Esercizi di Combinatoria

Esercizi di Combinatoria
Daniele A. Gewurz
(Gli esercizi contrassegnati con l’asterisco (*) sono un po’ più difficili.)
1. Dimostrare le seguenti identità in modo combinatorio e, dove ha senso,
anche in modo algebrico (usando
per il binomiale) o con il
Pn la formula
teorema binomiale (x + y)n = i=0 ni xi y n−i .
(a) n2 = 2 n2 + n
(suggerimento: si contino in due modi gli elementi di [n] × [n]);
(b) n3 = 6 n3 + 6 n2 + n;
(c) k nk = n n−1
k−1
(sugg.: si contino in due modi le possibili scelte, all’interno di un insieme di
n persone, di un comitato di k persone tra cui una è scelta come presidente);
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Pn
n
n−1
;
k=1 k k = n2
n k
n n−2
k 2 = 2 k−2 per k ≤ n interi positivi;
n k
n n−i
k i = i
k−i per i ≤ k ≤ n interi positivi
Pn
n
n
k=0 k = 2 ;
P
P
n
n−1
, k dispari nk = 2n−1 ;
k pari k = 2
Pn
dedurne che k=0 (−1)k nk = 0;
Pk
n+k+1
= i=0 n+i
k
i
`
´
(sugg.: dei k-sottoinsiemi di [n + k + 1],
includono 1 ma non 2. . . . . . ).
n+k
k
(identità di Newton);
non includono 1,
2. Dimostrare che, se p è un numero primo, allora p è un divisore di
k = 1, 2, . . . , p − 1.
`n+k−1´
k−1
p
k
per
3. Quanti sono i numeri interi compresi tra 10000 e 99999 (inclusi) in cui
ogni cifra è maggiore di quella alla sua destra?
4. (a) Che probabilità c’è che un mano nel gioco del poker (cioè 5 carte scelte a caso tra le 52 di un mazzo di carte francesi1 ) contenga
esattamente i assi, per i = 0, 1, 2, 3, 4, 5?
(Sugg.: Calcolare quante sono le possibili mani, quante le mani senza assi
etc. e dividere.)
1 In alcune varianti non si gioca con tutte le carte del mazzo, ma ad esempio solo con quelle
dal 6 o dal 7 di ogni seme. Come cambiano le probabilità? È più facile o più difficile ottenere
un poker?
1
(b) Dimostrare l’uguaglianza
X
r m+n
m
n
=
r
k
r−k
k=0
e capire che nesso c’è con il punto precedente. (Questa uguaglianza
è detta talvolta identità di Vandermonde o di convoluzione.)
(c) Calcolare qual è la probabilità che la mano contenga un poker (quattro delle carte hanno uguale valore numerico) o un full (due carte
di uguale valore numerico e le altre tre a loro volta di uguale valore
numerico; ad esempio, tre assi e due re).
(d) All’inizio di una partita di bridge, le 52 carte del mazzo vengono
distribuite a caso in parti uguali tra 4 giocatori, indicati convenzionalmente come Nord, Sud, Est e Ovest; una distribuzione è detta
“smazzata”. Qual è la probabilità che la mano di Nord contenga i
4 assi? Qual è la probabilità che sia composta di carte tutte dello
stesso seme? Che sia composta di carte tutte di picche?
5. In quanti modi si possono mettere 8 palline (indistinguibili) in tre scatole
di cui una gialla, una rossa e una blu? E se si richiede che in ogni scatola
debba esserci almeno una pallina? Se si richiede che nella scatola gialla
debbano esserci almeno 4 palline? Se si richiede che nella scatola gialla
debbano esserci al più 4 palline?
6. (a) Abbiamo a disposizione (infinite) mele, pere e pesche. In quanti modi
possiamo scegliere dieci frutti? E volendone prendere almeno uno per
tipo?
(b) Quante soluzioni ha l’equazione x1 + x2 + x3 = 10 per xi interi,
xi ≥ 0? E per xi interi, xi ≥ 1?
7. Quante sono le stringhe a1 a2 a3 a4 a5 di lunghezza 5 sull’alfabeto {1, 2, . . . , 8}
tali che:
(a) vi compaiano esattamente 3 simboli diversi?
(b) un simbolo compaia tre volte e altri due ognuno una volta?
(c) siano palindrome (cioè ai = a5−i per ogni i)?
(d) includano consecutivamente la sottostringa “123”?
(Sol. di 7a: più in generale, dato un alfabeto di r simboli, sia N (n, r) il numero
di stringhe lunghe n in cui ognuno degli r simboli compareP
almeno
`r´una volta. Si
ha quindi che N (n, 1) = 1 e, per 1 < r ≤ n, N (n, r) = r n − r−1
i=1 i N (n, i), cioè
tutte le stringhe di lunghezza r, meno quelle in cui compaiono esattamente 1, 2,
. . . , r − 1 caratteri distinti, scelti in tutti i modi possibili tra gli r complessivi.
Quindi N (n, 2) = 2n − 2N (n, 1) = 2n − 2 e N (n, 3) = 3n` −
´ 3N (n, 1) − 3N (n, 2) =
3n −3−3(2n −2). Nel nostro caso, possiamo scegliere in 83 modi un sottoalfabeto
`´
di 3 simboli fra gli 8 a disposizione; la risposta è quindi 83 N (5, 3) = 56 · 150.)
2
8. Qual è la permutazione di {1, 2, . . . , 7} la cui tavola di inversioni è 1, 4, 3,
3, 0, 1, 0? E quale permutazione si ottiene considerando 1, 4, 3, 3, 0, 1, 0
come codice di Lehmer?
9. Dimostrare le seguenti proprietà dei coefficienti multinomiali:
(a)
n
r1 , . . . , rk
n
n − r1 − · · · − rk−1
n − r1
=
;
...
rk
r2
r1
(b)
X
(r1 ,...,rk )
n
r1 , . . . , rk
dove la somma è su tutte le k-ple tali che
(c)
X
(r1 ,...,rk )
n
r1 , . . . , rk
= kn ,
P
ri = n;
· (−1)r2 +r4 +r6 +... =
1 − (−1)k
.
2
10. Quanti diversi anagrammi ammettono le parole che seguono? (Si ricordi
che un anagramma di una parola è una parola composta dalle stesse lettere:
ad esempio, ATTORE è un anagramma di TEATRO. Qui non si richiede
che le parole anagrammate abbiano senso compiuto.)
(a) COMPUTER;
(b) MAMMA;
(c) ABRACADABRA.
11. Dimostrare che, per ogni n, (3n)! è divisibile per 2n 3n .
(Sugg.: Bisogna cioè dimostrare che (3n)!/2n 3n è un intero. Spesso si può
dimostrare che un numero è intero mostrando un insieme di cui quel numero è
la cardinalità.)
12. Giochi
(a) Nel “SuperEnalotto” bisogna pronosticare sei numeri distinti compresi tra 1 e 90. Quante sono le possibili “sestine”?
(b) Quante sono le diverse smazzate possibili nel bridge? (Cioè, quante
sono le applicazioni da [52] a [4] tale che ogni elemento di [4] abbia
esattamente 13 controimmagini?)
(c) Quante sono le posizioni possibili dopo quattro mosse (due per ogni
giocatore) in una partita di filetto (o “zero e croci”)? (Ognuno dei
due giocatori, al suo turno, mette il proprio segno su una delle nove
caselle.)
13. Qual è il coefficiente di a3 bcd2 in (a + b + c + d)7 ? E in (2a − b + c − 3d)7 ?
3
14. Qual è l’albero il cui coefficiente di Prüfer è (2, 8, 6, 3, 1, 2)? E (4, 4, 4, 3, 7, 3)?
E (1, 2, 3, 4, 5)?
15. Quanti sono gli alberi etichettati su 9 vertici che hanno un vertice di grado
4 e tutti gli altri vertici di grado 1 o 2?
(Sugg.: Per la corrispondenza di Prüfer ce n’è lo stesso numero delle stringhe
lunghe. . . tali che. . . )
16. Qual è il codice di Prüfer associato all’albero che segue, se l’ordinamento
dato alle lettere è quello alfabetico (A<B<C<. . . )?
A
C
L
U
I
B
N
F
E
H
M
O
D
G
P
17. (*) Mostrare che c’è una corrispondenza biunivoca tra l’insieme degli alberi
etichettati su n vertici e l’insieme delle foreste etichettate su n − 1 vertici,
ogni cui componente connessa ha una radice.
18. Dimostrare che in ogni grafo esistono almeno due vertici che hanno lo
stesso grado.
19. Supponiamo che a una cena i commensali siano seduti a un tavolo rotondo.
Se vi sono dei segnaposto con scritti i loro nomi, e nessuno è seduto davanti
al proprio nome, è possibile ruotare il tavolo in modo che almeno due
persone siano sedute davanti al proprio nome?
20. Coloriamo i punti del piano con due colori; dimostrare che esiste un
rettangolo coi vertici dello stesso colore.
21. Dimostrare con il principio dei cassetti che comunque si scelgano n + 1
interi distinti compresi tra 1 e 2n:
(a) ce ne sono due consecutivi;
4
(b) ce ne sono due la cui somma è 2n + 1;
(c) ce ne sono due primi tra loro (cioè il cui M.C.D. è 1);
(d) (*) ce ne sono due uno dei quali è multiplo dell’altro
(sugg.: ogni intero è della forma 2k h con k ≥ 0 e h dispari; allora, per ogni
intero dispari h, si può definire un cassetto che. . . ).
22. Un uomo ha in un cassetto molti calzini blu, molti rossi e molti bianchi,
e ne deve estrarre alcuni al buio. Qual è il numero minimo di calzini che
deve prendere per essere certo di averne un paio dello stesso colore? E per
averne tre paia dello stesso colore?
Ha anche 20 camicie, di cui 4 rosa, 7 bianche e 9 azzurre e continua ad agire
al buio. Quante camicie dovrà estrarre, al minimo, per averne sicuramente
4 dello stesso colore? E per averne 5, 6, 7, 8, 9?
23. (*) Dimostrare che data comunque un’n-pla di interi (x1 , x2 , . . . , xn ), se
ne possono trovare k consecutivi (k > 0) tali che la loro somma è divisibile
per n.
(Sugg.: Sia si = x1 + x2 + · · · + xi (i = 1, 2, . . . , n); se qualche si è divisibile
per n, abbiamo finito. Se no, quanti resti possibili ci sono nella divisione per n?
Come si può applicare il principio dei cassetti?)
24. (*) [Teorema di Erdős-Szekeres] Sia A = (a1 , . . . , an ) una successione di n
numeri reali distinti. Se n ≥ sr + 1 allora A contiene una sottosuccessione
crescente di s+1 termini o una sottosuccessione decrescente di r+1 termini
(o entrambe).
(Sugg.: per ogni ai , si consideri la coppia di numeri (xi , yi ), dove xi è la lunghezza della più lunga sottosuccessione crescente che finisce con ai , e yi quella
della più lunga sottosuccessione decrescente che comincia con ai . Ci interessano
sr di queste coppie (xi , yi ). . . )
25. (*) [Lemma di Sperner sulle triangolazioni] Si consideri un triangolo e
se ne dia una triangolazione (cioè lo si suddivida in regioni triangolari).
Ai vertici del grafo cosı̀ ottenuto si attribuiscano le etichette 0, 1 e 2 in
un modo qualsiasi, con le seguenti restrizioni: ai tre vertici del triangolo
originario si diano tre etichette diverse, e ai vertici che si trovano lungo
un lato del triangolo originario si diano etichette comprese tra le due degli
estremi (ad esempio, solo 0 o 2 lungo il lato di estremi 0 e 2). Sulle
etichette dei vertici interni non ci sono restrizioni.
Allora almeno uno dei triangoli della triangolazione ha le tre diverse etichette sui vertici.
(Sugg.: Si consideri il grafo con un vertice per ogni regione della triangolazione,
compreso l’esterno, e un arco per ogni coppia di vertici corrispondenti a due
regioni che confinano per un lato contrassegnato con 0 e 1; si considerino i
vertici di grado dispari di questo grafo.)
5
26. Si abbiano caramelle di 8 colori diversi, 20 di ogni colore. Si dimostri che,
comunque vengono ripartite in sei scatole, in almeno una scatola ci sono
almeno due coppie di caramelle tali che le caramelle di ogni coppia sono
dello stesso colore e i due colori sono diversi (ad esempio: {rossa, rossa},
{blu, blu}).
(Sugg.: si applichi il principio dei cassetti considerando le scatole come “cassetti”
sia rispetto a tutte le caramelle di uno stesso colore che ai colori.)
Qual è il minimo numero di colori e di caramelle per colore per cui continua
a valere questa proprietà?
27. Trovare una famiglia di tre sottoinsiemi di [3] che ha esattamente 3 sistemi
di rappresentanti distinti e una che ne ha esattamente 2.
28. (*) Dimostrare che se |A| = n, F è una famiglia di m suoi sottoinsiemi
(m ≤ n) tutti con la stessa cardinalità r e tale che ogni elemento appartiene
allo stesso numero d di essi, allora F soddisfa la condizione di Hall.
29. [Piano di Fano] Quanti SRD ha la famiglia
F = ({1, 2, 4}, {2, 3, 5}, {3, 4, 6}, {4, 5, 7}, {1, 5, 6}, {2, 6, 7}, {1, 3, 7})?
1
b
6
b
b
b
5
b
2
3
b
7
b
4
(Risposta: Ne ha 24, ma per dimostrarlo bisogna distinguere alcuni casi
e sfruttare la simmetria della famiglia: ogni elemento compare in esattamente 3 sottoinsiemi, dati due elementi compaiono insieme in esattamente
un sottoinsieme. . . )
30. Dimostrare che se F = (A1 , . . . , An ) è una famiglia di sottoinsiemi di [n]
e la matrice di incidenza di F è invertibile, allora F ammette un SRD.
6
31. Si consideri il grafo bipartito G in figura.
V1
V2
a •
• f
b •
• g
c •
• h
d •
•
e •
• j
i
Verifica la condizione di Hall (da V1 a V2 )? Ammette un matching completo da V1 a V2 ?
Partendo dal matching iniziale M = {ah, cg, ei}, trovare un matching
massimo di G, utilizzando il metodo dei cammini alternanti.
32. [Algoritmo per matching su matrici 0-1] Ci si convinca che il seguente
algoritmo, dato un insieme indipendente di 1 in una matrice di 0 e 1, ne
trova uno più grande. Si tratta del corrispondente per le matrici del procedimento dei cammini alternanti: il passo 5) corrisponde all’aver trovato
un cammino alternante e cambiare di status i suoi archi.
Dato iniziale: una matrice M di 0 e 1 e un suo insieme indipendente
I di 1.
1) cerchiare gli 1 in I ed etichettare con * le righe prive di 1
cerchiati;
2) per ogni riga i appena etichettata
etichettare con i le colonne con 1 non cerchiati nella riga i;
3) per ogni colonna j appena etichettata
etichettare con j le righe con 1 cerchiati nella colonna j; se
non ci sono 1 cerchiati, andare al passo 5);
4) se al passo 3) si sono etichettate nuove righe, andare al passo 2);
se no, gli 1 cerchiati formano un insieme indipendente massimo,
e le righe non etichettate e le colonne etichettate formano un
insieme minimale di linee che nell’insieme contengono tutti gli 1;
5) nell’ultima colonna j0 considerata, cerchiare gli 1 nella riga i1
(etichetta della colonna j0 );
nella riga i1 togliere il cerchio dall’1 nella colonna j1 (etichetta
della riga i1 );
nella colonna j1 cerchiare gli 1 nella riga i2 (etichetta della colonna j1 );
e cosı̀ via finché si raggiunge una riga etichettata con *.
7
Applicare l’algoritmo alla matrice

1 0 0
 1 0 1

 0 1 1

 0 1 0
0 0 1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1






partendo dall’insieme indipendente composto dagli 1 nelle posizioni (1,1),
(3,6), (4,4) e (5,3).
33. Cinque comitati, C1 = {a, c, e}, C2 = {b, c}, C3 = {a, b, d}, C4 = {d, e, f },
C5 = {e, f }, devono mandare ognuno un diverso rappresentante a un’assemblea. C1 vuole inviare e, C2 vuole b, C3 vuole a e C4 vuole f .
(a) È possibile soddisfare tutte le richieste?
(b) A partire dall’insieme dei quattro rappresentanti indicati, costruire un SRD rappresentando la situazione con un grafo bipartito e
applicando il metodo dei cammini alternanti.
(c) È possibile soddisfare le richieste dei soli C2 , C3 e C4 , se C1 rinuncia
alla propria?
34. [“Bottleneck assignment problem”] A sei dipendenti di una ditta devono
essere assegnati altrettanti incarichi. La matrice M che segue indica quanto ogni persona è adatta a ognuno degli incarichi: a un numero più alto
corrisponde una maggior attitudine.
incarichi
2 10 4 4
4 2 9 3
9 6 9 6
4 2 5 10
3 2 6 7
5 9 4 3
2
1
persone 7
3
5
2
2
8
7
4
3
4
Si vuole assegnare un incarico a ogni persona in modo da scegliere l’assegnazione che massimizzi l’attitudine della persona meno adatta all’incarico
a cui è assegnata.
(Sugg.: dare un’assegnazione qualsiasi, individuare l’attitudine minima a in
questa assegnazione e definire una matrice con 1 nelle posizioni in cui in M
compare un valore maggiore di a, e 0 altrove. Un insieme indipendente di 1 in
questa nuova matrice corrisponde. . . )
35. Completare la seguente matrice in modo da renderla bistocastica ed esprimerla come combinazione convessa di matrici di permutazioni:


. . . 4/9 . . .




 . . . . . . 2/3  .


2/9 . . . 5/18
8
36. Sia data la seguente rete con le capacità indicate.
2
a
d
3
1
2
s
3
2
b
4
e
t
5
3
2
1
c
f
2
Trovare un flusso che abbia valore massimo e un taglio che abbia valore
minimo col metodo dei cammini aumentanti, partendo: a) dal flusso iniziale che vale 0 su ogni arco; b) dal flusso iniziale che vale 1 su ogni arco
tranne ec, bf e db.
37. Un industriale produce merce nelle due fabbriche F1 e F2 e le vende nelle tre città C1 , C2 e C3 , trasportandole lungo la rete di trasporti qui
disegnata, in cui ogni tratto è contrassegnato con la quantità di merce che può trasportare (capacità). È possibile far arrivare alle tre città,
complessivamente, 26 unità di merce?
a
C1
F1
20
10
5
d
5
6
6
b
5
F2
C2
4
5
5
e
5
5
6
c
6
15
C3
(Sugg.: Conviene considerare la rete con due vertici aggiuntivi: una sorgente s
con archi uscenti verso F1 e verso F2 , e un pozzo t con archi entranti da C1 , C2
e C3 , assegnando ai nuovi archi capacità infinita.)
9
38. Data una qualsiasi famiglia F di sottoinsiemi di [n], trovare una sottofamiglia di F che sia di Sperner.
(Sugg.: Oltre alle possibilità banali (sottofamiglia vuota o contenente un solo
insieme), si può prendere la sottofamiglia costituita da tutti i sottoinsiemi massimali di F (cioè quegli S ∈ F tali che se T ∈ F e T ⊇ S, allora T = S), oppure
da tutti i minimali. Perché?)
39. Dare un esempio di famiglia di sottoinsiemi di [n] che, pur verificando la
disuguaglianza LYM, non sia un’anticatena (cioè non sia di Sperner).
Ultimo aggiornamento: 1.6.2005
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