Successioni aritmetiche e geometriche

Successioni aritmetiche e geometriche
Definizione. Si dice successione (o progressione) aritmetica di termine iniziale a0 e ragione d
( d ∈ R ) la funzione a : N → R così definita :
a(n) = an = a0 + nd .
Esplicitandone le immagini in sequenza , si scrive :
a0 , a0 + d , a0 + 2d ,…, a0 + nd , …
Esempio La successione dei numeri pari 0,2,4,6,… è la successione aritmetica di termine
iniziale 0 e ragione 2 , definita dalla legge a(n) = 2n .
La successione aritmetica della definizione si esprime in forma ricorsiva ponendo an = an-1
+ d (n ≥1) e assegnando a0 come termine iniziale .
La successione dell’esempio si può dare in forma ricorsiva scrivendo an = an-1 + 2 (n≥1) e
specificando che il termine iniziale a0 vale 0 .
Può essere utile ricordare la formula che dà la somma dei primi n termini di una tale
successione ( di facile dimostrazione usando il principio di induzione matematica )
n −1
∑a
0
i
= na0 +
n (n − 1)
d
2
Definizione 3.2.2 Si dice successione (o progressione) geometrica di termine iniziale a0 e
ragione q ( q ∈ R ) la funzione a : N → R così definita :
a(n) = an = a0qn .
Esplicitandone le immagini , si scrive :
a0 , a0q , a0q2 ,…, a0qn, …
Esempio. La successione delle potenze di 2 : 1,2,4,8,16,… è la successione geometrica di
termine iniziale 1 e ragione 2 , definita dalla legge a(n) = 2n .
La successione geometrica della definizione si esprime facilmente in forma ricorsiva
ponendo an = an-1q , (n≥1) e assegnando a0 come termine iniziale .
La successione dell’esempio si può dare in forma ricorsiva scrivendo an = 2an-1 (n≥1) e
specificando che il termine iniziale a0 vale 1 .
La formula che dà la somma dei primi n termini di una successione geometrica è :
1
n −1
∑a
0
i
= a0
.
1− qn
.
1− q
Le successioni aritmetiche e geometriche intervengono nello studio di numerosi problemi di
tipo economico,biologico,medico .
Esempi
1) Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipendio di un lavoratore dopo n anni,
sapendone il valore iniziale s0 e supponendone un aumento annuale pari al 2% di s0.
Procedendo ricorsivamente, abbiamo
s(0) = s0
s(1) = s0 +
2
s0
100
s(2) = s(1) +
2
2
2
2
s0 = s0 +
s0 +
s0 = s0 +2
s0
100
100
100
100
…
s(n) = s0 + n
2
s0 .
100
Il problema è descritto da una successione aritmetica di termine iniziale s0 e ragione
2
s0
100
2) Si vuole schematizzare in modo ricorsivo il processo di decadimento radioattivo .
Alcune sostanze decadono nel tempo , trasformandosi in altre sostanze ; si dice tempo di
dimezzamento il periodo T in cui decade la metà degli atomi . Assumendo come unità di
misura dei tempi T e indicando con Q il numero degli atomi presenti inizialmente si ha :
Q(0) = Q
Q(1) =
1
Q
2
Q(2) =
1
Q
22
…
Q(n) =
1
Q
2n
Il processo è descritto da una successione geometrica di termine iniziale Q e ragione
2
1
2