=φ
fn−1
12. Una libreria asimmetrica ha degli scaffali che contengono in sequenza
un libro, due libri, quattro libri, otto libri e cosi via. Quanti scaffali
servono per collocare 1024 libri? e per collocarne 2147483648 ?
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