Il circuito LC
Abbiamo discusso circuiti che combinano resistenze e condensatori (RC) e
resistenze ed induttanze (RL); abbiamo visto che, nel regime transiente di avvio o di
spegnimento della corrente nel circuito, le grandezza fondamentali (carica nell’RC o
corrente nell’RL) variano nel tempo, avvicinandosi al corrispettivo valore stazionario
con andamento esponenziale. La durata del regime transiente è determinata dalla
costante di tempo t.
Adesso consideriamo circuiti con presenza simultanea di condensatori ed induttori
(LC): negli LC le grandezze fondamentali (carica, corrente, potenziale) non presentano
un regime stazionario, ma variano indefinitamente nel tempo con andamento
sinusoidale, caratterizzato da un periodo (T) e frequenza (w) di oscillazione
caratteristica del circuito. Di conseguenza, anche il campo elettrico all’interno del
condensatore e campo magnetico nell’induttore non sono costanti, ma oscillano nel
tempo, ovvero danno origine a oscillazioni elettromagnetiche. Vedremo che:
w
1
LC
T
2
w
2 LC
Durante le oscillazioni, valgono in ogni istante le leggi di Kirchoff sui circuiti e la
conservazione dell’energia totale; ovvero (in assenza di resistenze):
1 q2 1 2
UC U L
Li
2C 2
COSTANTE
NEL TEMPO
Il circuito LC: primo semiperiodo
a) C è totalmente carico, UE è massima; L è scarico, ovvero i=0, UL =0
b) C inizia a scaricarsi e la corrente fluisce in senso antiorario attraversando L; l’energia
si trasferisce da C ad L, UE decresce ed UL cresce, la somma resta costante.
c) C è scarico, i è massima, il campo magnetico in L è anch’esso al suo massimo;
l’energia è totalmente accumulata in L.
d) i inizia a decrescere: L reagisce compensando la diminuzione con la corrente
indotta; i continua a fluire nello stesso verso, caricando i piatti di C con cariche
opposte a quelle iniziali
e) C è di nuovo totalmente carico, ma con campo elettrico di verso opposto a quello
iniziale; la corrente ed il campo magnetico in L sono nulli, tutta l’energia è in UE
(a)
(b)
(c)
(d )
(e)
Il circuito LC: secondo semiperiodo
f): Inizia il processo inverso, caratterizzato da una corrente di verso orario: C si scarica,
cresce la corrente ed il campo magnetico in L
g): la corrente ed il campo magnetico sono di nuovo al loro massimo, C è scarico
h): la corrente diminuisce, inizia il processo di ricarica del condensatore che riporta il
sistema allo stato di partenza (a).
In assenza di resistenze che dissipano energia, il processo si ripete indefinitamente con
una frequenza caratteristica.
(b)
(a )
(h)
(c)
(g )
(d )
(f)
(e)
Problema 31.1
Un condensatore avente C=1.5 mF è caricato ad una
tensione DV=57 V; una volta scollegato dalla
batteria, viene connesso in serie con una bobina
avente L=12 mH, dando origine ad oscillazioni LC.
Assumendo resistenza nulla nel circuito, si calcoli la
corrente massima del circuito.
In ogni istante durante le oscillazioni, l’energia totale UC + UL
deve conservarsi; inoltre sappiamo che nell’istante iniziale
tutta l’energia è elettrica, accumulata nel condensatore:
dopo un certo tempo tutta l’energia diventa magnetica: in
quell’istante la corrente è massima e la carica del
condensatore nulla:
1 q2
UC
; i0
2C
UL
1 2
Limax ; q 0
2
La carica iniziale del condensatore non è data, ma si può ricavare dalla capacità e dalla
tensione di carica
imax
q
C DV
1.5mF 57V
85.5mC
0.637 A
8 2
LC
LC
12mH 1.5mF
1.8 10 s
Vs C
H F s 2
A V
Equazione dell’oscillatore LC
Applichiamo la legge di Kirchoff al circuito LC in figura:
q
di
vC vL L 0
C
dt
d 2q q
L 2 0
dt
C
(1)
dq
i;
dt
di d 2q
2
dt dt
Equazione differenziale
del 2° ordine per q(t)
Siano I e Q i valori massimi di corrente e carica durante l’oscillazione. La soluzione
dell’equazione dell’oscillatore è:
q(t ) Q cos(wt f )
i(t ) wQ sin(wt f ) I sin(wt f )
(2)
(3)
Ove f è una fase arbitraria; si può facilmente dimostrare mediante sostituzione che
l’espressione (2) soddisfa l’equazione dell’oscillatore (1):
Il circuito LC è il prototipo di circuito a corrente alternata: il verso della corrente non
è costante, ma varia in continuazione, con una frequenza caratteristica del circuito
data da w
Equazione dell’oscillatore LC
dq
wQ cos(wt f )
dt
d 2q
2
w
Q cos(wt f )
2
dt
1
Q
2
w
w QL cos(wt f ) I cos(wt f ) 0
LC
C
La fase f è fissata dalla condizione iniziale: scegliendo f =0 stabiliamo che a t=0, C è
totalmente carico e la corrente nulla:
q(t ) Q cos(wt ) q(0) Q
2
q(t )
T
2 LC
w
i(t ) wQ sin(wt ) i(0) 0
Q
i (t )
I
Carica e corrente sono distinte (oltre che per
l’ampiezza dell’oscillazione) per una fase uguale
ad ¼ di periodo: quando q è massima (q = Q)
i=0; viceversa, quando q=0 i è massima (i=I)
Q
vc (t ) cos(wt )
C
vC vL 0
di
Q
vL (t ) L cos(wt )
dt
C
Oscillazioni dell’energia nel circuito LC
Da carica e corrente ricaviamo energia elettrica e magnetica in funzione del tempo:
1 q2 Q2
UC
cos 2 (wt )
2 C 2C
l’ampiezza delle oscillazioni è
la stessa per L e C, ed uguale a
Q2/(2C)
In qualunque istante la somma
delle energie è costante ed
uguale a Q2/(2C) il circuito LC
non varia la sua energia totale,
ovvero non c’è dissipazione di
energia
Quando UC è massima, UL è
nulla e viceversa
2
1 2 w 2Q 2 L
Q
U L Li
sin 2 (wt )
sin 2 (wt )
2
2
2C
Problema 31.2
Un condensatore avente C=1.5 mF è caricato ad una tensione
DV=57 V; una volta scollegato dalla batteria, viene connesso in
serie con una bobina avente L=12 mH, dando origine ad
oscillazioni LC.
a) Esprimere la differenza di potenziale ai capi dell’induttore
in funzione del tempo
b) Calcolare la frequenza delle oscillazioni LC
L’equazione del
circuito LC è:
q
di
L 0
C
dt
di
Ai capi di L la d.d.p è : vL L
dt
Nel circuito LC L’espressione della corrente è data da: i(t ) wQ sin(wt )
vL (t ) Lw 2Q cos(wt )
Q
cos(wt ) vC (0) cos(wt )
C
Ovviamente in ogni istante la d.d.p ai capi di L deve compensare la d.d.p. ai capi di C
w
1
1
1
1
1
0.74 104 7400
s
s
LC
12mH 1.5mF
1.8 108 s 2
NB: w è la frequenza in radianti, se voglio la frequenza uguale al numero di giri
nell’unità di tempo devo dividere w per 2
Problema 31.2
Un condensatore avente C=1.5 mF è caricato ad una tensione
DV=57 V; una volta scollegato dalla batteria, viene connesso in
serie con una bobina avente L=12 mH, dando origine ad
oscillazioni LC.
c) Calcolare il massimo valore per di/dt raggiunto durante le
oscillazioni
di
Q
C DV
DV
w 2Q cos(wt )
cos(wt )
cos(wt )
cos(wt )
dt
LC
LC
L
Ovviamente il massimo valore è:
di
dt
MAX
DV
57V
A
4750
L
12 mH
s
Analisi dimensionale: dalle relazioni tra L, C, e relative d.d.p. si ha
Vs Vs 2
H
;
A
C
F
C
;
V
HF s 2 ;
V
A
H
s
Il circuito ‘reale’ RLC
Nel circuito LC, l’energia oscilla sinusoidalmente,
muovendosi avanti e indietro tra condensatore ed
induttore.
Ovviamente nei circuiti reali c’è sempre una seppur
minima resistenza (a meno che i componenti del
circuito siano tutti superconduttori). Dunque, un LC in
realtà è sempre RLC.
Le resistenza dissipano energia, per cui l’effettivo andamento è oscillatorio smorzato,
come nel grafico della corrente in figura: dopo alcune oscillazioni l’energia iniziale del
circuito è totalmente dissipata e la corrente si estingue. Per avere oscillazioni durevoli
nel tempo è necessario inserire nel circuito un generatore di corrente alternata,
(ovvero corrente variabile sinusoidalmente nel tempo) che compensi la perdita di
energia dovuta alla resistenza del circuito.
Al fine di avere una corrente di ampiezza massima
possibile, è necessario che il generatore eroghi una
corrente di frequenza (wg) uguale alla frequenza
caratteristica del circuito LC, ovvero che sia:
wg w 1/ LC
condizione di
risonanza
Il generatore di corrente alternata
In figura è illustrato il principio di funzionamento
di un generatore di corrente alternata.
Supponiamo di mettere in rotazione uniforme,
mediante forza meccanica applicata dall’esterno,
una spira conduttiva, immersa in un campo
magnetico uniforme.
La variazione del flusso genera una f.e.m. indotta
e dunque una corrente nella spira.
La f.e.m. indotta dalla rotazione della spira è alternata,
con frequenza uguale a quella di rotazione della spira:
Em :
f.e.m. massima
wg :
E Em sin(wg t )
frequenza di rotazione della spira
Gli estremi della spira terminano con due anelli conduttori connessi mediante delle
spazzole metalliche al circuito esterno: durante la rotazione della spira le spazzole
restano in contatto col resto del circuito, permettendo alla corrente prodotta di
trasferirsi all’esterno; la corrente generata è:
i I sin(wg t f )
La differenza di fase f tra f.e.m. e corrente dipende dal circuito esterno
Potenza nel circuito a corrente alternata
Nel circuito RLC l’energia media del campo magnetico e del campo elettrico sono
costanti, per cui non causano dissipazione di energia; l’energia prodotta dal
generatore è interamente consumata su R, dunque il trasferimento di energia netta
avviene tra il generatore e la resistenza. La potenza istantanea dissipata su R è:
1
sin
2
2
P Ri 2 RI 2 sin 2 (wg t f )
La potenza media dissipata su R (< sin2 > =1/2):
2
I
P Ri 2 R
2
Utilizziamo il concetto di valore quadratico medio
I
2
P RI qm
I qm i 2 I 2 (1 / 2)
2
Allo stesso modo consideriamo tensione quadratica media e f.e.m. quadratica media
Potenza media erogata
Vqm V / 2 Eqm Em / 2 P EqmI qm VqmI qm
dal generatore
Se si considerano valori quadratici medi, le relazioni fondamentali tra le grandezze di
un circuito AC hanno la stessa forma di quelle di un circuito DC; i valori tipici di
tensione e corrente negli AC sono sempre riferiti a valori qm; per esempio, nelle
abitazioni Vqm=220 V; Iqm=16 A
Corrente alternata
Abbiamo visto che il circuito LC (in realtà RLC) è uno strumento per generare,
manipolare, ed utilizzare correnti alternate. La corrente alternata si indica col simbolo
AC (‘alternate current’), la corrente continua con DC (‘direct current’).
La corrente elettrica proveniente dalle centrali elettriche che alimenta abitazioni,
uffici, industrie, luoghi di lavoro è sempre corrente alternata; l’intensità varia
sinusoidalmente nel tempo, e cambia verso con una frequenza che per le reti europee
è di 50 Hz (dunque inverte il segno 100 volte al secondo!!). Negli USA la frequenza è 60
Hz.
Quali vantaggi ha la corrente alternata rispetto a quella continua?
Si adatta meglio a meccanismi rotanti, quali generatori e motori elettrici
Con la corrente, anche il campo magnetico da essa generato cambia verso: ciò
permette applicazioni pratiche importanti basate sull’induzione magnetica
E’ funzionale all’utilizzo del trasformatore, uno strumento estremamente
importante nell’elettronica moderna.
Trasmissione di Energia: il trasformatore
Si è visto che, nei circuiti AC (in seguito omettiamo il pedice ‘qm’,
dando per scontato che correnti e tensioni siano valori qm):
P V I
Supponiamo di aver bisogno, per far funzionare i nostri strumenti
elettrici, di una determinata quantità di potenza media: la stessa
potenza può essere erogata da correnti elevate a basso
voltaggio, oppure basse correnti ad alta tensione.
Per ragioni di sicurezza ed efficienza, è preferibile avere, sia nell’impianto di
produzione (la centrale termoelettrica o idroelettrica), sia nel luogo di utilizzo
(l’abitazione o l’ufficio), basse differenze di potenziale e alte correnti.
Di contro, se l’energia deve essere trasportata attraverso grandi distanze, per la legge
di Joule è molto sconveniente avere alte correnti, poiché la potenza dissipata lungo il
cavo dipende dal quadrato della corrente. Si preferisce dunque trasportare piccole
correnti ed alta tensione (fino a 500 KV !).
Il problema è risolto mediante l’uso del trasformatore, uno strumento in grado di
trasformare potenze elettriche di alta tensione e basso voltaggio in bassa tensione ed
alto voltaggio, e viceversa.
Il trasformatore ideale
Il funzionamento del trasformatore si bassa sul
meccanismo di induzione magnetica di Faraday, e
funziona soltanto per correnti alternate. Di
contro, trasformare correnti continue richiede
metodi molto più complessi, per cui è sempre
preferibile utilizzare correnti AC in caso ci sia
necessità di una trasformazione di tensione.
Il trasformatore ideale (in figura) è costituito da 2 bobine
avvolte attorno ad un nucleo di ferro; la bobina primaria ha
Np spire, quella secondaria Ns spire. La prima è connessa con
un generatore di corrente alternata.
La corrente alternata nel circuito primario produce un campo
magnetico ed un flusso variabile FB nella bobina primaria; il
flusso si trasmette uniformemente a tutto il nucleo di ferro
(poiché il ferro è un materiale ferromagnetico), dunque
anche nella regione della bobina secondaria è presente lo
stesso flusso; ne deriva che su ogni singola spira delle due
bobine agisce la stessa f.e.m.:
Il trasformatore ideale
Essendo le f.e.m. indotte nelle singole spire tutte
uguali, la tensione complessiva ai capi delle due
bobine deve essere:
dF B
Vp N p
dt
dF B
Vs N s
dt
Ns
Vs
Vs Vp
N p Ns
N
p
Vp
Trasformazione
della tensione
Se Ns > Np spire il trasformatore è detto elevatore, poiché eleva la tensione d’ingresso
Vp (fissata dal generatore) ad un valore più alto; altrimenti se Np > Ns è detto riduttore.
Se chiudiamo il circuito della bobina secondaria si genera una
corrente alternata Is ed una corrispondente potenza dissipata:
P RI s2 Vs2 / R
Is produce a sua volta un flusso alternato nel nucleo del ferro, ed una f.e.m. opposta
nella bobina primaria: dovendo Vp rimanere la stessa, il generatore eroga una corrente
alternata Ip che annulla la f.e.m. prodotta da Is nell’avvolgimento primario. Se non ci
sono perdite di energia, la potenza trasportata dal primo al secondo avvolgimento
deve essere:
Np
Trasformazione
I s I p
P I pVp I sVs
della corrente
Ns
