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'''-.
- --- -
48
F.-Ù
CAP.S
CAPITOLO TERZO
LEGGI DEI CIRCUITI ELETTRICI
1-
Circuiti a costanti concentrate
Da un punto di vista energetico, un circuito elettrico '.o re;e elettrica)
è un sistema di elementi conduttori connessi tra loro in modo cae energia elettrica possa essere trasferita dall'uno all'altro di essi e da questi
SII
verso l'esterno in forme diverse (calore, luce, lavoro). D~alt::-apar ;e se da
un circuito elettrico esce energia, altrettanta
Il
energia deve essere fornita
Si
o dall'esterno al circuito o da qualcuno degli elementi stessi cid circuito.
Questi sono i generatori, dispositivi capaci o di convertire in energia elet-
.•.
trica altra energia fornita ad essi dall'esterno o di fornire direttamente
energia elettrica a scapito di una qualche forma di energia interna da essi
posseduta.
Per studiare il comportamento dei circuiti si utilizza una schematizzazione degli elementi circuitali che generalmente è in buon accordo con la
realtà. Ogni circuito è immaginato come costituito da elementi occupanti
un piccolo tratto dì questo e collegati da conduttori di resistenza nulla.
Si immagina cioè tutta concentrata in un resistere di resistenza R la resistenza dell'intero circuito e si attribuisce resistenza nulla ai conduttori
di collegamento.
Nella realtà, poichè i cavi di collegamento hanno resistenze che sono
sempre molto piccole (dell'ordine di frazioni di ohm), basterà che nel circuito sia presente un tratto
con resistenza dell'ordine dell'ohm perché
l'approssimazione fatta si possa considerare valida.
Il più semplice dei
circuiti elettrici è pertanto schematizzabile come è mostrato in fig. 1.1.
••
11IIII
49
PARTE I - CAP.3
+
R
Fig. 1.1
Peraltro lo schema di circuito chiuso riportato nella fig. 1.1 è troppo
semplice per poter essere direttamente
usato nella maggior parte dei casi
reali. In generale la corrente fluisce in sistemi più o meno complessi di resistori, alcuni dei quali possono essere ricondotti a situazioni più semplici.
2 - Resistori in serie
Due resistori collegati fra loro uno dopo l'altro (con un solo estremo
in comune quindi) in modo da essere attraversati
dalla stessa corrente si
dicono in serie (vedi fig. 2.1).
R,
R2
R3
Fig. 2.1
La resistenza R, equivalente dal punto di vista elettrico all'insieme
delle resistenze degli n resistori in serie, è facilmente determinabile osservando che, se I è la corrente che circola nei resistori,
VA -
VAI
= RlI,
VAI:-
VA2
= R2I,
VAn_1
1l
-
VB
= RnI
PARTE I - CAP.3
50
e
t VAl - VA2
VA - VA
+ ...+ VA +l
n
- VB
= VA -
VB
da cui, essendo ,;,·_"rdìnizione,
VA - VB = RI
VA - VB = (Rl
+ R2 + ...+ Rn)I
=
RI
!
e quindi
~
n
R
?
~l
1,
= R1 + R2 + ...+ R; = 2.::::: Ri
i=1
~.
I
3 - Leggi di Kirch}I0ff
In una rete elettrica
s'intende
un punto
ramo s'intende
sono riconoscibili
di congiunzione
una catena
la quale non sono presenti
rami costituenti
nodi, rami e maglie. Per nodo
di tre o più elementi
di elementi
che congiunge
per
due nodi e lungo
altri nodi; per maglia s'intende
un cammino
circuitali;
chiuso tale che, muovendosi
un insieme di
lungo di esso,
ogni ramo venga percorso una sola volta.
Per risolvere
intensità
il problema
delle correnti
di determinare,
nei singoli rami di una rete (o le d.d.p.
questi) note le f.e.m. dei generatori
di corrente
nel caso più generale,
le
aicapi
di
di tensione e le correnti dei generatori
(elementi attivi) e gli elementi passivi presenti nella rete, sono
stati introdotti
dei criteri convenzionali
in modo comodo e sbrigativo
i quali permettono
di. applicare
a casi concreti alcuni principi fondamentali
della fisica: questi criteri sono noti come leggi di. Kirchhoff.
a) - Prima legge di Kirchhoff o legge dei nodi
Consideriamo
conduttori
un nodo N e la superficie chiusa 8 costituita
e delle sezioni 81, 82,
nodo, come illustrato
in fig. 3.1.
••.
immaginate
da quella dei
ad una certa distanza
dal
"
51
PARTE I - GAP.9
"
Fig. 3.1
Trattandosi
di una superficie chiusa, il flusso di
regime stazionario
conduttori
deve essere uguale a zero.
i attraverso
In questa situazione nei
in esame non ci sono accumuli di cariche (~~
i è solenoidale).
di essa in
=
O, divi
=
O,
Ciò significa che il campo elettrico deve essere lo stesso
in tutti i punti del circuito e questo è abbastanza
vero finchè la velocità
di variazione del campo elettrico è piccola rispetto alla sua velocità di
propagazione
("" 3.108
lungo il conduttore
m/s).
Per questo motivo
si considerano stazionari regimi in cui i campi sono variabili nel tempo
con frequenze fino a circa 106 Hz e la validità di questa legge è estesa
a correnti alternate
con frequenze fino a questi valori.
È ovvio che in
questi casi la legge va scritta per un istante di tempo fissato ad arbitrio.
i attraverso
Per quanto sappiamo il flusso di
flussi attraverso le sezioni 81, 82,
••• ,
8 si riduce alla somma dei
i quali non rappresentano
altro che
le intensità di corrente nei rispettivi rami, prese con segno opportuno,
e cioè positive quelle che si allontanano dal nodo, negative quelle che vi
convergono. Se indichiamo con h, 12, ... le intensità di corrente attraverso
le sezioni 81, 82,
••.
e ci riferiamo al caso illustrato in fig. 3.1, si ha
- Il
+ 12 + 13 -
14 + 15
e, in generale,
(3.1)
Lh=O
"
.1
. ,;';
..
'.\.'~
k
=O
,;
PARTE 1- CAP.3
52
ossia: per ogni nodo è nulla la somma algebrica delle correnti che in esso
si incontrano, con la convenzione di attribuire
in un certo istante un segno
alle correnti fluenti verso il nodo, il segno opposto a quelle fluenti in verso
contrario.
b) - Seconda legge di Kirchhoff 'o legge delle maglie
Consideriamo una maglia costituita
eventualmente
da più rami in ognuno dei quali sono
presenti elementi attivi e/o passivi.
erogata dai generatori,
una caratteristica
A parità di corrente
il valore del potenziale in un punto del circuito è
fissa di quel punto, pari, ad esempio, a VA. Partendo da
questo punto del circuito, seguendo idealmente un percorso chiuso lungo
di esso fino a ritornare
al punto di partenza e sommando a VA tutti gli
'j.:
eventuali incrementi o decrementi
di potenziale prodotti
dagli elementi
presenti nel circuito e misurabili con un opportuno strumento,
quando si
torna in A il potenziale deve valere ancora VA'
(
B
J[
A
D
Fig. 3.2
Deve cioè essere (vedi fig. 3.2 ad esempio)
VA + (VA - VB)
+ (VB -
Ve)
+ (Ve
,~:
- Vv)
+ (Vv
- VA)
= VA
~!
il che equivale a dire che, indicata con Ei la generica d.d.p. esistente ai
~II
capi degli elementi che costituiscono
il circuito, lungo di esso è nulla in
"..'
ogni istante la somma algebrica di tutte le d.d.p. esistenti ai capi di ogni
,'.
elemento, cioè
'
n
(3.2)
LEi=O
i=l
'f;
1
,1
.~
F4.RTE I _ CAP.9
59
C"
Anche in questo caso, trattandosi
::drariamente
di somma algebrica, bisogna fissare ar-
dei criteri univoci per stabilire il segno di ogni Ei. Questi
possono essere scelti in parecchie combinazioni
ovviamente da portare allo stesso risultato:
diverse, tutte
però tali
in ogni ramo circola una cor-
rente, con una certa intensità e un certo verso.
Si potrebbe
quindi enunciare questi criteri in modo molto generale,
in modo da lasciare arbitrarie
tutte le scelte. In pratica però, per evitare
confusioni, è più opportuno scegliere sempre un'unica combinazione e utilizzare sempre quella.
i) Si scelga a piacere in ogni ramo il verso in cui fluisce la corrente
incognita: se, a conti fatti, il valore dell'intensità
della corrente risultasse
in un certo istante negativo, significa solo che in realtà la corrente
quell'istante
in
fluisce nel verso opposto.
ii) Si scelga un verso nel quale muoversi lungo la maglia (verso di
percorrenza),
ad es. quello orario.
/
Per gli elementi passivi (resistori, condensatori scarichi, ecc.), si attribuisca
alla d.d.p. ai loro capi il segno
con il verso di percorrenza,
+ se la corrente
che li attraversa è concorde
il segno - in ~aso contrario.
Se, ad esempio, nel ramo del circuito che collega i nodi A e B è presente
un resistore di resistenza R, si fa l'ipotesi che la corrente I circoli nel ramo
da A a B e si sceglie come verso di percorrenza lungo la maglia quello che
va da A a B, deve -essere
VA-VB=IR
o anche
VB = VA - IR
Sulla resistenza R c'è una caduta di tensione.
Per gli elementi attivi
(generatori,
condensatori
carichi, ecc.), nel
quali la polarità è prefissata dalla situazione sperimentale,
in analogia al
54-
;1","')
PARTE I - CAP.S
caso precedente
di percorrenza
producono
si attribuisca
producono
degli aumenti
Se, ad esempio,
presente un generatore
il segno
+a
quelle d.d.p. che lungo il verso
delle cadute di tensione, il segno - a quelle che
di tensione,
nel ramo del circuito
che collega i nodi A e B è
lungo la maglia quello che va da A a B, quando ad Aè connesso il polo
del generatore,
:1:
di f.e.m. Eo e si sceglie come verso di percorrenza
e quindi lungo il verso di percorrenza
si incontra
+
VA - VB
"
prima il
polo positivo e poi quello negativo, la d.d.p. ai suoi capi va presa positiva,
in quanto essa produce una caduta di tensione:
I.:
I>
~
~{
I~'
;}
infatti
..
~
}l
= Eo
i-
VB = VA - Eo
~
1
e quindi VB < VA.
Quando
invece ad A è connesso
lungo il verso di percorrenza
positivo,
la d.d.p.
un aumento
il polo - del generatore,
e quindi
si incontra prima il polo negativo e poi quello
ai suoi capi va presa negativa,
in quanto essa produce
di tensione; infatti
VA - VB = -Eo
VB
= VA +Eo
e quindi VB > VA.
Per esemplificare
schematizzata
meglio quanto
in fig. 3.3a; consideriamo
per mezzo dei nodi che la individuano,
detto
ABCDEA ed applichiamo
ad essa
i versi delle correnti nei rami come mostrato
di partenza
muova lungo il verso di percorrenza
alla rete
indicare
Per far questo si scelga un verso di percorrenza
come punto
riferiamoci
la maglia, che possiamo
la seconda legge di Kirchhoff (3.2), stabilendo
Si prenda
sopra
le opportune
convenzioni.
lungo la maglia e si fissino
in fig. 3.3b.
il nodo A con potenziale
VA e
Cl SI
scelto nella maglia:
~
55
PA.RTE I - CAP.9
___
C
12
c
B
8
1.\
A +
A +
E01
E
E
Fig. 3.3
nel punto A:
il potenziale vale VA per ipotesi
perchè It ha verso contrario a quello di percorrenza
VA - VB = -ItRI
nella maglia;
nel punto B:
VB
VB - Ve = -I2R2
nel punto C:
= VA + IIRI
perchè 12 ha verso contrario a quello di percorrenza;
Ve = VB
Ve - VD = - I3R3
+ I2R2
+ E02
= VA
+ IIRI + I2R2
perchè 13 ha verso contrario a quello di
percorrenza e E02 produce una caduta
di tensione in questo verso;
nel punto D : VD = Ve
VD
-
VE = I4R4
nel punto E:
VE - VA
VE
= - EOI
+ I3R3
- E02 = VA
+ IIRI + I2R2 + I3R3
- E02
perchè 14 ha lo stesso verso di quello di percorrenza;
= VD -
I4R4
= VA + IIRI + I2R2 + I3R3
- E02 - I4R4
poichè EOI produce un aumento di tensione nel verso
di percorrenza;
nel punto A: VA = VE+Eo1
,
,
f
= VA +ItRI
+I2R2+I3R3-Eo2-I4R4+EoI
per cui la (3.2) per questa maglia può essere scritta nella forma
(3.3)
IIRI
+ I2R2 + I3R3
- E02 - I4R4
+ EOI = O
1
È evidente che nella pratica tutti i passaggi effettuati nell'esempio sopra
J
< •• ~-
~~
.'
i
PARTE I - CAP.9
56
illustrato vanno omessi e che il risultato (3.3) va scritto come una diretta
applicazione alla (3.2) delle convenzioni scelte per la maglia in esame.
È anche evidente che l'equazione (3.3) non è sufficiente per risolvere il
problema di determinare
l'intensità
rami della rete schematizzata
ben quattro
delle correnti incognite circolanti nei
in fig. 3.3. Nella sola (3.3) compaiono infatti
incognite e per di più lo schema a cui appartiene
la maglia
analizzata suggerisce che la rete sia molto complessa, costituita
da molte
maglie con numerosi nodi e rami.
Peraltro, per quanto complessa sia una rete costituita
e passivi noti, le leggi di Kirchhoff permettono
il problema del calcolo delle intensità
goli conduttori
di risolvere univocamente
di corrente che circolano nei sin-
della rete, in quanto grazie ad esse è possibile scrivere un
sistema di equazioni lineari e indipendenti
intensità
da elementi attivi
di corrente incognite.
pari in numero a quello delle
Basta applicare le leggi di Kirchhoff in
modo che ogni incognita (ad es. la corrente in ogni ramo) ed ogni elemento attivo e passivo vi figurino almeno una volta e che il numero delle
equazioni linearmente indipendenti
sia uguale a quello delle incognite.
In pratica in una rete costituita da n rami, m maglie indipendenti e p
nodi, si scelgono come incognite le n correnti di ramo e poichè n = m+p-l,
si applica la prima legge di Kirchhoff a p-l
equazioni linearmente indipendenti,
nodi, in modo da avere p-l
quindi si applica la seconda legge di
Kirchhoff alle m maglie indipendenti,
scegliendole tra quelle con il minor
numero di elementi possibile, e si risolve il sistema di n = m
equazioni linearmente indipendenti
4 - Resistori
+ p-l
per ricavare i valori delle n incognite.
in parallelo
Due o più resistori collegati in modo da avere gli estremi a contatto
e quindi sempre allo stesso potenziale si dicono in parallelo (vedi fig. 4.1)
La resistenza. R, equivalente dal punto di vista elettrico all'insieme delle
resistenze degli n resistori in parallelo, è facilmente determinabile
osser-·
J
"
57
PARTE I - CAP.9
R,
R2
A
B
R3
Fig. 4.1
vando che, se I è la corrente totale nel circuito,
!t
+ 12 + 13 + ... + In = I
e
VA - VB =!t,
Rl
... ,
VA - VB = 12,
R2
VA -;;Vo
da cui, essendo per definizione
VA -VB
VA - VB
Rl
R
+
=
VA - VB = In
Rn
I,
VA - VB
R2
+ ... +
VA - VB _ I
Rn
-
e quindi
1
1
R = R
1
1
+ R2 + ... + iln =
1
È utile sottolineare
più resistori
che la resistenza
in serie è sempre maggiore
n
1
i=l
'
L R·
equivalente
di ciascuna
a quella di due o
delle resistenze
resistori del sistema, mentre nel caso di due o più resistori in parallelo,
resistenza
equivalente
è sempre minore di quella di ciascun resistore
sistema; infatti poichè
------
~t
"'-,
R1R2
Rl
R = Rl + R2__ 1 + .fu.
'-_
..
_----
R2
R2
1 +.fu.
Rl
dei
la
del,
PARTE I - CAP.9
58
si vede che è sempre
R < RI
Inoltre
se si collegano
grande
e l'altro
R < R2
e
in serie due resistori
con una resistenza
piccola,
poco più grande di quella del resistore
uno con una resistenza
la resistenza
con resistenza
si collegano in parallelo gli stessi due resistori,
equivalente
grande,
la resistenza
poco più piccola di quella del resistore con resistenza
mentre
è
se
equivalente
è
piccola.
Se n resistori hanno resistenze tutte uguali ad R sarà evidentemente:
quando sono collegati in serie
Rtot = n R
quando sono collegati in parallelo
Rtot
=
R
n
5 - Resistori nè in serie nè in parallelo
È bene sottolineare
che in generale in un circuito complesso due resi-
stori non sono né in serie né in parallelo.
Basta riferirsi al circuito mostrato
in fig. 5.1 per everne conferma.
resistori abbiano tutti la stessa resistenza
I
R1
R2
R3
R4
I quattro
R.
(G~
Fig. 5.1
~
J
PARTE I - CAP.9
59
I resistori Rl ed R2 sono in serie, così come lo sono R3 ed R4; l'insieme
dei resistori Rl ed R"l. è in parallelo all'insieme di R3 ed R4 , ma Rl ed
R4 ad es. pur essendo attraversati
da una corrente della stessa intensità,
non sono serie, in quanto non hanno un estremo in comune, così come
non sono in parallelo ad es., R2 ed R4, pur avendo ai loro capi la stessa
d.d.p.: non hanno infatti i due estremi in comune.
6 -
Esempi di applicazione
delle leggi di Kirchhoff
a) - Partitore di tensione e potenziometro
R)
n
+
Eo
I G
...
R2
I
Fig. 6.1
Usando la seconda legge di Kirchhoff è facile determinare ad es. la d.d.p.
E2 ai capi del resistere R2 di fig. 6.1 in funzione di Eo, Rl ed R2•
Si ha
infatti, indicando con I la corrente che circola nel circuito in verso orario
e scegliendo come verso di percorrenza pure quello orario,
-Eo + IRI
+ IR2 = O
da cui
Eo
1= Rl
Poichè E2
= I R2
sarà anche
+ R2
PARTE I - CAP.~
60
Rz
Ez = R
1
+ R 2 Eo
Le due resistenze in serie Rl edRz costituiscono
il più semplice dei partitori
di tensione.
Questo nome è dovuto al fatto che applicando
ad es. ai capi di R2, una d.d.p. più piccola di Eo
Eo, è possibile ottenere,
e di valore dipendente
al sistema una d.d.p. nota
dal rapporto
Rz
R, +R2
che, scegliendo opportunamente
Rl e Rz, può essere determinato
Il sistema
Eo ai capi di Rl ed Rz in un modo che
"ripartisce"
la d.d.p.
a priori.
dipende solo dai valori di Rl ed R2•
Il partitore
può essere ovviamente
piacere di resistori ed addirittura
in modo continuo:
gli estremi A e B di un potenziometro
tra il contatto
strisciante
t
G
basta infatti collegare
alla d.d.p. Eo e prelevare la tensione
]
)
con una serie lunga a
C e uno degli estremi A o B (vedi fig. 6.2).
+1
Eo
costruito
R
A
»(1-0lR
-+--
JoR
B
Fig. 6.2
.
[
PARTE 1- CAP.9
61
La resistenza R del potenziometro
risulta divisa dal contatto strisciante
in due resistenze, una di valore
R'
= R«
(con O < a < 1)
l'altra di valore
R" = R(l - a)
In questo modo la resistenza R' può variare da un minimo uguale a zero
fino ad un massimo uguale ad R e la d.d.p. ai suoi capi
E' =
R'
R' + R"Eo
=
R'
REo
=
aEo
pure da O ad Eo.
Quando è alimentato
da un generatore di f.e.m. fissa Eo, il poten-
ziometro si comporta come un generatore di f.e.m. E' variabile da O a Eo.
Nella maggior parte degli strumenti
elettrici di uso quotidiano,
delle manopole vuole dire azionare un potenziometro,
ruotare
cioè programmare
in un certo circuito una d.d.p. opportuna.
b) - Partitore
di corrente
Se due (o più) resistori in serie costituiscono
un partitore
di tensione,
due (o più) resistori in parallelo costituiscono un partitore
di corrente.
lliferendoci al caso semplice di fig. 6.3, usando le leggi di Kirchhoff è fa-
J-+
Eo
G
A
n
n
Rl~Vl
--l
B
R2~jJ2
D
Fig. 6.3
.,
s#
c
PARTE 1- CAP.3
62
cile determinare ad es. la corrente 12 (o Il) che circola nel resistore R2 (o
RI) in funzione di I, la corrente erogata dal generatore, RI ed R2•
Al nodo A è infatti
= Il + 12
I
e nella maglia AB CD A
12R2
IIRI
-
= O
",;
e quindi
:t.~
I
{
= Il
+ 12
12R2 - Il RI
{
=O
12 = I - Il
12R2
-
=O
IIR2 - IIRI
lli-[
{ Il =
Rl+R~
12 =
Rl~R~
S'
I
c) - Si consideri il circuito di fig. 6.4, dove in Rl ed R2 sono comprese
anche le resistenze interne delle due pile.
Utilizzando le leggi di Kirchhoff determiniamo le correnti che fluiscono
nelle resistenze,
tenendo presente che non si conoscono né le loro inten-
sità, né i loro versi. In questo circuito sono individuabili, per quanto detto
in precedenza, due nodi (B ed E) e tre maglie (ABEF A, BCDEB
e
ABCDEFA).
A
R1
R4
B
C
+
E02
R3
E01
F
E
R2
D
Fig. 6.4
-----
PARTE I - CAP.3
63
Per risolvere il problema di determinare le n correnti incognite dovremo
risolvere un sistema di n equazioni linearmente indipendenti, scelte in
modo che ogni grandezza del problema
(Rl,
R2,
R3, R4,
EOl· e E02)
vi compaia almeno una volta.
Il numero delle correnti incognite deve essere uguale al numero dei rami.
Nel nostro caso questi ultimi sono tre, quindi tre sono le incognite
del nostro problema
e il sistema risolvente deve essere composto
da
tre equazioni linearmente indipendenti.
Possiamo ad esempio applicare le leggi di Kirchhoff al nodo B e alle maglie
ABEF A e BCDEB.
Facciamo osservare infatti che la scelta contempo-
ranea dei due nodi (più una maglia qualsiasi) avrebbe portato ad un sistema di tre equazioni non linearmente indipendenti, perchè le equazioni
per i due nodi sono identiche.
Scegliamo nelle due maglie un verso di percorrenza e i versi delle correnti
come mostrato in fig. 6.5.
Per la prima legge di Kirchhoff applicata al nodo B si ha
Il
+ 12 + 13 = O
Per la seconda applicata alla maglia AB E F A si ha
-EOl
A
R1
+ IlRI
- 13R3
=O
Il B 12 R4
c
n ~R3n
+
E01
+
E02
13
F
E
Fig. 6.5
R2
D
PARTE I - CAP.8
64
Ancora per la seconda legge applicata alla maglia BC D E B si ha
+ 13R3
Eoz - IzRz
Si tratta
=O
- IzR4
quindi di risolvere il sistema
i. + 12 + 13
(6.1)
{
Rllt
- R3h
(R2
+ R4)I2
=O
= EOl
- R313 = E02
Si ottengono per le tre intensità di ~oirente i seguenti valori
l.
I l -
I 2 -
I 3 -
EOl (Rz+R3+R4)-EozRs
RlRz+RlR3+RlR4+RzR3+R3R4
-Eol Rs+Eo2 (Rl +Rs)
RlR2+RlR3+RlR4+R2R3+R3R4
-Eol (R2+R4)-Eo2Rl
RlR2+RlR3+RlR4+R2R3+R3R4
È evidente che queste possono risultare positive o negative a seconda dei
valori delle resistenze e delle f.e.m.:
ad es.
se lt > O significa che la
,_.
corrente fluisce nel verso scelto arbitrariamente
-"
-_
...•. '.-_.-
,
..
,
.._"
_-_
,-,,-_
..
""
-
,
--_.-,._"
-"'.'---
-
__
~.'-
.•
::-_':-;~_.
"0
all'inizio del problema, se
"~-"----"--
invece Il < O, la corrente fluisce nel verso opposto ..
7 - Teoremi per la risoluzione dei circuiti elettrici
Le leggi di Kirchhoff, pur permettendo
la risoluzione di circuiti li-
neari anche molto complessi, molto spesso comportano,
determinazione
per arrivare alla
delle incognite, svolgimenti molto lunghi e laboriosi.
Gli stessi circuiti spesso possono essere risolti molto più rapidamente
diante l'applicazione
me-
di utilissimi teoremi che, pur essendo derivati dalle
leggi di Kirchhoff, sfruttando particolari disposizioni circuitali, consentono
soluzioni semplici, quindi meno soggette a banali errori di calcolo.
Qui di seguito sono riportati
alcuni dei più importanti
di questi teoremi.
65
PA.RTE 1- CAP.3
a) - Teoremi di Thévenin e di Norton
Il teorema di Thévenin afferma che una rete elettrica attiva (cioè contenente uno o più generatori),
considerata
tra due generici suoi punti, è
equivalente ad un generatore avente per f.e.m. (Eo) la tensione esistente
tra i due predetti punti quando non sono collegati da altro conduttore
e
per impedenza interna (Zo) una impedenza uguale a quella presente tra
i due punti considerati,
nell'ipotesi che siano nulle tutte le f.e.m.
e le
correnti fornite dai generatori presenti nella rete.
Il teorema di Norton afferma che una rete elettrica attiva, considerata
tra due generici suoi punti, è equivalente ad un generatore di corrente che
fornisce una lo uguale alla corrente che circola tra i due predetti
quando questi siano stati cortocircuitati,
interna Yo uguale all'ammettenza
punti
con in parallelo una ammettenza
presente tra i due punti considerati,
nell'ipotesi che siano nulle tutte le f.e.m. e le correnti fornite dai generatori
-
presenti nel circuito (vedi fig. 7.1).
Osserviamo che annullare una f.e.m. implica sostituire il generatore ideale
corrispondente con un corto circuito e annullare una corrente implica sostituire il generatore ideale corrispondente con un circuito aperto. Eventuali
impedenze interne dei generatori vanno lasciate inserite nella rete.
Per valutare la potenzialità
di questi teoremi vediamo qualche esempio.
_
+,1
l
11
I.
RETE
LINEARE
yLo
1
I.
E
Ja
I
E
equivale
-t
{
8
I
-L
Fig. 7.1
I
I
.8
l:
.
F'.~...?rrI - CAP.3
66
R]
EOl
.A
A
IY~
+()
+n=1
Eo
<R.
lil
B
~Jft.
<F
i
(a)
(b)
Fig. 7.2
Dato il circuito
applichiamo
in fig. 7.2a si voglia determinare
il teorema
resistenza
fra A e B:
di Thévenin.
il circuito a monte dei punti A e B è equivalente
Per questo tutto
generatore
la d.d.p.
ad un
di f.e.m. Eo, pari alla tensione tra A e B a vuoto (cioè senza la
R4) e con una resistenza
cortocircuitando
il generatore
interna Ro pari alla resistenza
di f.e.m. EOl, come illustrato
esistente
in fig. 7.2b.
Si ha allora che
Eo =.
R
».
- R
0-
La d.d.p.
Eo!
R2
+R2
3
R2Rl
R2 + Rl
+
EAB fra A e B diventa facilmente
calcolabile
dal circuito
di
fig. 7.2b e vale
......••.
~
EAB
Eo
= -m-l.-.~R-R4
.LL(J
-.t-
4
= R
3
+
Rl+R2
RIR2
(Rl +R
+ R4
)
R4=
~,
\il!
i\~\
2
~ \\~,...•
~J'-7"
- RIR2
+
EOIR2R4
(Rl + R2)(R3
\
+ R4)
lÌ
Lo stesso risultato
può essere ottenuto
applicando
fig. 7.2a il teorema
di Norton.
circuito
Detto
.•
allo stesso circuito di
è equivalente
a quello di
PARTE 1- CAP.9
67
A
Ro
lo
R4
])
Fig. 7.2c
fig. 7.2c dove lo è la corrente che circola tra A e B quando questi sono in
cortocircuito e Ro è la resistenza che esiste tra A e B cortocircuitando
il
generatore di tensione di fig. 7.2a.
Per trovare lo riferiamoci al circuito di fig. 7.2d ed applichiamo ad esso le
leggi di Kirchhoff. Si ha cosÌ:
per la maglia ABCDEFA
-Eo!
+ IoR3 + IR! = O
per il nodo B
I - lo - 12 = O
per la maglia BCDEB
R3
cioè
IoR3 - 12R2 = O,
1--1
2 - R0
2
B
è
+
EOl
lo
F I
E
Fig. 7.2d
D
PARTE
68
I - CAP.3
e quindi
I
che,
SOS~l
lo nella prima equazione, porta a
EOl
'
.-
'~Sl
R3
z
= lo + -lo
R
= IoR3
R3
)IoRl
z
+ (1 + R
..ricava
lo
1-
=
Rz
R1(Rz
+ R3) + RZR3 EOl
RZRl
u, = R3 + R z + R
o
~
1
\.
Utilizzando i valori qui calcolati nel circuito di fig. 7.2c, è immediato
\
ricavare per E AB il valore trovato in precedenza.
Come si vede però,
l'applicazione del teorema di Norton ad un circuito con generatori di tensione e con "strutture"
a maglie porta a calcoli molto più macchinosi che
non l'applicazione del teor' ma di Thévenin. Nulla però, in linea di principio, ne vieta l'uso: la scel
'tra l'uno o l'altro sarà solo una questione di
opportunità.
b) - Teoren4"," -,-"
.~--
r:1;
.'._~
Anche questo teorema è molto :':~L'
uellasemplificazione dei circuiti elettrici. Esso è vantaggiosamente applicabile ad un circuito costituito da n
rami in parallelo tra i due nodi A e B.
Note le f.e.m. e le resistenze presenti nei singoli rami, si può calcolare la
d.d.p. tra i nodi comuni mediante le seguenti relazioni
n
EAB
= Req L
EOi
Ri
i=l
dove
n
u.; = l/L
i=l
1
R.
~
Nella sommatoria le f.e.m. che hanno il segno
+ dalla
parte del punto A
vanno scelte come positive, le altre come negative.
,
,-
•••••
69
PARTE I - CAP.3
A
+
k,.,
EOI
','.
\.
-,,-,--~
..
R.4
R)
",t/':";;',
~~!(
B
~f
·/1
Fig. 7.3
J
Anche per questo teorema vediamo un esempio: applichiamolo al circuito
di fig. 7.3.
EAB
l:
7\
~~
«u\
((.~
R
eq
=
EOl
Req ( . R
=
E02)
R
-
1
2
1
'=
+ _1 + -R3l + Rl"
RIR2
l
R."
Il teorema di Millman è più generale di quant •.- non appaia dalla formulazione precedente,
quando' EoL{féd' E02 non siano generatori
--'t
.ra essere applicato anche
Esso infatti potrebbe ar
.
T
-
,bensì
da parti di una rete comunque complicat
c) - Teorema di sovrapposizione
tensioni prodotte
':~.~.~ __ G.-j
<!'_.-;_.-
Il teorema di sovrapposizione si basa sul principio di sovrapposizione degli
effetti delle grandezze elettriche.
L'effetto
prodotto
in un ramo
di un circuito
comunque
complesso
dall'azione simultanea di diverse cause agenti sullo stesso ramo si può
determinare sovrapponendo i singoli effetti che le singole cause produrrebbero nel ramo in esame, qualora esse agissero una alla volta.
Gli esempi che seguono dovrebbero chiarire le modalità di impiego e
gli eventuali vantaggi pratici di questo teorema.
Consideriamo il circuito di fig. 7.4. Vogliamo determinare la corrente 14
che circola in
R4'
che si avrebbe in
Essa sarà data dalla somma algebrica della corrente 1~
R4
1~ che si avrebbe in
qualora€~9)lci fosse il generatore E02 e la corrente
R4
qualora:~
~
ci fosse il generatore E01'
;~.
PARTE I - CAP.3
70
li,
=r:
+_J __.
R,
+
E02
Fig. 7.4
EOI
l' _
R
4 -
l
l" =
4
+
R
4
+
RLlb
Rl+R3
R3
E02
R2 +
<:~+:~~~
RI + R, + R3
'P'",.J.. <Z••..
' C!~,.j
Poichè per le polarità dei generatori queste due correnti hanno versi contrari, la corrente risultante
14 ha valore
assoluto pari a
1141 = 11~ - I~'I
e verso concorde con la corrente parziale di intensità maggiore.
Il teorema di sovrapposizione si può anche utilizzare per la risoluzione
di circuiti analoghi a quelli in cui si può applicare il teorema di Millman.
Per esempio nel circuito di fig. 7.3 si avrebbe che la tensione VAB è data
dalla sovrapposizione delle due tensioni parziali VAB1 e VAB1 fornite rispettivamente dal generatore EOl (supposto cortocircuitato
tore E02 (supposto cortocircuitato
EOI):
VAB = VAB1
-
VAB2
E02)
e dal genera-
71
PARTE 1- CAP.3
Si ha così
1
~Ol
VAB1
=
R1
+
1
....L+....L+....L
R3
R"
1
R3
Rl
1
~02
VAB2
=
R2
+
1
....L+....L+....L
Rl
+ _1_
+ _1_
R"
Rl
R3
+_1
n, + _1
R3
R"
l
R"
Si potrebbe dimostrare con qualche manipolazione algebrica che i risultati qui ottenuti coincidono con quelli ottenuti applicando il teorema di
Millman.
~
c
~:.
-- .. -~-
..
---- --- -- ..- ------- --- ._---_. -----