Morando: dispense di ottica - INFN

1
Dipartimento di Fisica
Galileo Galilei
Università di Padova
Corso di Laurea Triennale in Fisica
Laboratorio di Fisica
Anno Accademico 2010-2011
3 ottobre 2011
2
Indice
1 OTTICA Geometrica
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
11
Lo strumento base: Il banco ottico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.1
La lanterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.2
Cavalieri portalenti.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.3
Cavaliere portaschermo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.4
Lenti e diaframmi.
13
1.1.5
Micrometro da interni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.1.6
Precauzioni necessarie per non danneggiare l'apparato.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Richiami di ottica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1
Lenti sottili e lenti spesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.2
Aberrazione di sfericità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2.3
Aberrazione cromatica.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.2.4
Il doppietto di Dollond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Esercitazione n.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produzione di un fascio di luce parallela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3.2
Misura della distanza focale per autocollimazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Esercitazione n.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
2.3
29
1.4.1
Misura della distanza focale col metodo dei punti coniugati.
1.4.2
Misura della distanza focale col metodo di Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Esercitazione n. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.5.1
Misura dell'aberrazione di sfericità di una lente convergente.
1.5.2
Misura dell'aberrazione cromatica.
. . . . . . . . . . . . . . .
29
. . . . . . . . . . . . . .
36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2 Richiami di ottica ondulatoria
2.1
24
1.3.1
41
Propagazione dell'energia sotto forma di onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.1.1
Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.1.2
Dirazione
2.1.3
Il reticolo di dirazione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esperienze di interferenza e dirazione . . . . . .
2.2.1
L'esperienza dei sistemi a poche fenditure
2.2.2
L'esperienza con il reticolo di dirazione .
44
44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
La dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.3.1
Il fenomeno della dispersione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.3.2
Il prisma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.4
Esperienze con il prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.5
Potere rotatorio ottico di un mezzo birifrangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Indice Analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Indice variabili
56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
INDICE
Elenco delle gure
1.1
Schema di banco ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Lanterna e posizionamento cavalieri
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
1.3
Maschere oggetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4
Geometria dei cavalieri portalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5
Cavaliere portaschermo
1.6
Diaframmi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.7
Il micrometro da interni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.8
Rifrazione a una supercie sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9
Schema per una lente sottile.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Costruzione delle immagini attraverso i punti principali
16
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.11 Posizionamento dei piani principali in una lente spessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.12 Aberrazione sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.13 Schema dell'aberrazione cromatica longitudinale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.15 Schema della verica di parallelismo di un fascio di luce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.14
Doppietto di Dollond
1.16 Diametri del fascio in funzione di
mL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.17 Graco dati del metodo dei punti coniugati
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18 Schema del metodo di Bessel per la misura della distanza focale.
1.19 aberrazione sferica in funzione del fuoco parassiale
26
29
. . . . . . . . . . . . . . . .
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.1
Rappresentazione di due sorgenti coerenti in fase
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.2
Sfasamento e dierenza di cammino ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.3
il caso di molte sorgenti coerenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.4
Schema di apparato sperimentale per lo studio di fenomeni di dirazione e interferenza prodotti
da sistemi di fenditure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
ordinata è rappresentato il
2.6
45
gure di interferenza e dirazione da singola fenditura e da 4 fenditure. Si consideri che in
ln(I)
dell'intensità trasmessa dalle fenditure. . . . . . . . . . . . .
46
. . . . . . . . . . . .
47
2.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.8
dipendenza dell'indice di rifrazione dalla lunghezza d'onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.9
La dirazione in un prisma
2.10
Schema dell'apparato sperimentale per l'uso di un reticolo di dirazione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.11 schema dell'apparato sperimentale per la misura del potere rotatorio di una soluzione
. . . .
52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.13 Il reticolo non è ortogonale rispetto all'asse ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.12
5
6
ELENCO DELLE FIGURE
Elenco delle tabelle
1.1
Tipi di lenti disponibili
1.2
Diametro del fascio in
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P2
P1
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.3
Diametro del fascio in
1.4
Dati ottenuti con il metodo dei punti coniugati
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.5
Misure col metodo di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.6
1.7
1.8
1.9
2.1
Misure per l'aberrazione di sfericità . . . .
Misure per l'aberrazione sferica trasversale .
Dati aberrazione cromatica ltro giallo . . .
Dati aberrazione cromatica ltri rosso e blu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Valori dell'indice di rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7
8
ELENCO DELLE TABELLE
Introduzione
Nelle pagine seguenti verranno utilizzate le seguenti convenzioni
Le premesse di teoria e le indicazioni sullo svolgimento dell'esperimento sono scritte in questi caratteri.
Con questi caratteri sono invece segnalati punti cui fare particolare attenzione durante
l'esperimento.
Per gli esempi di svolgimento dell’esperimento e di analisi dei dati sono invece stati usati questi caratteri.
9
10
ELENCO DELLE TABELLE
Capitolo 1
OTTICA Geometrica
1.1 Lo strumento base:
Il banco ottico.
Per studiare le proprietà basilari di elementi ottici, come per esempio le lenti, si usa il banco ottico che è
schematicamente riportato in g.1.1.
Schema del banco ottico. A: prolato guida con riga millimetrata; B: lampada; C: ltri interferenziali; D: portamascherine oggetto; E: mascherina oggetto; F: cavaliere portalenti sso; G: cavaliere portalenti con movimento micrometrico
lungo l'asse x; H: cavaliere portaschermo con movimenti micrometrici lungo gli assi x e y ; I: cavaliere con squadra per posizionamento mascherina oggetto; L: ghiere portalenti; M: schermo in vetro smerigliato; N: alimentatore della lampada con regolazione
di intensità e interruttore.
Figura 1.1:
Esso consiste essenzialmente di una guida rigi-
FILTRO D - 593.3 nm
FILTRO H� - 656.3 nm
LANTERNA
FILTRO H� - 486.1 nm
da, realizzata con un prolato di alluminio, lunga
circa 1.5 m e lungo la quale possono essere posizionati, facendoli scorrere, vari elementi mantenendoli
sullo stesso asse (ottico) indipendentemente dalla
vite di fermo
portamascherine
loro posizione (x) lungo la guida. Sul anco della
MASCHERINA
OGGETTO
guida una riga millimetrata permetterà di misurare
le posizioni relative dei vari elementi. Gli elementi
principali del banco sono la sorgente di luce (lanterna), i cavalieri portalenti, il cavaliere portaschermo
e un cavaliere posizionatore. Sui cavalieri portalenti possono essere montate le lenti e vari diaframmi
cavaliere di posizionamento
o altri elementi ottici. Sulla lanterna possono essere montate diverse mascherine oggetto e si possono
inserire dei ltri per selezionare il colore della luce.
17 18 19
0
21 22
riga graduata
1.1.1
lettura corretta dell'indice
La lanterna
Lo schema della lanterna è riportato in g.1.2. La
Schema della lanterna e del metodo di
posizionamento della maschera oggetto.
Figura
1.2:
11
sorgente luminosa è costituita da una lampada alogena collocata tra uno specchio concavo e un con-
12
CAPITOLO 1.
OTTICA GEOMETRICA
densatore asferico, utilizzati per concentrare la maggior quantità possibile di luce sulla mascherina oggetto.
La lampada è alimentata in corrente alternata con un alimentatore a tensione variabile da
6
a
10 V olt
cosí
da ottenere una regolazione continua dell'intensità luminosa. La luce, a spettro bianco, prima di intercettare il diaframma oggetto, può essere ltrata mediante l'inserzione di ltri. I tre ltri predisposti, di tipo
interferenziale e con banda passante Full Width at Half Maximum (FWHM) di circa
10 nm,
sono centrati
attorno a lunghezze d'onda molto prossime alle righe F,D e C dello spettro di Fraunhofer:
-
ltro A, (Blu), λ = 486.1 nm, ⇒ alla riga F
-
ltro B, (Giallo), λ = 589.3 nm, ⇒ al doppietto D del sodio, FWHM = 6.5 nm;
-
ltro C, (Rosso), λ = 656.3 nm, ⇒ alla riga C
dell'idrogeno (Hβ ), FWHM = 6.5 nm;
dell'idrogeno (Hα ), FWHM = 11.3 nm.
Dopo i ltri (C) trovate un porta-mascherine (D) su cui
potete inserire la mascherina oggetto (E) che è di due tipi
(g.1.3 ): 1) mascherina con un unico foro centrale di
0.5 mm
di diametro, utilizzata per ottenere una sorgente puntiforme;
2) mascherina con due fori, dello stesso diametro del primo e alla distanza relativa di 4 mm, utilizzata per ottenere
l'immagine di un oggetto di dimensioni nite e note.
In fig.1.2 viene illustrato anche il problema
della misura della posizione dello oggetto e la funzione del cavaliere posizionatore (I). Senza inserire la mascherina oggetto, avvicinate il cavaliere
posizionatore alla lanterna, infilando i due perni
della lanterna negli appositi fori del cavaliere,
fino a portarlo a combaciare con il porta-maschere
Figura 1.3: Schema delle mascherine oggetto con
sul filo destro dell'indice del cavaliere; potrete
le dimensioni rilevanti.
leggere sulla riga graduata la posizione a cui si
verrà a trovare la mascherina-oggetto una volta inserita nel suo alloggiamento.
Per comodità di misura vi consigliamo di posizionare il punto oggetto su una divisione
di comodo, tenendo presente che questa posizione fungerà poi da zero di riferimento per tutte le posizioni degli altri elementi. Tenuto conto delle dimensioni della lanterna e del fatto che lo zero della scala graduata corrisponde al bordo sinistro del banco,
vi conviene porre il cavaliere posizionatore in modo da avere la maschera oggetto posta a
20 cm.
Una volta compiuta l'operazione di azzeramento, bloccate con l'apposita vite il
cavaliere portalanterna, sfilate e smontate il cavaliere (I) e rimontate la maschera oggetto al suo posto serrandola bene con l'apposita vite di fermo. Durante le misure successive è bene controllare spesso il serraggio della stessa, perchè a causa delle dilatazioni
termiche può allentarsi e non garantire piú il corretto posizionamento della mascherina oggetto.
Attenzione: la corrispondenza tra oggetto e posizione si ottiene solo se la mascherina oggetto è montata con l'anello elastico di fissaggio interno rivolto verso destra.
1.1.2
Cavalieri portalenti.
Ogni banco ha in dotazione due cavalieri portalenti: uno sso (F) e l'altro (G) dotato di movimento micrometrico di traslazione lungo l'asse
x
(g.1.4). Per entrambi i cavalieri, all'altezza dell'asse ottico, trovate un
foro lettato dove potrete avvitare sia i diaframmi (sul lato sinistro) sia le ghiere portalenti (sul lato destro).
Queste ultime, una volta in sede, si trovano con il loro spigolo sinistro (battuta) in corrispondenza della
faccia destra del portalente stesso (g. 1.4). In questo modo, nel cavaliere sso, lo spigolo sinistro della lente
si troverà in corrispondenza dell'indice di lettura sulla scala graduata del banco.
1.1.
LO STRUMENTO BASE:
IL BANCO OTTICO.
13
Il cavaliere con movimento micrometrico serve per
poter eettuare piccoli spostamenti della lente lungo
l'asse ottico. Fate attenzione al micrometro: due giri
completi della manopola corrispondono a uno spostamento di 1 mm.
Inoltre la ghiera della manopola è
suddivisa in 50 divisioni corrispondenti quindi a 1/100
di mm (1 giro = 0.5 mm).
Per una corretta lettura
della posizione dovete quindi controllare anche la scala incisa sull'asse del micrometro (divisioni ogni
mm)
per evitare di scambiare, per esempio, 8.25 con 8.75.
Con questo cavaliere lo spigolo sinistro della lente corrisponde all'indice di lettura del cavaliere solo quando
il micrometro è nella posizione di riferimento riportata
sul cavaliere stesso (per esempio 9.50).
1.1.3
Cavaliere portaschermo.
L'immagine dell'oggetto viene raccolta da uno schermo in vetro smerigliato, con sovrainciso un reticolo di
passo 10 mm, e montato su di un cavaliere (H) dotato
di movimento micrometrico su due assi orizzontali e
tra loro ortogonali (g. 1.5).
Il primo (X) lungo l'asse ottico per una messa a
fuoco ne e per misure di tipo dierenziale, il secondo
(Y) per misure di ampiezza dell'immagine lungo l'asse
y
(trasversale all'asse ottico in direzione orizzontale).
La lettura della posizione dello schermo rispetto alla
scala graduata del banco (asse
x) viene eettuata sem-
Figura 1.4:
Schema della geometria dei cavalieri portalenti.
pre sul lo destro dell'indice che, a dierenza di quanto avveniva nel cavaliere portalenti con micrometro, si
sposta quando si aziona il micrometro.
Ricordatevi che il lato smerigliato
del vetro, dove si forma l'immagine, va
sempre dal lato della lampada (a sinistra)
mentre l'osservazione della immagine va
fatta sul lato opposto utilizzando l'oculare in dotazione. Questo ha un ingrandimento di 8× e va appoggiato allo
schermo. L'immagine sullo schermo si osserverà avvicinando l'occhio all'oculare
finchè l'immagine risulta a fuoco.
1.1.4
Lenti e diaframmi.
A corredo dei banchi ottici vi è una dotazione di
lenti e diaframmi. Le lenti, montate su apposita
ghiera lettata, sono di quattro tipi:
1. piano convesse
Figura 1.5:
e Y.
Schema del cavaliere portaschermo con i micrometri X
2. biconvesse
3. biconcave
4. doppietti acromatici
(corretti per l'aberrazione cromatica e di sfericità).
14
CAPITOLO 1.
OTTICA GEOMETRICA
Le dimensioni e il tipo delle varie lenti in dotazione sono
riportate in Tab.1.1.
I diaframmi, da montarsi sul portalenti, di due tipi, e illustrati
in g. 1.6 sono:
1) con un unico foro centrale di
10.00 mm
di diametro
0.50 mm di diametro, di cui due, alla distanza
<1 = 2.50 mm, sono utili per isolare due raggi parassiaalla distanza < = 14.00 mm, sono utili invece per isolare
2) con 4 fori di
dal centro
li, e due,
due raggi marginali.
Schema dei diaframmi con le
dimensioni rilevanti.
Sia i diaframmi, che le maschere oggetto, sono stati ottenuti
Figura 1.6:
per lavorazione con macchine utensili di alta precisione.
Gli er-
rori sulle dimensioni riportati in g.1.6 sono il risultato di misure
successive alla lavorazione (eettuate con comparatori micrometrici) e rappresentano lo scarto quadratico medio delle misure delle
dimensioni.
Tipo di Lente
Biconvessa
numero
1,2; 5,6; 8>14
3,4
7
s (mm) ± 0.2
d (mm)
10.0
8.0
6.8
2.1
1.9
1.9
Piano-concava
15,16
11.8
2.6
Bi-concava
17>24
25>30
2.0
2.0
5.9
3.9
10.4
14.5
Doppietto acromatico
Tabella 1.1:
Tipi di lenti disponibili
1.1.
LO STRUMENTO BASE:
Figura 1.7:
1.1.5
IL BANCO OTTICO.
15
Il micrometro da interni (a destra) e gli elementi aggiuntivi (a sinistra).
Micrometro da interni.
Il micrometro da interni (g. 1.7) è in grado di misurare, con sensibilità di
1/100
di
mm,
luci interne (cioè
distanze in cui non sia possibile una misura dall'esterno come si fa con il calibro, per esempio).
Quando
0.00 mm) il micrometro ha una lunghezza di 50.00 mm. La sua corsa
massima è di 25 mm. Per luci superiori a 75 mm si devono quindi applicare, avvitandoli, uno o piú elementi
aggiuntivi di varie lunghezze sse: 13.00, 25.00, 50.00 e 100.00 mm. Questo strumento è utile per posizionare
esso è completamente chiuso (lettura
con precisione una lente ad una distanza nota, oppure per misurare una luce sconosciuta con grande precisione.
Per esempio, quando utilizzerete il doppietto acromatico, dovrete posizionarlo alla distanza
focale dall'oggetto in modo da ottenere a valle un fascio di luce parallelo. Per questo scopo
sono anche state predisposte delle bacchette di ottone lavorate in modo da avere una lunghezza
pari alla distanza focale dei doppietti.
1.1.6
Precauzioni necessarie per non danneggiare l'apparato.
Non toccate con le dita i filtri e non manteneteli inutilmente davanti alla sorgente accesa,
per ridurre il piú possibile il surriscaldamento che li danneggia. Sempre per questo motivo
non alimentate inutilmente la lampada alla massima tensione.
Agite sempre con delicatezza sulle ghiere portalenti e non forzate mai la filettatura.
Inoltre non forzate mai le viti micrometriche oltre i fine corsa.
Non toccate con le dita la parte smerigliata dello schermo, i filtri interferenziali, le
superfici delle lenti. Pulite le superfici solo con salviette ottiche o comunque con salviette
o panni non abrasivi.
16
1.2 Richiami di ottica geometrica
1.2.1
CAPITOLO 1.
OTTICA GEOMETRICA
Lenti sottili e lenti spesse.
La teoria delle lenti può essere trovata in un qualsiasi buon testo di ottica. Qui richiamiamo solo gli elementi
fondamentali necessari a comprendere ciò che in realtà misurate in laboratorio con gli strumenti a disposizione.
Poichè avrete a disposizione solo lenti sferiche, ci limiteremo a considerare diottri delimitati da superci
sferiche (al limite piane).
Tali sistemi sono dotati naturalmente di un asse di simmetria cilindrica (l'asse che passa per il centro di
curvatura e per il vertice della calotta sferica) che viene detto asse ottico del sistema.
Considerate la supercie sferica, che delimita due mezzi di indice di rifrazione
n e n0 .
Essa divide lo spazio
in due semispazi (g.1.8) detti rispettivamente spazio oggetti (convenzionalmente quello di sinistra) e spazio
immagini (convenzionalmente quello di destra). In questi due semispazi, sull'asse ottico, potete denire due
sistemi di riferimento, entrambi con l'origine nel vertice V della calotta sferica, e orientati verso sinistra e
destra rispettivamente. Il raggio di curvatura,
r,
della calotta sferica è positivo se il centro di curvatura si
trova a destra (spazio immagini) della calotta (supercie convessa) e negativo nel caso opposto (supercie
concava).
Figura 1.8: Schema della rifrazione a una supercie sferica tra due mezzi di diverso indice di rifrazione. Fo e Fi sono i punti
focali oggetto ed immagine, rispettivamente.
Se i raggi formano un angolo piccolo con l'asse ottico (tale che le relative funzioni trigonometriche possono
essere approssimate dal loro sviluppo in serie arrestato al primo ordine) si hanno le cosiddette condizioni
parassiali ovvero l'approssimazione di Gauss. In queste condizioni la rifrazione ad una supercie sferica è
descritta dalla semplice equazione
n n0
n0 − n
n0
+
=
=
p
q
r
fi
dove
peq
(1.1)
sono le coordinate dell'oggetto e dell'immagine rispettivamente (vedi g.1.2.1).
(o lunghezza) focale immagine e rappresenta la coordinata del punto focale
Figura 1.9:
Schema per una lente sottile.
Fi
fi
è detta distanza
dove si forma l'immagine di
1.2.
17
RICHIAMI DI OTTICA GEOMETRICA
un oggetto posto a distanza innita (raggi incidenti paralleli all'asse ottico) ed è univocamente denita dai
materiali (indici di rifrazione) e dalla geometria (raggio di curvatura):
fi = r
n0
n0 − n
Viceversa l'immagine si forma all'innito se l'oggetto si trova nel punto
f0 = r
n0
(1.2)
F0
a distanza
n
n
= fi 0
−n
n
(1.3)
che è detta distanza (o lunghezza) focale oggetto . Vedete che le due distanze focali non sono uguali e quindi
che il diottro non è simmetrico, nel senso che non é indierente la direzione di provenienza della luce.
Un sistema rifrangente delimitato da due superci sferiche è detto una lente . L'equazione della rifrazione
di una lente si ottiene combinando successivamente le equazioni di rifrazione 1.1 alle due superci sferiche.
Se il materiale della lente ha indice di rifrazione
n
mentre a destra e a sinistra vi è il vuoto o l'aria (indice di
rifrazione uguale ad 1), nell'approssimazione di raggi parassiali si ottiene la semplice equazione
1
1
1
1 1
+ = (n − 1) − 0 = = D
p q
r
r
f
(1.4)
che è detta equazione dei costruttori di lenti, ma che, dal punto di vista sico, è l'equazione delle
sottili .
lenti
Infatti l'approssimazione insita nell'eq.1.4 è non solo quella delle condizioni parassiali, ma anche che
la distanza
s=VV0
(g. 1.11) tra i vertici delle due calotte sferiche sia trascurabile rispetto a tutte le altre
distanze in gioco, cosí che sia possibile considerare un'unica origine per il sistema di riferimento dello spazio
oggetti e dello spazio immagini. Tale origine è il centro della lente stessa.
In questa approssimazione la lente sottile è simmetrica nel senso che è caratterizzata da un'unica distanza
focale immagine ed oggetto
f.
L'inverso della distanza focale è detto potere diottrico,
D,
(o di convergenza)
della lente. É abbastanza evidente che in realtà l'approssimazione di lente sottile sarà dicilmente soddisfatta,
a meno che i raggi di curvatura non siano molto grandi e quindi anche la distanza focale sia molto grande e
il potere diottrico basso.
Nelle approssimazioni descritte sopra, un piano perpendicolare all'asse ottico nello spazio oggetti è trasformato dalla lente in un corrispondente piano (coniugato) nello spazio immagini, con un rapporto di similitudine
che è detto ingrandimento trasversale m . Particolare importanza hanno i piani focali che sono i piani coniugati di un piano che si trova all'innito nell'altro semispazio. I piani focali godono dell'importante proprietà
che tutti i raggi emergenti da un unico punto del piano focale risultano paralleli nell'altro semispazio. Di
conseguenza un oggetto posto nel fuoco ha un'immagine all'innito e viceversa un oggetto all'innito ha
un'immagine nel fuoco.
Per un diottro qualsiasi, cioè non approssimabile ad una lente sottile, è possibile denire i piani principali
come quei piani per i quali il rapporto di ingrandimento trasversale è unitario. (Nel caso di lente sottile i
piani principali coincidono e passano per il centro della lente). Di conseguenza un raggio che entra nel piano
principale di sinistra esce dal piano principale di destra alla stessa distanza dall'asse ottico. La conoscenza
dei piani focali e principali fornisce un semplice modo per costruire le immagini di un oggetto posto in una
posizione qualsiasi, come mostrato in Fig 1.10 . Le intersezioni dei piani focali e principali con l'asse ottico
sono dette rispettivamente punti focali , F e F', e punti principali, P e P'.
Semplici considerazioni geometriche sulla gura 1.10 permettono di scrivere le seguenti proporzioni
h : HF =h0 : F P
h0 : F 0 H 0 =h : P 0 F 0
dove
h
è l'altezza dell'oggetto e
h0
(1.5)
è quella della corrispondente immagine. Se ponete
f = FP
x =HF
f 0 = P 0F 0
x0 =F 0 H 0
(1.6)
potete facilmente ricavare la legge di Newton
xx0 = f f 0
(1.7)
18
CAPITOLO 1.
Figura 1.10:
OTTICA GEOMETRICA
Schema di costruzione delle immagini attraverso i punti principali e focali
Inoltre, misurando le posizioni degli oggetti e delle immagini a partire dai punti principali (p
q = x0 + f 0 )
= x+f
e
e ricordando la relazione (eq.1.3) tra le distanze focali, potete con facili passaggi matematici
ottenere nuovamente l'equazione di rifrazione (eq. 1.1). Ovviamente potete ancora combinare le equazioni di
rifrazione di due superci per ottenere l'equazione di rifrazione di una lente che risulta formalmente identica
alla eq.1.4.
Vi è ora però una dierenza sostanziale: le distanze sono tutte misurate a partire dai punti
principali e non dal centro della lente come sottointeso nella eq.1.4 per le lenti sottili.
Questo consente di ricavare le posizioni delle immagini anche per le lenti spesse. Infatti in questa trattazione geometrica i piani principali possono essere deniti anche come quei piani dove si suppone avvenga
tutta la rifrazione, indipendentemente dal reale percorso del raggio nel mezzo rifrangente (g1.10). Notate
che non vi è contraddizione nel fatto che la stessa equazione (ma con origini delle coordinate diverse) descriva
situazioni siche diverse: nell'approssimazione di lente sottile i due piani principali coincidono e quindi avete
una sola origine per i due sistemi di coordinate.
Figura 1.11:
Schema di posizionamento dei piani principali in una lente spessa.
Tutto questo saprebbe di articio matematico (o geometrico) se non fosse che non solo si può dimostrare
che i piani principali esistono, ma anche che si sa localizzarli rispetto al sistema sico in esame.
Per una
lente convessa (g..1.11) i piani principali si trovano all'interno della lente da parti opposte del centro O. In
particolare si dimostra che i punti principali si trovano alle distanze dai vertici
sr
n(r +
+ s(n − 1)
0
sr
P 0V 0 =
n(r + r0 ) + s(n − 1)
VP =
r0 )
(1.8)
1.2.
dove
19
RICHIAMI DI OTTICA GEOMETRICA
s
è la distanza VV' e i raggi di curvatura (r ,
r
0
) sono presi in valore assoluto. La separazione tra i piani
principali è
P P 0 = s − V P − P 0V 0 = s
(n − 1)(r + r0 + s)
n(r + r0 ) + s(n − 1)
(1.9)
Se lo spessore della lente, rispetto ai raggi di curvatura, è piccolo, e per un'indice di rifrazione di circa
1.5 (vetro), la separazione tra i piani principali è circa 1/3 dello spessore della lente. Inoltre, se la lente è
simmetrica (r
= r0 ), dalle eq.1.8 vedete che i due piani principali sono simmetrici rispetto al centro della lente.
In questo caso, ricordando l'eq.1.4 della distanza focale, è facile ottenere un'utile espressione completa della
separazione dei piani principali in funzione della distanza focale, che è una quantità piú facilmente misurabile
rispetto al raggio di curvatura:
PP0 = s
1.2.2
4(n − 1)f + s
4nf + s
(1.10)
Aberrazione di sfericità.
Il fatto che una lente sia caratterizzata da una distanza focale implica che l'eq.1.4 sia valida indipendentemente
dall'inclinazione dei raggi sull'asse ottico (apertura angolare del fascio). In realtà questo non è vero perchè
tale equazione vale solo in condizioni parassiali. Passando ad approssimazioni di ordine superiore, per una
data posizione
p
dell'oggetto, l'immagine si forma ad una distanza
q
che è funzione dell'angolo di apertura e
che è tanto minore quanto maggiore è l'angolo. Si dice che la lente è astigmatica .
Figura 1.12: Schema dell'aberrazione sferica longitudinale (l) e trasversale (t)
Per un oggetto posto all'innito, cioè per un fascio di luce parallela all'asse ottico, il punto focale di
R dall'asse ottico. Con riferimento alla gura 1.12, i raggi
F p alla distanza focale f , mentre i raggi distanti R dall'asse
m
ottico (raggi marginali) convergono nel fuoco marginale F . La distanza l tra i due fuochi è detta aberrazione
convergenza risulta dipendere dalla distanza
parassiali convergeranno nel fuoco parassiale
sferica principale
longitudinale
e risulta pari a
l=c
dove
c,
R2
f
(1.11)
il coeciente di aberrazione sferica, nell'approssimazione del terz'ordine è dato dalla complicata
espressione (che si può trovare in un testo avanzato di ottica):
c=
f 3 n − 1 1
1
1
1 1
1
1 2
− 0 + (n − 1)(n + 1)( − 0 ) − 0 + (n − 1)( − 0 ) + 3
2
2 n
r
r
r
r
r
r
r
(1.12)
20
CAPITOLO 1.
OTTICA GEOMETRICA
A causa dell'aberrazione di sfericità, sul piano focale dei raggi parassiali i raggi marginali di un oggetto
puntiforme non danno un'immagine puntiforme ma un disco di diametro nito.
aberrazione sferica principale
trasversale
Tale diametro,
t,
è detto
ed è dato da (g.1.12):
t
2R
=
l
f −l
(1.13)
e quindi:
t = 2c
R3
f (f − l)
(1.14)
Queste due aberrazioni sferiche sono dette principali perchè riferite ad un oggetto all'innito. Nel caso di
una lente bicovessa simmetrica (r
= −r0 )
la complicata espressione 1.12 diviene
c=
4n3 − 4n2 − n + 2
8n(n − 1)2
(1.15)
che dipende solo dal materiale (indice di rifrazione) e non dal raggio di curvatura
Per avere un'idea degli ordini di grandezza, calcolate
c
r.
per la luce gialla (doppietto D del sodio) per
una lente convergente simmetrica, usando l'indice di rifrazione riportato nelle 1.17. Ottenete
R = 14 mm
1.2.3
e
f = 50 mm
dalla 1.11 e 1.13 avete allora
l ≈ 6.3 mm
e
c ≈ 1.62.
Con
t ≈ 3.5 mm.
Aberrazione cromatica.
La distanza focale di una lente dipende dall'indice di rifrazione del mezzo (eq. 1.4), ma l'indice di rifrazione
a sua volta dipende dalla lunghezza d'onda (o colore) della luce. Per mezzi rifrangenti normali l'indice di
rifrazione aumenta al diminuire della lunghezza d'onda e quindi il potere diottrico aumenta e la lunghezza
focale diminuisce andando dal rosso al violetto. Per questo motivo raggi corrispondenti a lunghezze d'onda
diverse, pur con lo stesso angolo di apertura e quindi nelle stesse condizioni di aberrazione sferica, convergono
in punti diversi e ciò dá luogo all'aberrazione cromatica.
Il potere dispersivo di un mezzo è la sua capacità di disperdere le varie lunghezze d'onda a causa della
dipendenza dell'indice di rifrazione da esse. Per poterne dare una misura ci si riferisce convenzionalmente
a tre lunghezze d'onda caratteristiche dello spettro di emissione dell'idrogeno e del sodio che si trovano
rispettivamente circa agli estremi e al centro dello spettro visibile. Esse sono le righe
dell'idrogeno e la riga (in realtà un doppietto)
D (giallo) del sodio.
F
(blu) e
C
(rosso)
I ltri interferenziali della lanterna del
banco ottico ( paragrafo 1.1.1) sono proprio centrati attorno a queste tre lunghezze d'onda.
Se per semplicità di scrittura indichiamo
n(λF ) = nF
ecc., il potere dispersivo del mezzo è allora denito
dalla
ω=
nF − nC
nD − 1
(1.16)
Per il vetro di cui sono costituite le lenti del banco ottico, gli indici di rifrazione sono
nF = 1.5224
nD = 1.5168
(1.17)
nC = 1.5143
da cui il potere dispersivo risulta
ω = 1.57 × 10−2 .
1
Piú usato del potere dispersivo é il Numero di Abbe , solitamente indicato con la lettera
V
o la greca
ν.
Il numero di Abbe misura la dispersione cromatica di un mezzo trasparente alla luce visibile ed è denito
come:
V =
1
nD − 1
=
nF − nC
ω
(1.18)
1 da Ernst Abbe (1840-1905), sico tedesco che assieme a Otto Schott e Carl Zeiss può essere considerato tra i fondatori
dell'ottica moderna.
1.2.
21
RICHIAMI DI OTTICA GEOMETRICA
Vetri poco dispersivi come il vetro crown hanno indice di Abbe tra 50 e 85; vetri più dispersivi come i
vetri int hanno indice di Abbe inferiori che arrivano no a 20.
Convenzionalmente il materiale di cui una lente è composta viene indicato attraverso una notazione che ne specica
l'indice di rifrazione alla riga d (nd )2 e, appunto, il numero di Abbe. La notazione piú comune è la MIL-G-174 (e
successive) dove un materiale è indicato con una frazione a tre cifre: al numeratore compare nd − 1 e al denominatore
il numero di Abbe moltiplicato 100. Ad esempio, uno dei vetri piú utilizzati per la costruzione di telescopi rifrattori
è un vetro borosilicato di tipo crown indicato dalla Schott come BK7. Il BK7 ha nd = 1.5168 e V = 64.17, ed ha
quindi sigla 517/642. Se le cifre sono tre la barra può essere anche omessa: 517/642 7→ 517642, è necessaria se si vuole
specicare con piú di tre cifre qualche indice: ad esempio, lo stesso vetro di una linea di produzione particolarmente
eciente può anche essere indicato come 5168/6417. Questa notazione permette di potersi riferire immediatamente
al tipo di vetro a prescindere dal produttore. Nell'esempio precedente, infatti, la sigla BK7 è quella che indica il vetro
prodotto dalla Schott, lo stesso tipo di vetro prodotto dalla Hoya si chiama BSC7.
Figura 1.13: Schema dell'aberrazione cromatica longitudinale
Tramite il numero di Abbe si può valutare subito la aberrazione cromatica longitudinale
A,
denita come
la dierenza tra le lunghezze focali corrispondenti alla riga C e alla riga F. Dall'eq. 1.4 per la distanza focale
si trova allora che:
A = fC − fF =
1
r
−
1 −1
r0
1
1
−
nC − 1 nF − 1
≈
1
r
−
1 −1
r0
fD
nF − nC
=
(nD − 1)2
V
(1.19)
V = 50 focalizza la luce rossa A = 70
50 =
1.4 mm oltre la luce blu. L'approssimazione usata, (nC − 1)(nF − 1) ≈ (nD − 1)2 , con i valori degli indici di
rifrazione 1.17 è contenuta entro lo 0.5%. Equivale ad assumere che nD − 1 sia una sorta di media geometrica
perciò una lente di lunghezza focale
f = 70 mm
e numero di Abbe
degli altri due valori.
Nella formula 1.19 compare la distanza focale vera della lente, che sappiamo essere molto prossima alla
distanza del fuoco dei raggi parassiali. A rigore quindi l'aberrazione cromatica è diversa per raggi parassiali
o raggi marginali.
Tuttavia si può dimostrare che, in ottima approssimazione, essa è la stessa se vale la
relazione
1
cC
=1=
cF
V
dove
cC
e
cF
(1.20)
sono i coecienti di aberrazione sferica relativi alle righe C e F. Nel caso del vetro delle lenti del
banco ottico tale relazione è vericata entro circa il 10% e quindi si può supporre che l'aberrazione cromatica
sia circa la stessa per raggi parassiali e raggi marginali.
2 Come già detto la riga D è in eetti un doppietto composto dalle due righe del Sodio D = 589.592 e D = 588.995. La
1
2
maggior precisione delle misure correnti han fatto scegliere come riga canonica per le misure di ottica la riga d (o D3 ) dell'Elio
molto vicina al doppietto del Sodio e di lunghezza d'onda d = D3 = 587.5618. Molto spesso, soprattutto se la precisione o la
sensibilità della misura non sono cosí elevate, si lascia indicato comunque la riga D e non la d.
22
CAPITOLO 1.
1.2.4
OTTICA GEOMETRICA
Il doppietto di Dollond
Accoppiando opportunamente due vetri di diverso materiale si possono realizzare lenti convergenti con un'aberrazione cromatica ridotta. Il brevetto dell'inglese John Dollond accoppia vetro crown e vetro int in un
unico sistema ottico sfruttando il fatto che i due tipi di vetro hanno indice di rifrazione e numero di Abbe
diverso. L'idea è quella di costruire una lente convergente che abbia la medesima lunghezza focale sia per il
rosso (riga C) che per il blu (riga F).
Vediamo innanzitutto che cosa succede in un doppietto, un sistema ottico ottenuto accoppiando due lenti.
Per entrambe le lenti valgono le leggi dei costruttori di lenti:
1
1
1
+
=
p1
q1
f1
1
1
1
+
=
p2
q2
f2
ma dato che le due lenti sono accoppiate,
q1 = −p2
f
(1.21a)
lente 2
(1.21b)
o, sommando le due equazioni:
1
1
1
1
1
+
=
+
=
p1
q2
f1
f2
f
dove
lente 1
sistema completo
(1.21c)
è la lunghezza focale del sistema.
L'aberrazione cromatica del doppietto può essere stimata assumendo che sia una piccola variazione della
distanza focale (ed in eetti lo è: per il int
V ≈ 25
quindi l'aberrazione cromatica è circa
1
25 della distanza
focale). Si può quindi dierenziare la 1.21c ottenendo:
∆f
∆f1
∆f2
= 2 + 2
2
f
f1
f2
o, ponendo
∆f = A:
A
1
1
=
+
2
f
V 1 f1
V2 f2
(1.22)
Si vede quindi che scegliendo opportunamente l'indice di Abbe e le lunghezze focali delle due lenti si può
fare in modo di annullare l'aberrazione cromatica.
L'equazione 1.22 ci dice che per azzerare l'aberrazione cromatica dobbiamo accoppiare una lente convergente con una divergente, mentre se vogliamo che il sistema sia complessivamente convergente (f
> 0),
l'equazione 1.21c ci dice che la lunghezza focale della lente divergente deve essere maggiore di quella della
lente convergente. Supponiamo quindi, senza perdere di generalità, che la prima lente sia quella convergente
(f1
> 0).
Quanto detto sopra si riassume in:
A=0
⇒
f1 > 0, f2 < 0
(1.23a)
f >0
⇒
f1 < |f2 |
(1.23b)
A=0
⇒
V1 f1 = V2 |f2 | ⇒ V1 > V2
(1.23c)
Supponiamo quindi di voler realizzare un doppietto convergente (sia cioè
f > 0) usando una lente in BK7
(vetro crown 517642) e una in vetro int 785258. Per contraddistinguere i due materiali si usi la lettera C o F
da mettere all'apice per non confonderla con la riga spettrale: ad esempio
nella riga D del vetro crown e
V
F
= 25.8
nC
D = 1.517
è l'indice di rifrazione
è il numero di Abbe del vetro int utilizzato. Le 1.23 ci dicono che
la lente convergente deve essere realizzata in vetro crown, poiché
V C = 64.2 > 25.8 = V F ,
e la divergente
in vetro int. Abbiamo quindi due equazioni, la 1.23c e la 1.21c, e due incognite, le focali, quindi una volta
scelti i materiali e la lunghezza focale del doppietto, sono ssate le focali delle due lenti:
lente 1 in crown:
lente 2 in int:
V1 + V2
VC+VF
f=
f
V1
VC
V1 + V2
VC+VF
f F = f2 =
f=
f
V2
VF
f C = f1 =
(1.24a)
(1.24b)
In realtà, esiste ancora un grado di libertà nella nostra scelta delle lenti, perché, richiamando la 1.4, la
lunghezza focale dipende dal materiale (tramite
nD )
ma anche dai due raggi di curvatura, quindi scelto il
materiale e la lunghezza focale abbiamo ancora un grado di libertà.
1.2.
23
RICHIAMI DI OTTICA GEOMETRICA
Facendo riferimento alla gura 1.14 dove il pedice S o D indica
il raggio di curvatura della lente a Sinistra o a Destra, e notando
che per accoppiare le due lenti deve valere
C
rD
= −rSF ,
rimaniamo
con due equazioni e tre parametri liberi per un totale di un grado
di libertà:
lente 1 in crown:
lente 2 in int:
Figura 1.14:
Doppietto di Dollond
1
C
1
1
=
(n
−
1)
+
C
C
D
rS
rD
fC
1
F
1
1
+
=
(n
−
1)
−
C
F
D
rD
rD
fF
(1.25a)
(1.25b)
Solitamente il restante grado di libertà viene sfruttato per
ridurre l'aberrazione sferica del doppietto.
24
CAPITOLO 1.
1.3 Esercitazione n.1
OTTICA GEOMETRICA
In questa esercitazione vi confrontate col problema di come produrre e certicare un fascio di luce parallelo
(onda piana) a partire da una sorgente puntiforme e utilizzando una lente convergente.
Dovete imparare
a produrre rapidamente il fascio parallelo perchè questa è la base di partenza della prossima esercitazione
sulle aberrazioni delle lenti. Inne un ulteriore risultato di questa esercitazione sarà una prima stima della
distanza focale della lente con il metodo cosiddetto dell'autocollimazione.
1.3.1
Produzione di un fascio di luce parallela.
Dopo aver posizionato la lanterna, montate la mascherina oggetto a singolo foro sul porta oggetti.
Sul
cavaliere portalenti con micrometro montate una lente biconvessa (convergente) e il diaframma da 10 mm.
Ponete inoltre il cavaliere porta schermo a destra della lente a circa 50-60 cm dalla sorgente.
Dall'equazione dei costruttori di lenti (eq.1.4) ottenete che l'immagine si forma a distanza innita (fascio
emergente parallelo) quando
p = f.
Provate allora a spostare il cavaliere porta lente osservando contempo-
raneamente l'evoluzione dell'immagine sullo schermo: la sua evoluzione vi indicherà la posizione approssimativa della lente alla distanza focale dall'oggetto quando otterrete un'immagine di circa 10 mm di diametro
(il diametro del diaframma).
A questo punto spostate lo schermo allontanandolo dalla lente e osservando
contemporaneamente l'evoluzione delle dimensioni dell'immagine. Se il diametro dell'immagine diminuisce,
ciò signica che il fascio è convergente, mentre è vero l'opposto se il diametro aumenta.
oggetto-lente è maggiore o minore della distanza focale.
Cioè la distanza
Fate allora dei piccoli spostamenti della lente ri-
cercando la condizione per cui la dimensione dell'immagine rimane circa costante al variare della posizione
dello schermo. Questa procedura vi consente un posizionamento, di seconda approssimazione, della lente alla
distanza focale dall'oggetto. A questo punto controllate che il micrometro del portalenti sia al suo valore di
zero, posizionate il cavaliere porta lenti in corrispondenza esatta alla tacca piú vicina della riga graduata e
inserite il ltro giallo.
Figura 1.15: Schema della verica di parallelismo di un fascio di luce.
Potete ora iniziare a fare le misure per ottenere la posizione nale di fascio parallelo.
procedura osservate la gura 1.15 .
Se la lente è a distanza minore di
f
Per capire la
dall'oggetto, il fascio in uscita
sarà leggermente divergente e invece convergente nel caso opposto. Di conseguenza, se misurate il diametro
dell'immagine (D1 ) in una posizione vicina alla lente (P1 ) e in una posizione (P2
otterrete rispettivamente
D2 > D1
o
D2 < D1 .
= P1 + L)
lontana (D2 ),
Sempre dalla gura 1.15 osservate che, variando la posizione
della lente e quindi la convergenza/divergenza del fascio,
D2
varierà molto piú rapidamente di
D1 .
Questo
vi suggerisce come operare.
Iniziate col posizionare lo schermo alla minima distanza dalla lente che vi consenta ancora di azionare agevolmente il micrometro del portalenti. Misurate ora il diametro
D1 :
azionando il micrometro
Y
del
cavaliere portaschermo portate a coincidere il bordo sinistro (destro) dell'immagine con una delle divisioni
verticali del reticolo schermo osservando con l'oculare in dotazione. Annotate il valore del micrometro (ys ) e
posizionate ora il bordo destro (sinistro) dell'immagine in corrispondenza della piú vicina divisione verticale
del reticolo annotando nuovamente la posizione del micrometro (yd ).
Il diametro si otterrà per dierenza
1.3.
25
ESERCITAZIONE N.1
delle due letture dopo aver aggiunto all'una o all'altra 10 mm.
Attenzione:il risultato corretto è solo uno. Potete riconoscerlo controllando se il valore ottenuto è consono alla misura che potere fare a occhio, cioè guardando se il diametro è maggiore o minore di 10 mm. Decidete quindi quale è la soluzione corretta e poi mantenete coerentemente questa scelta per le misure successive.
Il valore di D1 cosí ottenuto vi servirà come valore di riferimento per le misure di D2 che farete ad
una distanza L di circa 1000 mm dalla precedente posizione. Dopo aver riposizionato lo schermo, misurate
D2
come fatto in precedenza. Se risulta
D2 > D1 ,
bisognerà allontanare la lente dall'oggetto e viceversa.
Spostate allora il micrometro del cavaliere portalenti, annotando in una tabella la sua posizione e il diametro
D2
corrispondente, in modo tale da ottenere valori di
D2
progressivamente piú vicini a
D1
e poi oltrepassando
il punto di uguaglianza.
Una volta fatto questo riportate lo schermo alla posizione
P1
metro portalenti (per esempio gli stessi valori usati per misurare
graco i valori di
D1
e
D2
e misurate
D2 ).
D1
per diversi valori del micro-
A questo punto potete riportare in un
in funzione della posizione del micrometro portalenti,
mL ,
ottenendo due rette
di pendenza diversa (D1 è quasi costante) la cui intersezione fornisce la posizione del micrometro per cui
D1 = D2 ,
cioè il fascio è parallelo.
Nel nostro caso abbiamo utilizzato la lente n.6 (Tab 1.1)
e, dopo le procedure descritte nelle prime due fasi, abbiamo
8.50
10+14.80
11.35
13.45
ottenuto i seguenti dati.
8.30
10+14.42
11.58
12.84
L’oggetto (cioè la lanterna, v. par 1.1.1) è stato posizio8.10
10+14.08
11.87
12.21
nato a P0 = 200 mm. Dopo la prima ricerca approssimati7.90
10+13.68
12.03
11.55
va il cavaliere portalenti, con il micrometro allo “zero” di 8.50
8.00
10+13.91
12.05
11.86
mm, è stato posto a PL = 253 mm. Le misure di D1 e D2
8.20
10+14.18
11.70
12.48
8.40
10+14.55
11.45
13.1
sono state ottenute con lo schermo a P1 = 320 mm e a
P2 = 1320 mm. Le posizioni del micrometro schermo per
Tabella 1.2: Misure del diametro del fascio
la coincidenza del bordo sinistro (ys ) e destro (yd ) dell’immanella posizione P2 dello schermo (lontana).
gine con una riga verticale del reticolo sono riportate nelle
Tabelle 1.2 e 1.3 in corrispondenza dei valori (mL ) del micrometro portalenti e per le posizioni schermo P2 e P1
rispettivamente. Infine i valori di D1 e di D2 sono riportati in fig.1.16 in funzione di mL .
Nella prima misura di riferimento, posto lo schermo a P1 ,
abbiamo misurato ys = 7.23 mm e yd = 4.71 mm. AggiunmL (mm)
ys (mm)
yd (mm)
D1 (mm)
8.50
10+7.23
4.71
12.52
gendo 10 mm alla lettura destra si ottiene, per differenza con
8.50
10+7.30
4.84
12.46
la lettura sinistra, un diametro del fascio inferiore a 10 mm
8.40
10+7.19
4.69
12.50
mentre aggiungendo i 10 mm alla lettura sinistra si ottiene
8.30
10+7.19
4.73
12.46
un diametro superiore ai 10 mm. Una semplice occhiata al8.20
10+7.26
4.76
12.50
8.10
10+7.25
4.69
12.56
lo schermo mostra che effettivamente il diametro è maggiore
8.00
10+7.20
4.77
12.43
di 10 mm e quindi che la procedura corretta è aggiungere
7.90
10+7.12
4.80
12.32
10 mm alla lettura sinistra, come d’altra parte si poteva ricavare anche guardando alla meccanica. Ne risulta un diametro
Tabella 1.3: Misure del diametro del fascio nella
D1 = 10 + 7.23 − 4.71 = 12.52 mm che sarà il valore di riposizione P1 dello schermo (vicina).
ferimento per le misure di D2 . Non deve meravigliarvi che il
diametro del fascio sia superiore al diametro del diaframma, perchè questo è posizionato a monte della lente e quindi
il fascio di luce diverge ulteriormente prima di essere collimato dalla lente (fig.1.15).
Osservando la Tab 1.2 potete notare che le misure sono state effettuate prima a salti di 0.2 mm, fino a ottenere un
diametro inferiore al valore di riferimento, e poi infittite per ottenere un maggior numero di punti. I dati per il diametro,
riportati in fig.1.16 , mostrano un andamento lineare e possono essere interpolati dalla retta
mL (mm)
ys (mm)
yd (mm)
D2 (mm)
D2 = a + b mL
(1.26)
con
a = (−13.30 ± 0.36) mm
b = (3.146±0.044) mm−1
ρab = − 0.9997
σy =0.023
(1.27)
26
CAPITOLO 1.
OTTICA GEOMETRICA
Dalla terza delle 1.27 si nota che la correlazione è molto buona mentre la quarta dice
che l’errore casuale sulla misura del diametro
appare essere dell’ordine di pochi centesimi di
millimetro. In realtà le cose sono un poco piú
complicate.
Osservate infatti i dati in Tabella 1.3. Le
due misure del micrometro schermo, ripetute
a mL = 8.50 prima e dopo il riposizionamento
dello schermo, mostrano differenze di oltre un
decimo di mm. Ciò nonostante i corrispondenti
valori del diametro differiscono di solo 6 centesimi di mm. Questo fatto indica che in questo
caso gli scarti tra i valori del micrometro schermo sono dovuti principalmente alla meccanica
Figura 1.16: Diametri del fascio in funzione di mL
del cavaliere portaschermo e al suo riposizionamento (in futuro tenete presente questa osservazione: se si vogliono sfruttare fino in fondo le capacità di misura dell’apparato bisogna che il cavaliere portaschermo sia ben bloccato e non venga poi spostato o riposizionato). Inoltre lo scarto tra i due valori del diametro
è paragonabile agli scarti tra le altre determinazioni ottenute per diversi valori del micrometro portalenti. Di fatto i
valori di D1 in funzione della posizione del micrometro portalenti possono essere interpolati con una retta di pendenza (0.16 ± 0.14) mm−1 , cioè una retta orizzontale entro l’errore. In considerazione di questo fatto mediamo
semplicemente tutte le determinazioni del diametro ottenendo
D1 = (12.47 ± 0.07) mm
(1.28)
dove l’errore è lo scarto quadratico medio e rappresenta una ragionevole stima dell’errore sulla singola determinazione del diametro (0.05 mm su ciascuna collimazione bordo destro/bordo sinistro come potete verificare misurando
l’intervallo di incertezza nell’allineamento o ripetendo qualche volta la misura).
La posizione mL per cui si ottiene il fascio parallelo può ora essere calcolata uguagliando la 1.26 e la 1.28 ottenendo
mL = 8.19 mm. Per quanto riguarda l’errore, tenendo conto che D1 = y0 , è soggetto all’ errore indipendente:
p
σ 2 y0 + σ 2 D1 ∼ σD1
σmL =
= 0.023 mm
(1.29)
=
b
b
dove la seconda eguaglianza segue dal fatto che σy0 σD1 perchè il punto di interpolazione è praticamente al valor
medio dei punti misurati e σy < σD1 (eq. 1.27 e 1.28). Una stima piú realistica dell’errore (anche se per eccesso)
può essere fatta attribuendo a D2 lo stesso errore di D1 e quindi
√
2 σD
σmL =
= 0.03 mm
(1.30)
b
Per piccoli angoli di convergenza/divergenza del fascio, l’angolo ( fig.1.15 ) è dato da
α∼
= tan α =
D1 − D2
2L
(1.31)
Se i due diametri sono uguali, l’angolo è zero entro l’errore con cui sono misurati i due diametri. Propagando l’errore
si ottiene
√
σα =
2 σD
2L
(1.32)
e quindi nel nostro caso
σ = (0 ± 5 × 10−5 ) rad = (0 ± 0.003) gradi
(1.33)
Questo risultato vi dà un’idea del limite di precisione con cui si può ottenere un fascio collimato con questo banco
ottico.
1.3.
27
ESERCITAZIONE N.1
Se il fascio non è parallelo, la posizione del fuoco non corrisponde alla vera distanza focale . Dall’equazione dei
fR
costruttori di lenti (eq. 1.4), essendo R
p = tan α, ottenete q = R−f tan α dove R è l’apertura del fascio. Tenendo
conto che ( fig.1.15) tan α =
∆D
2L ,
l’errore nella determinazione di f risulta:
δf = q − f =
f 2 tan α ∼ f 2 tan α
f 2 ∆D
=
=
R − tan α
R
D L
(1.34)
δf ∼ f ∆D
=
f
D L
Nel nostro caso ∆D può essere considerato l’errore con cui i due diametri del fascio vengono determinati uguali
(per quanto visto prima 0.1 mm) e quindi ∆D/L ∼
= 5 × 10−4 e
= 10−4 . Con f = 50 mm e D = 10 mm si ha δf /f ∼
∼
δf = 0.025 mm, cioè l’errore è trascurabile.
Fate attenzione a due punti che sono collegati al calcolo precedente.
Il primo è che tanto piú piccola è l’apertura del fascio e tanto maggiore è l’errore nella determinazione della distanza
focale a parità di divergenza del fascio.
Il secondo è che la misura del diametro del fascio porta inevitabilmente a privilegiare i raggi marginali e quindi, a
causa dell’aberrazione di sfericità, la distanza focale determinata per autocollimazione è essenzialmente legata ai
raggi marginali corrispondenti all’apertura del fascio.
1.3.2
Misura della distanza focale per
autocollimazione.
Avendo trovato la posizione della lente per cui si ha un fascio collimato, automaticamente avete fatto una
determinazione della distanza focale. Infatti in questo caso si ha
della lente.
f = p,
la distanza tra l'oggetto e il centro
Per questa determinazione occorre ricordare la geometria del banco ottico (paragrafo 1.1 ) e
tener conto dello spostamento del micrometro dalla sua posizione di zero (m0 ).
Diminuendo la lettura
del micrometro, la lente si allontana dall'oggetto come potete vericare osservando la meccanica, oppure
osservando che il fascio aumenta la sua convergenza.
Di conseguenza la distanza del centro della lente
dall'oggetto risulta
d
p = PL + +m0 − mL − P0
2
f = p = 253 + 1.05 + 8.50 − 8.19 − 200 = 54.36 mm
dove
d
(1.35)
è lo spessore dello spigolo della lente (Tabella 1.1)
L'errore casuale su questa misura è essenzialmente dato dall'errore di posizionamento dei micrometri
(eq. 1.30). Gli errori sistematici sono però molto maggiori. In primo luogo la lanterna con il portaoggetti e il
cavaliere portalenti sono sistemi meccanicamente complessi e le loro posizioni di riferimento sono determinate
per costruzione e quindi, a priori, con alta precisione. Tuttavia nel montaggio di pezzi complessi, perchè
costituiti di molte parti diverse, si può facilmente arrivare a disallineamenti di alcuni decimi di mm se
la progettazione non è stata particolarmente attenta ed accurata.
Inoltre le misure di
PL
e di
P0
sono
determinate con un errore di circa 0.25 mm (un quarto della divisione della scala graduata) e, poichè sono
determinate una volta per tutte nel corso della misura, hanno un eetto sistematico. Per tener conto anche
degli errori di costruzione aumentiamo l'errore di posizionamento della lanterna e della lente a 0.5 mm. Di
conseguenza, essendo indipendenti, danno un contributo all'errore su
δf = δp '
√
f
di
2
(1.36)
Vi sono però altre sorgenti di errore sistematico. L'errore sistematico maggiore sta nella modellizzazione del
fenomeno. Infatti l'eq. 1.4 è valida nel limite di lenti sottili e di raggi parassiali. Questo non è il nostro
caso perchè la distanza tra i due vertici della lente (vedi Tab 1.1 ) è di
trascurabile rispetto alla distanza focale di circa
50 mm.
10 mm,
uno spessore tutt'altro che
Inoltre il diametro del fascio è di circa
12 mm
e
quindi l'aberrazione di sfericità non è a priori trascurabile.
Cominciamo ad analizzare l'approssimazione di lente sottile. Le eq. 1.8-1.9 ci consentono di localizzare i
piani principali e quindi di correggere il valore di
f
che abbiamo ottenuto come distanza tra il punto focale
28
CAPITOLO 1.
OTTICA GEOMETRICA
e il centro della lente. Poichè la nostra lente è simmetrica possiamo usare la piú semplice eq. 1.10 usando il
valore di
n
appropriato (abbiamo usato la luce gialla), relazione 1.17, il valore di
s
ottenuto dalla Tab 1.1 e,
P P 0 = 3.61 mm
cosí f = 52.56 mm.
in prima approssimazione, la determinazione 1.35 per la distanza focale. Otteniamo il valore
f è pari a 1.80 mm, la metà di P P
P P 0 ottenendo ancora 3.61 mm.
e quindi la correzione da apportare ad
Con questo valore di
f
ricalcoliamo
0
. Si ottiene
Per quanto riguarda l'aberrazione sferica tenete presente che essa comporta che la collimazione sia ottenuta
per i raggi di una certa apertura angolare mentre quelli di apertura maggiore o minore saranno lievemente
convergenti o divergenti: questo è il motivo per il quale il bordo dell'immagine sullo schermo non è nitido.
E' ragionevole che la nostra operazione di collimazione ci abbia portato a una situazione di compromesso in
cui la posizione focale è determinata in una posizione intermedia tra quella dei raggi parassiali e quella dei
raggi piú marginali. Per questi ultimi lo spostamento dalla posizione di fuoco parassiale può essere calcolato
dalla eq.1.11 con
f
ad f
R
dato da
D2
(eq. 1.26 ), il coeciente di aberrazione sferica dalla 1.15 (lente simmetrica)
e il valore di
appena determinato. Si ottiene
apportare
pari alla metà di
l
cD = 1.6166
e
l = 1.19 mm.
Stimiamo ora la correzione da
con un errore pari anch'esso alla metà di l. Dato che l'errore sistematico
di lente spessa è stato corretto, l'errore nale risulta dalla combinazione quadratica di tutti gli errori e cioè
δf = 0.9 mm
. La determinazione nale di
f
è quindi
f = (53.2 ± 0.9) mm
(1.37)
L'errore è essenzialmente sistematico e determinato in buona parte dall'aberrazione sferica e dagli errori di
posizionamento dovuti alla costruzione dei pezzi.
1.4.
29
ESERCITAZIONE N.2
1.4 Esercitazione n.2
In questa esercitazione misurerete la distanza focale della lente che avete già misurato nell'esercitazione
precedente con altri due metodi che dieriscono per la diversa inuenza degli errori sistematici. Una parte
importante dell'esercitazione sarà proprio la discussione nale dell'errore sistematico.
1.4.1
Misura della distanza focale col
metodo dei punti coniugati.
Questo metodo si basa sull'equazione dei costruttori di lenti (eq.1.4) e sulla misura delle distanze oggetto-lente e lente-immagine
(p e q ).
Dopo aver controllato il posizionamento della sorgente (p0 ), inserite la mascherina a singolo foro nel porta
oggetti e il ltro giallo. Montate la lente e il diaframma da 10 mm sul cavaliere porta lenti sso e posizionatelo
ad una distanza dall'oggetto a piacere. Ricercate ora la posizione dell'immagine muovendo lo schermo no
a trovare le condizioni di messa a fuoco. Annotate allora le posizioni della lente (pL ) e dello schermo (L).
d
Tenendo conto della geometria del cavaliere porta lenti e dello spessore
dello spigolo della lente (Tab 1.1 ),
la distanza oggetto-centro della lente e centro della lente-immagine risulteranno:
1
d
2
q = (L − p0 ) − p
p =(pL − p0 ) +
(1.38)
Spostate ora il cavaliere porta lenti in un'altra posizione, ripetete la misura e cosí via cercando di coprire
il massimo intervallo possibile di valori di
p.
Per l'analisi dei dati osservate che, posto
x=
1
p
(1.39)
1
1
y= =
q L−p
le vostre misure dovrebbero disporsi lungo la retta
x+y =
1
1
1
+
=
p L−p
f
(1.40)
le cui intercette sugli assi cartesiani forniscono entrambe l'inverso della distanza focale cercata. Dato che i valori delle intercette dovranno essere ottenuti per estrapolazione dei dati misurativi conviene cercare di fare misure dai valori piú
piccoli ai valori piú grandi possibili di
Figura 1.17:
Graco dati Tab. 1.4
Le misure di
pL
e
L
tate in Tab 1.4 ai valori di
spigolo della lente, ai valori dedotti di
q
e ai reciproci di
p
e
q.
p(q).
eettuate nel nostro caso sono ripor-
p
corretti per lo spessore dello
I dati sono poi rappresentati in Fig. 1.17
insieme con il risultato dell'interpolazione lineare che è il seguente:
a = (18.65 ± 0.03) × 10−3 mm−1
(1.41)
b = (−0.9608 ± 0.0030)
Le due intercette
y0 = a
x0 = −
a
b
(1.42)
sono tra loro diverse, contrariamente all'attesa, perchè la pendenza è diversa da quella attesa teoricamente
(-1), ben al di fuori dell'errore casuale. Dovete quindi sospettare la presenza di errori sistematici. La prima
causa di errore sistematico da indagare è l'applicazione della legge per le lenti sottili a una lente spessa. Se
30
CAPITOLO 1.
pL (mm)
260
265
270
275
280
285
290
300
305
310
330
350
370
385
400
415
430
450
p(mm)
q(mm)
x(m−1 )
y(m−1 )
619.5
512
468.5
441.5
429
420
415.5
411
410.5
411
419.5
433.5
448
460.5
473.5
486.5
500
519
61.05
66.05
71.05
76.05
81.05
86.05
91.05
101.05
106.05
111.05
131.05
151.05
171.05
186.05
201.05
216.05
231.05
251.05
358.45
245.95
197.45
165.45
147.95
133.95
124.45
109.95
104.45
99.95
88.45
82.45
76.95
74.45
72.45
70.45
68.95
67.95
16.38
15.14
14.07
13.15
12.34
11.62
10.98
9.90
9.43
9.00
7.63
6.62
5.85
5.37
4.97
4.63
4.33
3.98
2.79
4.07
5.06
6.04
6.76
7.47
8.04
9.10
9.57
10.01
11.31
12.13
13.00
13.43
13.80
14.19
14.50
14.72
Tabella 1.4:
indichiamo con
δp
OTTICA GEOMETRICA
L(mm)
Dati ottenuti con il metodo dei punti coniugati
metà della separazione PP' tra i piani principali (eq. 1.10 ), le quantità misurate rispetto
al centro della lente,
p
e
q,
dovrebbero essere sostituite dalle
p − δp
e
q − δp,
ottenendo l'equazione
1
1
1
+
=
p − δp
q − δp
f
(1.43)
Introducendo ora le 1.39 arrivate all'equazione
y
1
x
+
=
1 − x δp
1 − yδp
f
(1.44)
che non è lineare, ma il cui termine quadratico ha un coeciente proporzionale a 2
valori di
δp
rispetto alle distanze misurate la non linearità è trascurabile.
l'utilità di aver coperto circa lo stesso intervallo di valori nella misura di
attribuire lo scarto sulla pendenza alla non linearità dell'equazione.
δp,
cosí che per piccoli
Potete però apprezzare adesso
p
e
q
per evitare che si potesse
Infatti la eq.
1.44 indica che le due
intercette sono diverse dal reciproco della distanza focale, ma tra loro uguali:
x0 = y0 =
1
f + δp
(1.45)
Potete quindi escludere questa causa di errore sistematico come origine dello scarto della pendenza da -1.
Incidentalmente osservate che in questo caso la vera distanza focale risulterebbe
f=
1
1
− δp =
− δp
y0
x0
(1.46)
Cioè la correzione per lente spessa si ottiene semplicemente sottraendo alla distanza focale, misurata rispetto
al centro della lente, lo spostamento del piano principale rispetto al centro. Naturalmente questo vale ntantochè la lente non è troppo spessa (cioè lo spostamento
δp
del piano principale è piccolo rispetto alle altre
distanze in gioco) in modo che il termine quadratico nella 1.44 possa essere trascurato.
Considerate allora un possibile errore sistematico sul posizionamento della sorgente (δs). In questo caso, sia
il valore di
p
che quello di
L
sono aetti dallo stesso errore (p
⇒ p + δs ; L ⇒ L + δs)
e quindi
q
è esente da
errore. L'eq. 1.40 diventerebbe allora
x
1
+y =
1 + x δs
f
che mostra come l'intercetta sull'asse
aetta da errore
y
darebbe la distanza focale corretta mentre quella sull'asse
(1.47)
x
sarebbe
1.4.
31
ESERCITAZIONE N.2
1
x0
=
f1
1 + x0 δs
1
x0 =
f − δs
y0 = a =
(1.48)
Anche in questo caso la relazione 1.47 non è lineare. Trascurando il termine quadratico si trova che la
pendenza è data dalla
b = −(1 −
δs
)
f
(1.49)
cosí che un accordo con i dati sperimentali potrebbe essere trovato solo ipotizzando un errore
δs > 0,
cioè
con la lanterna spostata a sinistra. D'altra parte dalla prima delle 1.48 potete ricavare l'entità dell'errore
(necessario a giusticare i dati) che è dato da :
δs =
dove
a
e
b
1+b
x0 − y0
=
x0 y0
a
sono i parametri della retta interpolante. Nel nostro caso risulterebbe
(1.50)
δs = 2.11mm,
un valore
decisamente grande anche considerando la somma dell'errore di lettura e dell'errore di allineamento nel montaggio dei pezzi della lanterna. Potete allora ragionevolmente escludere questa causa come origine principale
della discrepanza.
In modo del tutto simmetrico potete vedere che, se ipotizzate un errore sistematico nel posizionamento
dello schermo (L
sull'asse
y
⇒ L + δs0 ),
allora l'intercetta sull'asse
x
fornisce la distanza focale corretta mentre quella
è aetta da errore. Per la compatibilità con i dati sperimentali il segno dell'errore dovrebbe essere
opposto a quello di prima, cioè anche lo schermo dovrebbe essere piú a sinistra. Il valore assoluto dell'errore
sarebbe lo stesso di prima e questo porta ad escludere questa sorgente di errore a maggior ragione, perchè
in questo caso deve essere esclusa almeno la sistematicità dell'errore di lettura in quanto lo schermo è stato
riposizionato molte volte. In ogni caso, per riassumere la situazione,
1
b
=−
x0
a
1+b
δs0 = −δs = −
a
f2 =
(1.51)
Inne bisogna considerare la possibilità di un errore sistematico nel posizionamento della lente. In questo
caso
p ⇒ p+δp e L−p ⇒ L−p−δp.
Poichè anche la lente è stata posizionata piú volte, tale errore non potrebbe
essere altro che un errore di allineamento delle varie parti del cavaliere portalenti e/o di posizionamento del
centro della lente rispetto all'indice di lettura. Con il solito procedimento, l'eq. 1.40 si trasforma nella
y
1
x
+
=
1 + xδp 1 − yδp
f
(1.52)
In questo caso, sempre trascurando il termine quadratico, le due intercette risultano tali che
x0
1
=
1 + x0 δp
f
y0
1
=
1 − y0 δp
f
(1.53)
e quindi nessuna fornisce il valore corretto della distanza focale. Tuttavia, uguagliando i primi membri delle
eq.
1.53, si ottiene il valore dell'errore necessario a giusticare la discrepanza nella pendenza, e quindi la
distanza focale
x0 − y0
δs
δs 0
1+b
=
=
=
2x0 y0
2
2
2a
x0 + y0
1−b
f1 + f2
f3 =
=
=
2x0 y0
2a
2
δp =
(1.54)
32
CAPITOLO 1.
OTTICA GEOMETRICA
In questo caso l'errore richiesto per rendere compatibili i dati sperimentali è la metà che nei due casi
precedenti, cioè 1.05 mm e quindi piú verosimile.
I valori delle distanze focali che si ottengono a seconda delle ipotesi che si fanno sugli errori sistematici
sono
1
= 53.75mm
a
b
f2 = − = 51.64 mm
a
1−b
f3 =
= 52.69 mm
2a
f1 =
(1.55)
Nella realtà tutte e tre le cause di errore saranno contemporaneamente attive e questo implica che gli
errori di posizionamento dei singoli pezzi necessari a giusticare i dati sperimentali siano minori di quanto
richiesto se l'errore fosse da attribuire a un singolo pezzo. Questo è soddisfacente perchè ben dicilmente
l'errore sul singolo pezzo potrebbe arrivare a quanto determinato sopra.
Per quanto riguarda la distanza focale, essa ovviamente avrà un valore intermedio tra i valori estremi,
però non siamo in grado di determinare in modo univoco la correzione da apportare.
Per questo motivo
decidiamo di assumere il valore medio (f3 ) e di attribuirgli come errore sistematico dovuto ai posizionamenti
la metà dello scarto massimo delle tre determinazioni, cioè 1 mm.
A questo punto dobbiamo ricordarci che la nostra lente è in realtà una lente spessa cosí che la distanza
focale dovrebbe essere determinata non rispetto al centro ma rispetto al piano principale. La correzione è già
stata calcolata nella precedente esercitazione e vale 1.80 mm. A questo punto la distanza focale vale quindi
f = (50.9 ± 1)mm.
Dobbiamo però tener conto anche dell'aberrazione sferica.
Senza entrare in calcoli complicati, appli-
chiamo la correzione per l'aberrazione sferica principale già determinata nell'esercitazione precedente in
(+0.6 ± 0.6) mm
e arriviamo al valore
f = (51.5 ± 1.2) mm
(1.56)
Rimane da calcolare l'errore casuale che può essere stimato, a partire dalla seconda delle eq.1.54, attraverso
le formule di propagazione dell'errore
1
σf =
2a
ottenendo il valore di
0.06 mm,
s
σb2
+
1−b
σa
a
2
+2
1−b
ρab σa σb
a
(1.57)
un valore cosí piccolo rispetto all'errore sistematico che non vale la pena
tenerne conto. Anche in questo caso quindi l'errore sistematico è quello dominante. Questa determinazione
della distanza focale è compatibile con la precedente (Sez 1.3.2) entro circa 1.3
1.4.2
Misura della distanza focale col
σ.
metodo di Bessel.
In questa misura lo schermo viene posizionato una volta per tutte a una distanza
sposta la lente no a trovare la posizione
p
L
dalla sorgente e poi si
per la quale l'immagine risulta a fuoco. Apparentemente non
cambia molto rispetto al metodo precedente, ma vedrete invece che è possibile ridurre l'errore sistematico.
Considerate l'eq. 1.40 e risolvetela rispetto a
p
ottenendo l'equazione di secondo grado
p2 − pL + f L = 0
(1.58)
le cui soluzioni sono
p1,2 =
L±
p
L2 − 4Lf
2
(1.59)
1.4.
33
ESERCITAZIONE N.2
Figura 1.18: Schema del metodo di Bessel per la misura della distanza focale.
La prima cosa da osservare è che le soluzioni saranno reali solo se
L ≥ 4f .
Per valori di
L
maggiori di
quattro volte la distanza focale, le posizioni di messa a fuoco della lente saranno due secondo lo schema di
Fig. 1.18 . Dall'eq. 1.59 e dalla Fig 1.18 risulta che
p1 + p2 = L
p2 − p1 =
p
L2
(1.60)
− 4f L = q1 − q2 = S
p1 + q1 = p2 + q2 = L
da cui risulta anche che deve essere
q2 = p1 ; q1 = p2
e quindi
q1 − p1 = q2 − p2 = S
(1.61)
Sommando tra loro la 1.61 e la terza delle 1.60 ottenete
1
(L + S)
2
1
q2 = p1 = (L − S)
2
q1 = p2 =
e, sostituendo nell'equazione dei costruttori di lenti e risolvendo per
f=
(1.62)
f,
ottenete inne
L2 − S 2
4L
Il vantaggio di questa impostazione è che qualsiasi errore sistematico su
o della lente viene eliminato considerando la dierenza
S
(1.63)
p dovuto al riferimento dell'oggetto
p. Notate che nella
tra le due determinazioni di
dierenza viene eliminato anche l'errore di metodo dovuto alla lente spessa (lo spostamento dal centro del
piano principale).
Naturalmente tutti questi errori rimangono attivi invece per quanto riguarda la loro
eventuale inuenza su
L.
Per valutare il valore degli errori, e per avere dei suggerimenti sull'operatività nelle
misure, cominciate a calcolare le derivate parziali:
∂f
L2 + S 2
L − 2f
1
=
=
'
2
∂L
4L
2L
4
(1.64)
∂f
S
=−
∂S
2L
34
CAPITOLO 1.
dove l'ultimo passaggio nella prima equazione segue dall'ipotesi di
OTTICA GEOMETRICA
L ' 4f .
Vedete subito che gli errori saranno minimi se la separazione tra le due posizioni di messa a fuoco è
nulla, cioè se
L
è esattamente uguale a quattro volte la distanza focale.
D'altra parte questa condizione
potrebbe essere raggiunta solo per tentativi e inoltre, a causa della profondità di campo, sarebbe dicile
stabilire quando le due posizioni di messa a fuoco coincidono veramente. Questo vi suggerisce comunque di
lavorare con valori di L di poco superiori a
4f .
Operativamente vi conviene calcolare
4f
a partire dalle misure
precedenti, aumentarlo di qualche mm e vericare che le due posizioni di messa a fuoco siano chiaramente
distinguibili ma non separate piú di 20-30 mm. A questo punto eettuate alternativamente la misura delle
due posizioni di messa a fuoco almeno una decina di volte in modo da poterne eettuare la media e calcolare
lo sqm che userete poi per calcolare l'errore su
p1 (mm)
p2 (mm)
91.5
92.0
95.0
90.0
93.5
90.0
95.0
91.0
92.5
91.0
124.5
123.0
119.5
122.0
121.0
122.0
123.5
120.0
121.0
124.0
S.
Nel nostro caso le misure sono state effettuate ponendo lo schermo a L = 215
mm dall’oggetto e cercando di determinare la posizione “centrale” di messa a fuoco, cioè la posizione intermedia tra “inizio” e “fine” fuoco. Le misure sono riportate
in Tab.1.5 dopo aver sottratto la posizione di “zero” dell’oggetto (200 mm). Notate
che non è necessario effettuare le correzioni per lo spessore della lente perchè tale
approssimazione, come tutti gli errori sistematici, è ininfluente sulla misura di S .
In definitiva otteniamo
p1 =(92.15 ± 1.84) mm
p2 =(122.05 ± 1.69) mm
Tabella 1.5: Misure col metodo di Bessel
S = p2 − p1 = (29.9 ± 2.5) mm
(1.65)
f =52.71 mm
Per quanto riguarda l’errore, quello casuale entra solo nella determinazione di S , che invece è esente da errore
sistematico. Usando la seconda delle eq.1.64 e il valore dell’errore determinato dallo sqm delle misure, si ottiene
δf (S) = 0.17 mm. Osservate che le determinazioni delle posizioni di fuoco sono affette da errori relativamente
grandi a causa della profondità di campo. Tuttavia l’effetto sulla distanza focale è piuttosto limitato in virtú della
eq.1.64.
Per quanto riguarda l’errore sulla misura di L, essendo misurato una volta per tutte, L è esente da errore casuale
e affetto invece dall’errore sistematico di posizionamento dell’oggetto e dello schermo. Questo ammonta almeno
all’errore di lettura sulla scala per ciascun pezzo e deve essere aumentato dell’errore di allineamento dei pezzi dei
cavalieri. Stimiamo l’errore complessivo dell’ordine di 0.5 mm per ogni cavaliere e quindi in totale δL ' 0.7 mm e
δf (L) ' 0.18 mm
Rimangono da calcolare o stimare gli errori sistematici di metodo, legati al modello di lente. I principali sono
sempre quelli legati all’aberrazione sferica e alla lente spessa. Per l’aberrazione sferica la stima è già stata fatta per
le altre esercitazioni e porta ad aumentare la distanza focale di 0.6 mm con un pari errore. Per quanto riguarda il
fatto che la lente è spessa, ricordatevi che tutte le distanze andrebbero riferite ai punti principali. Se chiamate 2δp la
separazione tra i piani principali le distanze corrette da usare sono
p0 1 = p1 − δp
q10 = q1 − δp
(1.66)
e analogamente per la seconda posizione di messa a fuoco. Potete quindi vedere che ciò non ha influenza sulla
separazione S . Viceversa si ha
p01 + q10 = p02 + q20 = L − 2δp
(1.67)
cioè è come se avessimo compiuto un errore sistematico su L. Questo però può essere corretto usando la prima
delle 1.66 e il calcolo della separazione tra i piani principali che abbiamo già fatto nell’esercitazione precedente. Si
ottiene una correzione alla misura di f pari a −0.97 mm. In definitiva la nostra miglior stima della distanza focale in
questa esercitazione è
f4 = (52.34 ± 0.66) mm
(1.68)
1.4.
35
ESERCITAZIONE N.2
dove l’errore è ancora una volta essenzialmente determinato dall’aberrazione sferica. Confrontando questo dato con
quelli ottenuti dalle esercitazioni precedenti vedete che esso è circa il valor medio delle altre due misure e che il
metodo di Bessel è certamente migliore degli altri due. Infatti non solo S non è influenzato da errori sistematici,
ma anche gli errori sul posizionamento dell’oggetto o dello schermo hanno un’influenza molto minore che negli altri
metodi (vedete la prima delle eq.1.64).
Potete cercare di capire a questo punto quale ipotesi sugli errori sistematici nella misura dai punti coniugati
sarebbe corretta. Per fare questo confronto, poichè l’aberrazione sferica gioca allo stesso modo in tutte le misure,
consideriamo i valori corretti solo per l’effetto di lente spessa:
f1 = 51.95 mm
f2 = 49.84 mm
f3 = 50.89 mm
(1.69)
f4 = 51.74 mm
La prima ipotesi (errore sistematico nel posizionamento della sorgente di circa 2 mm) comporterebbe nel metodo
di Bessel un pari aumento della distanza L con un aumento della distanza focale f4 di circa 0.54 mm e una discrepanza di f4 in eccesso a f1 di circa 0.3 mm. La seconda (errore sistematico nel posizionamento dello schermo di
circa 2 mm) comporterebbe nel metodo di Bessel una pari diminuzione della distanza L con una diminuzione della
distanza focale f4 di circa 0.54 mm e una discrepanza di f4 circa 1.4 mm in eccesso a f2 . Questo fatto, come
era ragionevole supporre, porta ad escludere la possibilità di un errore sistematico cosí rilevante sul posizionamento
dello schermo.
Per l’ultima ipotesi (errore sistematico nel posizionamento della lente) osservate che, non avendo influenza nel
metodo di Bessel, comporta una diversa discrepanza di +0.85mm nella misura di Bessel.
Osservate inoltre che le ipotesi di errore sistematico sul posizionamento della sorgente o della lente portano
ad aumentare la distanza focale misurata per autocollimazione di 2 o 1 mm e quindi rispettivamente ad aumentare
ulteriormente la sua discrepanza. Di conseguenza decidiamo di non considerare piú la misura per autocollimazione.
Riassumendo ci troviamo con 4 valori di f ottenuti con due metodi e due diverse ipotesi per l’errore sistematico.
A seconda dell’ipotesi di errore si ottengono i valori medi:
f¯1 = (52.11 ± 0.34) mm
f¯2 = (51.31 ± 0.43) mm
(1.70)
che sono tra loro compatibili entro 1.5 σ . Possiamo concludere che il metodo di misura migliore è quello di Bessel,
ma che non possiamo raggiungere una conclusione definitiva sull’errore sistematico. Decidiamo allora di mediare
tutti i 4 valori e di aumentare lo scarto quadratico medio come rappresentativo di tutti gli errori sin qui considerati,
ottenendo:
f¯ = (51.72 ± 0.59) mm
(1.71)
Osservate che questo valore è molto vicino a quello ottenuto col metodo di Bessel. Correggendo ora per
l’aberrazione sferica si arriva a
f¯ = (51.32 ± 0.84) mm
(1.72)
Per completare la discussione osserviamo che la lente é stata certificata dal costruttore con una back focal
length (distanza del fuoco dal vertice della lente) di 50 mm. Possiamo confrontare questo valore con la nostra
determinazione tenendo conto della distanza tra il vertice e il piano principale
VP =
1
(V V 0 − P P 0 ) = 3.09 mm
2
(1.73)
con i dati di Tab 1.5 e il calcolo della 1.10. La differenza della nostra determinazione è di circa 0.77 mm, cioè di poco
inferiore all’errore stimato. Questo fornisce confidenza sia nell’analisi dell’ errore che nella sua stima.
36
CAPITOLO 1.
1.5 Esercitazione n. 3
OTTICA GEOMETRICA
In questa esercitazione vi confronterete con il problema di qualicare una lente rispetto ad alcune aberrazioni e
di darne una misura. Comincerete con l'aberrazione di sfericità, che è piú facilmente misurabile, e continuerete
poi con l'aberrazione cromatica.
1.5.1
Misura dell'aberrazione
di sfericità di una lente convergente.
L'equazione dei costruttori di lenti 1.4 è stata ricavata nell'approssimazione (di Gauss) di lente sottile e raggi parassiali.3 Nei
casi reali queste condizioni generalmente non sono soddisfatte. In particolare l'eetto dell'inclinazione dei raggi sull'asse ottico
porta ad una focalizzazione dei raggi tanto piú prossima alla lente quanto maggiore è l'angolo di inclinazione. Per un fascio
di apertura angolare nita, i vari raggi, provenienti da una sorgente puntiforme, non convergono in un unico punto ma in un
intervallo, dando origine alla cosiddetta aberrazione di sfericità (cioè la distanza focale non è univocamente denita, ma dipende
dall'apertura dei raggi). Tutto questo è stato riassunto e quanticato nella Sez 1.2.2, eq. 1.11 -1.14 e Figura 1.12.
Per la misura delle aberrazioni sferiche principali (longitudinale e trasversale) dovete disporre prima di
tutto di un fascio di luce parallela.
A questo scopo montate un doppietto acromatico sul cavaliere porta-
lenti con micrometro e posizionatelo alla sua distanza focale dall'oggetto (mascherina oggetto ad un foro)
utilizzando l'apposita asta distanziatrice. Inserite il ltro giallo e procedete al posizionamento ne del portalenti, per ottenere il fascio di luce parallelo, come fatto nell'esercitazione n. 1 ( Sez 1.3), ma questa volta
senza inserire alcun diaframma perchè avrete bisogno di un fascio di almeno 29 mm di diametro.
Montate ora la lente sul cavaliere portalenti sso insieme con il diaframma a 4 fori (per poter selezionare
raggi marginali e parassiali), posizionatelo dopo il doppietto in corrispondenza precisa di una tacca di comodo
della scala graduata ( zero di riferimento).
Un utile accorgimento è quello di posizionare la lente il piú vicino possibile al doppietto
acromatico. Infatti piccoli disassamenti dall'asse ottico dei vari componenti, potrebbero portare
a non illuminare entrambi i fori marginali del diaframma. Inoltre abbiate cura di disporre i fori
marginali nel piano orizzontale per poter misurare anche l'aberrazione sferica trasversale.
Ricercate ora le posizioni di fuoco per i raggi marginali o parassiali spostando il cavaliere portaschermo.
Fissate il cavaliere portaschermo e determinate piú volte le posizioni di inizio-fuoco e ne-fuoco per i raggi
parassiali
(attenzione che la profondità di campo è notevole!)
e la posizione di fuoco per i raggi
marginali alternativamente, agendo sul micrometro X del cavaliere portaschermo.
Per questa operazione
osservate con l'oculare quando i due dischetti corrispondenti ai raggi parassiali/marginali iniziano a coincidere
e niscono di coincidere. Questa procedura (cioè usare il micrometro X del portaschermo) vi consente di fare
una misura dierenziale delle distanze focali (cioè dell'aberrazione sferica longitudinale) con una precisione
superiore a quella consentita dalla riga graduata del banco ottico.
Per ogni posizione di fuoco parassiale (media delle posizioni di inizio-fuoco e ne-fuoco) misurate anche
la separazione tra i due dischetti corrispondenti ai raggi marginali usando il micrometro Y del cavaliere portaschermo. In tal modo avrete anche i dati necessari (Ys e
Yd ) per calcolare l'aberrazione sferica trasversale.
Naturalmente questa misura richiede che il diaframma a 4 fori sia stato posizionato con i
fori marginali orizzontali.
Nel nostro caso, dopo aver posizionato il doppietto acromatico alla
sua distanza focale con l’uso dell’apposita astina (micrometro
mL
Ys
Yd
D2
al
valore di “zero” uguale a 8.50 mm), con lo schermo in posi8.5
10.74+30
8.51
32.23
zione
340 mm, abbiamo misurato un diametro D1 = 31.00 mm.
7.5
8.87+30
10.29 28.58
Con
lo
schermo in posizione 1340 mm abbiamo poi misurato il
8.0
9.72+30
9.42
30.30
diametro
D2 in funzione della posizione del micrometro del porta8.1
9.99+30
9.09
30.90
lenti ottenendo i dati riportati in Tab 1.6. Dai dati concludiamo
8.2
10.27+30
9.07
31.20
che la posizione mL = 8.15 mm corrisponde al corretto posizio8.15 10.04+30
9.14
30.90
namento. Per verifica, con questo valore del micrometro, con lo
schermo in posizione 340 mm abbiamo misurato di nuovo D1 per
Tabella 1.6: Misure per l'aberrazione di sfericità
due volte ottenendo rispettivamente 31.09 e 30.93 mm.
3 Nell'ipotesi cioè che la separazione VV' tra i vertici della lente sia trascurabile rispetto alle altre distanze in gioco (cosí che
i sistemi di riferimento dello spazio oggetti e dello spazio immagini abbiano la stessa origine) e che i raggi formino con l'asse
ottico un angolo tanto piccolo da poterlo confondere con il suo seno (approssimazione del prim'ordine nello sviluppo in serie
delle funzioni trigonometriche).
1.5.
37
ESERCITAZIONE N. 3
Da queste misure troviamo che l’errore nella misura del diametro è dell’ordine di quanto stimato nella prima esercitazione (0.07 mm) e che entro questo errore il fascio è parallelo.
A questo punto posizioniamo il cavaliere portalenti alla posizione di comodo di
370 mm, montiamo la lente
n. 6 e il diaframma a 4 fori. Avviciniamo lo schermo no ad osservare l'immagine dei 4 fori e posizioniamo
il diaframma in modo che i fori marginali risultino orizzontali. Una volta bloccato il cavaliere portaschermo
siamo pronti ad iniziare le misure che vengono eseguite in questa sequenza:
1- determinazione della posizione di inizio-fuoco per i raggi parassiali (Xi );
2- determinazione della posizione di ne-fuoco per i raggi parassiali (Xf );
3- calcolo del valor medio (Xp ) e posizionamento dello schermo a questo valore;
4- misura delle posizioni dei raggi marginali (Ys e
Yd );
5- misura della posizione di fuoco dei raggi marginali (Xm )
6- ripetizione delle misure precedenti per una decina di volte.
Xi
Xf
Xp = (Xi + Xf )/2
Ys
Yd
t = Ys − Yd
Xm
17.24
18.35
17.60
18.24
18.29
18.20
17.96
14.64
13.93
14.51
14.31
14.35
14.93
14.50
15.94
16.14
16.06
16.28
16.32
16.56
16.23
16.00
15.50
15.00
16.50
17.00
17.50
12.68
12.86
12.73
12.82
12.88
12.95
12.84
12.78
12.65
12.47
12.95
13.1
13.18
9.06
9.02
9.07
8.99
9.00
8.89
8.99
9.07
9.2
9.39
8.94
8.79
8.53
3.62
3.79
3.66
3.83
3.88
4.06
3.85
3.71
3.45
3.08
4.01
4.31
4.55
9.90
9.93
9.91
9.93
9.92
9.92
9.91
Tabella 1.7:
Misure per l'aberrazione sferica trasversale
Le nostre misure sono riportate in
Tabella 1.7 insieme con il valore dell’aberrazione sferica principale trasversale
t = Ys − Yd . Nella stessa tabella abbiamo riportato anche le misure dell’aberrazione sferica trasversale per varie posizioni dello schermo a cavallo della posizione di fuoco parassiale per poter meglio stimare l’errore su t dovuto all’errore
di posizionamento per il fuoco parassiale.
Dai dati della tabella otteniamo
Xp = (16.22 ± 0.20) mm
Xm = (9.92 ± 0.01) mm
l = Xp − Xm = (6.30 ± 0.20) mm
(1.74)
e
Ys = (12.82 ± 0.09) mm
Yd = (9.00 ± 0.06) mm
t = Ys − Yd = (3.81 ± 0.15) mm
(1.75)
Posizionando il micrometro X dello schermo alla posizione di fuoco media dei raggi parassiali, leggiamo sulla riga graduata del
banco la posizione 425.5 mm. Possiamo quindi effettuare un’altra determinazione della distanza focale di Gauss (parassiale) che
risulta
f = (425.5 − 370.0 − 1.05 − 1.80) mm = (52.65 ± 0.35) mm
(1.76)
dove i termini sottrattivi corrispondono nell’ordine alla posizione del cavaliere portalenti, alla correzione per il posizionamento del
centro della lente e alla correzione per la posizione del piano principale posteriore rispetto al centro della lente. Inoltre l’errore è
stato valutato come la combinazione di un errore di 0.25 mm sulla lettura della posizione dei cavalieri portalente e portaschermo.
Per quanto riguarda l’errore sul posizionamento del portaschermo, si potrebbe obiettare che l’intervallo di messa a fuoco dei raggi
parassiali è di circa ±1.5 − 2.0 mm e quindi quasi un ordine di grandezza superiore a quanto stimato, ma lo scarto quadratico
medio della posizione centrale di questo intervallo (eq.1.74) è proprio 0.2 mm e quindi, nonostante la profondità di campo, con la
procedura di mediare le posizioni di inizio-fuoco e fine-fuoco si riesce a fornire una buona stima della posizione del fuoco.
Osservate inoltre che questa determinazione della distanza focale è perfettamente compatibile con quella determinata nella
precedente esercitazione (eq. 1.72).Questa determinazione della distanza focale era necessaria anche per vedere se con questo
metodo si hanno differenze significative nella distanza focale che deve essere inserita nell’eq. 1.11 per ricavare il coefficiente di
aberrazione sferica sulla base dell’aberrazione sferica longitudinale misurata. Si ha infatti
cl =
lf
= (1.692 ± 0.055)
R2
(1.77)
dove l’errore è stato calcolato propagando quadraticamente gli errori sulle singole grandezze. Esso è essenzialmente determinato
dall’errore sulla misura della aberrazione sferica longitudinale.
38
CAPITOLO 1.
OTTICA GEOMETRICA
Una seconda determinazione del coeciente di aberrazione sferica può essere ottenuta dalla misura dell'aberrazione sferica trasversale sulla base dell'eq. 1.14. Prima di procedere a questo calcolo osservate che,
a priori, anche la misura di
t
è fortemente inuenzata dalla profondità di campo dei raggi parassiali perchè
essa dipende dal posizionamento del fuoco parassiale, come potete vedere dalla Figura 1.12. Riportate allora
i dati di
t
in funzione del posizionamento dello schermo (ultime misure della Tabella 1.7 ) in un graco come
in Figura 1.19 .Potete osservare che i dati si dispongono lungo una retta di equazione
t = −5.65 + 0.585Xp
(1.78)
e dunque che l'aberrazione sferica trasversale varia di circa 0.6 mm per ogni mm di variazione nel posizionamento del fuoco parassiale. Confrontando gli errori nelle determinazioni del fuoco parassiale e dell'aberrazione
sferica trasversale (eq. 1.74 - 1.75) potete concludere che quest'ultimo è principalmente dovuto all'errore sulla
posizione di fuoco.
Il valore del coeciente di aberrazione
sferica, a partire da queste misure, risulta
essere
ct =
tf (f − l)
= (1.694 ± 0.071)
2R3
(1.79)
dove l'errore è stato calcolato di nuovo per propagazione quadratica dei vari
contributi.
Confrontando i due valori ottenuti
(eq.
1.77 e 1.79), vedete che essi sono
perfettamente compatibili anche se il secondo è ovviamente aetto da un errore
maggiore.
La conferma del perfetto ac-
cordo tra le due misure viene anche dal
Figura 1.19:
aberrazione sferica trasversale in funzione del fuoco parassiale
atteso, sulla base dell'eq.
1.13, di
0.604.
rapporto
t/l
che sperimentalmente risul-
ta di (0.605 ± 0.030) a fronte di un valore
Il confronto con il valore teorico (eq.
[12.5.15]) mostra che le
determinazioni sperimentali sono in eccesso di circa il 4.7%. Poichè l'errore della determinazione sperimentale è dell'ordine del 3-4%, possiamo considerare soddisfacente la misura eettuata, ma non va trascurata la
possibilità di un errore sistematico.
La prima ipotesi per un errore sistematico potrebbe essere un errore nell'indice di rifrazione assunto per
calcolare
c.
Questo potrebbe essere dovuto al costruttore (qualicazione del materiale della lente) o piú
facilmente ad una non perfetta corrispondenza della lunghezza d'onda del nostro ltro a quella di riferimento
della certicazione.
necessario un errore
Tuttavia la derivazione dell'eq.1.15 vi fornisce δc/δn ∼
= 2 e quindi vedete che sarebbe
δn ∼
= 0.003−0.004 per giusticare la discrepanza. Tale errore è assolutamente impossibile
come potete rendervi conto guardando la eq. 1.17. L'ipotesi piú probabile è un errore sistematico dovuto alla
modellizzazione dell'aberrazione sferica. Infatti la eq.1.12 è stata ottenuta sulla base della approssimazione
del terz'ordine per il seno (lo sviluppo in serie del seno contiene solo le potenze dispari; l'approssimazione
del prim'ordine è quella di Gauss). E' probabile che la corta distanza focale in gioco in questo esperimento
(50
mm), unita alla grande apertura del fascio (R = 14 mm), richieda l'approssimazione del quinto ordine per
descrivere piú realisticamente la nostra aberrazione sferica. Infatti i risultati riassunti dall'eq.1.78 indicano
che l'inclinazione dei raggi marginali sull'asse ottico è di circa 30 gradi.
1.5.2
Misura dell'aberrazione
cromatica.
Lo stesso set-up sperimentale usato per misurare l'aberrazione sferica può servire per misurare l'aberrazione
cromatica semplicemente cambiando il colore della luce attraverso l'inserzione dei diversi ltri interferenziali
della lanterna (Capitolo 12.1.1). Prima di passare alla fase sperimentale conviene fare una stima dell'aberrazione attesa. Dalla certicazione del costruttore sul materiale (eq. 1.17), risulta che il potere dispersivo
(eq. 1.16) del vetro della lente è
ω = 1.57· 10−2 .
Usando il valore della distanza focale già misurata, dalla
?? si calcola un'aberrazione cromatica di circa 0.83 mm.
Di conseguenza appare che una misura con i raggi
1.5.
39
ESERCITAZIONE N. 3
parassiali sarebbe scarsamente signicativa visto che la profondità di campo è molto superiore.
Infatti le
equazioni 1.74 ci dicono che l'errore sarebbe circa il 25% della grandezza da misurare! Siamo quindi costretti
ad usare i raggi marginali accontentandoci della relazione approssimata secondo la condizione eq.
??.
Prima di procedere alla misura conviene vericare il grado di compensazione dell'aberrazione cromatica
del doppietto misurando l'eventuale convergenza / divergenza del fascio prodotto in luce blu e rossa.
Le nostre misure sono raccolte in Tab.
L=340 mm
Rosso
Blu
Giallo
1.8 insieme a quelle per la luce gialla ef-
L=1340 mm
ys
yd
D1
ys
yd
D2
4.97+30
4.88+30
5.23+30
5.00+30
4.12
4.19
4.14
4.07
30.85
30.69
31.09
30.93
9.97+30
9.66+30
10.01+30
10.04+30
9.07
9.52
8.95
9.14
30.90
30.14
31.06
30.90
fettuate nel corso dell'esercitazione precedente. Le misure ripetute in luce gialla indicano che, come già precedentemente stimato (Capitolo 12.3.1), la precisione nella determinazione del parallelismo
è dell'ordine di
5 · 10−5 rad.
Entro questo
limite, il fascio di luce rossa è parallelo
Tabella 1.8: Dati aberrazione cromatica ltro giallo
nelle stesse condizioni in cui è parallelo il fascio di luce gialla. Il fascio di luce blu appare invece leggermente
2.75 · 10−4 rad (1.6 · 10−2 gradi). In
determinata per difetto di circa 0.05mm.
convergente con un angolo di circa
la luce blu sarebbe quindi
base all'eq. 1.34 la distanza focale per
Ora inserite alternativamente il ltro rosso e quello blu e determinate piú volte le posizioni del micrometro
per le posizioni di fuoco dei raggi marginali per arrivare poi alla misura dell'aberrazione cromatica come
dierenza tra i valori medi delle posizioni di fuoco rosso e fuoco blu.
Nel nostro caso le misure sono quelle riportate in Tab. 1.9 da cui risulta
XF (mm)
XC (mm)
9.23
9.18
9.27
9.17
9.45
9.26
9.35
10.28
10.20
10.13
10.12
10.15
10.05
10.15
Tabella 1.9:
Dati aberrazione
cromatica filtri rosso e blu
XF = (9.27 ± 0.10) mm
(1.80)
XC = (10.15 ± 0.07) mm
In realtà bisogna tener conto che il fascio di luce blu (F) è leggermente convergente per cui la posizione del fuoco deve essere aumentata di 0.05 mm. L’errore
nella misura del parallelismo del fascio corrisponde ad un errore nella misura della distanza focale di 0.01 mm, cioè trascurabile rispetto all’errore di misura delle
distanze focali. Di conseguenza il valore corretto di XF risulta
XF = (XF + δXF ) = (9.32 ± 0.10) mm
(1.81)
e l’aberrazione cromatica misurata è
A = XC − XF = (0.83 ± 0.12) mm
Da questa misura possiamo ora ricavare il potere dispersivo del vetro della lente (eq.
ωexp =
A
= (1.58 ± 0.23) × 10−2
fD
(1.82)
??) che risulta
(1.83)
L’accordo con il valore previsto è entro l’1%. Tuttavia questo deve essere considerato un caso fortuito in considerazione dell’errore sperimentale (∼
= 15%) e dell’approssimazione insita nell’uso dei raggi marginali (∼
= 10%), (eq.
??).
40
CAPITOLO 1.
OTTICA GEOMETRICA
Capitolo 2
Richiami di ottica ondulatoria
2.1 Propagazione dell'energia sotto forma di onde
Energia ed impulso possono essere trasferiti tra punti ed/o oggetti nello spazio-tempo mediante lo spostamento
di oggetti materiali, detti corpuscoli (come nel caso degli urti), oppure mediante l'utilizzo di campi, cioè di
grandezze denibili e misurabili in ogni punto dello spazio-tempo con determinate leggi di trasformazione tra
diversi sistemi di riferimento. Esempi di campi sono temperatura, pressione, densità, nel qual caso essendo
individuati da numeri prendono il nome di campi scalari, mentre deformazioni, velocità, forze, ecc, quello di
campi vettoriali.
L'onda è la propagazione, a velocità nita, della perturbazione di un campo. Per campi scalari l'onda
è denita dalla direzione di propagazione che coincide punto per punto con il vettore velocità di propagazione, mentre nel caso di campi vettoriali
occorre anche specicare la direzione lungo la quale giace la
perturbazione.
Nel caso più semplice di campo scalare unidimensionale, o per ciascuna delle componenti di un campo
vettoriale
ψ
(x,t), l'onda soddisfa ad una equazione lineare alle derivate parziali nel tempo e nello spazio:
∂ 2 ψ(x, t)
∂ 2 ψ(x, t)
= v2
2
∂t
∂x2
(2.1)
che ha per soluzione una qualunque combinazione lineare delle due funzioni generiche
f (x − vt)
e
g(x + vt).
Un caso di particolare importanza è dato dalle funzioni trigonometriche del tipo:
f (x − vt) = ψo sin(ωt −
ove si è introdotta la pulsazione o frequenza angolare
ω,
2πx
+ ϕ)
λ
(2.2)
la lunghezza d'onda
λ
e la fase
φ,
le prime essendo
legate dalle relazioni:
λ=vT =
dove
T
v
v
= 2π
ν
ω
(2.3)
è il periodo.
Le onde descritte dalle funzioni trigonometriche come la (2.2) presentano particolare interesse in quanto
è possibile scomporre qualsiasi altra forma d'onda periodica in una serie di funzioni trigonometriche (analisi
di Fourier).
Dalle equazioni di Maxwell si deduce che anche in assenza (o a grande distanza) da sorgenti di campi
elettrici e magnetici è possibile avere soluzioni non nulle purché queste siano sotto forma della propagazione
di una perturbazione dei campi elettrici e magnetici variabili nel tempo e tra loro strettamente connessi.
Questo dá luogo al concetto di onda elettromagnetica. La linearità
delle equazioni di Maxwell assicura
inoltre che tali onde soddisfano al principio di sovrapposizione, per cui il campo sarà espresso dalla
somma
(vettoriale) dei campi elettromagnetici dovuti a ciascuna sorgente come se le loro azioni fossero separate.
41
42
CAPITOLO 2.
2.1.1
RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA
Interferenza
In genere piccole perturbazioni ad una situazione di equilibrio di un campo sico possono essere trattate in regime lineare, vale a dire che la risposta del campo alla perturbazione, in ogni punto, sarà direttamente proporzionale all'ampiezza della perturbazione stessa, purché quest'ultima si mantenga piccola.
In questo caso il campo di perturbazioni è analogo, in ogni punto, ad un oscillatore armonico, per
il quale vale una relazione quadratica tra l'ampiezza della perturbazione e l'energia da essa trasportata.
Ciò vale anche per le onde elettromagnetiche e quindi una sorgente di onde elettromagnetiche creerà una distribuzione di energia
I ∝ E2
in ogni pun-
to nel quale è presente il campo elettromagnetico con ampiezza E del campo
elettrico.
Il principio di sovrapposizione delle onde, attribuibile alla linearità delle
equazioni di Maxwell nel caso elettromagnetico, consente di valutare come l'intensità delle onde si distribuisce nello
spazio qualora siano presenti due o più
sorgenti.
Se consideriamo due sorgenti
S2 ,
Figura 2.1: Rappresentazione di due sorgenti coerenti in fase
S1
ed
come mostrato in Fig. 2.1, e suppo-
niamo che esse emettano onde elettromagnetiche isofrequenziali con ampiezze dei
campi
E2 =
E20 cos(ωt
+ φ2 ),
avremo, nel punto P situato a distanza l1 da
E1 = E10 cos(ωt +
P1
elettrici
e l2 da
P2 ,
E1 = E10 cos(ωt + φ1 ),
2πl2
πl1
+ φ1 ), E2 = E20 cos(ωt +
+ φ2 ).
λ
λ
Supponendo che i campi elettrici vibrino nella stessa direzione potremo scrivere l'intensità totale nel punto
P come:
I = αE(P )2 = α[E1 (P ) + E2 (P )]2 =
= α[E10 (P )cos(t +
dove
α è una costante di proporzionalità.
2πl1
2πl2
+ φ1 ) + E20 (P )cos(ωt +
+ φ2 )]2
λ
λ
Sviluppando il quadrato e introducendo le intensità
misurate in P con la presenza della sola sorgente
τ ω −1
S1 (S2 )
I1 (P ) e (I2 (P ))
si ottiene, considerando un tempo di integrazione
del rivelatore nel punto P,
I(P ) = I1 (P ) + I2 (P ) + 2{I1 (P )I2 (P )}1/2 cos[
2π(l1 − l2 )
+ φ1 − φ2 ]
λ
(2.4)
dal che si osserva che l'intensità nel punto P è composta dalla somma delle intensità delle singole sorgenti
prese separatamente, che in generale rende l'intensità minore o maggiore:
in altri termini il principio di
sovrapposizione per le ampiezze dei campi elettromagnetici si traduce in una somma interferenziale per le
relative intensità, proporzionali ai quadrati delle ampiezze.
Se si realizza
I1 (P ) = I2 (P ) = I0 (P )
avremo
2π(l1 − l2 )
+ φ1 − φ2 ]).
λ
quali l1 = l2 (lungo l'asse del
I(P ) = 2I0 (P )(1 + cos[
P 0 per i
segmento congiungente le due
I(P ) = 2I0 [1 + cos(φ1 − φ2 )], quindi se le due sorgenti vibrano in fase (φ1 = φ2 + 2kπ con
I(P 0 ) = 4I0 , se invece vibrano in opposizione di fase φ1 − φ2 = (2k + 1)π e I(P 0 ) = 0.
Se ci limitiamo a considerare i punti
sorgenti) avremo
k
intero) avremo
(2.5)
0
2.1.
43
PROPAGAZIONE DELL'ENERGIA SOTTO FORMA DI ONDE
Se invece consideriamo sorgenti con
dierenza di fase nulla l'intensità in un
punto generico P sarà determinata unicamente della dierenza di percorso ottico
l1 − l2
In generale saranno presenti
sia dierenze di percorso sia sfasamenti
tra le sorgenti.
Ci limiteremo però nel
seguito a considerare interferenza da sorgenti situate a grande distanza dal punto P, oppure a distanza nita se osservate con un cannocchiale, in modo che
anziché considerare distanze avrà senso
introdurre l'angolo sotteso dal punto P
ad esempio rispetto all'asse del segmento
congiungente le due sorgenti.
In questa
condizione, detta di Fraunhofer, la dierenza di percorso ottico ha una semplice
espressione in termini dell'angolo
l1 − l2 = d sin(θ)
Figura 2.2: Sfasamento e dierenza di cammino ottico
θ
:
(2.6)
come mostrato in Fig.2.2
La condizione di interferenza costrut-
tiva si ottiene qui per dierenze di percorso multiple intere della lunghezza d'onda
condizione per la deviazioni angolari
θm
λ
e si traduce in una
tali che:
sin(θm ) =
mλ
d
(2.7)
Sarà utile, per le considerazioni che seguono, introdurre la notazione complessa denendo i campi elettrici
in termini di ampiezza
E0
φk , Ek = E0 eiφk .
e fase
Ciò è particolarmente utile in quanto l'intensità risulta
in tal caso proporzionale al modulo quadrato del vettore campo elettrico. Ad esempio, nel caso già trattato
avremo:
E = E10 (P )ei(ωt+
ed è facile vedere che da
2
I∝|E|
2πl1
λ
+φ1 )
+ E20 (P )ei(ωt+
2πl2
λ
+φ2 )
(2.8)
si ottiene la 2.4 . Il metodo complesso è particolarmente utile nel caso di
molte sorgenti. Se supponiamo ad esempio di avere N sorgenti equidistanti a due a due e giacenti sulla stessa
retta avremo un campo elettrico:
E = E0
X
Ek eiφk
(2.9)
k
ove, se il contributo allo sfasamento è solo dovuto al percorso ottico
φk = kφ
e se supponiamo la stessa
ampiezza, avremo:
E = E0
X
1 − eiN φ
Ek (eiφ )k = E 0
1 − eiφ
(2.10)
k
Dalla 2.10 si ottiene, considerando il modulo quadrato di E:
I(φ) = I0
sin(N φ/2)
sin(φ/2)
2
(2.11)
I0 l'intensità di una singola sorgente.
I(φ) si nota che:
2
2
a) l'intensità in avanti (φ → 0) è pari a N I0 , cioè è N volte l'intensità di una singola sorgente;
b) esistono massimi assoluti (principali) per φ/2 = kπ , mentre tra due massimi principali esistono N − 1
zeri ed N − 2 massimi secondari, corrispondenti all'annullamento del solo numeratore.
dove abbiamo indicato con
Da uno studio della
44
CAPITOLO 2.
RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA
Naturalmente, nel caso di condizioni di Fraunhofer, per sorgenti che vibrano con la stessa fase avremo
∆φ = π d sin(θ)/λ.
2.1.2
Dirazione
Si osservano fenomeni di dirazione ogni qualvolta la luce incontra degli ostacoli o si propaga attraverso fenditure con dimensione comparabile alla lunghezza d'onda della luce. Mentre l'ottica geometrica prevede zone
distinte di ombra e di luce al di là di un ostacolo, la teoria ondulatoria prevede deviazioni da questa situazione
λ/d,
tanto più rilevanti quanto più elevato è il rapporto
con
d
dimensione caratteristica dell'ostacolo.
I fenomeni di dirazione sono riconducibili all'interferenza qualora si introduca il principio di Huygens.
Quest'ultimo aerma che ogni punto di un'onda può essere immaginato come sorgente elementare di onde
sferiche, il cui inviluppo consente di costruire i successivi fronti d'onda.
Si può quindi considerare la dif-
frazione come l'interferenza di un numero elevato, al limite innito, di sorgenti innitesime di onde sferiche
soddisfacenti al principio di Huygens.
Sia
dx
la distanza tra due sorgenti innitesime, e
una di esse da un estremo della fenditura piana di apertura
a.
x
la distanza di
Allora il campo elettrico, in condizioni di
Fraunhofer, è scritto come:
Z
E=α
a
e
i2πxsin(θ)
λ
dx = −
0
i2πdsin(θ)
iαλ
−1
λ
(e
)
2πsin(θ)
(2.12)
da cui
I(θ) = I0
ove
2.1.3
I0
sin(π
a sin(θ)/λ)
π a sin(θ)/λ
2
(2.13)
è l'intensità in avanti dell'onda diratta.
Il reticolo di dirazione
Analizziamo ora il caso più generale di
N
fenditure di larghezza
a
e passo (distanza tra due fenditure)
d,
mostrato in Fig.2.3
Figura 2.3: il caso di molte sorgenti coerenti.
In tal caso l'intensità
I(θ)
in condizioni di Fraunhofer è ancora data dalla eq. 2.11 , ma con ampiezza
modulata dal fattore di forma di dirazione espresso nell'eq. 2.13 .
Qualitativamente il massimo in avanti (a
θ = 0)
diventa il massimo assoluto mentre gli altri massimi
principali hanno intensità inversamente proporzionale alla distanza dal massimo in avanti, o al numero
m
(detto numero d'ordine del massimo principale). Inoltre, se passo e larghezza delle fenditure sono tra loro
commensurabili, alcuni massimi principali sono soppressi dal fattore di forma di
dirazione.
Il reticolo
di dirazione trova utilizzo per l'analisi spettrale delle onde elettromagnetiche, utilizzando la dipendenza
dell'intensità della luce dalla lunghezza d'onda.
Ad esempio per i massimi principali si hanno angoli di
deessione dati dalla:
sin(θm ) = m
λ
d
(2.7)
ESPERIENZE
2.2.
45
DI INTERFERENZA E DIFFRAZIONE
e quindi i massimi saranno situati ad angoli diversi per le diverse lunghezze d'onda. Deniamo la dispersione
angolare di un reticolo di dirazione all'ordine
Dm =
dθm
dλ
m
come:
Dm =
e quindi
dove l'ultima relazione è stata ottenuta dalla (2.7) .
1
m
d cos(θm )
(2.14)
La dispersione angolare risulta quindi direttamente
proporzionale all'ordine del reticolo e inversamente proporzionale al passo del reticolo. Una elevata dispersione
angolare non implica automaticamente un'elevata capacità di risolvere diverse lunghezze d'onda, dato che
quest'ultima è anche determinata dalla larghezza dei massimi principali.
R = λ/∆λ rappresenta il rapporto tra un valore di lunghezza d'onda ed la minima difλ. Adottando il criterio di Rayleigh per la risoluzione tra
0
due massimi principali due lunghezze d'onda λ e λ = λ + ∆λ saranno distinguibili se potranno generare masIl potere risolutivo
ferenza di lunghezze d'onda apprezzabile rispetto a
simi principali distinguibili, cioè soddisfacenti al criterio di Rayleigh. Essendo il primo minimo dell'intensità
sin θmin = λ/N d ed essendo
∆λ ∆θm = Dm ∆λ ≈ (m/d)∆λ
adiacente ad un massimo principale separato di una quantità corrispondente a
la separazione tra due massimi principali corrispondente ad una variazione
e quindi si ha
(m/d)∆λ ≥ λ/N d
da cui
∆λ ≥ λ/mN .
R=
λ
∆λ
Deniamo il potere risolutivo come:
e quindi
R = mN
(2.15)
Il potere risolutivo è quindi indipendente dal passo del reticolo e risulta proporzionale al numero di
fenditure e al numero d'ordine.
Il primo risulta limitato da problemi tecnologici, mentre al crescere del
numero d'ordine diminuisce l'intensità della luce raccolta a causa del fattore di forma dovuto alla dirazione,
legato all'apertura di ciascuna fenditura.
2.2
2.2.1
Esperienze
L'esperienza
di interferenza e dirazione
dei sistemi a poche fenditure
È possibile studiare i fenomeni di diffrazione ed interferenza con luce visibile utilizzando sistemi di fenditure. Questi
possono essere ottenuti mediante tecniche di foto-impressione usualmente utilizzate per la produzione di circuiti
elettrici stampati. Si possono usare per il substrato fogli di acetato sui quali si può ottenere una risoluzione di
riproduzione nell’ordine di qualche µm. Sul vostro banco troverete un foglio di acetato sul quale sono state impresse
1, 2, 3 e 4 fenditure, montato su un telaietto per diapositive. Quest’ultimo è poi traslabile sul riferimento generale del
dispositivo mediante una vite micrometrica, al fine di consentire l’illuminazione del numero di fenditure desiderato.
Uno schema dell’apparato sperimentale a disposizione è riportato in Fig.2.4 .
La sorgente di luce è costituita da un laser a stato
solido emettente una potenza di ∼
= 0.3 mW ad una
lunghezza d’onda λ = 670 nm. Le caratteristiche della luce laser, in particolare la bassa dispersione angolare, permettono di disporre di un fascio di luce parallela senza impiegare complicati sistemi di collimazione
del fascio luminoso. Inoltre è possibile disporre, come conseguenza della bassa dispersione, di elevate
intensità, consentendo l’utilizzo di rivelatori di intensità
luminosa con bassa accettanza angolare.
Un inconveniente del laser a stato solido è costituito dalla scarsa stabilità in frequenza dovuta a fenomeni
interni di dissipazione, e la deriva termica può essere
quantificata in 5 nm. Lunghezza d’onda e intensità
della luce, larghezza e passo delle fenditure fissano le
Figura 2.4: Schema di apparato sperimentale per lo studio caratteristiche del sistema di rivelazione.
di fenomeni di diffrazione e interferenza prodotti da sistemi
Considerando la singola fenditura, si nota che la
di fenditure
separazione angolare tra il massimo principale e il minimo adiacente è, per λ = 670 nm e a = 100 µm, ∆θ ∼
=λ/a = 6.7 mrad, il che implica, per ragionevoli valori
46
CAPITOLO 2.
RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA
dell’apertura del rivelatore (dell’ordine del mm o una sua frazione) un braccio dell’ordine del metro. Nel caso specifico si dispone di un braccio di 700 mm imperniato ad un’estremità sull’asse della fenditura. All’altra estremità è
montato il rivelatore costituito da un fototransistor. Quest’ultimo fornisce un segnale elettrico che poi viene amplificato. Per garantire la dinamica necessaria alla rivelazione dei massimi secondari, nel caso di 3 o 4 fenditure, e dei
minimi si utilizza un amplificatore logaritmico. Il diaframma del fototransistor ha un diametro di 0.6 mm. L’angolo
solido intercettato dal fototransistor è perciò pari a Ω = π 0.32 /7002 = 5.7 · 10−7 steradianti.1
Il movimento del braccio viene effettuato mediante una vite senza fine e chiocciola fissata alla distanza dal perno
D = (65.5 ± 0.5) mm. L’errore rappresenta l’incertezza su D dovuta al montaggio meccanico dei vari componenti.
La vite ha passo p = 0.5 mm ed è azionata da un motore passo-passo con 400 passi/giro, quindi l’avanzamento
della chiocciola per unità di passo è di (0.5mm/giro)/(400passi/giro) = 1.25µm corrispondente ad una rotazione
del braccio di δφ = (1.25·10−6 m/passo)/(65.5·10−3 m) = 1.9·10−5 rad/passo, ovvero sono necessari circa 45
passi per avere un’escursione angolare pari alla divergenza angolare del rivelatore. Lo strumento disponibile è
dotato di una centralina che consente sia l’acquisizione dei dati dall’amplificatore logaritmico, sia lo spostamento del
braccio di un numero programmabile di passi. È inoltre disponibile una procedura automatizzata di centraggio intorno
al massimo assoluto dell’intensità luminosa.
Particolare cura va posta nel determinare il numero di passi tra due misure consecutive che deve risultare un
compromesso tra la risoluzione richiesta e il tempo complessivo di misura. L’ampiezza angolare massima investigabile è inoltre limitata dal rumore di fondo del fototransistor dato che a causa del fattore di forma di diffrazione il
segnale diminuisce progressivamente all’aumentare dell’apertura angolare.
Figura 2.5:
gure di interferenza e dirazione da singola fenditura e da 4 fenditure.
ordinata è rappresentato il
ln(I)
Si consideri che in
dell'intensità trasmessa dalle fenditure.
Si suggerisce pertanto di determinare il rumore di fondo del fototransistor e di fermare la misura ad un’ampiezza
per la quale i massimi principali hanno un basso contrasto rispetto ai minimi o presentano un’intensità comparabile
al rumore di fondo (ovvero in condizioni tali che il rapporto segnale-rumore è ancora dell’ordine di qualche unità). In
Fig.2.5 compare l’andamento dell’intensità della luce registrata dal fototransistor in funzione del numero di passi per
il caso di una fenditura singola (a) e di 4 fenditure (b).
1 La divergenza massima del fascio di luce rivelato è invece pari a δθ = 8.57 · 10−4 radianti ∼
= ∆θ/8. Diametri minori del
diaframma consentirebbero di ottenere minori divergenze e, in linea di principio, una migliore risoluzione angolare. Tuttavia
questo è ottenuto al prezzo di diminuire l'angolo solido intercettato e quindi la quantità di luce intercettata dal fototransistor,
che al limite potrebbe risultare comparabile col rumore di fondo intrinseco (misurabile ostruendo completamente la ricezione
della luce da parte del diaframma). D'altra parte se invece il diametro del diaframma fosse maggiore si avrebbe un segnale più
intenso ma si perderebbe in risoluzione angolare, compromettendo la possibilità di osservare strutture dettagliate nelle gure di
interferenza e dirazione.
2.2.
ESPERIENZE
DI INTERFERENZA E DIFFRAZIONE
47
Si noti che in quest’ultimo caso l’intensità in avanti (θ = 0) è maggiore rispetto al caso di una singola fenditura.
Tenendo presente infatti il comportamento logaritmico dell’amplificatore, si ottiene un’intensità che è 42 volte quella
trasmessa dalla fenditura singola, a parità di intensità incidente per ciascuna fenditura.
2.2.2
L'esperienza
con il reticolo di dirazione
In questa esperienza si studiano fenomeni di interferenza e diffrazione da sistemi a molte fenditure, comunemente
denominati reticoli di diffrazione. L’apparato sperimentale è schematizzato in Fig.2.6 .
Figura 2.6: Schema dell'apparato sperimentale per l'uso di un reticolo di dirazione
Lo scopo dell’esperienza consiste nella misura delle lunghezze d’onda della luce emessa da una sorgente di
Cadmio (uno spettro a righe, con le righe più intense nel blu, azzurro, verde e rosso) noto il passo del reticolo.
Quest’ultimo viene assunto essere pari a: d = (12.650 ± 0.05)µm corrispondente a ≈ 800 f enditure/cm e, dalla
relazione (2.7) si ottiene la lunghezza d’onda noti gli angoli di deviazione ed il numero d’ordine. Il calcolo dell’errore
su λ fornisce:
δλ
=
λ
r
(
δd 2
) + (cotg(θm )δθm )2
d
(2.16)
con un errore decrescente al crescere dell’ordine di diffrazione.
Tuttavia per numeri d’ordine crescenti l’intensità della luce diminuisce a causa del fattore di forma della diffrazione.
Per non ricorrere ad una media pesata si può però osservare che si può riscrivere la relazione fondamentale come
sin(θm ) = m
λ
d
(2.7)
per la quale si ha una relazione lineare tra il seno dell’angolo e l’ordine di diffrazione, con pendenza pari alla lunghezza d’onda in unità del passo del reticolo. Questa procedura ha il vantaggio di pesare di più i punti più lontani
dall’origine e di fornire contemporaneamente una stima corretta dell’errore casuale. Inoltre l’ipotesi di errore nullo
sull’ascissa, alla base della regressione lineare, in questo caso è rigorosamente verificata. Come in altre occasioni,
essendo interessati alla pendenza, in linea di principio la regressione a due parametri è più corretta perché è esente dall’influenza di un eventuale errore sistematico di zero. Tuttavia la procedura sperimentale dovrebbe annullare
l’errore di zero e quindi è utile confrontare anche i dati della regressione per l’origine.
Tra le sorgenti di errore sistematico menzioniamo:
a) quello commesso sul passo del reticolo;
b) l’errore di eccentricità. Il nonio è uno strumento che misura lunghezze; la conversione in angolo deriva dalla
presunta conoscenza del raggio. Se il nonio non è posto alla giusta distanza dall’asse di rotazione o se l’asse
48
CAPITOLO 2.
RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA
n(λF )
n(λD )
n(λC )
Vetro int
1.632
1.620
1.613
Quarzo
1.550
1.544
1.541
Vetro crown
1.510
1.506
1.504
Tabella 2.1: Valori dell'indice di rifrazione
è eccentrico, la misura è influenzata da un errore sistematico dipendente dall’angolo tra la direzione di misura e
quella definita dall’ipotetico centro di rotazione e dal centro di rotazione reale. Con due nonii diametralmente opposti
l’errore viene totalmente eliminato se si prende l’angolo pari alla media degli angoli misurati dai due nonii. Infatti, con
riferimento alla figura 2.7, dove questo effetto è stato accentuato per maggiore chiarezza, si ha:
Â
r
θB =
θA =
Â
B̂
=
rA
rB
θA =
θA + θB
=θ
2
B̂
r
rA + rB
=r
2
Figura 2.7:
Questo motiva la presenza dei due noni e la necessità di mediare tra le due misure. Naturalmente l’errore
di eccentricità è tanto più evidente quanto maggiore è l’angolo di rotazione. Di conseguenza questo fatto deve
essere tenuto presente in particolare quando si ruota il cannocchiale di 90◦ ed il reticolo di 45◦ per la procedura di
ortogonalizzazione del reticolo: la rotazione deve essere tale che l’angolo medio sia pari a quello voluto (90◦ o 45◦ );
c) errore di ortogonalità del reticolo. Le formule di interferenza di N sorgenti (reticolo) e di diffrazione da una
fenditura valgono nel caso di osservazione e incidenza in luce parallela (diffrazione di Fraunhofer) e per raggi incidenti
perpendicolari al reticolo o alla fenditura. Una trattazione dettagliata si trova in Appendice
2.3 La dispersione
2.3.1
Il fenomeno della dispersione
La propagazione di onde elettromagnetiche in un mezzo materiale può essere descritta dalle equazioni di
Maxwell considerando i fenomeni di polarizzabilità e magnetizzazione del mezzo. Un campo elettrico oscillante
in un mezzo produce un momento di dipolo per unità di volume dovuto allo spostamento degli elettroni
rispetto ai centri di carica atomici. Tale eetto di polarizzazione modica le caratteristiche della radiazione,
in particolare la velocità di fase.
Se inoltre immaginiamo gli elettroni legati in sistemi armonici smorzati
caratterizzati da opportune pulsazioni caratteristiche ed eetti viscosi, la reazione alla sollecitazione del
campo elettrico oscillante risulterà dipendente dalla pulsazione della radiazione incidente. Il risultato è che
la velocità di fase
v(ω)
viene modicata anche in funzione della pulsazione della radiazione.
La legge della dipendenza dell'indice di rifrazione dalla pulsazione
di tipo fenomenologico e puó assumere forme diverse.
A + Bω 2 /(2πc) = A + B/λ2
dove
ω
λ ) é
n(ω) =
( o dalla lunghezza d'onda
Una di queste é la
formula di Cauchy
λ rappresenta la lunghezza d'onda caratteristica della radiazione nel vuoto.
Un esempio della dipendenza dell'indice di rifrazione dalla lunghezza d'onda della radiazione è riportato
in Fig.2.8 ed in Tab.2.1 per le tre lunghezze d'onda caratteristiche corrispondenti alla riga F di emissione
λF = 486.1 nm), alla
λC = 656.3 nm). Questi valori
λD = 589.3 nm)
dell'idrogeno (Blu,
riga D del sodio (Giallo,
(Rosso,
di lunghezze d'onda caratteristiche erano già stati presentati nella
e alla riga C dell'idrogeno
discussione dei fenomeni di aberrazione cromatica e del coeciente di dispersione per le lenti.
2.3.
49
LA DISPERSIONE
Figura 2.8: dipendenza dell'indice di rifrazione dalla lunghezza d'onda
2.3.2
Il prisma
Uno dei dispositivi più semplici per osservare il fenomeno della dispersione della luce è il prisma. Una lastra
di materiale trasparente è lavorata in modo che due facce piane formino tra loro un angolo
α.
La gura 2.9 illustra il comportamento di un raggio luminoso
trasmesso da un prisma e soggetto alla legge della rifrazione:
sin(θi ) = n sin(θ1 ) e
dove
θi
e
θe
sin(θe ) = nsin(θ2 )
indicano gli angoli di incidenza del raggio en-
trante ed uscente rispetto alle direzioni verticali alle facce
del prisma. Detto
δ
l'angolo di deviazione tra il raggio en-
trante ed uscente, cerchiamo una relazione tra
rifrazione
n
δ,
l'indice di
e gli altri angoli in gioco.
Valgono le relazioni seguenti:
Figura 2.9: La dirazione in un prisma
θi + θe = α + δ
sin(
e α = θ1 + θ2
2
nsin( α2 )cos( θ1 −θ
α+β
2 )
)=
θ
−θ
2
cos( i 2 e )
L'espressione trovata risulta piuttosto complessa e la misura indiretta dell'indice di rifrazione
n
dalle
quantità angolari non è agevole. Tuttavia si possono individuare condizioni particolari in cui l'espressione
risulta semplicata. Si consideri ad esempio la condizione di emergenza normale, cioè di perpendicolarità tra
il raggio emergente e la faccia corrispondente del prisma. In tal caso
θe = θ2 = 0
e quindi
n sin(α) = sin(δ + α)
La misura di
n richiede in tal caso la misura dell'angolo di apertura α del prisma e dell'angolo di deviazione
δ,
oltre ad un metodo che assicuri l'emergenza normale dei raggi e che verrà esposto in seguito.(v Ÿ2.4)
e
θ1 = θ2
Un'altra condizione particolare è quella di minima deviazione dei raggi luminosi. In questo caso
θi = θe
e quindi
n sin
α
2
= sin
α + δmin
2
(2.17)
50
CAPITOLO 2.
In questa congurazione, la misura di
n
richiede dunque
α
e
RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA
δmin
oltre alla procedura per assicurare la
minima deviazione dei raggi luminosi.
a. Dispersione angolare
La dispersione angolare è denita come la variazione dell'angolo di emergenza al variare della lunghezza
d'onda
dδ
dλ ( eq. 2.14); dierenziando l'eq. 2.17 si ha:
q
dn
=
dδ
1 − n2 sin2
α
2
(2.18)
2 sin α2
da cui
2 sin α2
dδ
=q
dn
1 − n2 sin2
;
α
2
la dispersione angolare si può scrivere
dδ
dδ dn
=
.
dλ
dn dλ
Per fare una valutazione di
intrinseca
n(λ)
dn/dλ
si può ricordare che ogni materiale possiede una propria dispersione
che può essere convenientemente approssimata con la formula
n = n0 +
2
c
.
λ − λ0
Pertanto
c
dn
=−
dλ
(λ − λ0 )2
In conclusione
2 sin α2
dδ
= −q
dλ
1 − n2 sin2
α
2
c
;
(λ − λ0 )2
(2.19)
α è costante (normalmente α = 60◦ ) ed il primo termine dipende debolmente da n, e quindi si può considerare
costante. Ricordando che
dx
dδ
=f
,
dλ
dλ
dove
f
é la distanza focale della lente di camera. Per la dispersione lineare, dalla eq. 2.19, si ha
dx
c1
=−
dλ
(λ − λ0 )2
da cui
x = x0 +
c1
λ − λ0
λ = λ0 +
c1
.
x − x0
e quindi, invertendo
Tale formula connette la posizione della riga sul piano focale del sistema alla sua lunghezza d'onda (formula
di interpolazione di Hartmann); è corretta nel visibile all'ordine di qualche angstrom .
Per ssare dei valori numerici, consideriamo un prisma di vetro int normale le cui costanti nella formula
n0 = 1.62, c = 146.2 e λ0 = 2034 Å, un angolo del prisma α di 60◦ e luce
dδ
−5
incidente di lunghezza d'onda λ ' 5000 Å; in tali condizioni la dispersione angolare vale
rad/ Å.
dλ ' 5 · 10
della dispersione intrinseca sono
2 Questa legge fenomenologica è usata in alternativa alla formula di Cauchy, perchè è applicabile ad un intervallo di lunghezze
d'onda più ampio.
2.4.
51
ESPERIENZE CON IL PRISMA
b.
Il potere risolutivo Il potere risolutivo è denito dall'eq
2.15. Se la minima separazione angolare è dell'ordine di
λ/d
allora
2sin( α2 ) dn
L dn
dδ
dλ
=
=
dλ
d dλ
)
cos( α+δ
2
e quindi
R=L|
Figura 2.10:
dn
|
dλ
2.4 Esperienze con il prisma
L’apparato per l’osservazione di fenomeni dispersivi con un prisma è lo stesso di quello usato per la misura delle
lunghezze d’onda della luce con un reticolo di diffrazione. Esso è costituito da una base che sostiene la sorgente
luminosa ed un collimatore formato da una fenditura ad apertura variabile e da una lente acromatica ad un’estremità,
tali da costruire un fascio di luce parallela. Un cannocchiale posto su di una piattaforma girevole rispetto alla base
fissa è dotato di un oculare con un reticolo e fornisce un’immagine della fenditura con un ingrandimento dell’ordine
dell’unità. La distanza focale del cannocchiale è di circa 20 cm.
Il prisma è posto su di una piattaforma girevole attorno allo stesso asse della piattaforma di sostegno del
cannocchiale.
La misura dell’angolo α di apertura del prisma sfrutta la riflessione della luce sulle sue facce. Posto il cannocchiale a formare un angolo acuto rispetto alla direzione del fascio di luce prodotto dalla sorgente e collimato, si ruota
la piattaforma di sostegno del prisma sino ad osservare l’immagine riflessa della fenditura del collimatore.
Misurata questa configurazione angolare della piattaforma girevole, la si ruota fino ad osservare nuovamente
l’immagine della fenditura, questa volta prodotta dalla riflessione su un’altra faccia del prisma. La deviazione angolare
∆θ tra le due configurazioni della piattaforma di sostegno è una misura dell’angolo di apertura tra le due facce
utilizzate per osservare la riflessione dell’immagine della fenditura: ∆θ = π − α.
La misura dell’angolo di deviazione minima avviene cercando inizialmente attraverso l’oculare del cannocchiale il
raggio rifratto dal prisma. A questo punto si insegue il raggio sempre verso la direzione del fascio di luce incidente
con il cannocchiale ruotando nello stesso verso la piattaforma di sostegno del prisma. La configurazione in cui
l’immagine inverte il senso del suo spostamento, corrisponde alla configurazione di minima deviazione. L’angolo δmin
di deviazione minima corrisponde all’apertura angolare della posizione del cannocchiale in questa configurazione
rispetto alla direzione osservabile del fascio indeflesso.
La condizione di emergenza normale dei raggi luminosi rispetto alla faccia del prisma si può determinare osservando attraverso il cannocchiale oltre all’immagine rifratta della fenditura anche l’immagine del reticolo posto
sull’oculare, riflessa dalla faccia di uscita del prisma.
2.5
Potere rotatorio ottico di un mezzo birifrangente
In questa esperienza si utilizza il banco ottico già utilizzato per le esperienze di ottica geometrica per misurare il
potere rotatorio ottico di un mezzo birifrangente, immerso in un campo magnetico (effetto Faraday). Uno schema
dell’apparato sperimentale è riportato in Fig. 2.11
A valle della lampada si pone un doppietto acromatico per generare un fascio parallelo di luce, seguito da un
polaroid che trasmette luce polarizzata linearmente. Il fascio di luce viene poi fatto passare attraverso il mezzo
birifrangente, costituito da un cilindro di vetro all’Itterbio lungo 11 cm. Tale mezzo si trova all’interno di un solenoide
con il quale è possibile generare un campo magnetico. Il solenoide è composto da 3660 spire ed è lungo 18 cm.
A ridosso del tubo si trova l’analizzatore, un altro polaroid situato su un supporto che può ruotare di 360◦ . Infine è
presente il fotorivelatore già utilizzato per le esperienze sulla diffrazione e l’interferenza, ma in questo caso si utilizza
un amplificatore lineare. Lo scopo dell’esperienza è di studiare la dipendenza del potere rotatorio ottico da vari
parametri come il campo megnetico B e la lunghezza d’onda della luce. La legge di Malus esprime la dipendenza
dell’intensità della luce trasmessa in funzione dell’angolo tra gli assi di due polaroid:
52
CAPITOLO 2.
RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA
Figura 2.11: schema dell'apparato sperimentale per la misura del potere rotatorio di una soluzione
I=
I0
cos2 (θ)
2
(2.20)
Attraversando una sostanza otticamente attiva la curva di Malus viene modificata
sia attraverso l’inevitabile attenuazione dell’intensità luminosa, sia attraverso uno sfasamento ∆φ da aggiungere all’argomento
della eq. 2.20. Se analizziamo la risposta
del fotorivelatore senza e con campo magnetico si registrerà pertanto una traslazione delle curve proporzionali alla rotazione
del piano ottico.
Si può verificare che lo sfasamento indotto dal campo magnetico B è direttamente proporzionale al campo stesso e alla
lunghezza L del mezzo. .
Si può pertanto ottenere la costante di
proporzionalità, detta potere rotatorio ottico
specifico, attraverso lo studio della legge:
∆φ = CV B L
con CV potere rotatorio specifico,3 dipendente dalla sostanza e, a parità di essa, dalla lunghezza d’onda della luce. La
presenza di tre filtri consente di studiare la
dipendenza di ∆φ dalla lunghezza d’onda
della luce incidente.
Figura 2.12:
3 C è anche nota come costante di Verdet
V
2.5.
53
POTERE ROTATORIO OTTICO DI UN MEZZO BIRIFRANGENTE
Appendice
Se l'incidenza non è perpendicolare, gli angoli di dirazione, rispetto alla normale, a destra e a sinistra non
sono simmetrici (vedi gura 2.13 ).
Figura 2.13: Il reticolo non è ortogonale rispetto all'asse ottico
Qui gli angoli sono considerati positivi a destra (ordini di dirazione positivi) negativi a sinistra. Se la luce
incidente forma l'angolo i con la normale, la condizione di interferenza costruttiva
(dirazione distruttiva)
si ottiene:
d sin(i) + d sin(θn ) = n λ
sin(θn ) = n
λ
− sin(i)
d
che rompe la simmetria destra-sinistra. Difatti:
sin(θ+ ) = n+
sin(θ− ) = n−
λ
− sin(i)
d
λ
λ
− sin(i) = −n+ − sin(i)
d
d
Applicando le formule di prostaferesi e definendo
(θ+ + θ− )
(θ+ − |θ− |)
=
= ∆θ
2
2
(θ+ + θ− )
(θ+ − |θ− |)
=
=< θ >
2
2
per angoli di incidenza i piccoli l’angolo medio è relativamente piccolo per cui:
−2sin(i) = 2sin(
(θ+ + θ− )
(θ+ + θ− )
) cos(
) = 2sin(∆θ)cos(< θ >)≈2sin(∆θ)
2
2
∆θ ≈ −i
L'asimmetria rispetto alla normale è quindi circa pari a
−i.
Però è ovvio che essa sia molto minore rispetto
alla direzione dei raggi non deviati. Questo è un punto rilevante perché sperimentalmente si può facilmente
misurare la direzione dei raggi non deviati (massimo centrale) e non la direzione della normale. Il massimo
centrale (n
= 0)
si ha infatti per
d sin(i) + d sin(θ0 ) = 0, θ0 = −i
54
CAPITOLO 2.
RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA
che corrisponde alla direzione del fascio di luce incidente. Misurando gli angoli dei vari ordini di diffrazione rispetto
a questa direzione, si ha
±
θm
= θ ± − θ0 = θ ± + i
Sostituendo nella relativa espressione per i seni e sommando si ha:
+
−
2sin(i) + sin(θm
− i) + sin(θm
− i) = 0
e nell'approssimazione
sin(x) ≈ x
si ha anche
+
−
θm
≈ −θm
. Questo dimostra che l'asimmetria è fortemente
ridotta, ma non eliminata se non nell'approssimazione di piccoli angoli.
Viceversa, utilizzando le formule precedenti, si ottiene:
+
−
sin(θm
− i) − sin(θm
− i) = 2n+
n
λ
= 2cos(∆θm − i)sin(< θm >)
d
λ
= sin(< θm >)[cos∆θm cos(i) + sin(∆θm )sin(i)] = Csin(< θm >)
d
Si vede quindi che:
a) è importante una procedura di ortogonalizzazione del reticolo per
rendere l'angolo
i
il più piccolo
possibile, e tutte le approssimazioni precedenti più accurate;
b) considerare l'angolo medio destro o sinistro fornisce la grandezza desiderata
n λd
a meno del fattore
correttivo C.
Per chiarire l'importanza di questo punto facciamo un esempio numerico.
d = 10 µm, n = 4, nλ/d = 0.2.
Sia inoltre
i = 5.74◦
in modo tale che
Consideriamo
sin(i) = 0.1.
λ = 0.5 µm,
In queste condizioni si ha
sin(θ+ ) = 0.1; θ+ = 5.74◦ , sinθ− = −0.3; θ− = −17.46◦
< θ >= 11.60◦ ; ∆θ = −5.86◦
Si vede che l’asimmetria rispetto al massimo centrale è di soli 12 centesimi di grado. Infatti si ha anche
+
−
θm
= 11.48◦ ; θm
= −11.72◦ ; < θm >= 11.60◦ ; ∆θm = −0.12◦
Tutto ciò potrebbe sembrare soddisfacente se non fosse che il calcolo del coeciente correttivo C fornisce
sin(< θm >) = 1.0048 n
λ
d
e quindi un errore relativo nella determinazione della quantità di interesse di quasi il 5 per mille, inaccettabile per una misura ad alta precisione come quella che si vuole eseguire.
Fortunatamente l'errore di
ortogonalità scelto come esempio è enorme, ad occhio si può posizionare il reticolo ortogonale entro 1 o 2
i = 1.15◦ , sin(i) = 0.02, si ottiene un'asimmetria di soli
−4
dierisce dall'unità di 1.9 · 10
, cioè si commette ancora un
gradi. Nonostante ciò, ad esempio per un angolo
2 centesimi di grado, ma un coeciente C che
errore relativo della stessa entità. È ovvio che l'incertezza nell'ortogonalità del reticolo o della fenditura deve
essere attentamente valutata nell'assegnare il valore nale dell'errore sulla lunghezza d'onda.
INDICE ANALITICO
Indice Analitico
aberrazione
cromatica, 22
sferica, 21
coefficiente, 21
asse ottico, 17
banco ottico, 11
cavaliere
portalenterna, 13
portalenti, 13
portaschermo, 14
posizionatore, 12
condizioni parassiali, 17, 20
distanza focale
immagine, 17
oggetto, 18
equazione
lenti sottili, 18
ingrandimento
trasversale, 18
lente, 18
astigmatica, 21
centro di una, 18
mascherine, 12
piani
focali, 18
principali, 18, 19
potere diottrico, 18
potere dispersivo, 22
raggi
marginali, 14
parassiali, 14
spazio
immagini, 17
oggetti, 17
55
56
Indice variabili
Fm
CAPITOLO 2.
fuoco raggi marginali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Fp
fuoco raggi parassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
F0
punto immagine infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
f0
distanza focale lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Fi
punto focale immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
fi
distanza focale immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
c
coefficiente di aberrazione sferica . . . . . . . . . . . . 21
D
potere diottrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
f
distanza focale lente sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
l
aberrazione sferica longitudinale . . . . . . . . . . . . . 21
m
ingrandimento trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
n
indice rifrazione lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
p
distanza oggetto lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 20
q
distanza immagine lente . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 21
R
distanza raggi matginali dall’asse ottico . . . . . . 21
r
raggio diottro lato oggetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
r’
raggio diottro lato immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
s
distanza vertici lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
t
diametro aberrazione di sfericitá . . . . . . . . . . . . . 21
V
vertice calotta sferiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
RICHIAMI DI OTTICA ONDULATORIA