ESERCITAZIONE DI MATEMATICA DISCRETA (23 novembre 2011)
Esercizio 1 E’ possibile tracciare il disegno illustrato senza sollevare la penna dal foglio e senza ripassare più
volte per lo stesso tratto, partendo dal punto A ? e partendo dal punto B ?
A
BB
B
Soluzione: si può interpretare il disegno come un grafo (in cui i vertici sono i 7 punti in cui si incrociano i
vari tratti e gli archi sono i tratti che collegano 2 vertici). Il problema richiede in pratica se esiste un
cammino Euleriano in tale grafo: poiché si verifica che il grafo è connesso e che vi sono 5 vertici di grado
pari (4 vertici di grado 4, ed il vertice A di grado 6) e 2 vertici di grado dispari (entrambi di grado 3, tra i
quali B), per i Teoremi di Eulero risulta che esiste un cammino Euleriano non ciclico che collega i 2 vertici di
grado dispari. Quindi è possibile tracciare il disegno partendo da B (e terminando sull’altro vertice di grado
dispari), ma non partendo da A.
Esercizio 2 Dimostrare che per ogni numero naturale n è vero il seguente predicato:
P(n)= “il numero n3-n+6 è divisibile per 3”.
Soluzione: si può applicare il principio di induzione (Ia forma). Il predicato è vero per n=1 perché il numero
13-1+6=6 è divisibile per 3. Supponiamo il predicato vero per un valore n=k (quindi supponiamo che il
numero k3-k+6 sia divisibile per 3) e dimostriamolo vero per n=k+1: la tesi è che il numero (k+1)3-(k+1)+6 è
divisibile per 3. Ma sviluppando i calcoli tale numero coincide con:
(k3+3k2+3k+1)-(k+1)+6=(k3-k)+3k2+3k
e tale numero è divisibile per 3 (perché somma di numeri divisibili per 3) cioè la tesi.
Esercizio 3 Vengono distribuite caramelle di 6 gusti diversi a 10 bambini, in modo che ogni bambino riceva
5 caramelle. Dimostrare che esiste un gusto (o più di uno) del quale vengono distribuite almeno 9
caramelle.
(Sugg. Costruire una opportuna matrice, ragionare per assurdo e applicare il “contare per righe e colonne”).
Soluzione: si può costruire una matrice 6x10 in cui ad ogni riga corrisponde un gusto e ad ogni colonna un
bambino, inserendo in ogni casella il numero di caramelle del gusto corrispondente alla riga che vengono
date al bambino corrispondente alla colonna. Contando per colonne i valori nella matrice si ottiene
105=50. Se per assurdo di ognuno gusto venissero distribuite al massimo 8 caramelle, contando per righe si
avrebbe un totale al più di 86=48, contraddizione.
Esercizio 4 Calcolare il numero delle matrici 3x5 ad elementi nell’insieme {1,2,3,4,5,6,7} in cui nella prima
colonna vi sono almeno 2 numeri <4.
Soluzione: si può applicare il principio di inclusione-esclusione in forma positiva costruendo gli insiemi
A1,A2,A3 contenenti rispettivamente le matrici in cui nella prima colonna si ha che la prima e seconda
casella (rispettivamente la seconda e la terza, la prima e la terza) contengono numeri <4 e calcolando:
A1A2A3=A1+A2+A3-{A1A2+A2A3+A1A3+}+A1A2A3
Con il principio delle scelte multiple si ha:
A1=A2=A3=32713, A1A2=A2A3=A1A3=A1A2A3=33712.
Esercizio 5 Si consideri l’insieme di tutti i numeri naturali di 5 cifre, con cifre scelte fra 1,2,3,4,5,6,7
Dimostrare che , presi a piacere 50 di questi numeri, ne esistono fra essi sempre almeno 2 distinti x,y tali
che il numero naturale di 2 cifre ottenuto considerando le ultime 2 cifre di x sia uguale al numero naturale
di 2 cifre ottenuto considerando le ultime 2 cifre di y.
(Sugg. Applicare il principio dei cassetti, scegliendo in modo opportuno gli insiemi A,B e la funzione f:AB).
Soluzione: se A è l’insieme dei 50 numeri presi a piacere, e se B è l’insieme di tutti i numeri naturali di 2
cifre, con cifre scelte fra 1,2,3,4,5,6,7, definiamo la funzione f:AB che associa ad ogni xA il numero
formato dalle ultime sue cifre. La cardinalità di A è 50, maggiore della cardinalità di B (che è 77=49), quindi,
per il principio dei cassetti, esistono almeno 2 elementi distinti x,y di A tali che f(x)=f(y), e si ha la tesi.
