Capitolo III – Ellisse
§1 Proprietà focali dell’ellisse.
Benché le coniche siano curve piane la loro definizione usa nozioni della geometria
dello spazio. Sembrerebbe ragionevole cercare di caratterizzare tali curve con
proprietà riconducibili alla sola geometria del piano. Cominciamo dall’ellisse.
Teorema. Sia data un’ellisse E. Nel piano di E esistono due punti F e F’, detti fuochi,
tali che l’ellisse è il luogo dei punti P del piano per cui la somma delle distanze dai
fuochi è costante. In altre parole esiste una costante p tale che un punto P del piano
appartiene ad E se e solo se
|PF| + |PF’| = 2p.
Dimostrazione. Sia data un’ellisse E, intersezione di un cono circolare retto con un
piano π. Tale piano incontra una sola falda del cono e all’interno di questa e da una
parte e dall’altra del piano è possibile collocare due sfere S ed S’ come in fig. 1.
fig. 1*
Le due sfere sono tangenti al cono lungo due circonferenze C e C’ e al piano in due
punti F e F’.
Per costruire queste sfere conviene considerare la sezione della fig. 1 con il piano α
verticale e ortogonale a π. Tale sezione è rappresentata in fig. 2, dove la retta r è
l’intersezione tra il piano α e il piano π. Ovviamente dalla fig. 2 possiamo tornare alla
fig. 1 ruotando tutta la fig. 2 (tranne la retta r) attorno all’asse verticale e prendendo
come piano π il piano che esce perpendicolarmente dal foglio della fig. 2 e taglia su di
esso la retta r. Dunque, capiti i rapporti tra fig. 1 e fig. 2, per costruire le sfere basta
disegnare le due circonferenze di fig. 2. Ciò è lasciato per esercizio (cfr. §9 in fondo
al capitolo).
r
fig. 2
Conviene ora guardare la fig. 3. Preso un qualunque punto P sull’ellisse consideriamo
la generatrice r che passa per P. Essa interseca le due circonferenze C e C’ nei punti Q
e Q’. Si osservi che la lunghezza |QQ’| del segmento QQ’ non dipende da P, infatti
esso è il segmento di generatrice che unisce le due circonferenze che stanno su piani
paralleli (e perpendicolari all’asse) con centri che sono sull’asse del cono.
fig. 3*
Si osservi anche che tutte le generatrici uscenti dal vertice V sono tangenti alla sfera S
nei punti della circonferenze C, i cui punti sono equidistanti da V (fig. 4).
fig. 4*
Questo è un fatto generale: se prendo un punto R esterno ad una sfera e mando per
quel punto le tangenti alla sfera, allora – per evidenti ragioni di simmetria - i punti di
tangenza sono disposti su una circonferenza e sono equidistanti dal punto R.
In particolare, mandando da P le tangenti alla sfera S ottengo che
|PQ| = |PF|
e mandando le tangenti alla sfera S’
|PQ’| = |PF’|.
Ma allora
|PF| + |PF’| = |PQ| + |PQ’| = |QQ’|
è una costante che non dipende da P.
Osservazione. Può accadere che i due fuochi coincidano, ciò avviene quando il piano
π è orrizzontale e dunque la conica è una circonferenza.
Esercizio. Fare un disegno analogo alle figure 1 e 2 nel caso in cui il piano π sia
orrizzontale ed evidenziare i fuochi (che coincidono con il centro della circonferenza).
Il Teorema caratterizza l’ellisse con prorpietà della geometria piana e consente di
approfondire lo studio.
§2 Costruzione meccanica dell’ellisse (assegnati i fuochi e la somma 2p
delle distanze da essi).
Immaginiamo di fissare gli estremi di una fune di lunghezza 2p nei fuochi. Afferrato
un punto della fune, tendiamola sul piano; la posizione così raggiunta dal punto della
fune sta sull’ellisse.
In fig. 5 sono rappresentati alcuni punti costruiti in questo modo (i fuochi, punti di
ancoraggio della fune sono in rosso)
fig. 5*
Ne segue immediatamente che la lunghezza della fune deve essere maggiore della
distanza tra i fuochi, cioè
2p > |FP| + |F’P|.
Questo metodo è utile per tracciare un’ellisse sul terreno, ma non si presta per una
costruzione con riga e compasso.
Esercizio. Appoggiare un foglio su un piano di legno e mediante due chiodi fissare gli
estremi di una cordicella sul foglio. Con una matita tracciare un’ellisse.
§3 Costruzione dell’ellisse con riga e compasso (dati i fuochi e la somma
2p delle distanze da essi).
Con centro in F tracciamo la circonferenza di raggio 2p. Preso un punto Q su di essa,
l’asse a del segmento F’Q taglia il raggio FQ in un punto P dell’ellisse.
La procedura è illustrata in fig. 6
fig. 6*
Dimostrazione. Per verificare che la costruzione è corretta, osserviamo che poiché a è
l’asse del segmento F’Q, i segmenti F’P e QP sono uguali. Pertanto
2p = |FQ| = |FP| + |PQ| = |FP| + |F’P|
che dice che P sta sull’ellisse.
Ripetendo la costruzione precedente per un numero sufficiente di punti Q sulla
circonferenza si costruisce per punti una curva che è possibile vedere in fig. 7
fig. 7*
Esercizio. Fare effettivamente questa costruzione disegnando una decina di punti
dell’ellisse; poi tracciare a mano libera, ma con l’ausilio di questi punti l’ellisse.
§4 Proprietà di simmetria dell’ellisse
Riprendendo la figura appena costruita osserviamo che (fig. 8)
la retta che congiunge i fuochi e l’asse del segmento FF’ sono assi di simmetria e
anche il punto medio M è centro di simmetria dell’ellisse. I quattro punti A, A’, B e B’
dell’ellisse che stanno sugli assi, sono detti vertici dell’ellisse. I segmenti AA’ e BB’
(più marcati in figura) sono l’asse maggiore e l’asse minore dell’ellisse.
fig. 8
Dimostrazione. Le proprietà di simmetria si possono ricavare anche dalla costruzione
meccanica con la fune che abbiamo visto prima. In effetti se un punto P sta
sull’ellisse, allora anche i punti P’, P” e P’” (vedi fig. 9) stanno sull’ellisse (le 4 funi
blu, verde, celeste e viola hanno per ragioni di simmetria la stessa lunghezza).
fig. 9
In effetti P’ è il simmetrico di P rispetto all’asse minore, P” è il simmetrico di P
rispetto all’asse maggiore, P”’ è il simmetrico di P rispetto al centro.
Esercizio. Utilizzando le proprietà di simmetria ripetere l’esercizio precedente e
migliorarlo (da ogni punto se ne costruiscono facilmente subito altri tre).
§5 Costruzione dei vertici dati i fuochi e la somma 2p delle distanze da
essi. E viceversa costruzione dei fuochi e della somma delle distanze da
essi, assegnati i vertici.
Dalla fig. 8 si vede che
|AF| + |AF’| = |AF| + |A’F| = |AA’|
cioè la somma delle distanze di un punto dell’ellisse dai fuochi è l’asse maggiore. E’
anche chiaro che
1) Siano dati F e F’ e la quantità 2p.
Si segua la costruzione con la fig. 10. Con centro nel punto medio M prendiamo la
circonferenza di raggio p. Essa taglia sulla retta FF’ un diametro di lunghezza 2p che
è il segmento AA’, cioè l’asse maggiore. La perpendicolare a quest’asse condotta per
F interseca la circonfernza in un punto Q; per Q mandiamo la parallela all’asse
maggiore. Essa tocca l’asse minore in B. Infatti dalla costruzione riesce |BF| = raggio
= p e quindi B sta sull’ellisse. (Infatti |BF| + |BF’| = 2p).
fig. 10
2) Siano dati gli assi (in rosso in fig. 11). Si disegna la circonferenza, poi si prende la
parallela all’asse maggiore e poi le due rette verticali. Così si ottengono i punti
evidenziati in fig. 11 che sono i fuochi. (Per verificarlo controllare che per i vertici
sull’asse minore la somma delle distanze dai fuochi sia pari all’asse maggiore).
fig. 11
Esercizio. Per concludere vediamo una divertente proprietà meccanica dell’ellisse
legata alla costruzione con riga e compasso fatta prima. Mentre il punto P si muove
sull’ellisse la circonferenza di centro P che passa per un fuoco è tangente alla
circonferenza centrata nell’altro fuoco.
fig. 12*
§6. Equazione cartesiana. A titolo di complemento osserviamo che l'equazione
x2
2
p
+
y2
2
= 1
q
(con p > q > 0) è l'equazione dell'ellisse che ha asse maggiore 2p e asse minore 2q
disposti come gli assi coordinati. I fuochi saranno
F=
p2 − q2 , F' = − p2 − q2
0
0
§7. Equazione parametrica. L'equazione parametrica della stessa ellisse è
x = p cos t
y = q sin t
Ciò significa che al variare di t il punto (p cos t, q sin t) si muove sull'ellisse (fig.13).
fig.13
§8 Costruzione di un ellisse con riga e compasso
Per disegnare l'ellisse di equazione
x2
p2
+
y2
q2
= 1
con p > q > 0 si può procedere come segue:
Si tracciano due rette perpendicolari (gli assi coordinati) e due circonferenze C e C'
di centro l'origine e raggi q e p rispettivamente. Presa una qualunque semiretta
uscente dall'origine questa interseca ciascuna delle due circonferenze in un punto,
diciamo R ed S. Per R, che sta sulla circonfernza più piccola, mandiamo la retta
orrizzontale e per S, che sta sulla circonferenza maggiore, mandiamo la verticale.
Queste due rette si intersecano in un punto P dell'ellisse.
fig. 14
Giustifichiamo questa costruzione. (Segui guardando fig. 15) Il punto
Q = (cos t, sin t) sta sulla circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine. Il punto
R = (q cos t, q sin t) sta sulla circonferenza concentrica a questa ma di raggio q e il
puinto S = (p cost, p sin t) sta sulla circonferenza concentrica ma di raggio p. I tre
punti stanno sulla stessa semiretta uscente dall'origine.
Mandiamo per S la verticale e per R l'orrizzontale. Le due rette si incontrano nel punto
P = (p cos t, q sin t)
(infatti P deve avere la stessa ascissa di S e la stessa ordinata di R) e quindi sta
sull'ellisse
fig. 15*
Esercizio. Utilizzare questo metodo per disegnare molti punti di un’ellisse e poi
completarla a mano libera.
§9 Esercizio. Date due rette incidenti, tracciare le bisettrici degli angoli da esse
formati.
Soluzione. Si segua la costruzione guardando la fig. 16. Con centro nel punto P in cui
le due rette r ed s sono incidenti, si traccia una circonferenza. Essa taglia le due rette
nei punti Q ed R. Con centro in questi punti si tracciano due circonferenze di ugual
raggio, che si tagliano in due punti (rossi). Per essi passa una bisettrice.
fig. 16
L’altra bisettrice si ottiene tracciando la perpendicolare per P a quella già trovata.
Esercizio. Assegnate le rette in nero (fig. 17) disegnare le circonferenze rosse.
fig. 17
Soluzione. Il centro di ciascuna circonferenza è equidistante dalle rette tangenti alla
circonferenza stessa, quindi si trova sulle bisettrici degli angoli formati dalle tangenti.
In fig. 18 sono tracciate tutte le bisettrici (per ciascuna si deve applicare il metodo
dell’esercizio precedente) e sono evidenziati i centri delle due circonferenze cercate.
fig. 18
Per conoscere il raggio di ciascuna circonferenza bisogno trovare almeno un piede di
una perpendicolare mandata dal centro ad una delle rette assegnate.
Si lascia al lettore di completare l’esercizio. Per risparmiare lavoro si tenga presente
che per individuare ciascun centro bastano due bisettrici (e non tre) e che c’è una
bisettrice che passa per entrambi i centri.
