soluzione - Dipartimento di Matematica

MATEMATICA E STATISTICA CORSO A
SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI
I PROVA IN ITINERE RECUPERO 8 gennaio 2008
SOLUZIONI
La versione A di ogni esercizio si riferisce al Tema 1, la versione B al Tema 2
1A- Il giorno 7 gennaio Francesca riscontrò un aumento di peso del 10% rispetto al
suo peso prima delle vacanze di Natale. Dopo un mese di dieta il peso di Francesca
diminuì del 10% rispetto al peso del 7 gennaio. Il peso di Francesca è aumentato,
diminuito o rimasto costante rispetto al suo peso prima delle vacanze? Perché?
SOLUZIONE: Indichiamo con p0 il peso di Francesca prima delle vacanze, con p7 il
peso di Francesca al 7 gennaio e con pF il peso dopo un mese di dieta o peso finale. Si
ha pF = p7 – 10%p7 =(1-10%) p7 = (1-10%)(1+10%) p0 = 0,99 p0 , quindi il peso di
Francesca è diminuito dell’1% rispetto al suo peso prima delle vacanze.
1B- Il prezzo del pesce il 23 dicembre è salito del 10% rispetto al prezzo di novembre.
Il 7 gennaio il prezzo del pesce si è ribassato del 10% rispetto al prezzo del 23
dicembre. Rispetto a novembre, il prezzo del pesce è aumentato, diminuito o rimasto
costante? Perché?
SOLUZIONE:Vedi 1-A
2 A- La scala Celsius è suddivisa in modo tale che 0°C corrispondono al punto di
congelamento dell’acqua (ad una atmosfera di pressione), e 100°C corrispondono al
punto di ebollizione. Nella scala Fahrenheit è noto che il punto di congelamento
dell’acqua corrisponde a 32°F e quello di ebollizione a 212°F. Determinare una
relazione lineare che esprima la temperatura misurata in Celsius in funzione della
temperatura misurata in Fahrenheit.
SOLUZIONE: Indichiamo con yC la temperatura misurata in gradi Celsius e con xF la
temperatura misurata in gradi Fahrenheit, stiamo cercando una relazione del tipo
yC = m xF + q, dove m e q sono opportune costanti
Per determinare m e q basta utilizzare la conoscenza che 0°C corrispondono a 32°F e
100°C corrispondono a 212°F, vale a dire
0 = m32 + q
100 = m212 + q
da cui q = -32m, quindi sostituendo nella seconda equazione m= 100/180, quindi la
relazione cercata è yC = 100/180( xF – 32)
2 B - La scala Celsius è suddivisa in modo tale che 0°C corrispondono al punto di
congelamento dell’acqua (ad una atmosfera di pressione), e 100°C corrispondono al
punto di ebollizione. Nella scala Fahrenheit è noto che il punto di congelamento
dell’acqua corrisponde a 32°F e quello di ebollizione a 212°F. Determinare una
relazione lineare che esprima la temperatura misurata in Fahrenheit in funzione della
temperatura misurata in Celsius.
SOLUZIONE: Indichiamo con yF la temperatura misurata in gradi Fahrenheit e con xC
la temperatura misurata in gradi Celsius. Procedendo analogamente a 2A, si ottiene
yF = 180/100 xC + 32
3 A – Misurando in modo approssimato due quantità x ed y si ottengono i seguenti
valori:
2.98<x<3.02 e 1.95<y<2.05
Calcolare il valore stimato e l’errore assoluto del prodotto xy.
SOLUZIONE: Si ha x = 3± 0.02, y = 2± 0.05, quindi gli errori assoluti di x ed y sono
piccoli per cui il valore stimato di xy può essere ben approssimato dal prodotto dei
valori stimati e quindi dal numero 6, ricordando che l’errore assoluto del prodotto xy
è ottenuto dal valore stimato moltiplicato per la somma degli errori relativi di x e di y
si ottiene come errore assoluto 0.19.
3 B - Misurando in modo approssimato due quantità x ed y si ottengono i seguenti
valori:
4.95<x<5.05 e 1.94<y<1.98
Calcolare il valore stimato e l’errore assoluto del prodotto xy.
SOLUZIONE: Analogamente a 3A, si ottiene valore stimato 9.8 ed errore assoluto
0.198.
4 A – a) Determinare x tale che e3x-1= 2
b) Risolvere l’equazione 2sinθcosθ = cosθ
SOLUZIONE: a) applicando ad entrambi i membri dell’equazione il logaritmo in base
e si ottiene ln(e3x-1) = ln2 e quindi, ricordando che ln è funzione inversa
dell’esponenziale in base e, si ottiene 3x-1 = ln2, da cui x= (1 + ln2)/3
b) L’equazione è risolta per cosθ=0 e quindi θ=π/2 +kπ per ogni k intero, oppure se
cosθ≠ 0, dividendo per cosθ, si ha 2sinθ=1, quindi sinθ=1/2 vale a dire θ=π/6 +2kπ
oppure θ=5π/6 +2kπ per ogni k intero.
4 B – a) Determinare x tale che e1-2x= 3
b) Risolvere l’equazione 2sinθcosθ = sinθ
SOLUZIONE: Analogamente a 4A si ottiene: a) x=(1-ln3)/2; b) θ= kπ oppure θ=
π/3 + 2kπ oppure θ= 5π/3 + 2kπ per ogni k intero.
5 A- Si estraggono tre carte da un mazzo di 52 carte, determinare la probabilità di
estrarre
a) esattamente un asso
a) almeno un asso
SOLUZIONE: Si può rispondere utilizzando il calcolo combinatorio oppure la
probabilità condizionale e la regola del prodotto.
 4  48 
  
 1  2 
a) con il calcolo combinatorio si ha p =  
, vale a dire numero dei modi
52
 
 3 
con cui posso ottenere un asso e due carte diverse dagli assi sul totale dei modi
con cui posso prendere tre carte; oppure, utilizzando la regola del prodotto e la
probabilità condizionale, si ha p = 3(4/52)(48/51)(47/50) corrispondente alla
probabilità di estrarre un asso (4/52) e di estrarre una seconda carta diversa da
un asso sapendo di avere estratto un asso (48/51) e di nuovo, avendo estratto
due carte di cui un asso e una carta diversa da un asso, la probabilità di estrarre
ancora una carta diversa da un asso(47/50), si moltiplica infine per 3 in quanto
l’asso può uscire come prima o come seconda o come terza carta rimanendo
invariata la probabilità dell’evento richiesto
a) Conviene calcolare la probabilità di non estrarre alcun asso e poi sottrarla ad 1
per ottenere la probabilità richiesta, si ha
 48 
 
 3 
p = 1 -   o, equivalentemente, p = 1-(48/52)(47/51)(46/50)
52
 
 3 
5 B- Si estraggono tre carte da un mazzo di 52 carte, determinare la probabilità di
estrarre
a) esattamente una figura
a) almeno una figura
SOLUZIONI: Ragionando come in 5A e tenendo conto che ci sono 12 figure, si
ottiene
 12  40 
  
 1  2 
a) p =  
o, equivalentemente, p = 3(12/52)(40/51)(39/50)
52
 
 3 
 40 
 
 3 
a) p = 1 -   o, equivalentemente, p = 1- (40/52)(39/51)(38/50)
52
 
 3 
II PARTE
6 A- Un allele recessivo è responsabile di una certa malattia. Sia 0.4 la frequenza di
tale allele. Calcolare la probabilità che un figlio risulti sano sapendo che
a) il padre è sano e la madre malata
a) il padre è sano
a) il padre e la madre sono malati
SOLUZIONE: Indichiamo con FS, PS, Mm, rispettivamente l’evento “Figlio sano”,
“Padre sano”, “Madre malata”. Essendo responsabile della malattia un allele recessivo
(indichiamolo con a e indichiamo con A l’allele dominante), un individuo è malato
solo se è del genotipo aa, mentre è sano sia se è del genotipo AA che del genotipo Aa.
Sono richieste delle probabilità condizionali
a) Se la madre è malata ha il genotipo aa(probabilità (0.4)2), mentre il padre sano può
essere AA(probabilità (0.6)2) o Aa (probabilità 2(0.4)(0.6)). Ogni figlio eredita uno
dei due alleli del padre ed uno dei due alleli della madre indipendentemente, la
probabilità di ereditare l’uno o l’altro allele del genitore è 1/2; per cui da madre aa e
padre AA i figli sono tutti Aa e quindi sani, mentre da madre aa e padre Aa i figli
possono essere Aa con probabilità 1/2 o aa con probabilità 1/2. Da padre e madre
entrambi Aa si possono avere figli AA con probabilità 1/4, Aa con probabilità 1/2, aa
con probabilità 1/4 .
E’ richiesta la probabilità

1
(0.4)2(0.6)2 + 2(0.6)(0.4)2
P(FS | PS∩Mm) = P(FS ∩PS∩Mm)/P(PS∩Mm) =
=5/7
(0.4)2((0.6)2 + 2(0.6)(0.4))
b) E’ richiesta la probabilità P(FS | PS) senza conoscere il genotipo della madre,
quindi si ha

3
1
(0.6)2 + 2(0.6)(0.4)((0.6)2 + 2(0.6)(0.4)4 (0.4)22)
P(FS | PS) =
= 31/35
(0.6)2 + 2(0.6)(0.4)
c) da genitori malati, quindi entrambi del genotipo aa, non può nascere un figlio
sano, quindi la probabilità richiesta è 0.
6 B- Un allele recessivo è responsabile di una certa malattia. Sia 0.4 la frequenza di
tale allele. Calcolare la probabilità che un figlio risulti malato sapendo che
a) il padre è sano e la madre malata
b) il padre è sano
c) il padre e la madre sono malati
SOLUZIONE: Seguendo le stesse notazioni e indicazioni di 6 A, si ha
1
(0.4)2((2(0.6)(0.4)2))
a) P(Fm | PS∩Mm) = P(Fm ∩PS∩Mm)/P(PS∩Mm) =
= 2/7
(0.4)2((0.6)2 + 2(0.6)(0.4))
1
1
2(0.6)(0.4)(2(0.6)(0.4)4+ (0.4)22)
b) P(FS | PS) =
= 4/35
(0.6)2 + 2(0.6)(0.4)
c) Se padre e madre sono malati e quindi entrambi aa, il figlio risulta certamente
malato, quindi la probabilità richiesta è 1.
7 A – Assegnata la funzione f(x) = ln(2x+1/x+1). Determinare
a) dominio della funzione
b) eventuali x tali che f(x) = 0
c) eventuali x tali che f(x)<0
SOLUZIONE: a) Affinchè sia definito il logaritmo il valore su cui esso è calcolato
deve essere sempre positivo, quindi (2x+1/x+1)>0 da cui x<-1 oppure x>-1/2
b) la funzione logaritmo si annulla quando il valore su cui essa è calcolata è 1,
quindi se (2x+1/x+1) = 1, da cui x = 0
c) la funzione logaritmo in base e (base >1) è negativa quando il numero su cui
essa è calcolata è inferiore a 1, quindi per (2x+1)/(x+1) < 1, da cui, tenendo conto
del dominio , -1/2<x<0
7 B – Assegnata la funzione f(x) = ln(x+1/ 2x+1). Determinare
a) dominio della funzione
b) eventuali x tali che f(x) = 0
c) eventuali x tali che f(x)<0
SOLUZIONE: a) Affinchè sia definito il logaritmo il valore su cui esso è calcolato
deve essere sempre positivo, quindi (x+1/2x+1)>0 da cui x<-1 oppure x>-1/2
b) la funzione logaritmo si annulla quando il valore su cui essa è calcolata è 1,
quindi se (x+1/2x+1) = 1, da cui x = 0
c) la funzione logaritmo in base e (base >1) è negativa quando il numero su cui
essa è calcolata è inferiore a 1, quindi per (x+1)/(2x+1) < 1, da cui, tenendo conto
del dominio , x<-1 oppure x>0
8 A – A partire dal grafico di f(x) = tanx disegnare il grafico di
a) g(x) = tan(3x)
b) h(x) = |tan(3x)|
c) k(x) = tan(|3x|)
per ciascuna delle precedenti funzioni dire se la funzione è periodica, ed
eventualmente di quale periodo
SOLUZIONE: Tratteggiata la funzione tanx
a) Periodica di periodo π/3
b) Periodica di periodo π/3
c) Non è periodica
8 B – A partire dal grafico di f(x) = tanx disegnare il grafico di
a) g(x) = tan(x/3)
b) h(x) = |tan(x/3)|
c) k(x) = tan(|x/3|)
per ciascuna delle precedenti funzioni dire se la funzione è periodica, ed
eventualmente di quale periodo
SOLUZIONE: Tratteggiata la funzione tanx
a) Periodica di periodo 3π
b) Periodica di periodo 3π
c) Non è periodica